Como destacado anteriormente, a abordagem do problema proposto será feita através de uma análise numérica e, por conta disso, a modelagem adotada é de fundamental importância para a obtenção de resultados significativos. No caso do trabalho proposto, a abordagem envolve a solução de escoamento incompressível com forças de campo e a equação de energia e, neste caso, são necessárias análises das condições de contorno de pressão, velocidade e temperatura. Neste contexto, a utilização de condições de contorno coerentes com as situações avaliadas representa um passo importante para a obtenção de soluções fisicamente consistentes. Por conta disso, diversos estudos têm sido realizados no sentido de aprimorar as condições de contorno de equações que regem os casos estudados e melhorar tanto a análise numérica como a velocidade da convergência dos resultados. Por conta desta importância na solução do problema, esta seção apresenta alguns estudos relevantes envolvendo o tema.
A influência na convergência da solução de problemas com condições de contorno abertas na entrada e na saída e para o caso de regime permanente de escoamentos utilizando as equações de Navier-Stokes foram avaliados por Nordström (1989). Foram considerados os problemas de meio contínuo e semi-discreto analisados pelo método da energia e transformada de Laplace. O método da energia foi empregado para se obter condições de contorno eficazes para o meio contínuo e também para mostrar que as mesmas condições podem ser utilizadas para o meio semi-discreto desde que seja adicionada uma condição numérica adequada, ou seja, são necessárias modificações estruturais nas condições de contorno para que elas possam ser utilizadas para este caso. Para verificar o comportamento de cada condição, foram simulados escoamentos uniformes bidimensionais com simetria no eixo y utilizando o método dos volumes finitos para discretização do espaço e o método de Runge-Kutta de quarta ordem para o tempo. Os resultados mostraram que as condições de
contorno obtidas pelo método da energia possuem uma convergência mais rápida para o regime permanente desde que a condição numérica seja adequada para o caso analisado.
Em outro trabalho, Nordström (1995) analisou as condições de contorno características para a equação de Navier-Stokes com matrizes de coeficientes constantes e criou novas condições de contorno para problemas de regime permanente em casos de meio contínuo e semi-discreto com rápida convergência para o resultado final. Para comprovar os resultados, foram realizadas análises unidimensionais usando as equações não-lineares de Navier-Stokes discretizadas pelo método dos volumes finitos para o espaço e o método de Runge-Kutta de quarta ordem para a evolução do tempo. Por meio dos resultados obtidos, concluiu-se que as condições de contorno propostas possuem uma rápida convergência quando comparadas às condições características que as originaram. Além disto, todos os modelos estudados se mostraram estáveis com o uso destas condições.
Considerando escoamentos incompressíveis com domínios físicos irrestritos visando maximizar a truncagem do domínio sem afetar as características físicas do escoamento, Dong, Karniadakis e Chryssostomidis (2014) propuseram uma nova condição de contorno. Esta condição proposta permite a entrada de energia cinética no domínio através dos limites de escoamento, prevenindo o crescimento descontrolado de energia. Uma formulação especial foi utilizada no algoritmo para evitar o bloqueio numérico das condições de fronteira para problemas dependentes do tempo. Foram realizadas várias simulações para demonstrar a eficiência da condição de contorno desenvolvida e, em particular a sua capacidade de manter estável a solução em domínios computacionais fortemente truncados ou nos quais aparecem vórtices na saída do escoamento. As simulações realizadas mostraram que a condição de contorno desenvolvida é robusta e precisa, produzindo simulações estáveis até mesmo em domínios com uma alta vorticidade. Entretanto, no escoamento que ocorre sem atuação externa, os testes se mostraram instáveis e fizeram com que a simulação divergisse quando os vórtices atingem as fronteiras.
Os problemas computacionais originados por um escoamento com alto número de Reynolds em domínios bidimensionais infinitos e regidos pela equação de Navier-Stokes foram estudados por Gustafsson e Protas (2015). Esta condição foi baseada numa análise matemática de soluções de escoamento de fluidos que apresentam uma queda lenta do campo de velocidades a longas distâncias de um obstáculo. A proposta foi desenvolvida e validada com base em uma abordagem computacional que assegura o comportamento correto da solução no infinito. O método numérico proposto define todo o domínio infinito sem a necessidade de truncá-lo em um domínio finito com condições de contorno artificiais nas
fronteiras. Os resultados foram comparados com valores disponíveis na literatura. Por meio desta comparação, foi possível avaliar que o método desenvolvido apresenta uma boa acuracidade para altos números de Reynolds (Re = 200), abrangendo duas ordens de magnitude com relação aos valores de acuracidade presentes na literatura, enquanto que para valores maiores que 200 o método apresentou dificuldades para determinar a solução devido a uma convergência muito lenta.
Dong e Shen (2015) desenvolveram uma forma generalizada de condição de contorno aberta, e seu respectivo algoritmo, que pode ser utilizada em escoamentos incompressíveis que envolvem fronteiras abertas ou com saída de fluxo. A forma generalizada representa uma parte das condições livres que asseguram a estabilidade energética do sistema mesmo em casos em que há vórtices e refluxo no escoamento. Para testar a precisão do algoritmo desenvolvido, foram realizadas diversas análises numéricas bidimensionais de escoamentos envolvendo entrada e saída de fluxo e variando o número de Reynolds desde valores baixos (Re = 100) até muito altos (Re = 5000). Os resultados foram comparados com valores determinados através de análises experimentais e numéricas dispostos na literatura. Por meio dos resultados obtidos pelas simulações, foi possível concluir que a condição desenvolvida gera simulações estáveis para Reynolds moderados e altos, superando os problemas de refluxo e vorticidade que são comuns nestes casos, tornando possível o uso de um domínio menor para a análise computacional. Apesar dos aspectos positivos para altos Reynolds, a mesma eficiência não foi mantida para casos simples de saída de fluxo, como os sem atuação externa e sem fluxo, fazendo com que as análises “explodissem” assim que os vórtices alcançassem a fronteira aberta.
Com base nos trabalhos apresentados anteriormente percebe-se que os estudos envolvendo o coletor de absorção direta estão muito focados em aplicação de nanofluidos devido a grande absortividade inerente a este tipo de fluido. Desta forma, existe uma grande preocupação com o estudo da sua composição, deixando em segundo plano outros fluidos de trabalho e seus parâmetros de funcionamento. Este estudo, por sua vez, visa analisar o comportamento de uma nova geometria de coletor em sistemas de aquecimento com água baseado no coletor de absorção direta, possuindo uma placa absorvedora para compensar a perda de capacidade absortiva do fluido. A partir dos resultados obtidos, pretende-se investigar a sua viabilidade térmica para a operação como uma alternativa ao coletor de placa plana. Este tipo de sistema além de aplicações independentes, também permitiria o seu uso em sistemas híbridos, como destacado anteriormente.
3. METODOLOGIA
A geometria de coletor proposta por este estudo, representada na Figura 6, é constituída por uma caixa isolada, tendo na superfície inferior interna uma placa absorvedora preta e uma placa de vidro em sua superfície superior. No espaço formado entre a placa de vidro e a absorvedora escoa o fluido de trabalho que, para este estudo, é a água. Neste dispositivo, o fluido é parcialmente aquecido pela absorção direta da radiação que atravessa a placa de vidro, entretanto, é o calor dissipado da placa absorvedora sua maior fonte de energia. Em contrapartida, o fluido perde calor por convecção para o meio através do vidro.
Figura 6: Geometria do Coletor Analisado.
Para quantificar os fenômenos físicos envolvidos, faz-se necessário solucionar o conjunto de equações diferenciais que o governa. Para este caso que envolve o aquecimento de um fluido incompressível escoando entre duas superfícies, é fundamental a solução do conjunto de equações formado por: a equação da continuidade, Eq. (1), as equações de movimento, Eq.(2a), Eq.(2b) e Eq.(2c), e a equação de energia, Eq. (3). Tais equações são apresentadas para um escoamento laminar incompressível de um fluido Newtoniano em coordenadas cartesianas (BIRD, STEWART e LIGHTFOOT, 1960):
(
vx)
(
vy)
(
vz)
0 t x y z ρ ρ ρ ρ ∂ ∂ ∂ ∂ + ⋅ + ⋅ + ⋅ = ∂ ∂ ∂ ∂ (1)2 2 2 2 2 2 x x x x x x x x y z x v v v v p v v v v v v g t x y z x x y z ρ⋅ ∂ + ⋅∂ + ⋅∂ + ⋅∂ = −∂ + ⋅µ ∂ +∂ +∂ + ⋅ρ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ (2a) 2 2 2 2 2 2 y y y y y y y x y z y v v v v p v v v v v v g t x y z y x y z ρ⋅ ∂ + ⋅∂ + ⋅∂ + ⋅∂ = −∂ + ⋅µ ∂ +∂ +∂ +ρ⋅ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ (2b) 2 2 2 2 2 2 z z z z z z z x y z z v v v v p v v v v v v g t x y z y x y z ρ⋅ ∂ + ⋅∂ + ⋅∂ + ⋅∂ = −∂ + ⋅µ ∂ +∂ +∂ + ⋅ρ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ (2c) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ... ... 2 ... ... p x y z y x z y y x x z z T T T T T T T c v v v k t x y z x y z v v v x y z v v v v v v y x z x z y ρ µ µ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ = ⋅ + + + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ + ⋅ ⋅ + + + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ + ⋅ + + + + + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ (3)
Os termos entre chaves na Eq. (3) estão associados ao efeito da dissipação viscosa e podem ser desconsiderados, uma vez que o escoamento é laminar e de viscosidade relativamente baixa.
Para o caso estudado existe uma variação de propriedade muito relevante: trata-se da variação da massa específica com a temperatura. Devido à presença das forças de campo associadas à variação de temperaturas diferentes entre a porção inferior e superior, observam- se também variações locais de massa específica. O fluido mais quente, localizado na região de contato com a placa absorvedora, é menos denso do que a porção mais fria, que está próxima ao vidro. Desta forma, ocorre uma circulação do fluido dentro do dispositivo de acordo com a direção do vetor aceleração da gravidade, fazendo com que a porção menos densa troque de posição dentro do coletor com a porção mais densa. Este fenômeno é chamado de circulação natural e pode ser determinado a partir do coeficiente de expansão volumétrica térmica ou por meio de expressões para avaliar a massa específica em função da temperatura.
O coeficiente de expansão volumétrica térmica é uma propriedade termodinâmica do fluido que determina a variação da massa específica em função da mudança de temperatura num processo à pressão constante. Ele é definido por:
p 1 T ρ β ρ ∂ = − ⋅ ∂ (4)
A definição do coeficiente de expansão volumétrica também pode ser escrita na forma aproximada, convertendo-se os diferenciais em diferenças discretas de massa específica e temperatura da seguinte forma:
1 1 T T T ρ ρ ∆ρ β β ρ ∆ ρ ∞ ∞ − = − ⋅ → = − ⋅ − (5)
Rearranjando esta equação de forma a explicitar a mudança da massa específica, tem- se que:
(
ρ∞−ρ)
≈ρ β⋅ ⋅(
T −T∞)
(6)A simplificação obtida na Eq. (6) pode ser associada à aceleração da gravidade e incluída nas Eqs. (2[a,b,c]) utilizando uma aproximação conhecida como aproximação de Boussinesq. Este tipo de aproximação fornece bons resultados quando a correlação é aproximadamente linear. No caso da água, em temperaturas próximas a 4ºC ela não é aplicável por conta de seu comportamento anômalo na faixa. Para temperaturas superiores a esta, a aproximação é utilizada se a variação de temperaturas não for muito grande.
Para avaliar a energia útil do coletor é comum utilizar um balanço energético entre a entrada e a saída do fluido. Sendo assim, este é normalmente um parâmetro relevante na determinação da eficiência do coletor. Para tanto, alguns parâmetros intermediários são usualmente calculados para a sua obtenção. O primeiro cálculo é feito com base no perfil de velocidades para a aferição da vazão volumétrica:
e 0
v L dz v e L
φ = ⋅ ⋅ → = ⋅ ⋅φ (7)
e 0
m= ρ⋅ ⋅ ⋅v L dz→m=ρ φ⋅ (8)
Conhecida a vazão de massa, é possível estimar a variação da temperatura de mistura entre a saída e a entrada do coletor:
(
)
(
)
'' '' rad conv '' '' rad conv p p q q w L q q w L m c T T mc ∆ ∆ − ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ → = (9)Neste estudo, as perdas por convecção da geometria para o meio podem ser estimadas pela integral na superfície do vidro de forma que:
(
)
L
conv sup 0
q = h T ( y ) T⋅ − ∞ ⋅ ⋅w dy (10)
Utilizando o conceito da entalpia na seção de saída, a taxa de energia Es pode ser
calculada por:
S e p 0
E = ρ⋅c ⋅ ⋅ ⋅ ⋅v T L dz (11)
ou ainda, utilizando o conceito de temperatura de mistura na seção de saída:
ES =m c T⋅ p⋅ ms (12)
3.1. OPENFOAM
®A solução do problema com as respectivas equações diferenciais já estão estabelecidas, entretanto, para problemas com geometria complexa, este conjunto de equações terá que ser resolvido de forma numérica. A solução poderia ser implementada ou fazer uso de algum código computacional, livre ou licenciado, com a capacidade de solucionar o problema com as restrições a serem impostas. No caso desse trabalho, optou-se por um código livre e aberto que utiliza uma discretização por volumes de controle conhecido como
OpenFOAM®. Este código possui um conjunto de programas capazes de manipular malhas estruturadas e códigos específicos para realizar a solução de problemas em função da natureza dos parâmetros envolvidos.
Dentre a série de escolhas que o OpenFOAM® permite, uma importante é o tipo de acoplamento entre pressão e velocidade que será utilizado. Além disso, o problema ainda deve ser categorizado como escoamento incompressível com transferência de calor e que deve considerar os efeitos de variação de massa específica do fluido de acordo com o aumento da temperatura. Embora o OpenFOAM®, por se tratar de um código aberto, permita que o usuário crie seu próprio solucionador a partir de suas bibliotecas, o procedimento mais simples é utilizar um código que já está implementado e previamente testado. Desta forma, faz-se necessário selecionar um código que atenda a todas as restrições já impostas. Neste caso, há diferentes possibilidades em função do tipo de acoplamento pressão-velocidade ou ainda a utilização da aproximação de Boussinesq ou não para os efeitos de campo.
No que se refere ao acoplamento pressão-velocidade, na vasta biblioteca de algoritmos disponível no OpenFOAM®, dois são comumente usados: o SIMPLE (Semi-Implicit Method for Pressure-Linked Equations) e o PIMPLE, sendo o último uma fusão dos algoritmos PISO (Pressure Implicit with Splitting of Operator) e SIMPLE. Ambos os algoritmos utilizam um procedimento de cálculo que envolve o acoplamento pressão-velocidade das equações de Navier-Stokes para solucioná-las, sendo o SIMPLE ideal para resolver problemas em regime permanente, enquanto que o PIMPLE e, por consequência, o PISO são ideais para escoamentos em regime transiente.
O algoritmo SIMPLE foi desenvolvido, segundo Versteeg e Malalasekera (1995), por Patankar e Spalding em 1972 e é essencialmente um procedimento iterativo para o cálculo da pressão. Nas simulações envolvendo este algoritmo, assim que o sistema atinge o limite de tolerância estabelecido nos parâmetros de solução, considera-se que o regime permanente foi atingido e, assim, o processo é interrompido. A Figura 7 mostra o fluxograma com os procedimentos realizados pelo algoritmo para a determinação da resposta final.
O algoritmo PISO foi elaborado, segundo Versteeg e Malalasekera (1995), por Issa em 1986 originalmente como um procedimento de cálculo da relação pressão-velocidade em escoamentos compressíveis instáveis utilizando um método não iterativo. Entretanto, posteriormente tal algoritmo foi adaptado com sucesso para solucionar problemas incompressíveis sem ondas de choque. O PISO possui um passo preditor e dois passos corretores, e pode ser considerado como uma extensão do SIMPLE, mas com um passo de correção adicional. A Figura 8 mostra o fluxograma do algoritmo PISO.
Figura 7: Fluxograma do Algoritmo SIMPLE (adaptado de VERSTEEG e MALALASEKERA, 1995).
Figura 8: Fluxograma do Algoritmo PISO (adaptado de VERSTEEG e MALALASEKERA, 1995).
O algoritmo PIMPLE, tipicamente utilizado pelo OpenFOAM®, possui basicamente os mesmos procedimentos do PISO com a adição eventual de dois outros procedimentos: uma repetição de correção externa, ou seja, múltiplos ciclos de cálculos no mesmo período de tempo usando o valor da iteração final como valor inicial da próxima iteração; e subrelaxação das variáveis como consequência das iterações externas descritas anteriormente. As
simulações envolvendo este algoritmo frequentemente demanda maior tempo computacional que o algoritmo SIMPLE, devido a seu maior número de iterações para obtenção da solução em um determinado instante de tempo.
Embora possuam características distintas, ambos os algoritmos podem ser utilizados para os mais diversos tipos de análises fluidotérmicas. No caso deste estudo, tem-se o interesse de avaliar os efeitos da mudança de temperatura na massa específica durante o escoamento do fluido. Desta maneira, duas variações de cada algoritmo foram testadas para simular este efeito.
O problema foi resolvido primeiramente utilizando a aproximação de Boussinesq, a qual foi implementada diretamente nos diferentes acoplamentos pressão-velocidade estudados (buoyantBoussinesqSIMPLEFoam e buoyantBoussinesqPIMPLEFoam). Nesta classe de solução, a forma como as variáveis são estimadas podem variar em relação às demais. Por conta disso, os campos de pressão apresentados são normalizados pela massa específica do fluido, ou seja, os valores estipulados e aferidos de pressão são divididos pela massa específica do fluido e possuem como unidade de medida [m²/s²]. Além da pressão, o fluxo de massa também possui a mesma característica e é apresentado na forma de vazão volumétrica [m³/s].
Outra maneira de analisar este comportamento pode ser feita utilizando diferentes formas da equação de estado do fluido para representar a variação de suas propriedades físicas de acordo com o estado termodinâmico. No caso da água na fase líquida, a equação de estado utilizada foi a de um polinômio em função da temperatura. Este tipo de equação de estado já está implementada nas bibliotecas do OpenFOAM® e, é necessário incluir apenas os coeficientes de cada aproximação polinomial. Durante as simulações, também foram avaliadas as formas de uso dos algoritmos SIMPLE e PIMPLE.
Para determinar o polinômio em cada caso, utilizou-se o processo de regressão polinomial a partir dos dados encontrados para as propriedades termofísicas da água satura contidos em Incropera et al. (2007) e relacionados na Tabela 1. Os polinômios obtidos para cada caso foram de quarta ordem e utilizados para determinar:
• Massa Específica:
16 4 13 3 2
4,3231 10 T 5,58512 10 T 0,005 T 2,78 T 611,705
• Condutividade Térmica:
9 4 6 3 2
k = − ×5 10− ⋅T +6 ,47667 10× − ⋅T −0.00315152 T⋅ +0,683843 T⋅ −55,2758 (14)
• Calor Específico a Pressão Constante:
15 4 12 3 2 p c = −4,3231 10× − ⋅T +6 ,17887 10× − ⋅T +0,01 T⋅ −6 ,26 T⋅ +5158,69 (15) • Viscosidade Dinâmica: 11 4 8 3 5 2 4,757284 10 T 6 ,292028 10 T 3,129192 10 T 0,006943248 T 0,5810607526 µ − − − = × ⋅ − × ⋅ + + × ⋅ − ⋅ + (16)
Com base neste estudo, é possível avaliar a precisão e a acuracidade dos resultados obtidos com os algoritmos SIMPLE e PIMPLE e pelas diferentes abordagens de variação das propriedades físicas anteriormente descritas como sendo:
• uma com propriedades físicas constantes e efeitos de campo implementados pela aproximação de Boussinesq e,
• outra com a implementação da equação de estado polinomial, considerando as mudanças de propriedades em função da temperatura.
Tabela 1: Propriedades Termofísicas da Água Saturada utilizadas para a determinação dos Polinômios Característicos (Incropera et al, 2007).
Temperatura (T) [K] Massa Específica ( ) [kg/m³] Condutividade Térmica ( 3 k×10 ) [W/(m.K)] Calor Específico (cp) [kJ/(kg.K)] Viscosidade Dinâmica ( 6 10 µ× ) [N.s/m²] 275 1000 574 4,211 1652 280 1000 582 4,198 1422 285 1000 590 4,189 1225 290 999 598 4,184 1080 295 998,004 606 4,1814 959 300 997,009 613 4,179 855 305 995,025 620 4,178 769 310 993,049 628 4,178 695 315 991,08 634 4,179 631 320 989,12 640 4,180 577 325 987,167 645 4,182 528 330 984,252 650 4,184 489 335 982,318 656 4,186 453 340 979,432 660 4,188 420 345 976,563 668 4,191 389 350 973,71 668 4,195 365
3.2. CRIAÇÃO DA MALHA
Para a solução de qualquer modelo numérico é necessário antes de tudo efetuar a criação da malha que representará a geometria a ser estudada. Nos casos do OpenFOAM®, pode-se criar uma malha através de seu gerador próprio de malhas estruturadas (blockMesh)
ou utilizar uma malha devidamente importada de outros softwares como Gambit, Gmsh, Fluent, etc.
No caso da construção de uma geometria no OpenFOAM® usando o
blockMesh é
necessário, primeiramente, identificar os seus vértices e, depois, uní-los para formar as suas superfícies. É válido ressaltar que o processo de construção das faces no software implica que
o vetor área deve sempre apontar para a parte externa da geometria. Por fim, deve-se estipular qual papel cada uma das superfícies criadas irá desempenhar durante a simulação, por exemplo, se ela corresponde à entrada de fluxo ou a uma parede impermeável.
O modelo criado para a nova geometria de coletor estudada é simples e foi criado diretamente pelo blockMesh. O domínio é representado apenas pela região onde acontece o
escoamento da água, e, portanto, possui as suas propriedades físicas. As superfícies da geometria devem ser separadas de acordo com as condições de contorno a serem impostas. No caso do modelo proposto, elas representam a entrada (superfície esquerda) e a saída (superfície direita), a placa absorvedora (superfície inferior) e a cobertura de vidro (superfície superior). A Figura 9 ilustra o modelo físico utilizado para todas as análises de malha.
Figura 9: Malha na Região de Escoamento e Fronteiras no OpenFOAM®.
Cabe ainda destacar que o OpenFOAM® trabalha apenas com geometrias tridimensionais. No caso de soluções bidimensionais, uma condição de contorno específica denominada empty é utilizada para identificar as superfícies de simetria. Desta forma, a
dimensão utilizada neste sentido normal ao plano bidimensional não tem representatividade física e é escolhida de forma a fornecer uma coerência dimensional para a malha utilizada.
Para a definição da malha do modelo do coletor ainda se faz preciso determinar o número de pontos necessários e como eles estarão distribuídos. Uma malha inadequada e/ou grosseira pode gerar resultados incompatíveis. Por outro lado, malhas refinadas em excesso aumentam significativamente o tempo de processamento para a convergência e obtenção dos resultados finais.
Desta forma, foram realizados testes com diversas malhas hexaédricas regulares (sem expansão) considerando como modelo de teste a geometria representada na Figura 9 com 1,5 m de comprimento (direção y), 1,0 mm de largura (direção z) e 1,0 mm de espessura (direção x) e propriedades físicas iguais a da água, com uma vazão de 2,0 L/m².min, e
temperatura de 298 K na entrada da geometria, sujeita a um fluxo de calor de 800 W/m² na