As condições fronteira definem os valores das variáveis dependentes, ou das suas derivadas, na fronteira do domínio de cálculo do problema e são essenciais na obtenção da solução. As condições fronteira implementadas têm base nos trabalhos Oliveira (1992), Oliveira et al. (1998), Alves (2004) e Miranda (2007), que poderão ser consultados para mais detalhes.
1- Entrada
Na entra do domínio de cálculo, especifica-se o valor das variáveis dependentes (velocidades e tensões), correspondendo a condições de fronteira do tipo Dirichlet. Desta
forma, para as componentes da velocidade pode ser imposto um perfil teórico, gradiente de velocidade uniforme ou pulsante. Para as componentes da tensão é imposto um perfil teórico do modelo constitutivo em condições de desenvolvimento completo. Para a pressão, tratando- se de escoamentos incompressíveis, são impostas condições de fronteira de Neumann, em que os gradientes normais da pressão na fronteira são nulos.
2- Parede
As paredes do domínio são rígidas, impermeáveis e estacionárias. Impõe-se a condição de não deslizamento junto às paredes onde a velocidade local é nula. As componentes da tensão são obtidas de soluções analíticas aproximadas que assumem um escoamento local paralelo à parede designado por escoamento de Couette. Além disso, como as paredes são impermeáveis, os fluxos convectivos de todas as quantidades são nulos.
3- Plano de simetria
No caso de se considerar plano de simetria, considera-se que os fluxos convectivos e difusivos se anulam. Estas condições são aplicadas a todas as variáveis dependentes do problema, utilizando regras de reflexão adequadas e volumes de controlo simétricos fictícios, tal como descrito em Oliveira et al. (1998) e Alves (2004). No entanto, neste trabalho, não se impõe plano de simetria devido à possibilidade de ocorrência de escoamentos assimétricos no domínio de cálculo considerado.
4- Condições iniciais
Em escoamentos dependentes do tempo, é necessário conhecer o valor das variáveis iniciais ou de Cauchy no instante inicial
t
0. Em geral, as condições iniciais podem corresponder à situação do fluido em repouso ou a uma solução aproximada obtida em condições semelhantes.5- Saída
À saída do domínio de cálculo, os valores das variáveis dependentes são desconhecidos. Por isso, impõem-se a condição de Neumann para as componentes da velocidade e tensão, definida por gradientes axiais nulos. Isto significa que o escoamento encontra-se localmente completamente desenvolvido. Para garantir o carácter completamente desenvolvido do escoamento à saída, o domínio de cálculo é prolongado, afastando a saída do local onde se pretende obter solução. Este afastamento da saída é também importante para evitar a propagação de erros numéricos. Para a pressão impõem-se um gradiente constante.
Capítulo 4.
Escoamento em canal curvo – Introdução
O escoamento de fluidos através de condutas curvas pode ser encontrado em inúmeras aplicações práticas desde a indústria à medicina. Os canais curvos são utilizados em vários processos da indústria química, de polímeros, moldes, tintas, cosmética e farmacêutica, engenharia ambiental, recuperação de calor, ar condicionado, refrigeração, bio-engenharia, etc. Mais recentemente, os canais curvos pode ser encontrados em aplicações de microfluídica e microreactores. Estas geometrias são preferencialmente utilizadas onde os fenómenos de transporte, nomeadamente, de mistura e de transferência de massa e/ou calor, ocorrem. Alguns dos inúmeros exemplos de aplicações reportados na literatura são listados na Tabela 4.1, e na Tabela 4.2, em particular, estão listadas algumas aplicações em microfluídica. Vashisth et al. (2008) apresentam uma revisão detalhada das aplicações de canais curvos em processos industriais.Os canais curvos são componentes essenciais e frequentes, e, por isso, surge um interesse particular sobre o escoamento neste tipo de geometria junto da comunidade científica. As revisões bibliográficas de Berger et al. (1983), Ito (1987) e Vashisth et al. (2008) constituem uma boa introdução ao tema.
Thomson (1876, 1877), Williams et al. (1902), Grindley & Gibson (1908) e Eustice (1910, 1911) são considerados pioneiros no estudo sobre escoamentos em curvas. Thomson (1876, 1877) fez a primeira observação da complexidade dos escoamentos em curvas, neste caso em canal aberto. Apesar de o escoamento apresentar uma superfície livre, e por isso diferir em parte do escoamento em canais fechados, os efeitos da curvatura foram evidentes. Mais tarde, Williams et al. (1902) fizeram as primeiras observações em canais fechados de secção transversal circular, e verificaram que a posição da velocidade máxima axial se desloca na direcção da parede côncava da curva. Num conjunto de experiencias sobre a viscosidade do ar, Grindley & Gibson (1908) observaram os efeitos da curvatura sobre o escoamento, relativamente ao escoamento em canais rectos. Também comparando canais curvos com canais rectos, Eustice (1910) verificou experimentalmente que a resistência do escoamento (determinada em termos de perda de velocidade e pressão) aumenta com o aumento da curvatura e com o aumento do número de voltas de um canal helicoidal.
O escoamento em curvas possui propriedades inerentes que, dependendo da aplicação, poderão ser desejadas ou não. Relativamente aos canais rectos, os escoamentos em curvas apresentam: maior queda de pressão (para um determinado caudal); elevada tensão de corte nas paredes; maior coeficiente de transferência de massa e calor; maior mistura na secção
Tabela 4.1- Aplicações práticas de canais curvos.
Aplicação Referências
Reactores químicos Koutsky & Adler (1964), Janssen (1976), Seader & Southwick (1981), Waiz et al. (2001), Aggarwal & Nigam (2001)
Ultra, micro e nano-filtração
Belford et al (1993), Moulin et a.l (1996), Elmaleh & Ghaffor (1996a), Elmaleh & Ghaffor (1996b), Gehlert et al. (1998), Guigui et al. (1998), Chung et al. (1993a, 1993b, 1996, 1998), Kuakuvi et a.l (2000), Ghogomu et al. (2001), Liu et al. (2005), Winzeler & Belfort (1993)
Permutadores de calor e sistemas de aquecimento/ arrefecimento
Georgiev & Kovatchev (1974), Prasad et al. (1989), Mote et al. (1991), Inagaki et al. (1998), Rindt et al. (1998), Rindt et al. (1999), Acharya et al. (2001), Prabhanjan et al. (2002), Prabhanjan et al. (2004), Rennie & Raghavan (2005, 2006, 2007), Park et al. (2007), Naphon & Wongwises (2006), Guobing & Yufeng (2006), Gupta et al. (2007)
Sistemas de evaporação e de produção de vapor Yi et al. (2003), Jo & Jhung (2008)
Reactores e centrais nucleares Carelli et al. (2004), Cioncolini & Santini (2006a, 2006b)
Unidades de separação por membrana de osmose
inversa Srinivasan & Tien (1971), Nunge & Adams (1973), Moulin et al. (2001), Chung et al. (1993a, 1993b)
Escoamento em meio poroso Nunge et al. (1972), Deiber & Schowalter (1981)
Colunas de rectificação e de absorção Hameed & Muhammed (2003), José et al. (2003)
Emulsificação e separação de proteínas Leclerc et al. (1987), Kaur & Agarwal (2002)
Membranas de oxigenação Weissman & Mockros (1968), Dorson et al. (1968), Chang & Mockros (1971), Baurmeister et al. (1977), Chang & Tarbell (1985), Moulin et al. (1996)
Vasos sanguíneos, cateteres, pulmões e respiração artificiais
Horsfield et al. (1971), Gilroy et al. (1977), Lin & Tarbell (1980), Jayaraman & Tiwari (1982), Patel & Sirs (1983), Padmanabhan & Jayaraman (1984), Jain & Jayaraman (1990), Niimi et al. (1984), Eckmann & Grotberg (1987), Sharp et al. (1991), Krams et al. (1999), Zhang (2003), Guan & Martonen (2000), Torii et al. (2004), Pontrelli & Tatone (2006), Dash et al. (1999)
Coluna de cromatografia Hofmann & Halász (1979, 1980), Halász (1979), Tijssen (1978, 1980) Mistura Leclerc et al. (1987), Jiang et al. (2004), Vanka et al. (2004)
Pervaporação Schnabel et al. (1998)
Pirólise de componentes aromáticos do carvão Bruinsma et al. (1988a, 1988b)
Cultivo de células biológicas Hagedorn & Kargi (1990)
Homogeneização térmica Mori & Nakiyama (1965, 1967a, 1967b), Akiyama & Cheng (1974a, 1974b), Kalb & Seader (1972, 1974), Zavadsky et al. (1985)
Processamento de produtos alimentares Rennie & Raghavan (2005, 2006, 2007), Chakrabandhu & Singh (2006) Sistemas de refrigeração Wongwises & Polsongkram (2006a, 2006b)
Concentradores de energia solar Fernández et al. (2003) (Adaptado de Vashisth et al. (2008))
Tabela 4.2- Aplicações práticas de canais curvos em nano e microfluídica.
Aplicação Referências
Micro-reactores1 Jiang et al. (2004)
Equipamento analítico Nguyen & Wu (2005)
Processos de separação Ookawara et al. (2006), Schönfeld & Hart (2003), Yamaguchi et al. (2004) Micro e nanofluidica Akbarinia & Behzadmehr (2007)
Transferência e calor Lasbet et al. (2007) Choi & Anand (1993)
Misturadoras laminares
Choi & Anand (1993), Erbacher et al. (1999), Ehrfeld et al. (1999), Haverkamp et al. (1999), Bessot et al. (1999), Lin et al. (2007), Wua et al. (2007), Sudarsan & Ugaz (2006), Liu et al. (2000), Therriault et al. (2003), Hessel et al. (2005), Schönfeld & Hart (2003)
1A escala de tempo de mistura em relação à escala de tempo da reacção tem um papel fundamental, uma vez que o
transversal; tempo de residência das partículas de fluido mais elevado; e menor dispersão axial (Berger et al. (1983) e Vashisth et al. (2008)). Estas propriedades devem-se ao escoamento secundário, transversal ao escoamento principal, induzido por forças centrífugas geradas pela curvatura do canal e que os canais rectos não apresentam. Eustice (1911) foi o primeiro a visualizar experimentalmente a existência de escoamento secundário, através da injecção de tinta em água em diferentes canais curvos com formato em “U” e secção circular. Apesar de a análise ser apenas qualitativa, concluiu que os canais curvos seriam mais eficientes na transferência de calor devido ao movimento helicoidal do fluido. As observações de Eustice (1911) foram confirmadas analiticamente, pela primeira vez, por Dean (1927), através do método de perturbação. Contudo, a teoria de Dean (1927) aplica-se apenas a um número limitado de casos e falha em mostrar a dependência do escoamento com a curvatura do canal. Em 1928, Dean deduziu um parâmetro único
K
, que reflecte a dependência daredução do caudal com a curvatura do canal. Este parâmetro é definido como (Dean (1928a, 1928b)): (4.1) 2 0
2d dU
K
R
onde,
d
é o diâmetro da secção transversal,R
o raio de curvatura do canal, a viscosidadecinemática e
U
0 é definido como uma constante com dimensões de velocidade, para um canal curvo genérico com secção circular. No entanto, o parâmetroK
foi obtido assumindocurvatura muito reduzida (
Cd R
), e só é válido em escoamentos a baixa velocidade, i.e., paraK 576
(Dean (1928a, 1928b)). Posteriormente aos trabalhos de Dean, o parâmetroK
foi definido de diversas formas por diferentes autores e passou a ser designado por número de Dean (Dn
). Van Dyke (1978) e Berger et al. (1983) apresentam uma compilação das relações entre as diferentes versões do número de Dean, algumas delas apresentadas na Tabela 4.3.Tabela 4.3- Relações entre o parâmetro de Dean (K) e as diferentes definições do número de Dean (Dn).
Autor Expressão
White (1929a)
1 22
Dn K
McConalogue & Srivastava (1968) 1 2
4
Dn K
Adler (1934), Larrain & Bonilla (1970) 1
576
Dn K
Smith (1976a, 1976b) 1
2
Dn K
Desde os trabalhos de Dean, vários esforços têm sido realizados no sentido de caracterizar experimentalmente e prever teoricamente o escoamento através de curva. Mas, a complexidade do escoamento e a sua dependência não-linear em inúmeras variáveis, faz
deste tipo de escoamento um interessante e importante objecto de investigação, que se reflecte na quantidade de trabalhos desenvolvidos até aos dias de hoje.