Condi¸c˜ oes geom´ etricas localizadas para a propriedade L 1 -Liouville

Cap´ıtulo 3. Aplica¸c˜oes 156

consequentemente,B×

1 k,k

⊂Ω_k. Da´ı, teremos que 0 ⩽ϕ_k(x)∈C⁰



Ω_k\

◦

B× 1

k,k



∩

W_loc^1,2

intΩ_k\B× 1

k,k

tal que

x→+lim∞ϕk(x) = lim

x→+∞(Ek(x) +ε|x|²) = +∞ e,

− Z

int(Ωk\B)

⟨∇ϕ_k,∇ρ⟩= Z

int(Ωk\B)

ρ∆ϕ_k− Z

∂(Ωk\B)

∂ϕ_k

∂ν ρ⩽0,

onde 0⩽ρ∈C⁰(Ω_k\B^◦)∩W_loc^1,2(intΩ_k\B). Segue que ϕ_k ´e uma fun¸c˜ao de Khas’minskii e, portanto, pelo Lema 6 teremos que Ω_k ´e D-parab´olico e, consequentemente, E_k ´e seu tempo m´edia de sa´ıda de Dirichet (finito). Agora, fixando x ∈intΩ_k e fazendo k→+∞ obtemos que

k→+lim∞E_k(x) = lim

k→+∞

1 2

x_m− 1 k

(k−x_m) = +∞.

Logo o limite deE_k quando k→+∞ diverge e, consequentemente, pelo Corol´ario 8,R

m +

´eD-L¹-Liouville.

3.5 Condi¸ c˜ oes geom´ etricas localizadas para a

Cap´ıtulo 3. Aplica¸c˜oes 157 de Ricci n˜ao negativa, mas uma certa quantidade de negatividade tamb´em ´e permitida.

Para um semi espa¸co geom´etrico, queremos dizer o seguinte

Defini¸c˜ao 21. Sejaγ: [0,+∞)→Mum raio geod´esico, parametrizado pelo comprimento de arco na variedade Riemanniana completa (M,g). O semi-espa¸co M⁺ em rela¸c˜ao a γ

´e o dom´ınio

M⁺ =∪_t>0B_t(γ(t)),

onde Bt(p) ´e a bola m´etrica aberta de raio t >0 centrada em p.

Teorema 26. Suponha que (M,g) ´e uma variedade Riemanniana completa satisfazendo Ric⩾− (m−1)B²

1+r²_γ(0)(x) (3.34)

sobre o semi espa¸√ co M⁺ com respeito a algum raio geod´esico γ, para algum 0 ⩽ B <

m

m−1, onde r_γ(0) denota a fun¸c˜ao de distˆancia em M de γ(0). Ent˜ao, (M,g) ´e L¹ -Liouville.

Demonstra¸c˜ao. Consideremos, inicialmente, com uma suposi¸c˜ao mais geral de que para cada n´umero inteiro positivo k a seguinte desigualdade ´e v´alida

∆r_k(x)⩽(m−1)σ_k^′

σ_k(r_k(x)); para todo x ∈B_tk(γ(t_k)), (3.35) onde {t_k}^k∈N ´e uma sequˆencia crescente com t₁ > 1, r_k(x) = d(x,γ(t_k)) ´e a fun¸c˜ao distˆancia de γ(t_k) eσ_k : [0,+∞)→[0,+∞)´e a fun¸c˜ao de deforma¸c˜ao de uma variedade modelo m-dimensional M_σk. Agora, para cada n´umero inteiro positivo k difinimos a fun¸c˜ao F_k : [0,t_k−1)→[0,+∞) dada por

F_k(r) = Zt_k−1

r

Rt

0σ^m−1_k (s)ds σ^m−1_k (t) dt.

Derivando a express˜ao acima com rela¸c˜ao a r e aplicando o Teorema Fundamental do C´alculo obtemos

Fk(r) = Z_tk−1

r

R_t

0σ^m−1_k (s)ds

σ^m−1_k (t) dt= − Z_r

tk−1

R_t

0σ^m−1_k (s)ds σ^m−1_k (t) dt

⇒F_k^′(r) = − R_t

0σ^m−1_k (s)ds

σ^m−1_k (r) dt <0.

Cap´ıtulo 3. Aplica¸c˜oes 158 Agora, por (3.35) a compara¸c˜ao com a fun¸c˜aor_k :B_tk(γ(t_k))→[0,+∞) satisfaz

∆F_k(r_k(x)) = F_k^′′(r_k(x)) +F_k^′(r_k(x))∆r_k(x)

⩾ F_k^′′(r_k(x)) +F_k^′(r_k(x))(m−1)σ_k^′

σ_k(r_k(x))

= ∆_σkF_k(r_k(x))

= d ds −

R_t

0σ^m−1_k (s)ds σ^m−1_k (r) dt

!

= −σ^m−1_k (r)

σ^m−1_k (r) = −1.

Al´em disso, teremos que

F_k(t_k−1) = Ztk−1

tk−1

R_t

0σ^m−1_k (s)ds

σ^m−1_k (t) dt=0,

ent˜ao, F_k ≡ 0 na fronteira da bola B_tk−1(γ(t_k)) e, consequentemente, pelo princ´ıpio do m´aximo teremos que

F_k(r_k(x))⩽ ^DE_k(x), (3.36)

onde ^DEk denota o tempo m´edio de sa´ıda de Dirichlet de Btk−1(γ(tk)).

Para ilustrar a ideia, suponhamos que Ric ⩾ 0 em M⁺, ou seja, (3.34) assegura que B = 0. Pelo Teorema de Compara¸c˜ao do Laplaciano, podemos tomar σk(s) = s para qualquer k e, assim, calcular

Fk(rk) =

Z_tk−1

rk

R_t

0σ^m−1_k (s)ds σ^m−1_k (t) dt

=

Ztk−1 rk

Rt

0s^m−1ds σ^m−1_k (t) dt

=

Ztk−1 rk

s^m m|^t0

σ^m−1_k (t)dt.

Cap´ıtulo 3. Aplica¸c˜oes 159 Substituindo os limites de ingra¸c˜ao obtemos

F_k(r_k) =

Z_tk−1

r_k

t^m m σ^m−1_k (t)dt

=

Z_tk−1

rk

t^m m · 1

t^m−1dt

=

Ztk−1 rk

t mdt

= 1 m

(t_k−1)²−r²_k(x) . Portanto,

DE_k(x)⩾F_k(r_k) = 1 m

(t_k−1)²−r²_k(x) , de onde escolhendo x₁ =γ(2)∈B_tk−1(γ(t_k)) para todo k, temos

r_k(x₁) = d(x₁,γ(t_k))

= d(γ(2),γ(t_k))

= tk−2, pois,γ´e uma geod´esica. Al´em disso,

DEk(x1) ⩾ 1 m

(tk−1)²−r²_k(x1)

= 1 m

(t_k−1)²− (t_k−2)²

= 1 m

t²_k−2t_k+1−t²_k+4t_k−4

= 1

m(2t_k−3).

Uma vez que {t_k}´e uma sequˆencia crescente temos que limk→+∞t_k = +∞ e, assim,

k→+lim∞

DEk(x1)⩾+∞.

Logo limk→+∞ DE_k(x₁) = +∞. Pelo Corol´ario 8, podemos dizer que M ´e L¹-Liouville.

Cap´ıtulo 3. Aplica¸c˜oes 160 Notemos que o ingrediente princ´ıpal no argumento acima ser´a

2t_k−3

2m = (t_k−1)²

2m −(t_k−2)² 2m

= (tk−1)²

2m −r²_k(x1) 2m

= F_k(t_k−2)

=

Zt_k−1 tk−2

Rt

0σ^m−1_k (s)ds σ^m−1_k (t) dt, assim,

tklim→+∞F_k(t_k−2) = lim

tk→+∞

Ztk−1 tk−2

Rt

0σ^m−1_k (s)ds

σ^m−1_k (t) dt= +∞, (3.37) quando k→+∞ etk →+∞. Assim, suponhamos que

Ric⩾− (m−1)B²

1+r²_γ(0)(x) sobre M⁺, para alguma constante B. Pela desigualdade triangular temos

d(γ(0),γ(t_k))⩽d(x,γ(0)) +d(x,γ(t_k)).

Comotk =d(γ(0),γ(tk)), d(x,γ(0)) =r_γ(0)(x) e d(x,γ(tk)) =rk(x), obtem t_k ⩽ r_γ(0)(x) +r_k(x).

⇒t_k−r_k(x) ⩽ r_γ(0)(x).

elevando os dois membros da desigualdade ao quadrado e somando um dos dois lados teremos

1+ (t_k−r_k(x))² ⩽1+r²_γ(0)(x), e assim,

− 1

1+ (t_k−r_k(x))² ⩽− 1 1+r²_γ(0)(x). Logo,

Ric⩾− (m−1)B²

1+r²_γ(0)(x)(x) ⩾− (m−1)B²

1+ (t_k−r_k(x))², para todo x ∈B_tk(γ(t_k)).

Cap´ıtulo 3. Aplica¸c˜oes 161 Novamente pelo Teorema de Compara¸c˜ao do Laplaciano ( Teorema 6 ) a desigualdade 3.35 ´e v´alida com σ_k ∈C²([0,+∞)) que ´e solu¸c˜ao do seguinte problema







σ_k^′′− B²

1+ (t_k−r_k(x))²σk =0 σ_k(0) =0, σ_k^′(0) =1.

(3.38)

Um calculo (veja [11]) mostra que a solu¸c˜ao de σ_k de 3.38 ´e dada explicitamente por σk(s) = 1

2Bt^1/2+B_k (tk−s)^1/2−B

"

1−

1− s t_k

2B# ,

onde B <

√4B²+1

2 e

√4B²+1

2 ⩾ 1

2. Suponhamos, inicialmente, que s ∈

0,t_k 2

e escrevemos λ= s

t_k ∈

0,1 2

. Assim obtemos a fun¸c˜ao ρ:

0,1 2

→R dada por ρ(λ) =1− (1−λ)^2B.

Aplicando o Teorema do Valor M´edio, existe λ∈(0,λ) tal que ρ(λ) −ρ(0) =ρ^′(λ)·λ,

e sendoρ(0) =0 teremos

ρ(λ) =ρ^′(λ)·λ.

Tamb´em,

ρ^′(λ) = 2B(1−λ)^2B−1

⩾ 2B(1−1/2)^2B−1, segue que

ρ^′(λ)⩾2Bd1, onde d1 = (1−1/2)^2B−1. Como, 1/2−B⩽0 obtemos que

σ_k(s) = 1

2Bt^1/2−B_k (t_k−s)^1/2−Bρ(λ)

= 1

2Bt^1/2−B_k (t_k−s)^1/2−Bρ^′(λ)·λ

⩾ 1

2Bt^1/2−B_k (t_k−s)^1/2−B2Bd₁ s t_k

= t^1/2−B_k (t_k−s)^1/2−Bd₁ s t_k,

Cap´ıtulo 3. Aplica¸c˜oes 162 logo

σ_k(s)⩾d₁s para s∈[0,t_k/2].

Quandos∈[t_k/2,t_k]teremos queλ=s/t_k ∈[1/2, 1]. Assim, ultilizando o argumento anterior, obtemos a fun¸c˜aoρ: [1/2, 1]→R dada por

ρ(λ) =1− 3

2 −λ 2B

.

Logo, pelo Teorema do Valor M´edio, existe λ∈(1/2,λ) tal que ρ(λ) −ρ

1 2

=ρ^′(λ)·λ. (3.39)

Comoρ(1/2) =0, temos

ρ(λ) =ρ^′(λ)·λ.

Por outro lado,

ρ^′(λ) = 2B(3/2−λ)^2B−1

⩾ 2B 3

2 −1

e, consequentemente,

ρ^′(λ)⩾2Bd₂, onde d₂ = (3/2−1)^2B−1. Agora, notemos que 1−

3 2 −λ

2B

<1− (1−λ)^2B, ent˜ao σ_k(s) = 1

2Bt^1/2+B_k (t_k−s)^1/2−Bh

1− (1−λ)^2Bi

⩾ 1

2Bt^1/2+B_k (t_k−s)^1/2−B

"

1− 3

2 −λ 2B#

= 1

2Bt^1/2+B_k (tk−s)^1/2−Bρ(λ)

= 1

2Bt^1/2+B_k (t_k−s)^1/2−Bρ^′(λ)·λ.

Comoρ(λ) =ρ^′(λ)·λ, temos

σ_k(s) ⩾ 1

2Bt^1/2+B_k (t_k−s)^1/2−B2Bd₂ s t_k

= t^1/2+B_k (tk−s)^1/2−Bd2

s t_k

= t^B−1/2_k (t_k−s)^1/2−Bd₂s,

Cap´ıtulo 3. Aplica¸c˜oes 163 portanto,

σ_k(s) ⩾ d₂s.

Tomandod=min{d1,d2} podemos concluir que

σ_k(s)⩾ds, para todo s∈[0,t_k].

Portanto,

F_k(t_k−2) =

Ztk−1 tk−2

Rt

0σ^m−1_k (s)ds σ^m−1_k (t) dt

⩾

Z_tk−1

t_k−2

Rt

0ds^m−1ds σ^m−1_k (t) dt

⩾

Z_tk−1

tk−2

d mt^m σ^m−1_k (t)dt.

Por outro lado, notemos quet_k ´e uma sequˆencia crescente onde t₁ >1, e ainda,t_k−2⩽ t⩽tk−1. Como, σ´e uma fun¸c˜ao mon´otona crescente, temos

σ_k(t_k−2)⩽σ_k(t)⩽σ_k(t_k−1), assim, obtemos que

σk(t) ⩽ 1

2Bt^1/2+B_k (tk− (tk−1))^1/2−B

"

1−

1−t_k−1 t_k

2B#

< 1

2Bt^1/2+B_k t^1/2−B₁

"

1− 1 t^2B_k

#

= 1

2Bt^1/2+B_k t^1/2−B₁ t^2B_k −1 t^2B_k

!

< 1

2Bt^1/2+B_k (t₁/2)^1/2−B e, consequentemente,

1

σ_k(t) > 1 1

2Bt^1/2+B_k (t₁/2)^1/2−B .

Cap´ıtulo 3. Aplica¸c˜oes 164 Dessa forma, teremos que

F_k(t_k−2) >

Zt_k−1 tk−2

d mt^m 1

2Bt(1/2+B)(m−1)

k (t₁/2)(1/2−B)(m−1)

dt

=

Z_tk−1

tk−2

d

m · 2B t(1/2−B)(m−1)

k

(t1/2)(1/2−B)(m−1)

dt

= c Ztk−1

tk−2

t^m t(1/2−B)(m−1)

k

dt,

onde c=2Bd/m(t₁/2)(1/2−B)(m−1). Como, t_k−2< t temos F_k(t_k−2) > c

Z_tk−1

t_k−2

(t_k−2)^m t(1/2−B)(m−1)

k

dt

= c (t_k−2)^m t(1/2−B)(m−1)

k

[(t_k−1) − (t_k−2)]

= (t_k−2)^m t(1/2−B)(m−1)

k

.

Param >(m−1)(1/2+B) teremos m > 1

2(m−1) +B(m−1), ou seja,

m+1

2(m−1) > B.

Portanto,

tklim→+∞F_k(t_k−2) = lim

tk→+∞

(tk−2)^m t(1/2−B)(m−1)

k

= +∞, quando t_k →+∞ e m+1

2(m−1) > B.

Quando m+1

2(m−1) > B, pela suposi¸c˜ao de queB <

√m

m−1 segue que

DEk →+∞ quando k→+∞, portanto, M´e L¹-Liouville.

Cap´ıtulo 3. Aplica¸c˜oes 165

Curvatura negativa comprimida no complementar de um semi espa¸ co hiperb´ olico

Em contraste com o que acontece no caso da curvatura n˜ao negativa, no cen´ario de cur-vatura negativa os semi espa¸cos n˜ao s˜ao grandes o suficiente para satisfazer a propriedade D-L¹-Liouville e, portanto, para concluir validade da propriedade L¹-Liouville global. Va-mos Va-mostrar que os dom´ınios apropriados s˜ao representados pelo complemento do semi espa¸co.

Ao longo dessa subse¸c˜ao, consideramos M como uma variedade m-dimensional com-pleta, simplesmente conexa, que satisfaz, para algum B ⩾ A > 0, `as suposi¸c˜oes de curvatura pin¸cada

Ric⩾−(m−1)B² e Sect⩽−A². (3.40) Obviamente, essas condi¸c˜oes implicam que a variedade M (Cartan-Hadamard) possui curvatura seccional limitada inferiormente.

Sejam γ: [0,+∞)→Mum raio de velocidade unit´aria fixado e bγ :M→R a fun¸c˜ao de Busemann associada. Por defini¸c˜ao

bγ(x) = lim

t→+∞rt(x) −t,

onde r_t(x) =dist_M(x,γ(t). Ent˜ao, a bola aberta de Mem rela¸c˜ao a γ´e definido Bγ(R) ={x ∈M, b_γ(x)< R}.

Notemos que, Bγ(R) ´e um semi espa¸co em rela¸c˜ao ao raio de velocidade unit´ario γ.

Normalmente

Bγ(R) =∪t⩾0Bt+R(γ(t)).

Com feito, seja Bγ(R) ={x ∈M, b_γ(x)< R}. Assim, dado y∈Bγ(R)obtemos que

t→+lim∞[rt(y) −t] =bγ(y)< R.

Logo, dado ε=R >0 existe D > 0 tal quet >0 implica que r_t(y) −t < R,

por defini¸c˜ao teremos,

dist_M(y,γ(t)) −t = r_t(y) −t < R.

Cap´ıtulo 3. Aplica¸c˜oes 166 Segue da´ı que y ∈ B_t+R(γ(t)), portanto, Bγ(R) ⊂ ∪_t⩾0B_t+R(γ(t)). Por outro lado, tomemos z∈ ∪_t⩾0B_t+R/2(γ(t)). Ent˜ao, para algum t ⩾0 temos

dist_M(z,γ(t))< t+R/2.

Subtraindot dos dois lados da desigualdade e ultizando a defini¸c˜ao teremos que r_t(γ(t)) −t=dist_M(z,γ(t))< R/2.

Aplicando o limite comt →+∞ obtemos

t→+lim∞(r_t(γ(t)) −t)⩽R/2< R, logo,

b_γ(y) = lim

t→+∞(r_t(γ(t)) −t)< R.

Ent˜ao, y∈Bγ(R) e, portanto, ∪_t⩾0B_t+R(γ(t))⊂Bγ(R). Dessa forma, podemos concluir queBγ(R) =∪_t⩾0B_t+R(γ(t)).

Exemplo 5. A bola fechadaB²γ(R)do espa¸co hiperb´olico bidimensionalH²´eD-parab´olica, independentemente do fato de seu crescimento de volume ser exponincial.

Com efeito, no modelo do semi-plano do plano hiperb´olico, B²γ(R) ´e realizado como um semi-plano fechado. Agora, no cen´ario bidimensional, aD-parabolicidade ´e invariante em aplica¸c˜oes conformes. Da´ı, como B²γ(R) ´e conforme ao semi-plano Π⁺, teremos que o problema de verifica¸c˜ao que B²γ(R) ´e D-parab´olica se reduz a verificar que Π⁺ ´e D -parab´olico. Assim, notemos que o crescimento de volume da variedade plana com bordo Π⁺ ´e no m´aximo quadr´atico, ou seja,

volB^Π_R⁺(o)⩽O(R²) quando R→+∞.

Logo, pelo Proposi¸c˜ao 13, obtemos que Π⁺ ´e N-parab´olica e, consequentemente, D -parab´olico. Como a D-parabolicidade independe de aplica¸c˜oes conformes, podemos con-cluir queB²γ(R) ´e D-parab´olica.

A mesma conclus˜ao vale em dimens˜oes gerais para variedade Catan-Hadamard que satisfazem (3.40), contudo precisamos de um argumento completamente diferente.

Proposi¸c˜ao 19. Seja M uma variedade Cartan-Hadamard satisfazendo (3.40). Ent˜ao a horobola fechada Bγ(R) de M com respeito ao raio geod´esico γ e D-parab´olico.

Cap´ıtulo 3. Aplica¸c˜oes 167 Demonstra¸c˜ao. A verifica¸c˜ao desse resultado sague pelo Lema 6. Com efeito, assuma R >1 e seja ϕ:Bγ(R)\B₁(γ(0))→R uma fun¸c˜ao definida por

ϕ(x) = (R−b_γ(x)) +c·r₀(x), onde c >0 ´e uma constante a ser especificada. Notemos que

r0(x) =distM(x,γ(0))>0, e ainda,

bγ(x) = lim

t→+∞(rt(x) −t)< R,

logo 0< R−b_γ(x) ent˜ao, ϕ(x) = (R−b_γ(x)) +cr₀(x)>0 para todo x ∈Bγ(R).

Assim, ϕ ´e positiva. Al´em disso, pelo Teorema de compara¸c˜ao da Hessiana e do Laplaciano obtemos que,

∆b_γ =tra¸co Hessb_γ ⩾(m−1)A,

assim −∆b_γ ⩽−(m−1)A. Por outro lado, temos a seguinte EDO,







σ_t^′′−B²σ_t =0 σ_t(0) =0, σ_t^′(0) =1,

ent˜ao, utilizando o polinˆomio caracter´ıstico para resolver a EDO acima, obtemos m²−B² =0⇒m=±B,

consequentemente, a solu¸c˜ao geral ´e dada por σ_t(x) = c₁e^Bx +c₂e^−Bx. Agora, com as condi¸c˜oes iniciais obtemos que

σt(x) = −1

2(e^Bx−e^−Bx).

Da´ı,

σ_t^′(x) = −1

2(e^Bx+e^−Bx).

Portanto,

σ₀^′(r₀(x))

σ0(r0(x)) = −1/2(e^Br0 +e^−Br0)

−1/2B(e^Br0 −e^−Br0) =B· (e^Br0 +e^−Br0) (e^{Br0−e−Br0}) ,

Cap´ıtulo 3. Aplica¸c˜oes 168 isto ´e,

σ₀^′(r₀(x))

σ0(r0(x)) =B·coth(Br₀(x)).

Logo,

∆r₀(x)⩽(m−1)σ₀^′(r₀(x))

σ₀(r₀(x)) = (m−1)B·coth(Br₀(x)).

Segue da´ı que

∆ϕ= −∆b_γ+c·∆r₀(x)⩽−(m−1)A+c(m−1)Bcoth(Br₀), e escolhendo c suficientemente pequeno obtemos

∆ϕ⩽0 sobre Bγ(R)\B₁(γ(0)).

Assimϕ´e uma fun¸c˜ao superharmˆonica com

x→+lim∞ϕ(x) = +∞.

Podemos concluir , pelo Lema 6, que Bγ(R)´e D-parab´olica.

Comforme no in´ıcio desta subse¸c˜ao, a horobola fechada Bγ(R) n˜ao ´e D-L¹-Liouville.

Levando em considera¸c˜ao o Teorema 23, ´e suficiente mostrar que o tempo m´edio de sa´ıda de Dirichlet^DE^Bγ(R) de Bγ(R)´e uma fun¸c˜ao finita. Com efeito, seja

E_R = R−b_γ

(m−1)A. (3.41)

Da´ı,

∆E_R = − ∆b_γ (m−1)A, e pela a condi¸c˜ao de curvartura implica que

∆E_R= − ∆b_γ

(m−1)A ⩽−(m−1)A

(m−1)A = −1, logo,

∆E_R ⩽−1 sobre B(R)

Cap´ıtulo 3. Aplica¸c˜oes 169 como

E_R = R−b_γ

(m−1)A ⩾0, sobre Bγ(R),

obtemos do Lema 12 que^DE^Bγ(R) ´e limitada superiormente porE_R, que ´e finito. Assim, do Teorema 23 podemos concluir queBγ(R)n˜ao ´eD-L¹-Liouville.

Desde queBγ(R)´eD-parab´olica, quandoM´e um espa¸co hiperb´olicoH(−A²), a fun¸c˜ao definida em (3.41) ´e precisamente o tempo m´edio de sa´ıda de Dirichlet da horobola.

Seja∁Bγ(R) ={x ∈M, b_γ ⩾R}o complementar de um semi espa¸co emM. Apesar de todo o semi espa¸co (horobola) serD-parab´olico, este n˜ao ´e o caso para seu complementar.

Um c´alculo simples usando o Teorema da Compara¸c˜ao da Hessiana,( [20]), mostra que a fun¸c˜ao

u(x) =e^−A(m−1)R−e^{−A(m−1)bγ},

´e uma solu¸c˜ao limitada n˜ao negativa de







u⩾0 no int∁Bγ(R) u=0 sobre ∂∁Bγ(R).

(3.42)

De fato, notemos queR⩽bγ,

−(m−1)AR⩾−(m−1)Ab_γ, e

e^−(m−1)AR ⩾e^{−(m−1)Abγ}.

Logo u(x) =e^−A(m−1)R−e^{−A(m−1)bγ} ⩾0, para todo x∈∁Bγ(x). Tamb´em,

|u(x)| = |e^−A(m−1)R−e^{−A(m−1)bγ}|

⩽ |e^−A(m−1)R|+|e^{−A(m−1)bγ}|, como−b_γ⩽−Rteremos que e^{−A(m−1)bγ} ⩽e^−A(m−1)R e, assim,

|u(x)| ⩽ |e^−A(m−1)R|+|e^−A(m−1)R|

= 2|e^−A(m−1)R|=D.

Cap´ıtulo 3. Aplica¸c˜oes 170 Portanto, u ´e uma fun¸c˜ao n˜ao negativa e limitada. Agora, pelo Corol´ario 2.4 de [20]

teremos que

Hess(e^{−A(m−1)bγ})⩽B[−A(m−1)]e^{−A(m−1)bγ} = −AB(m−1)e^{−A(m−1)bγ} ⩽0.

Al´em disso,

∆u = ∆(e^−A(m−1)R−e^{−A(m−1)bγ})

= ∆e^−A(m−1)R−∆e^{−A(m−1)bγ}

= −∆e^{−A(m−1)bγ}, poise^−A(m−1)R ´e constante. Assim,

∆u = −∆e^{−A(m−1)bγ}

= −tra¸co Hess(e^{−A(m−1)bγ})

⩾ 0, no int∁Bγ(R), e

u(x) =e^A(m−1)R−e^{A(m−1)bγ(x)}=e^A(m−1)R−e^A(m−1)R=0, sobre ∂∁Bγ(R).

Portanto, u´e uma solu¸c˜ao de (3.42), onde a mesma n˜ao se anula em ∁Bγ(R).

Pela Proposi¸c˜ao 16, a variedade com bordo ∁Bγ(R) ´e D-hiperb´olica. Em particular, uma solu¸c˜ao, caso houver, do problema







∆E+1=0 no int∁Bγ(R) E=0 sobre ∂∁Bγ(R),

pode n˜ao ser o tempo m´edio de sa´ıda deBγ(R), pois n˜ao h´a exclusividade global, mesmo quando E´e limitado.

Teorema 27. Seja (M,g) uma variedade Cartan-Hadamard satisfazendo Ric⩾−(m−1)B² e Sec⩽−A²,

para alguma constante B⩾A>0no complementar∁Bγ(R)do espa¸coBγ(R)com respeito a algum raio geod´esicoγ. Se h ´e uma m´etrica Riemanniana qualquer emM satisfazendo h=g sobre ∁Bγ(R), ent˜ao (M,h) ´e L¹-Liouville.

Cap´ıtulo 3. Aplica¸c˜oes 171 Demonstra¸c˜ao. FixemosR_k > Ruma sequˆencia divergente estritamente crescente de cons-tantes positivas e

A_k ={x∈M, R⩽b_γ(x)⩽R_k}

para ser o horoanel contido em ∁Bγ(R). Como A_k ´e um subconjunto suave de Bγ(R_k), onde o mesmo ´e D-parab´olico, logo pelo Corol´ario 4 A_k tamb´em ´e D-parab´olico. Apli-cando os argumentos de compara¸c˜ao (veja [20]) teremos que

Ek(x) = − Rk−R

(m−1)A · e^{−A(m−1)bγ(x)}−e^{−A(m−1)Rk}

e^−A(m−1)R−e^{−A(m−1)Rk} + Rk−bγ(x) (m−1)B satisfaz

∆Ek(x) = − R_k−R

(m−1)a · ∆e^{−A(m−1)bγ(x)}

e^−A(m−1)R−e^{−A(m−1)Rk} − ∆b_γ(x) (m−1)B. Por um lado, temos que Hessb_γ⩽B. Da´ı

∆b_γ ⩽ (m−1)B, e ainda,

Hesse^{−A(m−1)bγ} ⩽−AB(m−1)e^−Abγ ⩽0, segue que

∆e^{−A(m−1)bγ(x)} ⩽0.

Agora, notemos que R⩽Rk logo −A(m−1)R⩾−A(m−1)Rk, e da´ı, e^−A(m−1)R⩾e^{−A(m−1)Rk} ⇒e^−A(m−1)R−e^{−A(m−1)Rk} ⩾0.

assim,

1

e^−A(m−1)R−e^{−A(m−1)Rk} ⩾0.

Segue da´ı que

− Rk−R (m−1)A

| {z }

⩽0

· ∆e^{−A(m−1)bγ(x)} e^−A(m−1)R−e^{−A(m−1)Rk}

| {z }

⩽0

⩾0,

Cap´ıtulo 3. Aplica¸c˜oes 172 ent˜ao,

∆Ek(x) ⩾ − ∆b_γ(x) (m−1)B

⩾ −(m−1)B

(m−1)B = −1 em Ak.

Afirmamos que E_k(x) ⩽ ^DE^Ak onde ^DE^Ak ´e o tempo m´edio de sa´ıda de Dirichlet de A_k. De fato, defina o conjunto

Ω={x∈A_k, ^DE^Ak(x) −Ek(x)<0} e consideremos a fun¸c˜aou:Ω→R dada por

u(x) =E_k− ^DE^Ak. Notemos que

∆u=∆E_k−∆^DE^Ak, e como∆^DE^Ak = −1 em A_k, temos

∆u=∆E_k− (−1) =∆E_k+1.

Sendo∆E_k ⩾1, segue que,

∆u=∆E_k+1>0.

Ent˜ao, u´e uma fun¸c˜ao limitada e subharmˆonica em Ω. Como A_k ´e D-parab´olico temos da caracteriza¸c˜ao de Ahlfors deD-parabolicidade (Proposi¸c˜ao 16) que

sup

Ω

u=sup

∂Ω

u.

Mas,

u(x) =E_k(x) − ^DE^Ak(x) =0 sobre ∂Ω, ent˜ao,

sup

Ω

u=sup

∂Ω

u=0.

Portanto, u(x)⩽sup_Ωu=0 e, consequentemente,

E_k(x) − ^DE^Ak(x)⩽0 ⇒ E_k(x)⩽ ^DE^Ak(x).

Cap´ıtulo 3. Aplica¸c˜oes 173 Com isto obtemos o resultado desejado da afirma¸c˜ao feita. Por um lado, temos que

k→+lim∞E_k(x) = lim

k→+∞

− R_k−R

(m−1)A · e^{−A(m−1)bγ(x)}−e^{−A(m−1)Rk}

e^−A(m−1)R−e^{−A(m−1)Rk} +R_k−b_γ(x) (m−1)B

e, consequentemente,

+∞= lim

k→+∞E_k(x)⩽ lim

k→+∞

DE^Ak(x).

Portanto, limk→+∞ DE^Ak(x) = +∞. Segue do Corol´ario 8 que M´e L¹-Liouville.

Observa¸c˜ao 22. Notemos que, quando A =B no Teorema acima a fun¸c˜ao E_k(x) = − Rk−R

(m−1)A · e^{−A(m−1)bγ(x)}−e^{−A(m−1)Rk}

e^−A(m−1)R−e^{−A(m−1)Rk} +Rk−bγ(x) (m−1)B ,

´e precisamente o tempo m´edio de sa´ıda de Dirichlet de A_k.

Com efeito, temos pelo Teorema de Compara¸c˜ao da Hessiana e do Laplaciano que Hessb_γ=A

∆b_γ = (m−1)A, e ainda

Hesse^{−A(m−1)bγ(x)}= −A²(m−1)e^{−A(m−1)bγ(x)}. Assim,

∆e^{−A(m−1)bγ(x)} = tra¸co(−A²(m−1)e^{−A(m−1)bγ(x)}).

Ent˜ao,

∆E_k(x) = − R_k−R

(m−1)a · ∆e^{−A(m−1)bγ(x)}

e^−A(m−1)R−e^{−A(m−1)Rk} − ∆b_γ(x) (m−1)A

= − R_k−R

(m−1)a · ∆e^{−A(m−1)bγ(x)}

e^−A(m−1)R−e^{−A(m−1)Rk} −(m−1)A (m−1)A

= −1 no intA_k.

Cap´ıtulo 3. Aplica¸c˜oes 174 Fazendob_γ(x) =R temos

E_k(x) = − R_k−R

(m−1)A · e^−A(m−1)R−e^{−A(m−1)Rk} e^−A(m−1)R−e^{−A(m−1)Rk}

| {z }

=1

+ R_k−R (m−1)A

= − R_k−R

(m−1)A + R_k−R (m−1)A =0.

Agora, fazendo bγ(x) =Rk tem-se Ek(x) = − R_k−R

(m−1)A ·e^{−A(m−1)Rk}−e^{−A(m−1)Rk} e^−A(m−1)R−e^{−A(m−1)Rk}

| {z }

=0

+ R_k−R_k (m−1)A

| {z }

=0

,

assim,E_k(x) =0 sobre ∂A_k. Segue da´ı que







∆E_k = −1 no intA_k E_k =0 sobre ∂A_k. Portanto, E_k ´e o tempo m´edio de sa´ıda de Dirichlet de A_k.

Variedades contendo grandes cones de produto torcido

Agora consideramos o tempo m´edio de sa´ıda de Dirichlet de cones em produtos torcidos.

SejaM= [0,+∞)×_rΣ um produto torcido onde Σ´e uma variedade Riemanniana suave fechada com dimens˜ao(m−1). Para qualquer dominioΩemΣcom bordo suave denotanos porC_Ω o cone em M sobre Ω, dado por

CΩ={(r,θ), r⩾0, θ∈Ω}.

Sabe-se queλ₁(Ω)´e simples e que suas autofun¸c˜oes tem sinal constante.

A pr´oxima proposi¸c˜ao mostra que o fato de C_Ω ´e D-L¹-Liouville depende de λ₁(Ω).

Calculos semelhantes e resultados relacionados podem ser encontrados em [8], Teorema 3.1.

Proposi¸c˜ao 20. Seja C_Ω o cone sobre Ω⊂Σ no produto torcido M= [0,+∞)×_rΣ.

i) Se λ₁(Ω)>2m ent˜ao C_Ω tem o tempo m´edio de sa´ıda de Dirichlet finito (e, portanto, n˜ao ´e Dirichlet L¹-Liouville);

ii) Se λ1(Ω)⩽2m ent˜ao CΩ tem o tempo m´edio de sa´ıda de Dirichlet infinito.

Cap´ıtulo 3. Aplica¸c˜oes 175 Demonstra¸c˜ao. Suponhamos, primeiramente, que λ₁(Ω) > 2m, seja Ω^′ ⊃ Ω tal que λ^′ =λ₁(Ω) >2m. Agora, suponhamos que u´e uma autofun¸c˜ao associadaλ^′. Como foi mencionada anteriormente temos que u tem sinal constante em Ω. Assim, tomemos u estritamente positiva emΩ^′ e, consequentemente,

min

Ω

u=u₀ >0.

Consideremos a fun¸c˜ao φ(r,θ) =r²u(θ). Pela express˜ao do Laplaciano de M,

∆=r^−m+1 ∂

∂r

r^m−1 ∂

∂r

+ 1 r²∆_Σ. Uma vez que u > u₀ sobre Ω, eλ₁ >2m, podemos deduzir que

∆φ(r,θ) = ∆(r²u(θ))

= r^−m+1 ∂

∂r

r^m−1 ∂

∂r(r²u(θ))

+ 1

r²∆_Σ(u(θ)).

Como∆_Σ ´e o Laplaciano da variedade Σ teremos que r´e uma constante, assim,

∆φ(r,θ) = r^−m+1 ∂

∂r

r^m−1 ∂

∂r(r²u(θ))

+ 1

r²r²∆_Σ(u(θ))

= r^−m+1 ∂

∂r

r^m−1 ∂

∂r(u(θ))

+∆_Σ(u(θ)).

Utilizando o fato que ∆Σ = −λ^′u(θ) tem-se

∆φ(r,θ) = r^−m+12mr^m−1u(θ) −λ^′u(θ)

= 2m u(θ) −λ^′u(θ)

= −(λ^′−2m)u(θ).

Sendou(θ)⩽u₀ conclu´ımos que

∆φ(r,θ)⩽−(λ^′−2m)u₀. Comoλ^′ >2m eu₀ >0 temos,

1

u₀(λ^′−2m) >0.

Da´ı, tomemos c= 1

u0(λ^′−2m) >0 tal que

∆(cφ)⩽c[−u₀(λ^′−2m)] = − 1

u0(λ^′−2m)·u₀(λ^′−2m) = −1.

Cap´ıtulo 3. Aplica¸c˜oes 176 Comor,u, c⩾0 teremos que

cφ⩾0 sobre Ω^′

Segue do Lema 12 que ^DE^CΩ ´e limitado superiormente por cφ e finito.

Para demonstrar o item ii), assuminimos que λ = λ1(Ω) < 2m. Para cada R > 0 tomemos

φ_R(r,θ) =h_R(r)u(θ),

onde u´e uma autofun¸c˜ao associada ao autovalor λ normalizado de tal modo que max

Ω u=u(θ₀) =1 e

hR(r) = 1 2m−λ

hr R

α

R²−r² i

, com

α= −(m−2) +p

(m−2)²+4λ

2 .

Usando queλ <2m,α <2 e que

h_R(1) = 1 2m−λ

1

R² ·R²−1

= 1

2m−λ

R^−α+2−1 , conclu´ımos que

R→+lim∞h_R(1) = lim

R→+∞

1 2m−λ

R^−α+2−1

= +∞. Afirmamos que hR ´e solu¸c˜ao simples para o problema







h_R^′′+ m−1

r h_R^′ − λ

r²h_R = −1

h_R(0) =h_R(R) =0, h_R >0 no (0,R).

(3.43)

De fato, veja que

h_R^′(r) = 1 2m−λ

α· r^α−1

R^α R²−2r

= 1

2m−λ

αr^α−1R^−α+2−2r ,

Cap´ıtulo 3. Aplica¸c˜oes 177 e

h_R^′′(r) = 1

2m−λ(α(α−1)r^α−2R^−α+2−2).

Assim, substituindo essas express˜oes em (3.43) teremos h_R^′′+m−1

r h_R^′ − λ

r²h_R = 1

2m−λ(α(α−1)r^α−2R^−α+2−2) +m−1

r

1 2m−λ

α· r^α−1

R^α R²−2r

−λ r²

1 2m−λ

r R

α

R²−r²

= 1

(2m−λ)r²(α(α−1)r^αR^−α+2−2r²) +m−1

r²

1

2m−λ(αr^αR^−α+2−2r²)

− λ

(2m−λ)r²(r^αR^−α+2−r²).

Da´ı,

h_R^′′+m−1

r h_R^′ − λ

r²hR = 1

(2m−λ)r²(α(α−1)r^αR^−α+2−2r²)

+ 1

(2m−λ)r²((m−1)αr^αR^−α+2− (m−1)2r²)

+ 1

(2m−λ)r²(−λr^αR^−α+2+λr²). (3.44) Observe agora,

α(α−1) = −(m−2) +p

(m−2)²+4λ 2

! −(m−2) +p

(m−2)²+4λ

2 −1

!

= −(m−2) +p

(m−2)²+4λ 2

! −m+p

(m−2)² +4λ 2

!

= m(m−2) −mp

(m−2)²+4λ− (m−2)p

(m−2)²+4λ+ (m−2)²+4λ 4

= (m+m−2)(m−2) + (−m−m+2)p

(m−2)²+4λ+4λ 4

= 2(m−1)(m−2) −2(m−2)p

(m−2)²+4λ+4λ 4

= (m−1)(m−2) − (m−2)p

(m−2)²+2λ

2 +λ.

Cap´ıtulo 3. Aplica¸c˜oes 178 Substituindo essa express˜ao obtemos

h_R^′′+m−1

r h_R^′ − λ

r²h_R = 1 (2m−λ)r²

"

(m−1)(m−2) − (m−1)p

(m−2)²+4λ 2

!

r^αR^−α+2

#

+ 1

(2m−λ)r²λr^αR^−α+2− 1

(2m−λ)r²2r²

+ 1

(2m−λ)r²

−(m−1)(m−2) + (m−1)p

(m−2)²+4λ

2 r^αR^−α+2

!

+ 1

(2m−λ)r²(−(m−1)2r²−λr^αR^−α+2+λr²).

Portanto,

h_R^′′+m−1

r h_R^′ − λ

r²hR = 1

(2m−λ)[−(2m−λ)r²] = −1.

Al´em disso, h_R(0) = 1

(2m−λ) 0

R α

R²−0

=0 e h_R(R) = 1 (2m−λ)

R R

α

R²−R²

= 1

(2m−λ)(R²−R²) =0.

e h_R(r) > 0 em (0,R). Assim, obtemos a afirma¸c˜ao. Agora, utilizando a express˜ao do Laplaciano do produto deformadoM, obtemos que φ_R satisfaz

∆φ_R(r,θ) = ∆(h_Ru(θ))

= r^−m+1 ∂

∂r

r^m−1 ∂

∂r(h_Ru(θ))

+ 1

r²∆_Σ(h_Ru(θ))

= r^−m+1 ∂

∂r(r^m−1u(θ)h_R^′) + 1

r²∆_Σ(h_Ru(θ))

= r^−m+1u(θ)[(m−1)r^m−2h_R^′ +r^m−1h_R^′′(r)] + 1

r²∆_Σ(h_Ru(θ).

Comoh_R(r) n˜ao depende de θ e∆_Σu(θ) = −λu(θ) obtemos

∆φ_R(r,θ) = u(θ)

(m−1)

r h_R^′ +h_R^′′(r)

− 1

r²h_Rλu(θ)

=

(m−1)

r h_R^′ +h_R^′′(r) − λ r²h_R

u(θ)

= −u(θ)⩾−1,

Cap´ıtulo 3. Aplica¸c˜oes 179 eφ_R=0 sobre∂C_Ω,R. Por compara¸c˜ao temos que o tempo de sa´ıda de Dirichlet ^DE^CΩ,R do cone truncadoC_Ω,R satisfaz

φ_R=0⩽ ^DE^CΩ,R sobre ∂C_Ω,R. Logo,

φR ⩽ ^DE^CΩ,R em CΩ,R. Portanto,

DE^CΩ,R(1,θ₀)⩾φ_R(1,θ) =h_R(1)u(θ) =h_R(1).

Aplicando o limite comR→+∞ obtemos

R→+lim∞

DE^CΩ,R(1,θ₀)⩾ lim

R→+∞h_R(1) = +∞,

dessa forma, limR→+∞ DE^CΩ,R(1,θ₀) = +∞. Assim, o tempo m´edio de sa´ıda de Dirichelt deCΩ´e infinito.

Finalmente, suponhamos que λ = λ₁(Ω) = 2m. Neste caso, tomemos φ(r,θ) = hRu(θ) onde

hR = 1 m+2

R^m+2

R^m+2−1(r²−r^−m)logR−r²logr

; 1⩽r⩽R.

Assim, derivandoh_R(r) obtemos h_R^′(r) = 1

m+2

R^m+2

R^m+2−1(2r+mr^−m−1)logR−

2rlogr+r²1 r

= 1

m+2

R^m+2

R^m+2−1(2r+mr^−m−1)logR−2rlogr−r

, derivando novamente,

h_R^′′(r) = 1 m+2

R^m+2

R^m+2−1(2−m(m−1)r^−m−2)logR−2 logr−2r1 r −1

= 1

m+2

R^m+2

R^m+2−1(2−m(m−1)r^−m−2)logR−2 logr−3

. Segue que

h_R^′′+(m−1)

r h_R^′ − 2m

r² h_R = 1 m+2

R^m+2

R^m+2−1(2−m(m−1)r^−m−2)logR−2 logr−3

+(m−1) r

1 m+2

R^m+2

R^m+2−1(2r+mr^−m−1)logR−2rlogr−r

−2m r²

1 m+2

R^m+2

R^m+2−1(r²−r^−m)logR−r²logr

.

Cap´ıtulo 3. Aplica¸c˜oes 180 Distribuindo o logR e 1

(m+2) teremos h_R^′′+(m−1)

r h_R^′ − 2m

r² h_R = 1 m+2

R^m+2

R^m+2−1(2−m(m−1)r^−m−2)logR+ 1

m+2(−2 logr−3) +(m−1)

r

1 m+2

R^m+2

R^m+2−1(2r+mr^−m−1)logR +(m−1)

r

1

m+2(−2rlogr−r)

−2m r²

1 m+2

R^m+2

R^m+2−1(r²−r^−m)logR +2m

r² 1

m+2(r²logr).

Da´ı,

h_R^′′+(m−1)

r h_R^′ − 2m

r² h_R = 1 m+2

R^m+2

R^m+2−1(2−m(m−1)r^−m−2)logR+ 1

m+2(−2 logr−3) +(m−1)

m+2

R^m+2

R^m+2−1(2+mr^−m−2)logR +(m−1)

m+2 (−2 logr−1) − 2m m+2

R^m+2

R^m+2−1(1−r^−m−2)logR + 2m

m+2(logr)

= 1

m+2(−m−2) = −1 em 1⩽r⩽R.

Fazendor=1 temos h_R(1) = 1

m+2

R^m+2

R^m+2−1(1²−1^−m)logR−log 1

=0, e fazendor=R, teremos

h_R(R) = 1 m+2

R^m+2

R^m+2 −1(R²−R^−m)logR−R²logR

= 1

m+2

R^m+4 −R²

R^m+2−1 logR−R²logR

= 1

m+2

(R^m+4−R²)logR− (R^m+4−R²)logR R^m+2−1

=0.

Cap´ıtulo 3. Aplica¸c˜oes 181 Notemos que,

h_R(2) = 1 m+2

R^m+2

R^m+2 −1(2² −2^−m)logR−2²log 2

= 1

m+2

R^m+2

R^m+2 −1(4−2^−m)logR−4 log 2

. Aplicando o limite comR→+∞ em h_R(2) obtemos que

R→+lim∞h_R(2) = lim

R→+∞

1 m+2

R^m+2

R^m+2−1(4−2^−m)logR−4 log 2

= +∞.

Novomante utilizando a express˜ao do Laplaciano do produto deformado M teremos que

∆φ = ∆(h_Ru)

= r^−m+1 ∂

∂r

r^m−1 ∂

∂r(h_Ru)

+ 1

r²∆_Σ(h_Ru).

Calculando as derivadas parciais e subtituindo∆Σu= −λu teremos

∆φ = r^−m+1u[(m−1)r^m−2h_R^′ +r^m−1h_R^′′] + 1

r²(−λh_Ru)

= u

(m−1)

r h_R^′ +h_R^′′

− λ r²h_Ru

=

(m−1)

r h_R^′ +h_R^′′− λ r²h_R

u.

Comoλ=2m eu(θ)⩾−1

∆φ =

(m−1)

r h_R^′ +h_R^′′− λ r²h_R

| {z }

=−1

u

= −u⩾−1,

e φ = 0 sobre ∂C_Ω,1,R. Por compara¸c˜ao, o tempo m´edio de sa´ıda de Dirichlet ^DE^CΩ,1,R do cone torcidoCΩ,1,R satisfaz

φ=0⩽ ^DE^CΩ,1,R sobre ∂C_Ω,1,R, ent˜ao,

φ⩽ ^DE^CΩ,1,R. Portanto,

DE^CΩ,1,R(2,θ₀)⩾φ(2,θ₀) =h_R(2)u(θ₀) =h_R(2).

Cap´ıtulo 3. Aplica¸c˜oes 182 Aplicando o limite comR→+∞ temos

R→+lim∞

DE^CΩ,1,R(2,θ₀)⩾ lim

R→+∞h_R(2) = +∞,

consequentemente, lim_R→+∞ ^DE^CΩ,1,R(2,θ0) = +∞. Logo, o tempo m´edio de sa´ıda

DE^CΩ,1,R da regi˜ao

CΩ,1,R ={(r,θ); 1< r < R, θ∈Ω}

satisfaz ^DE^CΩ,1,R(2,θ₀) → +∞ quando R → +∞. Portanto, C_Ω possui tempo m´edio de sa´ıda de Dirichlet infinito.

Como consequˆencia da proposi¸c˜ao, temos o seguinte

Teorema 28. Seja (M,g) uma variedade Riemanniana suave m-dimensional. Suponha que exista uma regi˜ao M₀ em M isom´etrico a um cone de produto deformado C_Ω. Se λ_Ω ⩽2m, ent˜ao M e L¹-Liouville.

Demonstra¸c˜ao. Seja (M,g) uma variedade Riemanniana suave m-dimensional e, supo-nhamos que exista uma regi˜aoM₀ em Mtal que f:M₀ →C_Ω´e uma isometria onde C_Ω

´e um cone de um produto deformado. Como λ₁ ⩽ 2m temos, pela Proposi¸c˜ao 20, que C_Ω possui tempo m´edio de sa´ıda de Dirichlet infinito. Logo, M₀ tamb´em possui tempo m´edio de sa´ıda de Dirichlet infinito. Em particular, teremos queM₀ ´eD-L¹-Liouville pelo Teorema 23. Assim, pelo Corol´ario 8, podemos concluir que M´e L¹-Liouville.

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