O Teorema de Stokes L 2 e resultados do tipo slice

Nesta se¸cão, apresentamos o Teorema da Divergência Global e expomos uma demostra¸cão desse resultado, também fornecemos uma forma um pouco mais fraca desse resultado, que envolve desigualdades diferenciais do tipo divX ⩾ f (veja a Proposi¸cão 17 abaixo).

Este último, junto com o Princ´ıpio do Máximo de Ahlfors, é então aplicado para provar resultados do tipo slice para hipersuperf´ıcies em espa¸cos produto e para gráficos (veja os Teoremas 20 e 22). Na verdade, a versão gráfica deste resultado também requer um teorema do tipo Liouville para o operador de curvatura média em variedades com bordo, sob condi¸cões de crescimento de volume. Isso é modelado em [34].

Teorema de divergˆ encia global

Lembremos que, para um dado campo vetorial suave e compactamente suportado X em uma variedade Riemanniana orientada(M,g) com bordo ∂M̸=∅, o Teorema de Stokes afirma que

divX= Z

∂M

⟨X,ν⟩, (3.16)

Cap´ıtulo 3. Aplica¸cões 116 ondeνé o vetor normal exterior suave sobre∂M. Em particular, isso vale para todo campo vetorial suave seMfor compacta. O resultado ainda é válido se diminuirmos as condi¸cões de regularidade em X para interpretar sua divergência no sentido de distribui¸cões. Para ser mais preciso, apresentamos a seguinte defini¸cão:

Defini¸cão 16. Seja X um campo vetorial em M satisfazendo |X| ∈ L¹_loc(M) e ⟨X,ν⟩ ∈ L¹_loc(∂M). A divergência distributiva de X é definida por

(divX,φ) = − Z

⟨X,∇φ⟩+ Z

∂M

φ⟨X,ν⟩, (3.17)

para todaφ∈C^∞_c (M).

Observa¸c˜ao 15. A defini¸c˜ao acima se estende trivialmente para φ∈Lip_c(M).

Observa¸cão 16. Lembremos que, dado um dom´ınio D⊆M, W₀^1,2(D) denota o fecho de C^∞_c (D)emW^1,2(D). Então, por argumentos de densidade, a defini¸cão anterior se estende a toda φ∈C⁰_c(M)∩W₀^1,2(M).

Com efeito, suponhamos que φ∈ C⁰_c(M)∩W₀^1,2(M) logo φ ∈ W₀^1,2(M). Segue que, existe uma sequˆencia (φ_n)n∈N⊂C⁰_c(M) tal que

n→+∞lim φn=φ em W^1,2(intM).

Comoφpossui suporte compacto emM, podemos assumir que existe um dom´ınioΩ⊂⊂

Mtal que suppφ_n ⊂Ωpara todon∈N. Além disso, como (φ_n)n∈Nconverge uniforme-mente para a fun¸cãoφ, obtemos uma subsequência tal que a mesma convege pontualmente paraφ. Assim, tomemosc=max_M|φ|+1 e definimos a aplica¸cãoψ_n=f◦φ_n:M→R tal que ψ_n =f◦φ_n ∈Lip_c(M) onde

f(t) =











c, t⩾c t, −c⩽t⩽c

−c, t⩽−c.

Notemos que(ψ_n)n∈N ´e uma sequˆencia equilimitada pois,

|ψ_n(x)|=|f◦φ_n(x)|=|f(φ_n(x))|=











c, φ_n(x)⩾c

|φ_n(x)|, −c⩽φ_n(x)⩽c

|−c|, φ_n(x)⩽−c.

Cap´ıtulo 3. Aplica¸cões 117 Como o suporte dasφ_n’s é compacto, teremos que a mesma é limitada, consequentemente, asψ_n’s serão limitadas e suppψ_n ⊂U. Além disso,

n→+lim∞ψ_n= lim

n→+∞(f◦φ_n)

= lim

n→+∞f(φ_n)

n→+lim∞φ_n

=f(φ)

=φ noW^1,2(intM), e ainda,

x→xlim0

ψn(x) = lim

x→x0

(f◦φn)(x)

x→xlim0

φn(x)

=f(φ_n(x₀))

=φ_n(x₀),

no intMlogo, ψ_n converge pontualmente em M. Portanto, (divX,ψ_n) = −

⟨X,∇ψ_n⟩+ Z

∂M

ψ_n⟨X,ν⟩.

Aplicando o limite comn→+∞ temos (divX,φ) = − lim

n→+∞

⟨X,∇ψ_n⟩

+ lim

n→+∞

∂M

ψ_n⟨X,ν⟩

, e pelo Teorema da Convergencia Dominada podemos concluir que

(divX,φ) = − lim

n→+∞

⟨X,∇ψn⟩

+ lim

n→+∞

∂M

ψn⟨X,ν⟩

= − Z

⟨X,∇φ⟩+ Z

∂M

φ⟨X,ν⟩.

Assim, obtemos o resultado desejado.

Agora, suponha tamb´em que divX∈L¹_loc(M). Ent˜ao podemos escrever (divX,φ) =

φdivX

Cap´ıtulo 3. Aplica¸c˜oes 118 e, portanto,

φdivX= (divX,φ) = − Z

⟨X,∇φ⟩+ Z

∂M

φ⟨X,ν⟩.

Em particular, se X for compactamente suportado, escolhendo φ = 1 no suporte de X, recuperamos a f´ormula de Stokes (3.16) para um dado campo vetorial compactamente suportadoX que satisfaz X∈L¹_loc(M), divX∈L¹_loc(M)e ⟨X,ν⟩ ∈L¹_loc(∂M).

Observa¸cão 17. Notemos que, por um racioc´ınio semelhante, se o campo vetorial |X|∈ L¹_loc(M) tem uma divergência fraca div∈L¹_loc(M)e ⟨X,ν⟩ ∈L¹_loc(∂M), então, para cada ρ∈C⁰_c(M)∩W₀^1,2(M) temos que div(ρX)∈L¹_loc(M). Além disso, como no caso suave,

div(ρX) = Z

⟨∇ρ,X⟩+ Z

ρdivX.

Com efeito, para isto tomemos φ ∈ C^∞_c e usando (3.17) na forma da Observa¸c˜ao 16 obtemos

(div(ρX),φ) = − Z

⟨ρX,∇φ⟩+c Z

∂M

ρφ⟨X,ν⟩.

Por outro lado, temos que

∇(ρφ) =∇ρ·φ+ρ· ∇φ

∇(ρφ) −∇ρ·φ=ρ· ∇φ, logo,

(divρX,φ) = − Z

⟨X,∇(ρφ) −∇ρ·φ⟩+ Z

∂M

ρφ⟨X,ν⟩

= − Z

⟨X,∇(ρφ)⟩+ Z

φ⟨X,∇ρ⟩+ Z

∂M

ρφ⟨X,ν⟩

= (divX,ρφ) + Z

φ⟨X,∇ρ⟩

= Z

ρφdivX+ Z

φ⟨X,∇ρ⟩

= Z

ρφdivX+φ⟨X,∇ρ⟩

= Z

(ρdivX+⟨X,∇ρ⟩)φ

= (ρdivX+⟨X,∇ρ⟩,φ).

Cap´ıtulo 3. Aplica¸c˜oes 119 Portanto, podemos concluir que

div(ρX) =ρdivX+⟨X,∇ρ⟩ ∈L¹_loc(M) e, consequentemente,

div(ρX) = Z

ρdivX+⟨X,∇ρ⟩

= Z

ρdivX+ Z

⟨X,∇ρ⟩.

Assim, obtemos o resultado desejado.

Se M não for compacta, ainda podemos provar uma versão global do Teorema de Stokes para campos de vetores com comportamento assintóticos prescritos no infinito.

Este ´e o conte´udo do teorema abaixo

Teorema 19 (Teorema L²-divergente). Seja (M,g) uma variedade Riemanniana com bordo ∂M ̸= ∅ e ν o normal unitário apontando para fora. Então M é parabólica se, e somente se, o seguinte for válido. Seja X um campo vetorial em M satisfazendo as seguintes condi¸cões:

(a) |X|∈L²(M)loc(M) (3.18)

(b) ⟨X,ν⟩ ∈L¹(∂M)

Ent˜ao, Z

divX= Z

∂M

⟨X,ν⟩.

Demonstra¸cão. (⇒)Suponhamos que Mé uma variedade Riemanniana parabólica. Pelo Teorema 10, item (ii), existe uma exaustão {Ω_K} de M e uma sequência crescente de fun¸cões φ_n ∈C_c(M)∩W^1,2(intM) suportadas em Ω_n tal que 0⩽φ_n ⩽1 e

n→+lim∞φ_n=1 localmente uniformemente em M e lim

n→+∞

|∇φ_n|² =0.

Considerando, qualquer compo vetorial X que satisfaz (3.18), teremos que φ_nX ´e com-pactamente suportado e aplicando o Teorema da Divergencia usual fraca,

div(φ_nX) = Z

Ω

div(φ_nX) = Z

∂1Ωn

φ_n⟨X,ν⟩ (3.19)

Cap´ıtulo 3. Aplica¸c˜oes 120 Por outro lado, temos que

div(φ_nX) = Z

⟨∇φ_n,X⟩+ Z

φ_ndivX e ent˜ao,

φ_n⟨X,ν⟩= Z

div(φ_nX) = Z

⟨∇φ_n,X⟩+ Z

φ_ndivX

Agora, pela Desigualdade de H¨older temos

⟨∇φ_n,X⟩

⩽

|∇φ_n|² 1/2

+ Z

|X|² 1/2

, e aplicando o limite com n→+∞ temos

n→+lim∞

⟨∇φn,X⟩

⩽ lim

n→+∞

|∇φn|² 1/2

+ Z

|X|² 1/2#

=0.

Logo,

n→+lim∞

⟨∇φ_n,X⟩=0. (3.20)

Al´em disso, tomando a parte positiva e a parte negativa do divX obtemos Z

φ_ndivX = Z

φ_n[(divX)₊− (divX)₋]

= Z

φ_n(divX)₊− Z

φ_n(divX)₋. Tamb´em,

φ_n(divX)₊ ⩽ Z

φ_n(divX)₋ + Z

∂1Ωn

φ_n⟨X,ν⟩− Z

⟨∇φ_n,X⟩.

Assim, pelo Teorema da Convergˆencia Mon´otona e Dominada e o fato de que 0⩽φ_n⩽1 podemos concluir que

(divX)₊ ⩽ Z

(divX)₋+ Z

∂1M

⟨X,ν⟩− lim

n→+∞

⟨∇φ_n,X⟩.

Usando (3.20) tem-se Z

(divX)₊ ⩽ Z

(divX)₋+ Z

∂1M

⟨X,ν⟩<+∞.

Cap´ıtulo 3. Aplica¸c˜oes 121 Portanto, divX∈L¹(M) e por (3.19) conclu´ımos

divX= Z

∂M

⟨X,ν⟩.

(⇐)Suponhamos queMnão seja parabólica, de forma queMpossui Núcleo de Green positivo finito e suave, onde a aplica¸cão G(x,y) pode ser vista como a menor solu¸cão fundamental positiva da equa¸cão de Laplace emM, [5] e [4]. Assim, vamos mostrar que o Teorema Global de Stokes falha. Com efeito, para isto, tomemos uma exaustão {Ω_n} de Mpor dom´ınios suaves e relativamente compactos. Logo, o Núcleo de Green de Neumann G(x,y) deMé obtido como limite das fun¸cões de Green G_n(x,y) de Ω_n que satisfazem











∆Gn(x,y) = −δx(y) no intM

∂G(x,y)

∂ν =0 sobre ∂1Ωn=Ωn∩∂M G_n=0 sobre ∂₀Ω_n=∂Ω_n∩intM.

(3.21)

Seja 0⩽f̸=0 uma fun¸c˜ao suave compactamente suportada no intM. Assim, para cada ndefinimos a aplica¸c˜ao

u_n(x) = Z

Ωn

G(x,y)f(y)dy.

Então, cada un é solu¸cão clássica positiva do problema de contorno











∆u_n = −f no intΩ_n

∂u_n

∂ν sobre ∂₁Ω_n un=0 sobre ∂0Ωn.

Esse fato segue de (3.21). Assim, pelo Princ´ıpio do Máximo e o Lema do ponto limite, a sequência é monotonicamente crescente em um dom´ınio relativamente compacto. Logo, pelo Teorema de Dini podemos concluir que (u_n)n∈N converge uniformemente para a fun¸cão uque é solu¸cão de







∆u= −f no intM

∂u

∂ν =0 sobre ∂M.

Segue do Lema de Fatou que Z

|∇u|² = Z

n→+lim∞inf|∇u_n| ⩽ lim

n→+∞inf Z

|∇u_n|² = Z

|∇u_n|²

Cap´ıtulo 3. Aplica¸c˜oes 122 isto ´e,

|∇u|² ⩽ Z

|∇un|². (3.22)

Agora, consideremos o campo vetorial X = ∇u,. Note que, X satisfaz as condi¸c˜oes de (3.18) pois, ∇u∈L¹(M) por (3.22). Ent˜ao

|X|=|∇u|∈L¹_loc(M), e como⟨∇u,ν⟩= ∂u

∂ν =0 sobre ∂Mpodemos concluir que

⟨X,ν⟩=⟨∇u,ν⟩ ∈L¹_loc(M).

Por ´ultimo, tem-se

divX=div∇u=∆u ∈L¹_loc(M).

Por um lado, temos Z

divX= Z

∆u = Z

−f̸=0⇒ Z

divX̸=0, e por outro lado,

∂M

⟨X,ν⟩= Z

∂M

⟨∆u,ν⟩= Z

∂M

∂u

∂ν =0.

Portanto,

divX̸=

∂M

⟨X,ν⟩.

Segue que o Teorema de Stokes n˜ao vale e, portanto, obtemos o resultado desejado.

Usando a Defini¸cão 16, pode-se introduzir a no¸cão de solu¸cão fraca de uma desigual-dade diferencial como divX⩾f. Ressaltamos que divX não precisa ser uma fun¸cão.

Defini¸c˜ao 17. Seja |X| ∈ L¹_loc(M) um campo vetorial que satisfaz ⟨X,ν⟩ ∈ L¹_loc(∂M) e f∈L¹_loc(M). Dizemos que divX⩾f no sentido distributivo no intM se

(divX)⩾ Z

fφ,

para cada 0⩽ φ∈C^∞_c(M). Na verdade, de acordo com a Observa¸c˜ao 16, a defini¸c˜ao se estende a toda 0< φ∈C⁰_c(M)∩W^1,2(intM).

No caso especial onde f= 0 e X =∇u para algum u ∈W_loc^1,2(M) satisfazendo ∂u

∂ν ∈ L¹_loc(∂M) obtemos a no¸c˜ao correspondente de solu¸c˜ao fraca de ∆u⩾0 no intM.

Cap´ıtulo 3. Aplica¸cões 123 Embora elementar, é importante perceber que, como na configura¸cão suave, a defini¸cão acima é compat´ıvel com a subsolu¸cão de Neumann fraca dada no Cap´ıtulo 2.

Lema 11. Seja u ∈ W_loc^1,2(M) tal que ∂u

∂ν ∈ L¹_loc(∂M). Então u é uma subsolu¸cão de Neumann fraca da equa¸cão de Laplace desde queu satisfa¸ca







∆u⩾0 no intM

∂u

∂ν ⩽0 sobre ∂M,

onde a desigualdade diferencial ´e interpretada de acordo com a Defini¸c˜ao 17.

Demonstra¸c˜ao. Seja u ∈ W_loc^1,2(M) tal que ∂u

∂ν ∈ L¹_loc(∂M), logo, ⟨∆u,ν⟩ ∈ L¹_loc(∂M).

Assim, por defini¸c˜ao obtemos

(∆u,φ) = (div∇u,φ) = − Z

⟨∇u,∇φ⟩+ Z

∂M

φ⟨∇u,ν⟩, onde 0⩽φ∈C^∞_c(M). Ent˜ao,

φ∆u= (∆u,φ) = − Z

⟨∇u,∇φ⟩+ Z

∂M

φ∂u

∂ν, e, consequentemente,

0⩽ Z

φ∆u− Z

∂M

φ∂u

∂ν = − Z

⟨∇u,∇φ⟩.

Dessa forma, obtemos o resultado desejado.

Raciocinando como na prova do Teorema 19, podemos agora provar o seguinte resul-tado, que se estende a variedades com bordo como consta em [26].

Proposi¸c˜ao 17. Seja (M,g) uma variedade parab´olica m-dimensional com bordo ∂M.

Seja X um campo vetorial em M satisfazendo:

(a) |X|∈L²(M)

(b) 0⩾⟨X,ν⟩ ∈L¹_loc(∂M).

Suponha que divX⩾f para alguma f∈L¹(M) no sentido de distribui¸c˜oes. Ent˜ao, Z

f⩽ Z

∂M

⟨X,ν⟩.

A mesma conclusão é válida se 0⩽f∈L¹_loc(M) e produz f≡0. Além disso, se divX⩾0 no sentido das distribui¸cões, então

⟨X,∇α⟩⩽ Z

∂M

α⟨X,ν⟩, para todo0⩽α∈C^∞_c(M).

Cap´ıtulo 3. Aplica¸cões 124 Demonstra¸cão. SejaM uma variedade parabólica m-dimensional. Assim, tomemos uma exaustão {Ω}^n∈N suave relativamente compacto de Me ainda denotemos por φ_n o pon-tencial de equilibrio do capacitor(Ω₀,Ω_n). Agora, estendemosφ_npara ser identicamente igual a 1 emΩ₀ e identicamente nula em M\Ω_n. Então, φ_n ↗ 1 pontualmente em M, e comoMé parabólica, obtemos pelo Teorema 10, que

|∇φ_n|² →0 quando n→+∞. Contudo, uma vez que

∥∇φ_n∥_L² = Z

Ωn

|∇φ_n|² 1/2

, Obtemos,

∥∇φ_n∥_L² →0 quando n→+∞. Mas, por hip´otese, temos

φ_nf ⩽ (divX,φ_n)

= − Z

⟨X,∇φ_n⟩+ Z

∂M

φ_n⟨X,ν⟩, e aplicando a Desigualdade de H¨older, temos

φnf ⩽ Z

|X|²

1/2Z

|∇φn|² 1/2

+ Z

∂M

φn⟨X,ν⟩

= Z

|X|² 1/2

∥∇φ_n∥_L² + Z

∂M

φ_n⟨X,ν⟩.

Aplicando o limite comn→+∞ obtemos que

n→+lim∞

φ_nf⩽ lim

n→+∞

|X|² 1/2

∥∇φ_n∥_L²

# +

∂M

φ_n⟨X,ν⟩,

e pela o Teorema da Convergência Manótona à integral de contorno, e a convergência monótona ou o Teorema da Convergência Dominada ao lado esquerdo, dependendo se 0⩽f∈L¹_loc(M) ou se f∈L¹(M) obtemos que

f= lim

n→+∞

φ_nf ⩽ Z

∂M

φ_n⟨X,ν⟩= Z

∂M

⟨X,ν⟩.

Cap´ıtulo 3. Aplica¸cões 125 Agora, para a segunda parte do resultado, consideremos a fun¸cão testeη=φ_nα, onde 0⩽α∈C^∞_c(M). Então,

0⩽(divX,αφ_n) = − Z

⟨X,∇(αφ_n)⟩+ Z

∂M

αφ_n⟨X,ν⟩

= − Z

⟨X,α∇φ_n+φ_n∇α⟩+ Z

∂M

αφ_n⟨X,ν⟩

= −α Z

⟨X,∇φn⟩− Z

φn⟨X,∇α⟩+ Z

∂M

αφn⟨X,ν⟩

⩽ sup

M |α| Z

|X|² 1/2

∥∇φ_n∥_L² − Z

φn⟨X,∇α⟩+ Z

∂M

αφn⟨X,ν⟩.

Aplicando o limite com n → +∞ e utilizando o Teorema da Convergˆencia Mon´otona podemos concluir que

0 ⩽ lim

n→+∞

sup

|α| Z

|X|² 1/2

∥∇φ_n∥_L²

− lim

n→+∞

φ_n⟨X,∇α⟩+ lim

n→+∞

∂M

αφ_n⟨X,ν⟩

= − Z

⟨X,∇α⟩+ Z

∂M

α⟨X,ν⟩.

Portanto,

⟨X,∇α⟩⩽ Z

∂M

α⟨X,ν⟩.

Teoremas do tipo slice para hipersuperf´ıcie em um semi-espa¸ co

Esta subse¸cão é dedicada a prova dos Teoremas 20 e 22. O primeiro desses resultados envolve uma hipersuperf´ıcie completa Σ contida no semi espa¸co N×[0,+∞) do espa¸co produto ambiente N×R. Assumimos que o bordo ∂Σ̸= ∅ encontra-se na slice N×{0} e queΣ tem curvatura média não positiva H⩽ 0 em rela¸cão a aplica¸cão de Gauss ”para baixo”. O resultado afirma que, sob uma suposi¸cão de crescimento quadrático de área em Σ e independentemente da geometria de N, o peda¸co da hipersuperf´ıcie Σ em qualquer semi espa¸co superior deN×Rdeve ter volume infinito, a menos que Σesteja contido na slice totalmente geodésica N×{0}.

O segundo resultado fornece uma versão gráfica deste teorema quando Σ = Γ_u(M), onde(M,g)é uma variedade orientada completa com bordo. SeMsatisfaz uma suposi¸cão de crescimento quadrático de volume, então cada conjunto de supern´ıvel M_t ={u⩾t >

Cap´ıtulo 3. Aplica¸cões 126 0}⊆ M tem volume infinito, a menos que Σ esteja contido na slice totalmente geodésica M×{0}. Observe que M_t é a proje¸cão ortogonal deΣ∩[t,+∞) na sliceM×{0}. Teorema 20 (Teorema de Slice). Seja (M,g) uma variedade Riemanniana sem bordo.

SejaΣ⊂N×[0,+∞)uma hipersuperf´ıcie completa e orientada com bordo∂Σ̸=∅contido na slice N×{0} e satisfazendo `a condi¸c˜ao de crescimento de volume

volB^Σ_R(o) =O(R²) com R→+∞.

Suponha que, para uma escolha adequada da aplica¸cão de Gauss N deΣ, a hipersuperf´ıcie Σ tem curvatura média não positiva H(x) ⩽ 0 e o ângulo θ entre N e o campo vetorial

∂

∂t est´a contido no intervalo π

2,3π 2

, ou seja,

cosθ=

N, ∂

∂t

⩽0.

Se existe algum semi espa¸co N×[t,+∞) de N×R tal que vol(Σ∩(N×[t,+∞)))<+∞, ent˜ao Σ⊂N×{0}.

Demonstra¸c˜ao. Seja (N,g) uma variedade Riemanniana sem bordo e ainda Σ ⊂ N× [0,+∞) uma hipersuperf´ıcie completa que satisfaz a condi¸c˜ao de crescimento de volume

volB^Σ_R(o) =O(R²) com R→+∞,

logo,Σé parabolica. Suponhamos, por absurdo, queΣnão esteja contido na sliceN×{0}. Seja h : Σ → R a proje¸cão da imagem de Σ em R sobre a imersão, ou seja, h = π_R◦f onde f:Σ →N×R é uma H-hipersuperf´ıcie completa orientável e π_R : N×R→ R é a proje¸cão da imagem doN×R em R. O Princ´ıpio do Máximo de Ahlfors implica que

sup

h=sup

∂Σ

Mas, temos que∂Σ⊂N×{0}e, consequentemente,h(∂Σ) ={0}, Portanto,h≡0 em ∂Σ, segue da´ı que

h⩽sup

h=sup

∂Σ

h=0.

Cap´ıtulo 3. Aplica¸c˜oes 127 Logo, h(Σ) ⊆ (−∞, 0] e, consequentemente, Σ ⊂ N ×(−∞, 0] o que ´e um absurdo.

Suponhamos, agora, que sup_Σh = +∞ de modo que Σ∩(N×{t})̸=∅ para todo t > 0.

Da´ı, chamamos

Σ_t =Σ∩(N×[t,+∞)) ={p∈Σ;h(p)⩾t}

e ainda, como vol(Σ_t) ⩾vol(Σ_s), para todo s ⩾ t, podemos assumir que vol(Σ_t) <+∞ para todo t >> 1. Além disso, pelo Teorema de Sard podemos supor que t é um valor regular deh|intM. Em particular,Σ_té uma hipersuperf´ıcie suave completa com bordo igual a ∂Σ_t = {p ∈ Σ;h(p) = t} e com vetor normal unitário exterior dado por v_t = −∇h

|∇h|. Como o crescimento de volume de Σ_t é finito, podemos concluir que Σ_t é parabólica.

Al´em disso,∆_Σh=mH, onde H=H(x)cosθ ent˜ao, ∆_Σh=mHcosθ. Segue de H⩽0 e cosθ⩽0 que

∆_Σh=mHcosθ⩾0.

Logo, h ´e uma fun¸c˜ao subharmonica em Σt e satisfaz |∇h| ⩽ 1. Em particular, |∇h| ∈ L²(Σ), assim, para qualquer ε >0 definimos h_ε =max{h,t+ε}. Por um lado, temos

hε =h ⇒∆Σthε =∆Σth⩾0.

Por outro lado,

∆_Σ_th_ε =∆_Σ_t(t+ε) =0.

Portanto,h_εé uma fun¸cão subharmônica emΣ_t e possui energia de Dirichet finita|∇h_ε|∈ L²(Σ_t). Além disso,

∂hε

∂ν = ∂

∂ν(t+ε) =0 em ∂Σ_t. Logo, podemos aplicar a Proposi¸c˜ao 17 e obter,

div∇hε =∆Σhε ⩾0, |∇hε|∈L²(Σt) e ⟨∇hε,ν⟩=0

então, podemos deduzir que h_ε tem que ser harmônica em Σ_t, segue que h_ε é constante em todas as compomentes conexas de Σt. Notemos que, sobre ∂Σt

t+ε > h =t ⇒h_ε =t+ε.

Cap´ıtulo 3. Aplica¸cões 128 Como h_ε é constante nas componentes conexas de Σ_t podemos dizer que h_ε = t + ε no intΣ_t. Portanto, h⩽t+ε no intΣ_t, segue da´ı que t⩽h⩽t+ε em Σ_t e como isso é válido para todoε >0 arbitrário, podemos concluir que

h≡t em Σ_t.

Portanto, sup_Σh <+∞, o que contradiz a suposi¸c˜ao de h ser ilimitado. Assim, Σ⊂N×{0}

A prova do Teorema 22 ´e completamente semelhante, mas requer alguma prepara¸c˜ao.

O próximo resultado do tipo Liouville para o operador de curvatura média é adaptado de [34] (ver também [49], [53]). Fornecemos uma prova detalhada para fins de integridade.

Teorema 21. Seja (M,g) uma variedade Riemanniana completa com bordo ∂M ̸= ∅.

Se, para algum pontoo ∈intM,

Z+∞ 1

Area(∂₀B_R(0)) = +∞, (3.23)

então o seguinte é válido. Sejau∈C¹(M)uma solu¸cão fraca de Neumann para o problema











div ∇u

p1+|∇u|²

⩾0 no intM

∂u

∂ν ⩽0 sobre ∂M

sup_Mu <+∞,

(3.24)

ent˜ao u≡const.

Observa¸cão 18. Já apontamos para o operador Laplace-Beltranmi ser uma solu¸cão fraca Neumann do div ∇u

p1+|∇u|²

significa que

− Z

intM

* ∇u

p1+|∇u|²,∇φ +

⩾0, (3.25)

para todo 0 ⩽ φ ∈ C^∞_c (M). Como de costume, por densidade a desigualdade (3.25) pode ser estendida para fun¸c˜oes de teste compactamente suportadas 0⩽φ∈W^1,2(intM).

Cap´ıtulo 3. Aplica¸cões 129 Na verdade, é notório que a mesma defini¸cão se estende a qualquer operador el´ıptico da forma;

L_Φ(u) =div(Φ(|∇u|)∇u),

onde Φ(t) está sujeita à algumas condi¸cões estruturais. Além disso, supondo

|∇u|∈L¹_loc(∂M),

esta nota¸cão também é coerente com a no¸cão de divergência fraca. Ou seja, u satisfaz (3.25) desde (divX,φ) ⩾ 0 e ∂u

∂ν ⩽ 0 onde definimos X = ∇u

p1+|∇u|². Isso segue imediatamente da equa¸c˜ao

(divX,φ)

z}|{def= − Z

intM

* ∇u

p1+|∇u|²,∇φ +

+ Z

∂M

p1+|∇u|² · ∂u

∂ν.

Observa¸cão 19. Se tomarmos Φ(t) =1 no argumento abaixo, recuperamos o Teorema 0.7 de Grigo’yon, na forma de um resultado de Liouville para subsolu¸cão C¹(M) da equa¸cão de Laplace.

Demonstra¸c˜ao do Teorema 21. Seja u ∈ C¹(M) uma solu¸c˜ao fraca de Neumann para o problema











div ∇u

p1+|∇u|²

⩾0 no intM,

∂u

∂ν ⩽0 sobre ∂M,

sup_Mu <+∞.

(3.26)

Suponhamos, por absurdo, queun˜ao ´e constante em uma bolaB_R₀(o)para todo R₀ >0.

Sem perda de generalidade, podemos supor que u ⩽ 0 em M. Definimos a fun¸c˜ao Φ : R→R dada por

Φ(t) = 1

√1+t². FixandoR > R₀ >0, ε >0 e escolha ρ=ρ_ε,R tal que











1 na B_R(o),

R+ε−r(x)

ε no B_r+ε(o)\B_R(o),

0 em outro lugar .

Cap´ıtulo 3. Aplica¸cões 130 Inserindo a fun¸cão testeφ=ρeû em (3.25) e reorganizando obtemos que

0⩽− Z

intM

* ∇u

p1+|∇u|²,∇u +

= − Z

intM

Φ(|∇u|²)∇u,∇(ρe^u)

= − Z

intM

Φ(|∇u|²)∇u,∇ρe^u+ρ∇ue^u

= − Z

intM

⟨Φ(|∇u|²)∇u,∇ρe^u⟩

− Z

intM

Φ(|∇u|²)∇u,ρ∇ue^u

= − Z

intM

Φ(|∇u|²)e^u⟨∇u,∇ρ⟩

− Z

intM

ρe^uΦ(|∇u|²)|∇u|². Portanto,

0 ⩽ −

(BR+ε(o)\BR(o))∩intM

e^uΦ(|∇u|)

∇u,∇

R+ε−r(x) ε

− Z

BR(o)∩intM

e^uΦ(|∇u|)|∇u|²

− Z

(BR+ε(o)\BR(o))∩intM

R+ε−r(x)

ε ·e^uΦ(|∇u|)|∇u|²

= − Z

(BR+ε(o)\BR(o))∩intM

e^uΦ(|∇u|)

∇u,−∇r ε

− Z

BR(o)∩intM

e^uΦ(|∇u|)|∇u|²

− Z

(BR+ε(o)\BR(o))∩intM

R+ε−r(x)

ε ·e^uΦ(|∇u|)|∇u|². Como R+ε−r(x)

ε e^uΦ(|∇u|)|∇u|² ̸=0 teremos que Z

(BR+ε(o)\BR(o))∩intM

R+ε−r(x)

ε ·e^uΦ(|∇u|)|∇u|² >0.

Logo, 0⩽

(B_R+ε(o)\BR(o))∩intM

e^u1

εΦ(|∇u|)⟨∇u,∇r⟩ − Z

BR(o)∩intM

e^uΦ(|∇u|)|∇u|² 1

ε Z

(BR+ε(o)\BR(o))∩intM

e^uΦ(|∇u|)⟨∇u,∇r⟩ ⩾ Z

BR(o)∩intM

eûΦ(|∇u|)|∇u|². Usando a fórmula da co-área e fazendo ε→0 obtemos, paraR > R₀, que

∂0BR(o)

e^uΦ(|∇u|)⟨∇u,∇r⟩⩾ Z

BR(o)∩intM

e^uΦ(|∇u|)|∇u|².

Cap´ıtulo 3. Aplica¸c˜oes 131 Por outro lado, usando as desigualdades de Cauchy-Schwartz e H¨older, obtemos que Z

∂0BR(o)

e^uΦ(|∇u|)⟨∇u,∇r⟩ ⩽ Z

∂0BR(o)

e^uΦ(|∇u|)|∇u||∇r|

= Z

∂0BR(o)

e^uΦ(|∇u|)|∇u|

= Z

∂0B_R(o)

(e^uΦ(|∇u|))^1/2(e^uΦ(|∇u|))^1/2|∇u|

⩽ Z

∂0B_R(o)

e^uΦ(|∇u|)

1/2Z

∂0B_R(o)

e^uΦ(|∇u|)|∇u|² 1/2

= Z

∂0BR(o)

e^uΦ(|∇u|)

1/2Z

∂0BR(o)

(e^uΦ(|∇u|)|∇u|² 1/2

. Comou⩽0, temos que

e^u ⩽1 e ainda,

Φ(|∇u|) = 1

p1+|∇u|² <1.

Assim, Z

∂0BR(o)

e^uΦ(|∇u|)⟨∇u,∇r⟩ ⩽ Z

∂0BR(o)

e^uΦ(|∇u|)

1/2Z

∂0BR(o)

(e^uΦ(|∇u|)|∇u|² 1/2

⩽ Z

∂0BR(o)

1/2Z

∂0BR(o)

(e^uΦ(|∇u|)|∇u|² 1/2

= (Area(∂₀B_R(o)))^1/2 Z

∂0BR(o)

(e^uΦ(|∇u|)|∇u|² 1/2

. Agora, definimos

H(R) = Z

∂0BR(o)

(e^uΦ(|∇u|)|∇u|².

Como estamos supondoun˜ao constante na bolaB_R₀(o)teremos queH(R)̸=0, para todo R⩾R₀. Ent˜ao,

H(R) ⩽ Z

∂0BR(o)

e^uΦ(|∇u|)⟨∇u,∇r⟩⩽(Area(∂₀B_R(o)))^1/2 Z

∂0BR(o)

(e^uΦ(|∇u|)|∇u|² 1/2

. Logo,

[H(R)]² ⩽ (Area(∂₀B_R(o))) Z

∂0BR(o)

(e^uΦ(|∇u|)|∇u|². (3.27)

Cap´ıtulo 3. Aplica¸cões 132 Portanto, pela fórmula da co-área obtemos

H^′(R) = d dS

BS(o)∩intM

e^uΦ(|∇u|)|∇u|²

|S=R= d dS

Z+∞Z

∂0BS(o)

e^uΦ(|∇u|)|∇u|²

|S=R

= Z

∂0B_R(o)

e^uΦ(|∇u|)|∇u|², segue que

H^′(R) = Z

∂0BR(o)

e^uΦ(|∇u|)|∇u|² e da´ı por (3.27),

[H(R)]² ⩽ Area(∂₀B_R(o))H^′(R) ou seja,

Area(∂₀B_R(o)) ⩽ H^′(R) [H(R)]².

Integrando no intervalo [R₀,R] e fazendoR→+∞ concluimos que Z_R

Area(∂₀B_R(o)) ⩽− Z_R

− H^′(R) [H(R)]² = −

Z_R

d dS

1 H(S)

|S=R= − 1 H(R)|^RR0, ent˜ao,

Z_R

Area(∂₀B_R(o)) ⩽ 1

H(R₀) − 1 H(R). Logo,

R→+lim∞

Z_R

Area(∂0BR(o)) ⩽ 1

H(R0) − lim

R→+∞

1 H(R) isto ´e,

Z+∞ R0

Area(∂₀BR(o)) ⩽ 1 H(R0), e assim,

H(R₀) ⩽ 1

R+∞

R0 (Area(∂₀B_R(o)))⁻¹. Usando (3.23) obtemos que

H(R₀) ⩽ 0

Cap´ıtulo 3. Aplica¸c˜oes 133 e, consequentemente,H(R₀) =0. Portanto,

B_R₀(o)∩intM

e^uΦ(|∇u|)|∇u|² = H(R₀) =0.

Comoe^uΦ(|∇u|)|∇u|² >0 podemos concluir que

e^uΦ(|∇u|)|∇u|² =0⇒|∇u|² =0.

Portanto,

∇u=0⇒u≡const em BR0(o), o que ´e um absurdo. Assim, conclu´ımos que u≡const.

Agora, podemos demonstrar o Teorema de Slice para gr´aficos.

Teorema 22 (Teorema de Slice para gráficos). Seja (M,g) uma variedade Riemanniana orientada com bordo ∂M ̸= ∅ e vetor normal apontando para fora ν e (no máximo) crescimento quadrático de volume , ou seja,

volB^M_R (o) =O(R²), com R→+∞,

para alguma origemo∈M. SejaΣum gráfico sobreMcom curvatura média H(x)⩽0em rela¸cão a orienta¸cão dada pela aplica¸cão de Gauss N(x) apontando para baixo. Suponha que∂Σ∩(M×{T}) =∅ para algum T > 0 e que pelo menos uma das seguintes condi¸cões seja satisfeita:

(a) ∂Σ⊂M×{0} e Σ⊂M×[0,+∞) , (b) M e Σ s˜ao anal´ıticos reais,

(c) Sobre ∂Σ, a aplica¸cão de Gauss N(x) de Σ e a aplica¸cão de Gauss N0 = (−ν(x), 0) do bordo ∂M×{t} de qualquer slice forma um ângulo θ∈h

−π 2,π

2 i

Se a parte do gráfico Σ contida em algum semi espa¸co M×[t,+∞) tem proje¸cão de vlolume finito na slice M×{0}, então Σé uma slice horizantal de M×R.

Demonstra¸c˜ao. SejaΣ=Γ_u(M)comu∈C^∞(M)e para todos ∈Rdefinimos o conjunto M_s ={x∈M;u(x)⩾s}.

Pela suposi¸c˜ao de∂Σ=Γu(∂M) temos que existe t >0 tal que para todo s > t M_s ⊂⊂intM e vol(M_s)<+∞,

Cap´ıtulo 3. Aplica¸cões 134 já queM possui crescimento quadrático de volume. Suponhamos que M_s ̸=∅ para todo s⩾ t, caso contrário, como no Teorema 20, a prova é mais direta. Então, pelo Teorema de Sard, podemos escolhert < c < sup_Mu <+∞ tal quecé um valor regular de u|intM. Portanto, o subconjunto fechado

M_c ={x ∈M;u(x)⩾c}, ∂M_c ={x ∈M;u(x) =c} ´e uma curva suave,

é uma variedade completa, pois é fechada e limitada emMque é uma variedade completa logo, M_c é compacto, onde ∂M_c ̸=∅ e possui normal unitária exterior dado por

ν_c = − ∇u

|∇u|.

Em particular, como Mc é uma variedade completa com crescimento de volume finito, M_c é parabólico. Uma vez que a fun¸cão usatisfaz

H = −1

mdiv ∇_Mu p1+|∇_Mu|²

e a curvatura m´edia n˜ao-positiva, temos que 0⩽−mH =div ∇_Mu

p1+|∇_Mu|²

⇒0⩽div ∇_Mu p1+|∇_Mu|²

no intM_c.

Assim, fixando ε > 0 qualquer, teremos que a mesma desigualdade diferencial é válida, em um sentido fraco, para a fun¸cão

u_ε =max{u,c+ε}. Observe que, para pontos sobre o ∂Mc

u=c < c+ε⇒u_ε =c+ε sobre ∂M_c, logo,

∂u_ε

∂ν =0 sobre ∂M_c. Assim, definimos o campo vetorial

X_ε = ∇_Mu_ε p1+|∇_Muε|²,

Cap´ıtulo 3. Aplica¸c˜oes 135 e inicialmente, notemos que

div_MX_ε =div_M ∇Muε

p1+|∇_Mu_ε|²

⩾0 sobre intM_c e

|X_ε|² =

∇_Mu_ε p1+|∇_Mu_ε|²

= |∇_Mu_ε|² 1+|∇_Mu_ε|². Como 1+|∇_Mu_ε|² >|∇_Mu_ε|² teremos que, 1

|∇Muε|² > 1

1+|∇Muε|² logo,

|X_ε|² = |∇_Mu_ε|²

1+|∇_Mu_ε|² ⩽ |∇_Mu_ε|²

|∇_Mu_ε|² =1⇒|X_ε|⩽1, e ainda|X_ε|∈L²(M_c). Sobre ∂M_c temos que

⟨X_ε,ν_ε⟩ =

* ∇_Mu_ε

p1+|∇_Mu_ε|²,−∇u

|∇u| +

= − 1

p1+|∇_Mu_ε|² · 1

|∇u|⟨∇_Mu_ε,∇u⟩=0.

Segue queX_ε satisfaz











div_MX_ε ⩾0 no intM 1⩾|X_ε|∈L²(M_ε)

0=⟨X_ε,ν_c⟩.

Aplicando a Proposi¸c˜ao 17, podemos deduzir que divXε =0 sobre Mc, ou seja,

−mH =divMXε ⇒H =0,

logoΣc =Γu(Mc)´e um gr´afico m´ınimo. Como vol(Mc)<+∞ segue do Teorema 19 que u_ε deve ser constante em cada componente conexa de M_c. Uma vez que em ∂M_c temos queu=c e assim,

u < c+ε⇒uε =c+ε sobre ∂Mc,

comouε ´e constante em todas as componentes conexas deMc podemos concluir que uε =c+ε em Mc.

Segue que c ⩽ u ⩽ c+ε sobre Mc. Como ε > 0 foi tomado de maneira arbitr´aria teremos que u≡c sobre M_c.

Cap´ıtulo 3. Aplica¸cões 136 Contudo, isso contradiz o fato de que M_s ̸=∅ para todo s ⩾ t. Como u é constante em M_c, temos que sup_Mu <+∞. Agora, distinguimos em três casos:

(a) Suponha que∂Σ⊂M×{0}eΣ⊂M×[0,+∞), isso significa queu⩾0 comu=0 sobre∂M. Nesse caso, a conclus˜ao de u=0 segue exatamente como na demonstra¸c˜ao do Teorema 20.

(b) Suponha que Σ seja anal´ıtica real, isto é, descrito por uma fun¸cão real. Como ué constante em M_c, onde c valor regular, podemos concluir pelo Princ´ıpio da Identi-dade para fun¸cões anal´ıticas que ué constante em todo M. Assim, obtemos o resultado desejado.

(c) Suponhamos que a aplica¸cão de Gauss N(x) de Σ e a aplica¸cão de Gauss N0 = (−ν, 0) do bordo ∂M×{t} de qualquer slice forma um ângulo θ(x) ∈ h

−π 2,π

2 i

sobre o bordo ∂Σ=Γ u(∂M), isto ´e,

0⩾cosθ(x) =⟨N(x),N0(x)⟩.

Segue que

0⩾⟨N(x),N0(x)⟩ =

* 1

p1+|∇u|²(−∇u, 1),(−ν(x), 0) +

= 1

p1+|∇u|²⟨(−∇u, 1),(−ν(x), 0)⟩

= 1

p1+|∇u|²⟨∇u,ν⟩, logo,

∂u

∂ν =⟨∇u,ν⟩ ⩽ 0.

Pelo Teorema 22 conclu´ımos queu≡const em M. Portanto, em todos os casos obtemos o resultado desejado.

Como uma consequˆencia imediata da demonstra¸c˜ao acima.

Corol´ario 7. Seja(M,g)uma variedade completa com bordo∂Me assuma que vol(M)<

+∞. Seja Σ= Γu(M) um gráfico com curvatura média não positiva H(x) em rela¸cão a aplica¸cão de Gauss N. Suponha que o ângulo θ entre a aplica¸cão de Gauss N do gráfico e o mapa de GaussN0 = (−ν, 0) de ∂M×{t},→M×{t} satisfaz θ∈h

−π 2,π

2 i

. Ent˜ao Σ

´e uma slice horizontal de M×R.

Cap´ıtulo 3. Aplica¸c˜oes 137 Demonstra¸c˜ao. Segue diretamente do item (c) do Teorema 22

No documento PARABOLICIDADE EM VARIEDADES COM BORDO E APLICAÇÕES (páginas 126-148)