Conexão de Galois

As definições de dilatações e de erosões são duais, no sentido que, se trocarmos a relação “está contido”

() pela relação “contem” (), os operadores que eram dilatações passam a ser erosões e os operadores que eram erosões passam a ser dilatações. Vamos mostrar que existe uma relação um por um entre as dila-tações e as erosões. É isto que nós vamos estudar nesta seção. A noção chave para levar adiante este propósito é a de conexão de Galois [Birkho67].

Definição 5.1 (conexão de Galois) – Sejam a e b dois operadores sobre P. O par (a,b) é uma conexão de Galois entre (P,) e (P,) se e somente se os três axiomas abaixo são satisfeitos,

X₁X₂ a(X₂)a(X₁) (X₁, X₂P) (isotonia de a) Y₁Y₂ b(Y₂)b(Y₁) (Y₁, Y₂P) (isotonia de b) Xba(X) e Yab(Y) (X, YP).

(anti–extensividade de ba e extensividade de ab) V

Proposição 5.1 (definição equivalente de conexão de Galois) – Sejam a e b dois operadores sobre P. O par (a,b) é uma conexão de Galois entre (P,) e (P,) se e somente se

Xb(Y) Ya(X) (X, YP). V

Prova – Por um lado, supondo que (a,b) é uma conexão de Galois, para todo X e Y em P,

Xb(Y) a(X)a(b(Y)) (isotonia de a)

a(X)ab(Y) (definição do composto)

ab(Y)a(X) (dualidade entre e )

Ya(X), (extensividade de ab e transitividade de ) da mesma maneira,

Ya(X) b(Y)b(a(X)) (isotonia de b)

b(Y)ba(X) (definição do composto)

ba(X)b(Y) (dualidade entre e )

Xb(Y). (anti–extensividade de ba e transitividade de ) Em outros termos, se (a,b) é uma conexão de Galois, então

Xb(Y) Ya(X) (X, YP).

Por outro lado, supondo que (a,b) verifica a equivalência Xb(Y) Ya(X) (X, YP),

para todo X em P,

Ya(X) Xb(a(X)) (implicação )

Xba(X), (definição de composto)

isto é, ba é anti–extensiva. Da mesma maneira, para todo Y em P,

Xb(Y) Ya(b(Y)) (implicação )

Yab(Y), (definição de composto)

isto é, ab é extensiva. Finalmente, para todo X₁ e X₂ em P,

X₁X₂ X₁ba(X₂) (anti–extensividade de ba e transitividade de )

X₁b(a(X₂)) (definição de composto)

a(X₂)a(X₁), (Ya(X₂) e implicação )

isto é, a é isotônica. Da mesma maneira, para todo Y₁ e Y₂ em P,

Y₁Y₂ Y₁ab(Y₂) (extensividade de ba e transitividade de )

Y₁a(b(Y₂)) (definição de composto)

b(Y₂)b(Y₁), (Xb(Y₂) e implicação )

isto é, b é isotônica. Em outros termos, se (a,b) verifica a equivalência Xb(Y) Ya(X) (X, YP),

então (a,b) é uma conexão de Galois. V

A Figura 5.1 ilustra uma conexão de Galois (a,b). Um caso particular de conexão de Galois é quando

Fig. 5.1 – Conexão de Galois.

a

b

(P,) Xb(Y) Ya(X) (P,)

o par (a,b) verifica a equivalência abaixo, Xb(Y) Ya(X) (X, YP),

ou ainda, de uma maneira equivalente, abi e bai (isto é, a e b são bijeções recíprocas).

Exercício 5.1 (exemplos de conexão de Galois) – Seja E é um grupo Abeliano. Mostre que os pares (tu,tu), para todo u em E, e o par (t,t) são conexões de Galois entre (P(E),) e (P(E),). V Vamos caracterizar mutuamente os elementos de uma conexão de Galois. Daqui para frente, os limi-tantes superiores, inferiores, os supremos e os ínfimos serão sempre relativos ao conjunto parcialmente ordenado (P(E),). Para todos operadores a e b sobre P, sejam a e b os operadores sobre P dados por

b(X)sup{YP: Xb(Y)} (XP) a(Y)inf{XP: Ya(X)} (YP).

Proposição 5.2 (caracterização mútua dos elementos de uma conexão de Galois) – Sejam a e b dois operadores sobre P. Se o par (a,b) é uma conexão de Galois entre (P,) e (P,), então

ab e ba. V

Prova – Pela Proposição 5.1, para todo X em P, {YP: Xb(Y)}{YP: Ya(X)},

isto é, a(X) é o maior elemento de {YP: Xb(Y)}, em outros termos, a(X) é o supremo desta coleção. Assim, por definição de b, para todo X em P,

a(X)b(X).

A prova da segunda igualdade decorre da primeira igualdade por dualidade. V A conexão de Galois é importante em Morfologia Matemática por causa da próxima proposição.

Proposição 5.3 (propriedade de uma conexão de Galois) – Sejam a e b dois operadores sobre P. Se o par (a,b) é uma conexão de Galois entre (P,) e (P,) então

bD e aE. V

Prova – De um lado, para todo YP (Y ) e XP,

Xsupb(Y) supb(Y)X (dualidade entre e )

X é l.s. de b(Y) (definição de supremo)

b(Y)X (YY) (definição de l.s.)

Xb(Y) (YY) (dualidade entre e )

Ya(X) (YY) (Proposição 5.1)

a(X) é l.s. de Y (definição de l.s.)

supYa(X) (definição de supremo)

Xb(supY), (Proposição 5.1)

isto é, Xsupb(Y) Xb(supY). Fazendo, sucessivamente, Xb(supY) e Xsupb(Y), obte-mos, por anti–simetria da relação , para todo YP (Y ),

b(supY)supb(Y).

Por outro lado,

a() b() (Proposição 5.1)

b() . ( é o menor elemento de P)

Isto é, desde que ( a()) é sempre verdade, b() . Assim, b(supY)supb(Y) mesmo para Y .

Em outros termos, bD. A prova que aE decorre de bD por dualidade. V Com os resultados acima, relativos à conexão de Galois, podemos enunciar a seguinte proposição, própria as conexões de Galois entre reticulados completos.

Proposição 5.4 (definições equivalentes de uma conexão de Galois) – Sejam a e b dois operadores sobre P. As três proposições abaixo são equivalentes:

(1) (a,b) é uma conexão de Galois entre (P,) e (P,);

(2) aE e ba;

(3) bD e ab. V

Prova – Vamos provar que (1) implica (2). Pela Proposição 5.3, aE e pela Proposição 5.2, ba. Vamos provar que (2) implica (1). Pela Proposição 3.1, a é isotônico. Seja YP, e seja X_Y{UP: Ya(U)}, então

Y₁Y₂ (Y₂a(U) Y₁a(U) (UP)) (transitividade de )

X_Y2X_Y1 (definição de X_Y)

infXY₁infXY₂ (propriedade do ínfimo)

a(Y₁)a(Y₂), (definições de a e XY)

b(Y₁)b(Y₂), (ba) isto é, b é também isotônica.

Para todo XP,

XX_a(X) XinfX_a(X) (ínfimo é l.i.)

Xa(a(X)) (definições de a e X_Y)

Xb(a(X)) (ba)

Xba(X), (definição de composto)

isto é, desde que (XX_a(X)) é sempre verdade, ba é anti–extensivo.

Para todo YP,

a(X_Y){VP: XX_Y, Va(X)} (definição de imagem)

{VP: XP, Ya(X) e Va(X)} (definição de X_Y)

{VP: YV}, (dedução lógica)

em outros termos, Y é l.i. de a(XY). Para todo YP,

Y é l.i. de a(X_Y) Yinfa(X_Y) (definição de ínfimo)

Ya(infXY) (a é erosão)

Ya(a(Y)) (definições de a e XY)

Ya(b(Y)) (ba)

Yab(Y), (definição de composto)

isto é, desde que (Y é l.i. de a(X_Y)) é sempre verdade, ab é extensivo.

Em outros termos, pela Definição 5.1 (a,b) é uma conexão de Galois.

A prova que (1) e (3) são equivalentes decorre da equivalência entre (1) e (2) por dualidade. V A partir da proposição acima, podemos enunciar o seguinte resultado que relaciona dilatações e erosões.

Proposição 5.5 (dual isomorfismo entre as dilatações e as erosões) – O mapeamento do reticulado com-pleto E das erosões sobre P, no reticulado completo D das dilatações sobre P,

åå

é um dual isomorfismo. Isto é, åå é uma bijeção e para todo å₁ e å₂ em E,

å₁å₂ å₂å₁. (antitonia dupla)

O inverso de åå é o mapeamento dd.

O gráfico de åå é o conjunto de todas as conexões de Galois entre (P,) e (P,).

V Prova – A equivalência entre (1) e (2) da Proposição 5.4 mostra que o gráfico de åå é o conjunto de todas as conexões de Galois entre (P,) e (P,). A equivalência entre (2) e (3) mostra que o mapea-mento åå é uma bijeção e seu inverso é dd, desde que å(å) e d(d).

Vamos provar a antitonia dupla de åå. Para todo å₁ e å₂ em E,

å₁å₂ å₁(X)å₂(X) (XP) (definição de )

(Yå₁(X) Yå₂(X) (X, YP) (transitividade de ) Xå₁(Y) Xå₂(Y) (X, YP) (Proposições 5.1 e 5.4)

å₁(Y)å₂(Y) (YP) (transitividade de )

å₂(Y)å₁(Y) (YP) (dualidade de e )

å2å1. (definição de )

V A Proposição 5.5 mostra que existe uma correspondência um por um entre D e E. A Figura 5.2 ilustra este resultado.

Fig. 5.2 – Bijeção entre as erosões e as dilatações.

åå

dd

E D

å å

(å)

(d)

d d

1

2

1 2

A bijeção entre as dilatações e as erosões permite caracterizar as erosões simplesmente a partir da caracterização das dilatações, feita no Capítulo 3.

Proposição 5.6 (caracterização das erosões) – O mapeamento de E em P^E, åa_å ,

onde a_å é a função dada por

a_å(y)inf{XP: yå(X)} (yE) é uma bijeção. Seu inverso é

aåa ,

onde åa é a erosão dada por

åa(X){yE : Xa(y)} (XP).

Para todo åE, a_åa_å e para todo aP^E, åada. V

Prova – Vamos provar que o mapeamento åa_å é a composição da bijeção da

d (Proposição 3.5) pela bijeção åå (Proposição 5.5). Para todo åE e yE,

a_å(y)å({y}) (definição a_d)

inf{XP: {y}å(X)} (definição å)

inf{XP: yå(X)} (definição de singleton)

a_å(y). (definição de a_å)

Isto é, para todo åE, a_åa_å. Por ser a composição de duas bijeção, åa_å é uma bijeção.

Vamos provar que o mapeamento aåa é a composição de dd (Proposição 5.5) por ada (Pro-posição 3.5). Para todo aP^E e XP,

da(X)sup{YP: Xda(Y)} (definição de d)

sup{YP: X_y

_Y^a(y)} (definição de da)

X

yY^a(y)

Y (propriedade da união)

{yE : YP, (X_y

_Y^{a(y)) e yY}} (definição da união) {yE : YP, (Xa(y) (y Y)) e yY} (propriedade da união)

{yE : Xa(y)} (dedução lógica))

åa(X). (definição de åa)

Isto é, para todo aP^E, åada. Por ser a composição do inverso de åå pelo inverso de da_d,

aåa é o inverso de åa_å. V

A Proposição 5.6 mostra que existe uma correspondência um por um entre E e P^E. As funções a valores nas partes de E caracterizam sem ambigüidade as erosões. A Figura 5.3 ilustra este resultado e mostra como ele é obtido. A função a_å é chamada de função estruturante da erosão e.

Fig. 5.3 – Bijeção entre as erosões e as funções estruturantes.

åå

dd

E D

å å

da

åa

da_d

ad^a

P^E a_å

a åa_å

aå^a

a_å d^a

A Figura 5.4 mostra quatro modos de representar uma erosão por um bloquinho. Em (a) e (d), fazemos uma referência explícita a erosão. Em (b) e (c), a erosão é caracterizada pela sua função estruturante. Como já indicado no Capítulo 3, para um dado subconjunto X, o subconjunto åa(X) chama–se erosão de X pela função estruturante a.

Fig. 5.4 – Quatro modos de representar uma erosão.

(c) (d)

X

åa

Yåa(X) X Yåa(X)

ero

a

(a) (b)

X

å

Yå(X) X Yå(X)

ero

a_å

A bijeção apresentada na Proposição 5.6 inverte as relações de ordem definidas sobre E e P^E, como enunciado na próxima proposição.

Proposição 5.7 (dual isomorfismo de reticulados) – O mapeamento do reticulado E das erosõesno reti-culado das funções de E em P(E), åa_å, é um dual isomorfismo de reticulado, isto é, åa_å é uma bijeção e para todo å₁ e å₂ em E,

å₁å₂a_å2a_å1 . (antitonia dupla)

V Prova – Pela Proposição 5.6, åa_å é uma bijeção. Para todo å₁ e å₂ em E,

å1å2 å2å1 (Proposição 5.5)

a_å

2a_å

1 (Proposição 3.11)

a_å2a_å1. (Proposição 5.6)

V Como já foi indicado no Capítulo 3, o conjunto das erosões, provido da relação de ordem , é um reticulado completo. Em particular, no caso das erosões, para todo YE, temos

supP^P Ysup

E Y e inf

E Yinf

P^PY.

Proposição 5.8 (propriedade da união e interseção de erosões) – Seja (å_i)_iI uma família de erosões sobre P e seja (a_i)_iI a família das respectivas funções estrutrantes, isto é, a_ia_å

i para todo iI. Então

_iI^åiå

iI a_i

iIå_iå

_iI^{ai . V}

Prova – A prova é similar a da Proposição 3.12. V

Em particular, a interseção de duas erosões coincide com a erosão que tem como função estruturante a união das funções estruturantes. A união de duas erosões é menor que a erosão que tem como função estruturante a interseção das funções estruturantes. Em outros termos,

å₁å₂åa₁a₂ e å₁å₂åa₁a₂

Pelas Proposições 3.5, 5.4 e 5.6, para todo aP^E, o par (åa,da) é uma conexão de Galois. Então, pela Proposição 5.1, para todo aP^E,

Xda(Y) Yåa(X) (X, YP), e pela Proposição 5.2,

åa(X)sup{YP: Xda(Y)} (XP) da(Y)inf{XP: Yåa(X)} (YP).

De uma maneira similar ao caso geral, podemos caracterizar as erosões invariantes por translação.

Proposição 5.9 (conexão de Galois invariante por translação) – Seja D o conjunto das dilatações invaria-ntes por translação sobre P e seja E o das erosões invariantes por translação sobre P. Sejam a e b dois operadores sobre P. Se o par (a,b) é uma conexão de Galois entre (P,) e (P,), então

(1) aE bD

(2) bD aE. V

Prova – Para provar (1), basta, pela Proposição 5.4, mostrar que se e é i.t., então å é também i.t.. Para todo aE, Y em P e u em E,

å(Y u)inf{XP: Y uå(X)} (definição de å)

inf{XP: Yå(X)u} (propriedade do translado)

inf{XP: Yå(Xu)} (e é i.t.)

(inf{XP: Yå(X)}) u (propriedade do translado)

å(Y) u. (definição de å)

Isto é, å é também i.t. A prova de (2) é similar. V

Proposição 5.10 (caracterização das erosões i.t.) – Seja E o conjunto das erosões invariantes por trans-lação. O mapeamento de E em P(E),

åB_å ,

onde B_å é o subconjunto dado por B_åinf{XP: oå(X)}

é uma bijeção. Seu inverso é Bå_B ,

onde å_B é a erosão invariante por translação. dada por åB(X)XB (XP).

Para todo åE, B_åB_å e para todo BP, åBdB. V

Prova – A prova é similar a da Proposição 5.6. Precisamos apenas verificar que se e é i.t., então å é também

i.t.. Isto decorre das Proposições 5.2 e 5.9. V

Pelas Proposições 5.4 e 5.10, para todo BP, o par (åB,dB) é uma conexão de Galois. Então, pela Proposição 5.1, para todo BP,

XdB(Y) YåB(X) (X, YP).

A Figura 5.5 ilustra a implicação e a Figura 5.6 a implicação . Pela Proposição 5.2,, para todo BP,

å_B(X)sup{YP: Xd_B(Y)} (XP) d_B(Y)inf{XP: Yå_B(X)} (YP).

Exercício 5.2 (Conexão de Galois) – Seja B

^{010 111 010}

^{e seja X}

^{111 111 111}

. Determine dBåB(X).

Verifi-que Verifi-que dBåB(X)X. Dê uma razão para isto ocorrer. V

A noção de conexão de Galois, apresentada nesta seção, permitiu definir uma primeira dualidade entre as dilatações e as erosões, que será muito útil para introduzir as aberturas e fechamentos morfologicos, no próximo capítulo. Na próxima seção, vamos introduzir uma segunda dualidade.

No documento 2 EDIÇÃO BASES DA MORFOLOGIA MATEMÁTICA PARA ANÁLISE DE IMAGENS BINÁRIAS (páginas 92-101)