Operações sobre operadores

Fig. 3.3 – Quatro modos de representar uma dilatação.

(c) (d)

X

da

Yd^a(X) X Yd^a(X)

dil

a

(a) (b)

X

d

Yd(X) X Yd(X)

dil

a_d

Podemos caracterizar de uma maneira análoga as erosões, anti–dilatações e anti–erosões por funções estruturantes. Nestes casos, para um dado subconjunto X, os subconjuntos åa(X), d^a_a(X) e å^aa(X) chamam–

se, respectivamente, erosão, anti–dilatação e anti–erosão de X pela função estruturante a. A caracteri-zação das erosões será apresentada no próximo capítulo.

Fig. 3.4 – União e interseção de operadores.

y₁y₂

y₂ y₁

Y(y1y2)(X) X

y₁y₂

Y(y1y2)(X) Y

y₂ y₁

X Y

(y)(X)y(X) (XP).

A operação de complementação de um operador, denotada , é o mapeamento dado por yy.

O conjunto (P^P,,,) dos operadores sobre P provido das operações de união , interseção e complementação forma uma álgebra de Boole (por herança da álgebra de Boole dos subconjuntos).

As operações de união e interseção entre dois operadores estendem–se para famílias de operadores.

Seja (y_i) uma família de operadores sobre P com índices em I.

A união da família de operadores y_i é o operador sobre P denotado

_iI^yi e definido por (

_iI^yi)(X)

_iI^{yi(X) (XP).}

O mapeamento (y_i)

_iI^yi é a operação de união entre os elementos de uma família de operadores.

Da mesma maneira, a interseção da família de operadores y_i é o operador sobre P denotado

_iI^yi

e definido por

(

_iI^yi)(X)

_iI^{yi(X) (XP).}

O mapeamento (y_i)

_iI^yi é a operação de interseção entre os elementos de uma família de opera-dores.

A comparação entre certos operadores se faz em termos de uma relação construída a partir da definição da relação entre subconjuntos.

O operador y₁ é menor que o operador y₂, denota–se y₁y₂, se e somente se, para todo X em P, y₁(X)y₂(X), isto é,

y₁y₂(y₁(X)y₂(X) (XP)).

A relação entre operadores é chamada de relação “menor que”. Esta relação é obtida por ordenação puntual.

Seja i o operador identidade, isto é, i(X)X (XP).

Pela a definição da relação “menor que” entre operadores, um operador y é extensivo se e somente se iy e anti–extensivo se e somente se yi.

A relação entre operadores é uma relação de ordem e o conjunto (P^P,) dos operadores sobre P provido da relação forma um conjunto parcialmente ordenado. Este conjunto provido das operações de união e interseção estendidas às famílias de operadores forma também um reticulado completo (por herança do reticulado dos subconjuntos, como aconteceu com as funções binárias). Em outros termos, para todo conjunto de indices I, estas operações verificam, para toda família (yi)_iI de operadores sobre P,

_iI^{yisupYI e}

_iI^{yiinfYI ,}

onde Y_I é a imagem de I através a família (y_i)_iI, isto é, Y_I{yP^P: iI, y_iy}.

O conjunto parcialmente ordenado (P^P,) possue um maior elemento, que é XE, e um menor elemento, que é X .

Proposição 3.6 (sub–reticulados dos operadores extensivos e anti–extensivos) – O conjunto dos opera-dores extensivos (resp. anti–extensivos) é um sub–reticulado completo de (P^P,), isto é, a união e a interseção de qualquer família de operadores extensivos ( resp. anti–extensivos) são operadores extensivos

(resp. anti–extensivos). V

Prova – Seja (y_i)_iI uma família de operadores extensivos e seja y_k um operador desta família, então, para todo AP,

Ay_k(A) (hipótese)

_iI^yi(A) (propriedade da união)

(

_iI^yi)(A), (definição da união em P^P)

isto é,

_iI^yi é extensivo.

Seja (yi)_iI uma família de operadores extensivos. Para todo AP e iI,

Ay_i(A). (hipótese)

Assim, para todo AP,

A

_iI^yi(A) (propriedade da interseção)

(

_iI^yi)(A), (definição da interseção em P^P)

isto é,

_iI^yi é extensivo.

A prova relativa a anti–extensividade é similar a da extensividade. V Em particular, se y₁ e y₂ são dois operadores extensivos (resp. anti–extensivos) então y₁y₂ e y₁y₂ são extensivos (resp. anti–extensivos).

Proposição 3.7 (sub–reticulados dos operadores isotônicos e antitônicos) – O conjunto dos operadores isotônicos (resp. antitônicos) é um sub–reticulado completo de (P^P,), isto é, a união e a interseção de qualquer família de operadores isotônicos (resp. antitônicos) são operadores isotônicos (resp. antitônicos).

V Prova – Ver a prova em [Mather88, p. 122; HeiRon90, Proposition 2.2 (ii), p. 260]. V Em particular, se y₁ e y₂ são dois operadores isotônicos (resp. antitônicos) então y₁y₂ e y₁y₂ são isotônicos (resp. antitônicos).

O caso dos operadores elementares é mais complicado porque eles não formam sub–reticulados com-pletos de (P^P,). Todavia, isto, longe de ser um inconveniente, dá uma chance para a decomposição dos operadores entre reticulados em termos de operadores elementares [BanBar93].

Vamos relembrar duas proposições importantes da teoria dos reticulados.

Proposição 3.8 (condições suficientes para ter um reticulado completo) – Seja (L,) um conjunto parcialmente ordenado. Se, para todo XL, o supremo de X existir então (L,) é um reticulado com-pleto e

infXsupI_X , onde I_X{YL: Y é l.i. de X}.

Se, para todo XL, o ínfimo de X existir então (L,) é um reticulado completo e

supXinfS_X , onde S_X{YL: Y é l.s. de X}. V

Prova – Vamos provar no caso da existência de um supremo. Em primeiro lugar, para todo XL e todo AL

AsupI_X ( XL, X é l.s. de I_X AX) (propriedade do supremo)

( XX, X é l.s. de I_X AX) (XL)

XX, AX ( X é l.s. de I_X é verdade para todo X em X)

A é l.i. de X. (definição de l.i.)

Isto é, supI_X é l.i. de X. Então, pela definição de limitante inferior e a transitividade de , para todo XL e A L, temos A supI_X A é l.i. de X.

Em segundo lugar, para todo XL e A L,

A é l.i. de X A I_X (definição de I_X)

A supI_X. (propriedade do supremo) Isto é, para todo XL e A L, temos A é l.i. de X A supI_X.

Assim, para todo XL e A L, temos A é l.i. de X A supI_X. Isto é, pela definição de ínfimo, para todo XL, temos infXsupI_X. O que prova a existência do ínfimo a partir da existência do supremo.

No caso da existência de um ínfimo, a prova é similar [Birkho67, Theorem 3, p. 112]. V Definição 3.7 (subconjunto sup–fechado e inf–fechado) – Um subconjunto B de um reticulado completo (L,) é sup–fechado se e somente se para todo XB, o supremo de X (em L), sup

L X, pertence a B. Ele é inf–fechado se e somente se para todo XB, o ínfimo de X (em L), inf

L X, pertence a B. V Em outros termos, um subconjunto B de um reticulado completo (L,) é sup–fechado (resp. inf–

fechada) se e somente se a operação de união (resp. interseção) extendida a famílias sobre (L,) é fechada em B.

A segunda parte da próxima proposição é o Teorema 6, p. 7 em [Birkho67].

Proposição 3.9 (condição suficiente para um subconjunto de um reticulado completo ser um reticulado completo) – Seja (L,) um reticulado completo e seja B um subconjunto de L. Se B é sup–fechado então, para todo XB,

supL Xsup

B X,

e (B,) é um reticulado completo.

Se B é inf–fechado então, para todo XB, infL Xinf

B X,

e (B,) é um reticulado completo. V

Prova – Vamos provar no caso do subconjunto B ser sup–fechado. De um lado, para todo XB e A B,

supL XB e

supL XA

supL X é l.s. de X em B e

supL XA

(propriedade do supremo)

A é l.s. de X em B. (transitividade)

Isto é, para todo XB e A B, (supL XB) (sup

L XA A é l.s. de X em B).

De outro lado, para todo XB e A B,

A é l.s. de X em B A é l.s. de X em L (BL)

sup

L XA. (propriedade do supremo)

Então necessáriamente, para todo XB e A B, (supL XB) (A é l.s. de X em B sup

L XA).

Em outros termos, para todo XB, (supL XB) (sup

L XA A é l.s. de X em B).

sup

L Xsup

B X. (definição de supremo)

Isto prova que se B é sup–fechado então o supremo de qualquer subconjunto de B existe, e, pela Propo-sição 3.8, B é um reticulado completo.

No caso do subconjunto B ser inf–fechado, a prova é similar. V

Proposição 3.10 (propriedades dos operadores elementares) – O subconjunto D das dilatações(resp. E das erosões, D^a das anti–dilatações e E^a das anti–erosões) é um subconjunto sup–fechado (resp. inf–

fechado, inf–fechado e sup–fechado) de P^P. V

Prova ([Serra88, p. 18; HeiRon90, Prop. 2.3]) – Vamos provar no caso do subconjunto D das dilatações.

Para todo YD e XP,

(supY)(supX)(_y

_Y^y)(supX) (propriedade da união em P^P)

_y

_Y^y(supX) (definição da união em P^P)

_y

_Y^{supy(X) (y} é dilatação)

_y

_{Y X}

_X^y(X) (propriedade da união em P)

_X

_{X y}

_Y^y(X) (comutatividades das uniões)

_X

_X ⁽_y

_Y^y)(X) (definição da união em P^P)

_X

_X^(supY)(X) (propriedade da união em P^P)

sup(supY)(X). (propriedade da união em P)

Isto prova que supYD e, consequentemente, que D é sup–fechado.

No caso de E, D^a e E^a, a prova é similar. V

Exercício 3.1 (propriedade das anti–dilatações) – Prove que as anti–dilatações formam um subconjunto

inf–fechado de P^P. V

Pelas Proposições 3.9 e 3.10, o conjunto D das dilatações(resp. E das erosões, D^a das anti–dilatações e E^a das anti–erosões) provido da relação de ordem é um reticulado completo. Em particular, no caso das dilatações, para todo YD, temos

sup

P^PYsup

D Y e inf

D Yinf

P^PY.

Aplicando às funções de E em P(E), os mesmos mecanismos de construção usados para prover os oper-adores sobre P das operações de união, interseção e complementação, e de uma relação de ordem consis-tente com a união e interseção, obtemos a álgebra de Boole (P(E)^E,,,) e o reticulado completo (P(E)^E,).

Proposição 3.11 (isomorfismo de reticulados) – O reticulado D das dilataçõese o reticulado das funções de E em P(E), são isomorfos. Em outros termos, da_d é um isomorfismo de reticulado, isto é, da_d é uma bijeção e para todo d₁ e d₂ em D,

d₁d₂ a

d1a

d2

. (isotonia dupla)

V Prova – Fazendo a hipótese que d1d₂, para todo yE,

ad1

(y)d₁({y}) (definição de a

d)

d₂({y}) (hipótese)

a_d

2

(y), (definição de a_d)

isto é, d₁d₂ a_d

1a_d

2

. Fazendo a hipótese que a

d1a

d2

, para todo YP,

d₁(Y)_y

_Y^ad1(y) (caracterização da dilatação)

_y

_Y^ad2(y) (hipótese e propriedade da união)

d₂(Y), (caracterização da dilatação)

isto é, a_d

1a_d

2 d₁d₂. V

Proposição 3.12 (propriedade da união e interseção de dilatações) – Seja (di)_iI uma família de dila-tações sobre P e seja (a_i)_iI a família das respectivas funções estrutrantes, isto é, a_ia

di

para todo iI.

Então

d

_iI^ai

_iI^di

d

_iI^ai

iId_i . V Prova – Em relação à união,

d

_iI^aidsupAI (propriedade da união em P(E)^E)

sup

D D_I (consequência da Proposição 3.11)

sup

P^PDI (Proposições 3.9 e 3.10)

_iI^{di .} (propriedade da união em P^P)

Em relação à interseção,

d

_iI^aidinfAI (propriedade da interseção em P(E)^E) inf

D DI (consequência da Proposição 3.11)

inf

P^PD_I (DP^P)

_iI^{di .} (propriedade da interseção em P^P)

V Em particular, a união de duas dialatações coincida com a dilatação que tem como função estruturante a união das funções estruturantes. A interseção de duas dilatações é maior que a dilatação que tem como função estruturante a interseção das funções estruturantes. Em outros termos,

da₁a₂d₁d₂ e da₁a₂d₁d₂.

A Proposição 3.12 indica um caminho para a decomposição de uma dilatação d em termo de uma união de dilatações menores. Seja (E_i)_iI uma partição de E, isto é, (E_i)_iI é uma coleção de subconjuntos de E tais que E

_iI^{Ei e EiEj} , para todo ij. Seja (a_i)_iI a família de funções de E em P(E) dada por

a_i(y)

^{ad(y) se y}_c.c.^{Ei (yE)}

Por construção a_d

_iI^ai . Então, pela Proposição 3.12, d

_iI^dai.

Sejam a₁ e a₂ as funções de E em P(E) mapeando os pontos x₁ e x₂ de E (pontos marquados com bolinhas pretas) nos subconjuntos da Figura 3.5 (pontos nas áreas cinzas). A Figura 3.6 mostra os

subcon-juntos mapeados por a₁a₂ e a₁a₂ nos pontos x₁ e x₂. A Figura 3.7 mostra os subconjuntos transfor-mados do subconjunto {x₁, x₂} pelas dilatações da₁da₂ e da₁a₂. Conforme a teoria estes subconjuntos são iguais. A Figura 3.8 mostra os subconjuntos transformados do subconjunto {x₁, x₂} pelas dilatações da₁da₂ e da₁a₂. Conforme a teoria estes subconjuntos podem não ser iguais.

Fig. 3.5 – Especificação das funções estruturantes.

x1 e a1(x1) x2 e a1(x2)

x1 e a2(x1) x2 e a2(x2)

Fig. 3.6 – União e interseção das funções estruturantes.

x1 e (a1a2)(x1) x2 e (a1a2)(x2)

x1 e (a1a2)(x1) x2 e (a1a2)(x2)

Uma segunda maneira de combinar operadores, dita sequencial ou serial, consiste em ligar a saída de um operador com a entrada do outro.

Fig. 3.7 – União de dilatações.

dil

a1

dil

a2

da₁da₂

dil

a1a2

X d_a1(X)

d_a2(X)

(d_a1d_a2)(X)

X d_a1a2(X)

Definição 3.8 (composição de operadores) – Sejam y₁ e y₂ dois operadores sobre P. O composto (ou pro-duto) do operador y₁ pelo operador y₂ é o operador sobre P, denotado y₁y₂ e dado por

(y₁y₂)(X)y₁(y₂(X)) (XP).

A composição de um operador por um outro é o mapeamento dado por

(y₁,y₂)y₁y₂ . V

A Figura 3.9 ilustra a composição de um operador por um outro, através de bloquinhos.

Pela Definição 3.3, um operador y é idempotende de tipo 1 se e somente se yyy,

e é idempotente de tipo 2 se e somente se yyi.

Exercício 3.2 (associatividade da composição) – Mostre que a composição é associativa, isto é, para todo operador y₁, y₂ e y₃ sobre P,

y₁(y₂y₃)(y₁y₂)y₃ . V

Proposição 3.13 (propriedades do composto) – Sejam y₁ e y₂ dois operadores sobre P. O operador y₁y₂, composto do operador y₁ pelo operador y₂ tem as propriedades dadas nas Tabelas 3.1, 3.2 e 3.3.

V Tabela 3.1 – EXTENSIVIDADE/ANTI–EXTENSIVIDADE DO COMPOSTO.

y2 é extensivo y1y2 é extensivo

y1y2 é anti–ext.

y2 é anti–ext.

y1 é extensivo y1 é anti–ext.

Tabela 3.2 – ISOTONIA/ANTONIA DO COMPOSTO.

y2 é isotone y1y2 é isotone

y1y2 é isotone y1y2 é antitone y1y2 é antitone

y2 é antitone y1 é isotone

y1 é antitone

Tabela 3.3 – CLASSE DO COMPOSTO.

y2 é dilatação

y1y2 é dilatação y1y2 é anti–eros.

y2 é erosão y2 é anti–dilatação

y1y2 é erosão y1y2 é anti–dil.

y2 é anti–erosão y1 é dilatação

y1 é anti–dilatação y1 é anti–erosão

y1 é erosão

y1y2 é dilatação y1y2 é anti–dil.

y1y2 é anti–eros.

y1y2 é erosão –

– –

–

– –

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