A hidrodinâmica de uidos magnéticos é uma área de pesquisa que possui grande inter- face entre a formulação macroscópica contínua das equações de balanço que descrevem o movimento de um uido magnético e a dinâmica microestrutural de um uido magnético. A magnetização de um uido na ação de um campo externo leva ao surgimento de novos
termos na equação do movimento segundo uma abordagem Euleriana contínua. Esses no- vos termos dependem fortemente da modelagem do campo de magnetização do material. Entretanto, alguns termos que surgem na equação evolutiva de magnetização dependem da física que acontece na microescala. Essa seção pretende de nir o conceito de magnetização à partir da microestrutura do material.
A magnetização na escala macroscópica mede o estado de polarização de um meio con- tínuo magnetizado. Nesta seção, será de nido o conceito de momento de dipolo magnético ou momento magnético, como uma propriedade advinda de mecanismos em escalas na- noscópicas, de uma partícula em uma suspensão coloidal magnética e sua relação com a magnetização de um meio, como uma propriedade macroscópica. A caracterização do mo- mento de dipolo e magnetização, será obtida de acordo com o desenvolvimento apresentado por Cunha (2012).
A de nição do momento de dipolo magnético m medido em joules por tesla ( JT−1) ou
em ampère metro quadrado ( Am2), pode ser feita, considerando um circuito fechado de
pequena área transversal ∆A, com um uxo de corrente elétrica I constante. Por de nição, o momento de dipolo magnético associado a este circuito, é dado por
m= I∆An , (2.1)
no qual n é o vetor unitário normal a ∆A, de nido pelo sentido da corrente elétrica. Sejam os momentos de dipolos distribuídos de forma estatisticamente homogêneo e independen- tes no volume material δV , formado por um número su cientemente grande de partículas magnéticas, dessa forma o cálculo da média dos momentos de dipolos contidos em δV pos- sui variações muito pequenas na escala local ∆V . Assim, pela hipótese de ergodicidade, a média volumétrica dos momentos de dipolos é equivalente a média de distribuição de pro- babilidade associada aos momentos de dipolo magnéticos das partículas contidas em δV . Deste modo, de ne-se a média volumétrica dos momentos magnéticos distribuídos em δV , como < m > (x, t) = lim δV0→δV 1 δV0 Z δV0 m(y, t)dV , (2.2)
em que x é uma posição xa no interior do volume material δV , no qual em seu entorno é calculado a propriedade média local e y percorre o interior do volume in nitesimal, podendo estar no domínio do uido base contínuo ou no domínio das partículas ( gura 2.1). Como
se trata de uma média volumétrica, para um tempo t xo ou em regime permanente, a dependência do tempo nos termos não será explicitada.
Fluido Base
x y
Figura 2.1: Representação esquemática de um volume contínuo δV de uma suspensão mag- nética, em que x é uma posição xa no interior do volume material contínuo, no qual em seu entorno é calculado a propriedade média local e y percorre o interior do volume in nitesimal assinalando onde há partículas.
Decompondo o volume δV como a soma do volume do uido base e volume das partículas magnéticas, tem-se que
δV = δVm+ N
X
k
vpk, (2.3)
com δVm sendo o volume do uido, N é o número total de partículas magnéticas contidas
em δV e vp é o volume de uma partícula. Dessa forma, a equação (2.2) pode ser escrita,
como < m > (x, t) = lim δV0→δV 1 δV0 " Z δVm m(y)dV + Z PN k vpk m(y)dV # . (2.4)
Agora observe que m(y) = 0 se y ∈ δVm, pois o uido base não se polariza, assim a
integral de volume em δVm é nula. Tem-se então que
< m > (x, t) = lim δV0→δV 1 δV0 Z PN k vkp m(y)dV . (2.5)
A equação (2.5) representa uma média volumétrica de todos os momentos de dipolo magnéticos orientados na direção do campo magnético aplicado. A magnetização na escala do contínuo, representa o efeito médio das componentes dos momentos de dipolo magné- ticos na direção do campo magnético aplicado, dessa forma, para uidos magnéticos, o vetor magnetização M, pode ser visto como uma medida global do grau de alinhamento de momentos magnéticos com o campo externo aplicado. Considerando uma suspensão monodispersa com N partículas de volume vp e aproximando a equação (2.5) por sua re-
presentação discreta, obtém-se que
< m >= 1 δV N X k=1 mkvk p = vp N δV 1 N N X k=1 mk ! , (2.6)
em que a média dos momentos de dipolo magnéticos é de nida por
m= 1 N N X k=1 mk, (2.7)
e o número de densidade de partículas, como
n = N
δV . (2.8)
Substituindo a equação (2.7) e (2.8) em (2.6), obtém-se que
< m >= vpnm = φm , (2.9)
em que φ = nvp é a fração volumétrica de partículas em δV . Assim, a magnetização M,
sendo uma média volumétrica de momentos magnéticos na direção do campo aplicado por unidade de volume da partícula, é dada por
M = < m > vp
= nm . (2.10)
Portanto, a magnetização M é uma média volumétrica de momentos magnéticos na direção do campo aplicado H por unidade de volume da partícula. Quando os momentos de dipolo magnético da suspensão estão completamente orientados na direção do campo magnético aplicado, a magnetização do meio atinge seu valor máximo, denominado magne- tização de saturação denotada por Ms.
Um outro exemplo, da conexão entre a formulação macroscópica e a dinâmica micro- estrutural em uidos particulados, foi apresentado por Batchelor (1967) e Landau (1959) através de um modelo que visa buscar uma equação constitutiva para o tensor de tensões de um uido com partículas. Partindo de uma média estatística na escala das partículas, veri cou-se que existe uma contribuição destas no tensor de tensões do material como um todo, mostrando-se dessa forma, que existe um acoplamento entre fenômenos na microes- trutura (escala das partículas) e respostas macroscópicas contínuas do uido particulado.