Considera-se primeiramente uma região esférica de raio R composta de partículas mag-
néticas de raio a, densidade ρs, calor especí co cs e de um líquido ambiente de densidade
ρ0 e calor especí co c0. O raio R é grande o su ciente para conter um grande número de
partículas magnéticas, mas pequeno o su ciente para que as variações espaciais de tempera- tura dentro da região de raio R possam ser desprezadas. Dessa forma, sob essas condições,
é proposto um modelo para predizer a taxa média de aumento de temperatura dentro de um pequeno tumor de meio equivalente esférico, submetido à magnetohipertermia induzida pela presença de nanopartículas magnéticas suspensas, expostas a um campo magnético oscilatório de amplitude uniforme. A gura (6.1) mostra um modelo tumoral concentrado e com partículas magnéticas submetidas a um campo magnético senoidal.
(a)
(b)
(c)
Figura 6.1: Esboço de um modelo prototípico para magnetohipertermia: (a) mostra um tumor impregnado com partículas magnéticas sob ação de um campo magnético oscilatório, (b) mostra uma ampliação de uma região típica dentro do tumor com as partículas mag- néticas e (c) detalhe de uma partícula magnética típica com uma camada de surfactante, a m de evitar a formação de aglomerados (Figura desenvolvida pelo prof. Rafael Gabler).
Portanto, neste trabalho é mostrado como a taxa média de aumento de temperatura no tempo, <dθ/dt>, depende da frequência angular adimensional, do parâmetro de interação campo - partícula, denotado por α, interação dipolar entre partículas, λ, do número de
Peclét, P e e da fração volumétrica de partículas, φ, dentro do tumor. A parte imaginárida da susceptibilidade complexa do uido magnético, χ00, está relacionada com a dissipação
de energia magnética na forma de calor, consequentemente, é a quantidade principal para predizer a taxa média de aumento de temperatura no tempo (Rosensweig, 2002; Kappiyoor et al., 2010; Zubarev et al., 2017). Na presente abordagem, χ00 é calculado em termos da
magnetização adimensional, Mz(t), na região tumoral (modelo concentrado), por meio de
simulações discretas com o método Dinâmica de Langevin.
Na literatura atual sobre magnetohipertermia indica que quando a temperatura está entre 42oC− 48oC, a taxa de morte de células canceríginas aumenta ligeiramente enquanto
as células saudáveis sobrevivem devido a sua maior capacidade térmica (Maenosono e Saita, 2006). Assim, é importante examinar a in uência dos parâmetros físicos descritos acima no método terapêutico de magnetohipertermia.
O equilíbrio térmico total da taxa de energia por unidade de volume em uma região contínua R de condutividade térmica efetiva ke, densidade ρe e calor especí co ce é dado
por (Batchelor, 1967) ρece ∂θ ∂t + v· ∇θ =∇ · (ke∇θ) + ˙Φη + ˙Σ , (6.1)
em que v é o campo de velocidade Euleriano dentro da região, ˙Φη é a taxa de dissipação
viscosa por unidade de volume que para um uido equivalente incompressível é dada por, ˙Φη = 2ηeD : D, onde ηeé a viscosidade dinâmica efetiva e D = (1/2)(∇v+∇Tv), é o tensor
taxa de deformação. O primeiro termo do lado direito na equação (6.1) representa a taxa de condução de calor dentro da região. Além disso, o termo ˙Σ denota a taxa de produção de energia que é a principal contribuição na descrição da hipertermia magnética. O tumor esférico de raio R é su cientemente pequeno para que o gradiente de temperatura dentro
desta região possa ser desprezado. Também, o uxo dentro da região do tumor é muito fraco, resultando em uma descrição local ou concentrada do balanço de energia. Portanto, a condução de calor, a convecção e a dissipação viscosa apresentam um pequeno efeito em comparação com a taxa de produção de energia pelas nanopartículas. Para maiores detalhes, veja Guimarães, Cunha e Gontijo (2020). Sob essas condições, o balanço de energia térmica dado pela equação (6.1) reduz para:
ρece
dθ
no qual o termo do lado direito da equação (6.2) é dado por
˙Σ = ˙Pm+ ˙Psangue+ ˙Pcel, (6.3)
em que ˙Pm é a geração de calor produzida dentro do tumor pelas nanopartículas magnéticas
submetidas ao campo alternado, ˙Psangue é o calor sensível a perfusão sanguínea e ˙Pcel
é uma geração de calor associada à atividade metabólica das células. Estas duas últimas contribuições já foram consideradas de maneira ad hoc, a m de descrever o desenvolvimento temporal da temperatura no centro de um tumor (Maenosono e Saita, 2006).
Será considerado neste trabalho um modelo simples, onde a taxa de geração de energia magnética pelas nanopartículas domina a taxa de perfusão sanguínea e as gerações de calor metabólico celular. Portanto, a taxa de energia interna dentro de nossa pequena região tumoral é balanceada apenas pela geração de calor de nanopartículas magnéticas. Assim, o elemento de geração de energia magnética por unidade de volume é dado por
dPm = µ0Mz∗(t)dH , (6.4)
então a taxa de geração de energia magnética é expressa por
dPm/dt = µ0Mz∗(t)dH/dt , (6.5)
em que M∗
z é a componente z de magnetização dimensional. Especi camente, para este
problema, a equação de energia local apenas indica o equilíbrio entre a taxa de energia interna por unidade de volume V e a taxa de geração de energia magnética por unidade de
volume, e pode ser expressa como:
ρe ce dθ dt = dPm dt = µ0M ∗ z(t) dH dt = µ0M ∗ z(t)ωH0cos (ωt), (6.6)
em que ρe = ρ0(1 + φ∆ρ/ρ0) e ce = c0(1 + φ∆c/c0) são a densidade efetiva e o calor
especí co do meio homogêneo, respectivamente. Agora, ao tomar uma média no tempo sobre a equação (6.6) resulta em:
ρe ce < dθ/dt >= µ0H0ω lim T0→T 1 T0 Z T0 0 Mz∗(t) cos (ωt)dt , (6.7) em que t, varia para um múltiplo do período de oscilação considerando T 2π/ω. Por conveniência, o limite da integral na equação (6.7) será suprimido. A taxa de temperatura escrita em termos de uma integral adimensional de Mz(t) cos (ωt) é dada por:
< dθ/dt >= 1 ρece µ0H02ωχs 1 T Z T 0 Mz(t) cos (ωt)dt. (6.8)
Observe que a integral adimensional na equação (6.8) é exatamente a componente imaginá- ria da susceptibilidade complexa dada na equação (4.2). Portanto, a taxa de temperatura dentro de R pode ser escrita no seguinte formato compacto:
< dθ/dt >= 1 ρe ce
µ0H02ωχ 00
. (6.9)
Deve ser importante notar que a função χ00 depende da frequência angular e também dos
parâmetros físicos χ00 = χ00(ω; α, λ, P e, φ). Consideremos o limite diluído, ou seja, φ 1
para que:
ρece ∼ ρ0c0(1 + φβe) . (6.10)
Aqui βe é de nido como o parâmetro da propriedade relativa (∆ρ/ρ0+ ∆c/c0), onde ∆ρ =
ρs− ρ0 e ∆c = cs− c0. Quando φβe 1 podemos fazer a seguinte aproximação
1
ρ0c0(1 + φβe) ∼
1 ρ0c0
(1− φβe). (6.11)
Agora, considerando que µ0H02 = αφkBθ0/(χsvp), a equação (6.9) pode ser totalmente
escrita em termos de apenas quantidades adimensionais,
< dθ/dt >=Kbs
αω χs
φ(1− φβe) χ00(ω; α, λ, P e, φ). (6.12)
onde Kbs = kB/(ρ0c0vp), pode ser interpretado como sendo um parâmetro físico que mede a
importância relativa entre a energia térmica browniana e a energia de calor sensível. Além disso, a equação (6.6) em uma forma adimensionalizada poderia ser integrada numerica- mente para obter o histórico de temperatura antes de tomar a média de tempo. A equação diferencial de primeira ordem adimensional a ser resolvida por θ(t) seria:
dθ
dt =Kbs α0ω
χs
φ(1− φβe)Mz(t) cos (ωt). (6.13)
Para o cômputo de Kbs e βe na equação (6.12), considerou-se vp = 5.23× 10−25m3 para
uma partícula com d = 10 nm, ρ0 ∼ 103kg/ m3, c0 ∼ 103J/( kg. K). Portanto, segue-se
que Kbs ∼ 10−5 e βe ∼ 1. Para a susceptibilidade de saturação aplicou-se o resultado da
equação (4.4), expressando-a em função de φ e α. Dessa forma, todos os resultados foram obtidos com as seguintes quantidades adimensionais: ω, α, λ, φ e P e.