Congruência via isometrias

Com o desenvolvimento da Álgebra e o surgimento de novas geometrias como a geometria projetiva, a geometria analítica, as geometrias não- euclidianas, a Geometria foi estudada sob um ponto de vista algébrico. Essa

nova concepção utiliza a estrutura de grupos1 e é baseada nas pesquisas de

Felix Klein (1849-1925) e Sophus Lie (1842–1899).

Klein, em 1872, apresentou o Programa de Erlangen na sua primeira aula na Universidade de Erlangen. Nessa aula, descreveu a geometria como "o

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Um grupo consiste em um conjunto de elementos quaisquer e um conjunto de operações, obedecendo a um certo número de leis e regras prefixadas como postulados. Na matemática esses grupos constam, normalmente, de uma só operação e quatro postulados, que são: 1. o conjunto deve ser fechado com relação à operação dada; 2. tal operação deve ser associativa; 3. o conjunto deve conter o elemento neutro com respeito à dada operação; 4. cada elemento do conjunto deve ter um inverso com respeito à operação dada.

estudo das propriedades das figuras que permanecem invariantes sob um particular grupo de transformações" (Boyer, 1974, p.400). Desse modo, caracterizou e associou cada geometria existente a um grupo de transformações. Essa nova perspectiva fez com que houvesse grande impulso na Geometria, e que nos últimos anos tem sido dada ênfase o estudo das transformações nas escolas.

Para definir, por exemplo, a geometria métrica plana, deve-se considerar: um conjunto A (plano euclidiano) de pontos e o conjunto das isometrias que formam um grupo G relativamente à operação de composição de transformações. Da geometria métrica em A (plano euclidiano) de grupo principal G (isometrias) entende-se como sendo o conjunto de propriedades de A (congruência) invariantes para as transformações de G.

O axioma não mencionado por Euclides, sobre as figuras que permanecem invariantes quando deslocadas no plano, equivale às transformações de translação, rotação e reflexão de figuras que permanecem invariantes no plano. Essa Geometria por transformações utiliza como objetos geométricos os pontos, as retas, os planos e suas relações. A seguir, as definições e o estudo da congruência segundo as transformações isométricas.

Transformação do plano é definida como sendo uma aplicação bijetora do conjunto dos pontos do plano sobre si mesmo.

Transformação identidade é aquela pela qual a imagem de um ponto é o próprio ponto. Assim, Id (P)=P para todo ponto P do plano.

Isometria do plano é uma transformação no plano F, tal que P'Q'=PQ para todo par de pontos distintos P e Q do plano, onde P'=F(P) e Q'=F(Q). Em outras palavras, podemos dizer que F preserva distâncias entre pontos do plano. Além disso, pode-se afirmar que uma isometria conserva: a colinearidade de pontos, a ordem dos pontos numa reta, a medida dos ângulos, o paralelismo, os pontos médios, o perpendicularismo. Etimologicamente a palavra isometria vem do grego isos, que significa igual, e metron que significa medida. Por conseguinte, a isometria ou deslocamento, corresponde às transformações que conservam as medidas (tamanho) e a forma das figuras, isto é, as figuras continuam congruentes. Assim, duas figuras geométricas A e A' do plano são congruentes se existe uma isometria F do plano, tal que F(A) = A'. Esta definição se aplica a pares de figuras geométricas quaisquer do plano (Fig.31).

Fig. 31

Duas figuras geométricas do plano são congruentes se e somente se estão relacionadas por uma translação, uma rotação, uma reflexão (simetria

axial), ou uma composição dessas transformações. A simetria axial é muito

importante, pois, qualquer isometria pode ser representada como resultado da composição de no máximo 3 reflexões em retas.

Translação

Uma translação pode ser entendida como um movimento de uma figura

no espaço, tal que as posições final e inicial definam segmentos orientados2

congruentes de mesmo sentido (eqüipolentes).

Dado o ponto A e a translação definida pelo segmento orientado →

v, pode-se obter um outro ponto B tal que, AB→ = v→ ( AB é

eqüipolente de →v ).

De maneira formal, a translação é definida como: dado um vetor →a,

chamamos translação de vetor →a à transformação T_a:∏→∏, tal que, Ta (P) = P'

se e somente se PP→'=→a,∀P∈∏.

2 _{De forma intuitiva, o segmento orientado é representado por flecha cuja ponta indica o seu sentido. De}

maneira formal, um segmento orientado é um par ordenado (A,B) de pontos doespaço. A é dito origem, B extremidade do segmento orientado, sendo A≠B, (A,B) é diferente de (B,A). Quando os segmentos orientados são colocados em uma mesma classe de equivalência, eles possuem mesma direção, mesmo sentido e mesma medida.

Fig.32a Fig. 32b

Com a transformação translação, obtém-se as propriedades de congruência de triângulos. Por exemplo, dado um vetor v e um triângulo ABC, a imagem A'B'C', por uma translação do vetor v , é congruente ao triângulo original, os lados permanecem paralelos. A distância entre os respectivos pontos dos triângulos ABC e A'B'C' são iguais ao comprimento (v) do vetor v . A orientação (sentido horário ou anti-horário) e a ordem das imagens dos vértices A, B e C, ou quaisquer pontos não colineares do triângulo ABC, permanecem inalterados após a translação, ou seja, A', B', C' mantêm a ordem e a orientação dos vértices originais.

Rotação de centro O e ângulo α

A rotação em relação a um ponto e a um ângulo é uma transformação isométrica. Dado um ponto O e um ângulo orientado α , a rotação fixa o ponto O e, a cada ponto P do plano, distinto de O, associa um ponto P', de modo que o ângulo orientado POP' seja congruente a α e as medidas dos segmentos PO e P'O sejam iguais.

Fisicamente a rotação corresponde ao movimento realizado sobre uma circunferência com centro no centro de rotação, recorrendo ao arco cuja amplitude é igual ao ângulo de giro. Adota-se a rotação no sentido anti-horário como positivo e o sentido horário como negativo (Fig. 33 e Fig. 34).

Fig. 33 Fig. 34

Simetria

A simetria estudada de forma intuitiva pode ser compreendida, utilizando- se figuras planas ou objetos tridimensionais, espelhados ou refletidos em um espelho, ou mesmo, tomando-se figuras da natureza ou criada pelo homem para introduzir o eixo de simetria.

Eixo de simetria: reta imaginária que divide a figura em duas metades.

Fig. 35

Essas experimentações podem ser realizadas antes do estudo da simetria central e axial e suas propriedades.

Simetria Central

Uma reflexão em relação a um ponto O ou simetria central, é uma rotação de 180º (sentido positivo, anti-horário) em torno de um ponto O, ou seja, associa a cada ponto P do plano, com P distinto de O, o ponto P' tal que O é ponto médio do segmento PP'.

Fig. 36

Toda simetria central é uma isometria no plano. Simetria Axial

Uma reflexão na reta r ou simetria axial (eixo) ou simetria em relação a uma reta r, é uma aplicação que fixa todos os pontos de r e associa a cada ponto P do plano, com P não pertencente a r, o ponto P' tal que r é uma reta mediatriz do segmento PP'.

Composição de transformações

Toda isometria do plano é uma composição de reflexões segundo retas do plano. Assim, a congruência de figuras pode ser obtida, também, por uma composição de reflexões. As figuras a seguir, ilustram algumas dessas composições.

A translação como o produto de duas reflexões:

ƒ E3 foi obtido pela reflexão de E1 em relação à reta s. Depois, E2 foi obtido pela reflexão de

E3 em relação à reta r (Fig. 38a).

Fig. 38a

ƒ Do mesmo modo E2 pode ser obtido utilizando-se a translação de E1, segundo o vetor v (Fig. 38b).

Fig. 38b

ƒ Distância entre as retas r e s é metade da distância do vetor v.

Rotação como produto de duas reflexões:

ƒ E3 é obtido pela reflexão de E1 em relação a reta r , obtendo E2. Em seguida, E2 é

refletido em s, resultando E3 (Fig. 39a).

Fig. 39a

ƒ Da mesma forma E3 pode ser obtido pela rotação de E1, em torno do ponto O, cujo ângulo

Fig. 39b

Produto de uma translação por uma reflexão (reflexão deslisante):

ƒ E3 é obtido por meio de uma translação, segundo o vetor v, resultando E2, em seguida

uma reflexão de E2 em relação a reta r (Fig. 40a).

Fig. 40a

ƒ Da mesma forma, pode ser representada como produto de três reflexões (Fig. 40b).

Fig. 40b

Esses resultados também podem ser explorados utilizando-se comandos de software específicos como o Cabri-géomètre.