Conhecimento comum imperfeito

Alternativamente, para ilustrar uma situação intermediária, onde não haveria conhecimento perfeito das partições, suponha que os três alunos sejam dispostos em fila, onde primeiro da fila seja o Aluno 1, o segundo da fila o Aluno 2 e o terceiro da fila o Aluno 3. Suponha que a ordem da fila seja informada aos três alunos. Portanto, o Aluno 1, que não está olhando para os seus colegas, sabe que o Aluno 2 está sentado atrás dele, mas na frente do Aluno3. Nesta situação, passa a ser de conhecimento público que o Aluno 3 conhece a cor do chapéu dos Alunos 1 e 2, assim como, o Aluno 2 conhece a cor do chapéu do Aluno 1.

Vale enfatizar, neste ponto, que cada um dos alunos já sabe (informação privada) a cor do chapéu dos seus colegas, como informado previamente pelo professor em reuniões reservadas um a um. Neste caso, portanto, existe conhecimento comum, mas existe também informação exclusivamente privada. Note que o conhecimento imperfeito que os outros alunos tem a repeito da partição de cada um dos alunos pode ser representado pelas partições:

Note que as partições , e são, respectivamente, refinamento das partições , e . Ademais, não existe conhecimento comum entre Alunos 1 e 2, nem entre Alunos 1 e 3, no entanto, existe conhecimento comum entre os Alunos 2 e 3. Este conhecimento comum imperfeito é representado pela partição:

Neste contexto, suponha que os chapéus de todos sejam vermelhos, isto é, o estado (=RRR) ocorreu. O professor anuncia publicamente que existe pelo menos um chapéu vermelho, isto é, que não ocorreu o estado _{. Ademais, ele pede que os alunos, obedecendo à} ordem da fila, se pronunciem publicamente sobre se são capazes, ou não, de descobrir a cor de seus próprios chapéus:

O Aluno 1 dirá que não consegue descobrir a cor de seu chapéu, visto que, não distingue o estado _{do . Note que, mesmo sabendo que o estado não ocorreu, os outros} não são capazes de deduzir que não ocorreu o estado _{, pois desconhecem completamente} .

O Aluno 2 dirá que não consegue descobrir a cor de seu chapéu, visto que não distingue o estado _{do . Da mesma forma, mesmo sabendo que o estado não ocorreu, os} outros não são capazes de deduzir que não ocorreu _{, pois não conhecem perfeitamente} . Mesmo considerando , não é possível deduzir nada do anúncio do Aluno 2, pois ele não entra em conflito com a possível ocorrência de _.

O Aluno 3, não consegue descobrir a cor de seu chapéu, visto que não distingue o estado _{do . No entanto, baseado em} , todos são capazes de deduzir que o estado _não ocorreu.

Note que, depois de uma rodada de pronunciamentos públicos, nenhum dos alunos descobriu a cor de seu chapéu. No entanto, se for feita uma nova rodada de consultas, o cenário muda, pois:

O Aluno 1 ainda afirma que não conhece seu chapéu e, novamente, ninguém pode deduzir nada de seu novo pronunciamento, pois desconhecem completamente .

O Aluno 2 ainda afirma que não conhece a cor de seu chapéu. No entanto, como o evento _{não ocorreu, e como} representa parte das informações do Aluno 2, todos deduzem que o evento _{não ocorreu. Portanto, ocorreu , ou seja, todos} concluem que o chapéu do Aluno 1 é vermelho.

Podemos observar que o conhecimento imperfeito que cada um dos alunos tem sobre as partições dos seus colegas muda o resultado, quando comparamos com o caso clássico. Neste contexto, o conceito de conhecimento comum imperfeito, proposto neste trabalho, permite formalizar a análise de situações em que não existe conhecimento comum perfeito sobre as partições alheias.

Tabela 4 – Alunos dispostos em fila, na ordem 1, 2 e 3:

Estado Descartado Estado Realizado a b c d e f g h a - 31 21 22 11 12 13 22 b 31 - 22 21 12 11 22 22 c 21 22 - 31 13 13 11 12 d 22 21 31 - 13 13 12 11 e 11 12 13 13 - 31 21 13 f 12 11 13 12 31 - 22 21 g 13 13 11 11 21 22 - 31 h 13 13 12 11 22 21 31 -

Obs: O número sobrescrito corresponde à rodada em que o aluno descobriu a cor do seu chapéu.

Na Tabela 4 são apresentados todos os resultados para o caso dos alunos dispostos em fila. Diferentemente dos casos apresentados acima (Tabelas 2 e 3), nos quais, ou algum aluno descobria a cor de seu chapéu sempre na primeira rodada de perguntas ou ninguém mais tinha condições de descobrir (casos marcados com x), aqui pode ser que tenha que se fazer até três rodadas, obedecendo a ordem, até que algum dos alunos descubra a cor de seu chapéu. O

número sobrescrito indica em qual rodada o aluno se manifestou dizendo que descobriu a cor de seu chapéu.

A Tabela 5 compara os resultados apresentados nas Tabelas 2, 3 e 4, indicando a proporção de situações em que cada aluno descobre primeiro a cor de seu chapéu. Note que, quando os alunos são dispostos de costas um para o outro, todos estão nas mesmas condições, isto é, conhecem as cores dos colegas, mas não sabem o que os colegas sabem sobre as outras cores.

Tabela 5 – Proporção de situações em que cada aluno descobre a sua cor:

Aluno que descobre Todos de costas um para o outro (Tabela 2) Todos de frente um para o outro (Tabela 3) Todos em fila, na ordem 1,2 e 3 (Tabela 4) 1 8/56 = 14% 8/56 = 14% 30/56 = 54% 2 8/56 = 14% 16/56 = 29% 18/56 = 32% 3 8/56 = 14% 32/56 = 57% 8/56 = 14% nenhum 32/56 = 57% 0/56 = 0% 0/56 = 0%

Ocorre também que, neste caso, a ordem em que as perguntas são feitas não desequilibra a situação, pois a resposta dos primeiros não agrega nenhuma informação relevante para os últimos a responderem. Esta situação se reflete em proporções iguais de situações em que cada um dos três consegue descobrir a cor de seu chapéu (segunda coluna da Tabela 5). Note que, na maioria dos casos, nenhum dos alunos descobre a cor de seu chapéu.

No caso em que todos são dispostos um de frente para o outro, os alunos que respondem primeiro estão em desvantagem em relação aos que respondem por último, visto que, neste caso, o conhecimento sobre o que os outros são capazes de saber permite extrair informação da resposta dos primeiros. Esta vantagem se reflete nas proporções maiores de situações em que os últimos a falar descobrem primeiro as cores de seus chapéus (terceira coluna da Tabela 5).

No caso em que os alunos são dispostos em fila ocorre que os que estão na frente da fila passam a ter uma vantagem sobre os que estão atrás. De fato, quanto mais na frente estiver um aluno na fila menos os outros alunos saberão a respeito do ele possa conhecer

sobre as cores dos outros chapéus. Ocorre que, quando é sabido que um aluno está vendo o chapéu do que está na sua frente, consegue-se extrair informação quando este aluno se manifestar dizendo que não descobriu a cor de seu chapéu. Por sua vez, os alunos que estão atrás não podem estrair informações dos pronunciamentos do aluno que está em primeiro na fila, visto que ninguém sabe nada sobre o que ele pode conhecer sobre o chapéu dos outros. Esta vantagem dos primeiros da fila se reflete em maiores proporções de situações em que estes são os primeiros a descobrir a cor de seus chapéus (quarta coluna da Tabela 5).