Conhecimentos matemáticos: construção e interpretação de gráficos

A lógica é utilizada diariamente sem que os indivíduos se deem conta de sua aplicação. A simples tarefa de contar, de comparar, de classificar requer muitos princípios lógicos. Pode-se verificar que, para a realização das atividades de construção de gráficos, as crianças precisam compreender o que estão fazendo, estabelecer um princípio lógico para a organização dos dados, conferir os atributos, considerar as semelhanças e as diferenças para essa categorização. Nunes e Bryant (1997, p. 21) explicam que “(...) as crianças devem captar certos princípios lógicos a fim de entender a matemática”.

Segundo Piaget (1978), o conhecimento lógico matemático é resultado da ação mental da criança sobre o mundo e é construído a partir das relações que a criança elabora sobre os objetos. Todo conhecimento matemático requer princípios lógicos denominados por Piaget (1965) de invariantes.

Os invariantes operatórios são fundamentais para a compreensão de conceitos matemáticos. Vergnaud (1990) explica invariante como um princípio lógico que se mantém constante.

Além da importância da compreensão dos princípios lógicos, as crianças precisam, também, conhecer o conjunto de regras matemáticas e convenções que são necessárias para representá-los. Para Nunes e Bryant (1997):

As regras matemáticas obedecem às regras lógicas, mas elas vão além disso. Há também um conjunto de convenções que foram projetadas pelos nossos ancestrais e transmitidas de geração a geração na cultura em que a criança por acaso está inserida. Essas convenções são necessárias para o domínio de técnicas matemáticas (NUNES, BRYANT, 1997, p. 25).

Em relação à representação das informações em gráficos, é importante observar que, muitas vezes, as crianças fazem representações de gráficos diferentes das convenções adotadas, embora as informações representadas possam condizer com os dados da pesquisa (CASTRO et al, 2011).

Outro ponto importante para a compreensão e a aprendizagem dos gráficos seria trabalhá-los em diferentes situações, pois cada tipo de situação requer o domínio de procedimentos diferentes e para a construção de gráficos, é necessário mobilizar um conjunto de conhecimentos matemáticos.

O conhecimento emerge da resolução de problemas (VERGNAUD, 1993), requerendo, portanto, um longo período de tempo para se desenvolver. A compreensão dos processos cognitivos que envolvem a aquisição desses conceitos tem forte relação com as competências que serão adquiridas.

Segundo Vergnaud (1998), um conceito é formado por um conjunto de situações que envolvem invariantes operatórios e propriedades que, por sua vez, podem ser expressos por diferentes representações simbólicas. Os conceitos matemáticos adquirem sentido a partir de um conjunto de situações em que não se é possível isolar um único conceito, e, por esse motivo, propôs-se estudar um campo conceitual.

A teoria dos Campos Conceituais é baseada em uma tríade: S, I, R. O “S” refere-se a um conjunto de situações que tornam o conceito significativo; o “I” é um conjunto de invariantes (objetos, propriedades, relações) com aspectos lógicos; o “R” um conjunto de representações simbólicas que podem ser usadas para pontuar e representar os invariantes (VERGNAUD, 1990; 1993).

Em uma situação de construção de gráficos, exige-se do conhecimento o domínio de um conjunto de conceitos:

[...] como as frações ou a proporcionalidade, a propósito das frequências relativas; os números e o seu significado, quando se referem aos processos de contagem; a geometria, quando se recorre aos ângulos para construir os gráficos de setores; ou as medidas, quando se fala de escalas (LOPES, 2010, p. 57).

Além desses conceitos relacionados diretamente com a construção de gráficos, existe a necessidade de desenvolver habilidades de investigação, de classificação e de organização de dados.Verificar características de um objeto como cor, tamanho e forma é habilidade importante, utilizada para classificar e representar determinado objeto, que costuma ser aprimorada na escola em atividades de classificação (VERGNAUD, 2009).

As atividades de classificação de determinado objeto são realizadas em função das semelhanças e diferenças de suas propriedades. Vergnaud (2009) explica que:

Azul é uma propriedade dos objetos azuis; a cor é um descritor dos objetos e que pode assumir diversos valores (azul, vermelho, amarelo, verde, laranja, violeta, etc.). Do mesmo modo, quadrado é uma propriedade de certas formas planas, como também a forma geométrica é um descritor que pode assumir vários valores (quadrado, retângulo, círculo). Um descritor é

então um conjunto de propriedades distintas, e uma propriedade é o valor assumido por um descritor (VERGNAUD, 2009, p. 99).

Pode-se verificar que os gráficos permitem a organização, a classificação, à análise e, portanto, a representação de informações. As atividades de organização e de classificação requerem princípios lógicos que não são de simples compreensão, pois “é necessário um processo de abstração das características invariantes dos elementos, que só é possível relacionando as propriedades das classes2 _{entre si e das classes com o todo” (GUIMARÃES, 2009, p. 138).}

Os gráficos possuem conceitos implícitos, como o conceito de proporcionalidade (eixos, escalas). Apesar de o conceito de proporção ser ensinado, apenas a partir do 6º e 7º anos do Ensino Fundamental, algumas pesquisas (SCHLIEMANN, CARRAHER, 1997; SPINILLO, 1997; 2002) têm verificado que crianças menores podem aprender esses conceitos a partir de situações contextualizadas.

Entende-se que algumas relações básicas de proporcionalidade podem e devem ser trabalhadas juntamente com a resolução de problemas envolvendo gráficos, visto que esse conhecimento precisará ser utilizado.

No caso dos gráficos de setores, por exemplo, podem ser trabalhados alguns conceitos de divisão, ou seja, partição do todo em porções ou fatias (fração), a relação entre a quantidade (frequência de uma categoria), e a relação que essa quantidade tem com a representação da metade (½ ou 50%), de ¼ ou 25%, além da relação de dobro.

Outro aspecto importante é a compreensão de gráficos estatísticos em situações-problema. Ao se trabalhar diferentes situações, pode-se proporcionar aos alunos a reflexão sobre elas e o desenvolvimento de novos esquemas para a resolução desses e de outros problemas, pois nas situações-problema envolvendo gráficos é possível explorar diversos aspectos do conhecimento matemático.

A organização de algumas experiências requisita uma constante interpretação das diversas situações existentes no dia a dia e cabe à escola o papel de sistematizar, contextualizar essas atividades e torná-las instigantes, de forma que proporcione a reflexão dos conteúdos:

[...] as escolas podem tornar as aulas sobre resolução de problemas atividades problemáticas reais onde as crianças, em lugar de apenas aplicarem a fórmula aprendida na aula anterior, discutam os dados, descubram quais as relações incluídas no problema e tomem decisões sobre os procedimentos de resolução com base na compreensão das relações matemáticas em jogo (SCHLIEMANN, CARRAHER, 1997, p. 37).

Na próxima seção, serão apresentados os objetos de aprendizagem como um recurso didático que pode ser utilizado para ajudar na aprendizagem de conceitos matemáticos.