Conjuntos de confian¸ca e fun¸c˜oes de membership

Como foi mencionado na introdu¸cão, nosso principal objetivo é estabelecer uma conexão entre os conceitos clássicos de conjuntos de confian¸ca com a teoria dos conjuntos fuzzy. Come¸camos esta seçcão apresentando a defini¸cão de um conjunto de confian¸ca geral.

De acordo com um modelo estat´ıstico paramétrico (X , F, P) com P = {P θ, θ ∈ Θ}, onde Θ ⊂ Rk _{e k < ∞, um conjunto de confian¸ca (1 − α) é uma fun¸cão C}

α : X → 2Θ,

onde 2Θ _{´e a familia de todos os subconjuntos de Θ (conjunto potencia) satisfazendo}

P θ(Cα(X) = ∅) = 0, P θ(Cα(X) ∋ θ) ≥ 1 − α e inf

θ∈Θ

P θ(Cα(X) ∋ θ) = 1 − α,

(2.1) para cada θ ∈ Θ, onde X é um vetor aleatório, (ver Schervish, 1997, página 315). Quando P θ(Cα(X) ∋ θ) = 1 − α para todo θ ∈ Θ, então o conjunto de confian¸ca

Cα ´e exato. Procedimentos para a constru¸c˜ao de conjuntos de confian¸ca podem ser

encontrados emBoes et al. (1974);Lehmann and Romano (2006);Beran (1988);Casella and Berger (1990);Cepeda-Cuervo et al. (2008) entre outros. Esses procedimentos são, em geral, baseados nas quantidades pivotais e estat´ısticas de razão de verossimilhan¸ca. Aqui, 1 − α é chamado n´ıvel de confian¸ca e α é chamado n´ıvel de significância (Fisher, 1955). Intuitivamente, a amplitude do intervalo depende do n´ıvel de confian¸ca, isto é, quanto maior o n´ıvel de confian¸ca, maior é a amplitude do intervalo (ver Henderson and Meyer, 2001).

Nota-se que, depois de observar a amostra, o conjunto de confian¸ca Cα(x) ´e um

conjunto fixo e P θ(Cα(x) ∋ θ) ´e zero ou um, onde x ´e a amostra observada, assim as

declara¸cões de probabilidade em (2.1) são usadas apenas para atingir um conjunto de confian¸ca adequado. Uma vez que a amostra é observada este conjunto de confian¸ca é fixo.

Portanto, uma interpreta¸cão pós-experimento de conjuntos de confian¸ca não pode ser efetuada em termos de probabilidades sem repeti¸cões experimentais (verHoff, 2009, Se¸cão 3.1.2, página 41, para mais detalhes). Nesta se¸cão, veremos que, embora não seja poss´ıvel fazer afirma¸cões probabil´ısticas sobre conjuntos de confian¸ca observados, podemos interpretar os conjuntos de confian¸ca observados em termos de conjuntos fuzzy. Mostramos a existência de uma fun¸cão geral de membership que fornece todas as informa¸cões contidas num conjunto de confian¸ca observado Cα(x), para todo n´ıvel

α ∈ [0, 1]. O seguinte resultado estabelece que a fun¸c˜ao de membership pode ser expressa em termos de um conjunto de confian¸ca observados.

Lema 1 Seja Cα um conjunto de confian¸ca de n´ıvel α ∈ [0, 1] para algum subconjunto

de Θ, onde x ∈ X . Seja C = {Cα(x)}α∈I a fam´ılia que cont´em o respectivo conjunto de

confian¸ca para I ⊂ [0, 1] n˜ao vazio. Definir, para cada θ ∈ Θ,

µ_Θ,Ce (θ) = max{0, sup{α ∈ I : Cα(x) ∩ {θ} 6= ∅}}, (2.2)

onde sup{∅} = −∞. Usamos a nota¸cão curta µΘe quando a fam´ılia C não é o foco.

Então, µΘe é uma fun¸cão de membership, isto é, µΘe : Θ → [0, 1].

Prova _{Seja θ ∈ Θ, então temos duas situa¸cões: (1) θ ∈ C}_α(x) para algums valores de α ∈ I e (2) θ 6∈ Cα(x) para todo α ∈ I. Para a primeira situa¸cão, a prova é

simples por constru¸cão, isto é, µΘe(θ) é única para cada θ ∈ Θ e 0 ≤ µΘe(θ) ≤ 1. Para

a segunda situa¸c˜ao, temos que µΘe(θ) = max{0, sup{α ∈ I : Cα(x) ∩ {θ} 6= ∅}} =

max{0, sup (∅)} = 0. Isto é, para cada θ ∈ Θ, temos µΘe(θ) é única e 0 ≤ µΘe(θ) ≤ 1.

Nota-se que, um outro caso extremo tamb´em acontece quando θ ∈ Cα(x) para todo

α ∈ I, caso em que temos que µΘe(θ) = max{0, sup{α ∈ I : Cα(x) ∩ {θ} 6= ∅}} =

max{0, sup(I)} = sup(I) ≤ 1.

Para cada regi˜ao de confian¸ca proposta, podemos representar o espa¸co de parˆametros pelo conjunto fuzzy

Θ = {(θ, µΘe(θ)); θ ∈ Θ},

onde µΘe(θ) ´e dada na Equa¸c˜ao (2.2). Nota-se que para diferentes conjuntos de confian¸ca

C1,α e C2,α temos diferentes membership, ou seja, µ_Θ,Ce ₁ ≡ µΘe1 e µΘ,Ce 2 ≡ µΘe2, respectivamente, onde C1 = {C1,α(x)}α∈I1 e C2 = {C2,α(x)}α∈I2 com I1 ∪ I2 ⊂ [0, 1]. Como consequência disso, os conjuntos fuzzy resultantes terão diferentes representa¸cões, ou seja,

Θ1 = {(θ, µΘe1(θ)); θ ∈ Θ} e eΘ2 = {(θ, µΘe2(θ)); θ ∈ Θ},

respectivamente. Informa¸cões adicionais com rela¸cão à Equa¸cão (2.2) pode ser encon- trada em Mauris et al. (2001) e mais recentemente, em Patriota (2013). O exemplo a seguir mostra uma aplica¸cão do resultado indicado no Lema1.

Exemplo 1 Seja X = (X1, X2, . . . , Xn)⊤ uma amostra aleat´oria de uma popula¸c˜ao

normal com m´edia θ e variˆancia conhecida σ2 _{e seja x a amostra observada. Aqui,}

Θ = R e um conjunto de confian¸ca de (1 − α) para θ, usando o m´etodo da quantidade pivotal, ´e dado pelo Cα(x) =

¯ x − zα/2σ/√n, ¯x + zα/2σ/√n , para α ∈ I = [0, 1], onde ¯

x é a média amostral e zq é o qth-quantil de uma distribui¸cão normal padrão. Assim,

desde o Lema 1 temos que

µ_Θ_e(θ) =      2 Φ√n(θ−¯_σ x)_{, para θ ≤ ¯x,} 2 Φ√n(¯_σx−θ)_{, para θ ≥ ¯x,}

onde Φ denota a distribui¸cão acumulativa da distribui¸cão normal padrão.

Nota-se que eΘ é um número fuzzy LR-type onde L(θ) = 2Φ(√_{n(θ − ¯x)/σ) para} θ ≤ ¯x e R(θ) = 2Φ(√n(¯_{x − θ)/σ) para θ ≥ ¯x. Figura}2.1 mostra a representa¸cão gráfica da fun¸cão de membership, considerando n = 5, ¯x = 5 e σ2 _{= 5. Esta figura contém}

intervalos de confian¸ca para todos os n´ıveis α, isto ´e, para cada α fixo, podemos obter um intervalo de confian¸ca para θ com n´ıvel de confian¸ca (1 − α)100%.

0 2 4 6 8 10 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 θ Função de Membership

Exemplo 2 Seja X = (X1, X2, . . . , Xn)⊤ uma amostra aleat´oria de uma popula¸c˜ao

Bernoulli com m´edia θ e seja x a amostra observada. Aqui, Θ = [0; 1] e seja Cα(x) =

h b

θ(1 − κα), bθ(1 + κα)

um conjunto de confian¸ca de (1 − α) para θ, onde α ∈ I, bθ é a propor¸cão amostral e κq é definida como:

κq ∈                      {0}, se q = 1, (0; 1) , se q = 5 8, [1; 2) , se q = 1 8, {2}, se q = 0, Assim, desde o Lema 1, temos que

µ_Θ_e(θ) =      κ−1_{1 −} θ b θ , para θ ≤ bθ, κ−1θ b θ − 1 , para θ ≥ bθ,

onde κ−1 _{denota o inverso de κ} q.

Nota-se que eΘ ´e um n´umero fuzzy LR-type onde L(θ) = κ−1_{1 −}θ b θ para θ ≤ bθ e R(θ) = κ−1θ b θ − 1

para θ ≥ bθ. Al´em disso, I = 0,1 8,

5 8, 1

. Figura 2.2 (a) mostra a representa¸cão gráfica da fun¸cão de membership, considerando n = 3 e bθ = 1/3. Esta figura apresenta intervalos de confian¸ca para todos os n´ıveis α ∈ I, isto é, para cada α fixo, podemos obter um intervalo de confian¸ca de (1 − α) para θ. Figura2.2 (b) retrata a mesma fun¸cão de membership, considerando n = 3 e bθ = 2/3.

Observa¸cão 1 Se o conjunto de confian¸ca Cα(x) é centrado no estimador ML, bθ, então

temos que µΘe(bθ) = 1. Isto significa que a estimativa ML ´e parte do core do conjunto

fuzzy eΘ. Podemos interpretar o Core( eΘ) como o conjunto de todos os valores dos parâmetros para os quais a distribui¸cão de probabilidade relacionada explica os dados observados de acordo com C. Com efeito, quanto mais próximo θ esta do Core(eΘ), mais acreditamos que o modelo P θ é o melhor modelo, conforme C e os dados observados.

O pr´oximo resultado caracteriza o core do eΘ.

0.0 0.4 0.8 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 θ Função de Membership (a) 0.0 0.4 0.8 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 θ Função de Membership (b)

Figura 2.2: (a) Fun¸cão de membership para o parâmetro θ quando n = 3 e bθ = 1/3. (b) Fun¸cão de membership para o parâmetro θ quando n = 3 e bθ = 2/3.

Teorema 1 Seja µΘe(θ) e I = [0, 1] as quantidades definidas em (2.2), ent˜ao core( eΘ) =

{θ ∈ Θ : θ ∈ Cα(x) ∀α ∈ I}.

Prova 1 Desde a Defini¸c˜ao 3, temos que core( e_{Θ) = {θ ∈ Θ : µ}Θe(θ) = 1}. Agora,

temos que µΘe(θ) = 1 se, e so se, sup{α ∈ I : Cα(x) ∩ {θ} 6= ∅} = 1. Este ´ultimo fato

ocorre quando θ ∈ Cα(x) para todo α ∈ I concluindo a prova.

O Teorema 1 caracteriza a forma funcional do core para a fun¸cão de membership definida em (2.2), isto é, esses valores em Θ produzem plena pertinência. Por exemplo, no caso do Exemplo 1, core( e_{Θ) = {¯x} porque µ}Θe(θ) = 1 so para θ = ¯x. Assim eΘ é

chamado conjunto fuzzy normal (ver Defini¸cão 4). Assumindo que existe uma medida de probabilidade Pθ _{que gera os dados e com base na Defini¸cão} ₃_{, Lema} ₁ _{e Teorema} 1_{, a interpreta¸cão de θ ∈ Core(e}Θ) é o valor do parâmetro com o qual a distribui¸cão de probabilidade tem máxima credibilidade de ter gerado os dados, em termos de C. Em seguida, definimos conjuntos de confian¸ca não-crescentes em termos do n´ıvel de significância α.

Defini¸c˜ao 7 _{Seja C = {C}α(x)}α∈I uma fam´ılia de conjuntos de confian¸ca para um

vetor de parâmetros. Dizemos que C é uma fam´ılia de conjuntos de confian¸ca não- crescentes se Cα1(x) ⊆ Cα2(x) para todo 0 ≤ α2 < α1 ≤ 1.

O próximo resultado refere-se à propriedade de monoticidade de conjuntos de confian¸ca com as fun¸cões de membership.

Teorema 2 _{Seja C = {C}_α_(x)}_α∈I uma fam´ılia de conjuntos de confian¸ca n˜ao crescente. Se θǫ ⊆ θγ onde θν = {θ ∈ Θ; kθ − θ∗k ≤ ν} e core(eΘ) = {θ∗} com ǫ, γ ∈ R+ e ǫ ≤ γ.

Ent˜ao µΘe(θ) ≥ µΘe(θ +

), para todo θ ∈ θǫ e θ+ ∈ (θγ∩ θcǫ).

Prova 2 Se Cα(x) ´e n˜ao crescente, temos que

{α ∈ I : Cα(x) ∩ {θ+} 6= ∅} ⊆ {α ∈ I : Cα(x) ∩ {θ} 6= ∅}.

Usando o supremo desses conjuntos, temos que µΘe(θ) ≥ µΘe(θ

+_{), concluindo a prova.}

Outro resultado importante para conjuntos de confian¸ca não crescente é a rela¸cão entre o conceito de convexidade da Defini¸cão 5, apresentada por Zadeh (1965), e a

propriedade de monotonicidade. Esta rela¸c˜ao ´e baseada no Teorema 2 concluindo que µ_Θ_e(λθ+_{+ (1 − λ)θ) ≥ min{µ}_Θ_e(θ+), µ_Θ_e_{(θ)}, para todo θ}+_{, θ ∈ Θ e λ ∈ [0, 1] e portanto} e

Θ ´e convexa no contexto fuzzy.

O Teorema 2 pode ser usado para comparar fun¸c˜oes de membership. Por exemplo, baseado na seguinte defini¸c˜ao.

Defini¸cão 8 Seja µΘe1, µΘe2 : Θ → [0, 1] duas fun¸cões de membership com o mesmo core. Dizemos que µΘe1 tem supremacia total sobre µΘe2 se µΘe1(θ) ≤ µΘe2(θ) para todo θ _{∈ Θ. Eles são totalmente equivalentes se µ}_Θ_e

1(θ) = µΘe2(θ) para todo θ ∈ Θ. N´os denotamos a supremacia total por µ_Θ_e₁ _≪T µΘe2 e equivalencia total por µΘe1 ∼T µΘe2.

A Defini¸cão 8 nos permite comparar dois conjuntos de confian¸ca diferentes, por exemplo, podemos determinar se um conjunto de confian¸ca é mais conservativo do que o outro para todos os n´ıveis de confian¸ca. É importante ressaltar que a Defini¸cão 8

é similar à defini¸cão de superioridade apresentada por Xie and Singh (2013). Note também que se U é uma familia de todas as fun¸cões de membership então ≪ estabelece uma rela¸cão de ordem em U e esta rela¸cão é uma rela¸cão de ordem da inclusão de conjuntos fuzzy, ver, por exemplo, Fra¨ıssé (2000). Note-se que, a Defini¸cão 8 é forte e não aplicável em muitas situa¸cões, especialmente, se duas fun¸cões de membership têm diferentes conjuntos core, em seguida, esta defini¸cão não funciona. A fim de tornar menos restritivo o conceito supremacia, e portanto incluir mais situa¸cões, definimos as seguintes integrais.

Defini¸c˜ao 9 Sejam µΘe : Θ → [0, 1] uma fun¸c˜ao de membership continua e

Er(µΘe) = Z Θr µΘe(θ) dθ e Θr= {θ ∈ Θ : µΘe(θ) ≥ r}, dizemos que:

1. µΘe1 tˆem r-up-supremacia sobre µΘe2 se E r_(µ

Θ1) ≤ E r_(µ

Θ2), que denotamos por µΘe1 ≪Er µΘe2. Elas s˜ao r-up-equivalentes quando E

r_(µ e Θ1) = E r_(µ e Θ2), que ´e denotado por µΘe1 ∼Er µΘe2 e r ∈ [0, 1] tal que a integral resultante est´a bem definida.

2. Se µΘe é integrável com respeito à medida de Lebesgue em dimensão k = dim(Θ),

µ_Θ_e₁ temos r-down-supremacia sobre µ_Θ_e₂ se Er(µΘe1) ≤ Er(µΘe2), que notamos por µ_Θ_e₁ _≪Er µΘe2. Elas s˜ao r-down-equivalentes quando Er(µΘe1) = Er(µΘe2), que denotamos por µΘe1 ∼Er µΘe2, onde

Er(µΘe) =

Θc r

µΘe(θ) dθ.

Chamamos Er _{o r-up operador integral e E}

r o r-down operador integral.

Nota-se que, se µΘe é integrável, então por Defini¸cão 9, é simples que

E0(µ_Θ_e) = Er(µΘe) + E r_(µ

Θ) = E1(µΘe), (2.3)

para todo r ∈ [0, 1]. Adicionalmente, se dim({θ ∈ Θ : µΘe(θ) = 1}) < k, tamb´em

temos que E1_(µ e

Θ) = E0(µΘe) = 0. O Exemplo 3 descreve como calcular as quantida-

des analiticamente Er _{e E}

r. No entanto, para os modelos mais complexos, solu¸c˜oes

anal´ıticas s˜ao praticamente imposs´ıveis de modo que essas integrais devem ser compu- tados numericamente usando qualquer software (por exemplo, MAPLE, MATLAB, Ox, R, SAS_).

Exemplo 3 Considere o contexto do Exemplo 1 com variˆancia conhecida σ2_{. Aqui,}

Θr = µ−1_Θ_e ([r, 1]) = [c1r, c2r], onde µΘe(c1r) = µΘe(c2r) = r e c1r ≤ ¯x ≤ c2r. Ent˜ao, c1r = ¯x + σ √ nΦ −1 r 2 , c2r = ¯x − σ √ nΦ −1 r 2 e Er(µΘe) = Z Θc r µΘe(θ) dθ = 4 Z c1r −∞ Φ √ n(θ − ¯x) σ dθ,

onde Φ(·) a fun¸cão de distribui¸cão cumulativa de uma variável normal padrão. Fazendo uma mudan¸ca de variável u =√_{n(θ − ¯x)/σ, temos a expressão.}

Z c1r −∞ Φ √ n(θ − ¯x) σ dθ = _√σ n Z √ n(c1r−¯x)/σ −∞ Φ(u) du.

Agora usando a identidadeR _{Φ(x) dx = xΦ(x)+φ(x), onde φ(·) é a fun¸cão densidade de} probabilidade de uma variável normal padrão (verJeffrey and Zwillinger, 2007, p. 629),

temos Er(µΘe) = 4σ √ n √ n(c1r− ¯x) σ Φ √ n(c1r− ¯x) σ + φ √ n(c1r− ¯x) σ .

Similarmente, temos que

Er(µΘe) = 4 Z x¯ −∞ Φ √ n(θ − ¯x) σ dθ − 4 Z c1r −∞ Φ √ n(θ − ¯x) σ dθ, ent˜ao Er(µ_Θ_e) = _√4σ n φ(0) − √ n(c1r− ¯x) σ Φ √ n(c1r− ¯x) σ − φ √ n(c1r− ¯x) σ .

A Defini¸c˜ao9ser´a usada para identificar conjuntos de confian¸ca mais conservadores. ´

E poss´ıvel demonstrar que ≪Er, ≪Er e ≪T satisfaz o requisito de ser rela¸cão de ordem (reflexividade, antisimetria e transitividade) e ∼Er, ∼Er e ∼T satisfaze o requisito de ser rela¸cão de equivalência (reflexividade, simetr´ıa e transitividade).

O Teorema 3 estabelece algumas rela¸c˜oes entre os trˆes tipos de supremacias.

Teorema 3 Seja µ_Θ_e₁, µ_Θ_e₂ _{: Θ → [0, 1] duas fun¸c˜oes de membership cont´ınuas e inte-} graveis. Ent˜ao,

[∀r ∈ [0, 1], µΘe1 ≪Er µΘe2] ⇐⇒ [∀r ∈ [0, 1], µΘe1 ≪Er µΘe2]. (2.4)

Al´em disso, se core( eΘ1) = core( eΘ2),

[∀r ∈ [0, 1], µΘe1 ≪Er µΘe2] ⇐⇒ [µΘe1 ≪T µΘe2], (2.5)

onde eΘi = {(θ, µΘei) : θ ∈ Θ}.

Prova 3 Seja θ∗ _{∈ Θ e k ∈ R e definir µ} e

Θ_1,k,∗(θ) = µΘe1(θ + kθ

∗_{). Nota-se que}

Er(µ1) ≤ Er(µ2), para todo r ∈ [0, 1], se e s´o se existe θ∗ ∈ Θ e k ∈ R tal que

Θ_1,k,∗ _{⊆ e}Θ2, onde isto ´e a inclus˜ao de conjuntos fuzzy e eΘ1,k,∗ depende de µΘe1,k,∗. Isto implica que Er_(µ

1) ≤ Er(µ2) para todo r ∈ [0, 1]. A prova do inverso ´e semelhante. Se

k = 0, temos eΘ1 ⊆ eΘ2 se e s´o se µΘe1 ≪T µΘe2.

do intervalo é maior do que o outro para um n´ıvel de significância espec´ıfico. Um procedimento para identificar um intervalo de confian¸ca mais conservativo do que outro é comparando as amplitudes dos intervalos para todos os n´ıveis de significância. Abaixo, vamos definir o conceito conservativo para conjuntos de confian¸ca geral.

Defini¸c˜ao 10 _{Seja C}1 = {C1,α(x)}α∈I1 e C2 = {C2,α(x)}α∈I2 duas fam´ılias de conjuntos de confian¸ca, dizemos que C2 ´e mais conservativo que C1 se as respectivas membership

µ_Θ,C_e ₂ _{≡ µ}_Θ_e₂ e µ_Θ,C_e ₁ _{≡ µ}_Θ_e₁ satisfazem µ_Θ_e₁ _≪Er µΘe2 para todo r ∈ [0, 1]. Dizemos que a regi˜ao C2,α(x) ´e up-mais conservativa que C1,α(x) se µΘe1 ≪Eα µΘe2 e down-mais conservativa se µΘe1 ≪Eα µΘe2.

A próxima proposi¸cão estabelece algumas propriedades de eΘ. A prova é simples desde Lema 1, Defini¸cão 3e Defini¸cão 8 e por conseguinte, é omitida.

Proposi¸c˜ao 1 Seja e_{Θ = {(θ, µ}Θe(θ)); θ ∈ Θ} com µΘe(θ) como em (2.2). Ent˜ao, os

seguintes items s˜ao v´alidos.

1. Core( eΘ) = µ−1_e

Θ ({1}), onde µ −1

Θ ({1}) = {θ ∈ Θ : µΘe(θ) = 1}. Tamb´em, se

core( eΘ) é a singleton então eΘ é um número fuzzy.

2. Se a cardinalidade µ−1_Θ_e _{({1}) é maior que 1, então e}Θ é um conjunto fuzzy normal.

3. Se µ−1 e

Θ ({1}) = Θ, ent˜ao eΘ = {(θ, 1); θ ∈ Θ}.

4. Seja eΘ1 e eΘ2 duas representa¸c˜oes fuzzy sobre o espa¸co paramˆetrico Θ associados

com C1,α(x) e C2,α(x) respectivamente. Se C1,α(x) ⊆ C2,α(x) para todo α ∈ [0, 1],

então µΘe1 ≪ µΘe2 e C2,α(x) é mais conservativo que C1,α(x) para todo α ∈ [0, 1]. As Defini¸cões8,9e10são ferramentas para comparar conjuntos de confian¸ca através de suas respectivas fun¸cões de membership. As fun¸cões de membership utilizadas são definidas no mesmo espa¸co paramétrico. No entanto, há situa¸cões em que estamos interessados em comparar conjuntos de confian¸ca a partir de um vector de parâmetros parcial com conjuntos de confian¸ca a partir de um vector de parâmetros completo (ver Exemplo 4). Portanto, uma fun¸cão de membership para o vetor de parâmetros parcial é definido a seguir.

Seja θ = (λ⊤, ψ⊤)⊤_{, onde λ e ψ s˜ao vetores com dimens˜ao k}

1 e k2 com k = k1+ k2.

Sem perda de generalidade, seja C∗

α(x) un conjunto de confian¸ca para λ e seja Λ o 20

conjunto onde λ varia. Ent˜ao, a fun¸c˜ao de membership para λ pode ser definida simplesmente por µ_Λ_e _{: Λ → [0, 1] tal que}

µeΛ(λ) = max{0, sup{α ∈ [0, 1] : Cα∗(x) ∩ {λ} 6= ∅}}. (2.6)

As mesmas propriedades da membership (2.2) e as defini¸cões acima são válidos para esta fun¸cão parcial de membership.

No documento Estatística e a teoria de conjuntos fuzzy (páginas 31-41)