Estatística e a teoria de conjuntos fuzzy

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Jos´

e Alejandro Gonz´

alez Campos

Estat´ıstica e a teoria de conjuntos fuzzy

CAMPINAS 2015

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i

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UNIVERSIDADE ESTADUAL DE CAMPINAS INSTITUTO DE MATEMÁTICA, ESTATÍSTICA

E COMPUTAÇÃO CIENTÍFICA

José Alejandro González Campos

Estatística e a teoria de conjuntos fuzzy

Tese apresentada ao Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica da Universidade Estadual de Campinas como parte dos requisitos exigidos para a obtenção do título de Doutor em estatística.

Orientador: Víctor Hugo Lachos Dávila Coorientador:Alexandre Galvão Patriota

ESTE EXEMPLAR CORRESPONDE À VERSÃO FINAL DA TESE DEFENDIDA PELO ALUNO

José Alejandro González Campos, E ORIENTADA PELO PROF.DR Víctor Hugo Lachos Dávila.

Assinatura do(a) Orientador(a)

_______________________

CAMPINAS 2015

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Ficha catalográfica

Universidade Estadual de Campinas

Biblioteca do Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica Ana Regina Machado - CRB 8/5467

González Campos, José Alejandro,

1979-G589e GonEstatística e a teoria de conjuntos fuzzy / José Alejandro González Campos. – Campinas, SP : [s.n.], 2015.

GonOrientador: Víctor Hugo Lachos Dávila.

GonCoorientador: Alexandre Galvão Patriota.

GonTese (doutorado) – Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica.

Gon1. Conjuntos fuzzy. 2. Números fuzzy. 3. Estatística matemática. 4. Análise de intervalos (Matemática). I. Lachos Dávila, Víctor Hugo,1973-. II. Patriota,

Alexandre Galvão. III. Universidade Estadual de Campinas. Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica. IV. Título.

Informações para Biblioteca Digital

Título em outro idioma: Statistic and fuzzy set theory Palavras-chave em inglês:

Fuzzy sets Fuzzy numbers

Mathematical statistics

Interval analysis (Mathematics) Área de concentração: Estatística Titulação: Doutor em Estatística Banca examinadora:

Víctor Hugo Lachos Dávila [Orientador] Ronaldo Dias

Jacek Leskow Manuel Galea Rojas

Filidor Edilfonso Vilca Labra Data de defesa: 06-03-2015

Programa de Pós-Graduação: Estatística

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Para Ram´on Robres

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Abstract

”The fuzzy sets theory is a new theory introduced by Zadeh in 1965. Lately has been a fruitful massification, reaching diverse fields of science. This work distinguishes three dimensions: A fuzzy set theory in a pure way, connections between statistical and fuzzy set theory (interpretation and visualization) and finally statistics for fuzzy data. The basic definitions of the fuzzy sets theory are presented, such as fuzzy number, core and normal fuzzy sets, the way to make the thesis self-contained. Based on the first dimen-sion was defined a new order in the LR-type fuzzy numbers. It is characterized by its simplicity in calculations where the order of the real numbers is a particular situation when they are considered fuzzy numbers. This proposal overcomes many of the limi-tations of other order proposed, such as the indetermination and indefiniteness. The definition of an order will allow to get statistical tools such as median and variability measures. In the second dimension is presented a new tool for the interpretation of confidence regions after the sample were observed. Is defined a function of membership that representing the parametric space of fuzzy way depending of each confidence re-gion. Also is presented a new form of visualization of an infinite sequence of confidence regions. Finally, in the third dimension is studied the generalization of the Kaplan-Meier estimator, in which the lifetime is considered as fuzzy number, starting with a line of research around their asymptotic properties. In this section a typical example of survival analysis is used. This thesis work presents the basic theoretical foundations to a new line of research, given our human nature and to escape of Platonic assumptions. This work shows how to analyze a set of confidence without resorting to interpretation frequency. This is possible through the use of fuzzy set theory developed by Zadeh (1965,1995).”

Resumo

”A teoria de conjuntos fuzzy é uma teoria nova introduzida por Zadeh no ano 1965. Estes últimos anos tem tido uma frut´ıfera massifica¸cão, atingindo variados campos da

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ciência. Neste trabalho são distinguidas três dimensões: A teoria de conjuntos fuzzy de maneira pura, conexões da estat´ıstica e a teoria dos conjuntos fuzzy (interpreta¸cão e visualiza¸cão) e finalmente a estat´ıstica aplicada em dados fuzzy. São apresentadas as defini¸cões elementares da teoria de conjuntos fuzzy, tais como: número fuzzy, core e conjuntos fuzzy normais, de maneira a se fazer a tese autocontida. Baseada na primeira dimensão foi definida uma nova forma de ordem dos números fuzzy LR-type, caracte-rizada pela sua simplicidade nos cálculos onde a ordem dos números reais fica como uma situa¸cão particular quando estes são considerados números fuzzy. Esta proposta supera muitas das limita¸cões de outras propostas de ordem, como a indetermina¸cão e indefini¸cão. A defini¸cão de uma ordem permitirá obter ferramentas estat´ısticas como a mediana e medidas de variabilidade. Na segunda dimensão é apresentada uma nova ferramenta de interpreta¸cão das regiões de confian¸ca depois de observada a amostra. ´

E definida uma fun¸cão de membership que representa de maneira fuzzy o espa¸co pa-ramétrico dependendo de cada região de confian¸ca. Também é apresentada uma nova forma de visualiza¸cão de uma sequencia infinita de regiões de confian¸ca. Finalmente, na terceira dimensão é estudada a generaliza¸cão do estimador de Kaplan-Meier na si-tua¸cão que os tempos de vida são considerados como números fuzzy, abrindo uma linha de pesquisa baseada nas suas propriedades assintóticas. Nesta se¸cão é utilizado um exemplo t´ıpico de analises de sobrevivência. Este trabalho de tese apresenta as bases teóricas elementares para dar in´ıcio a uma nova linha de pesquisa, atendendo a nossa natureza humana e tentar escapar de supostos platônicos. Este trabalho mostra como analisar um conjunto de confian¸ca, sem recorrer á interpreta¸cão de frequência. Isto é poss´ıvel através da utiliza¸cão da teoria dos conjuntos fuzzy desenvolvida por Zadeh (1965,1995).”

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Conte´

udo

Abstract vii

Lista de Figuras xviii

Lista de Tabelas xix

1 Introdu¸c˜ao 1

1.1 Motiva¸c˜ao . . . 1

1.2 Preliminares . . . 2

1.3 Objetivos e organiza¸c˜ao da pesquisa . . . 7

2 Uma an´alise de conjuntos de confian¸ca para amostras observadas: uma abordagem desde conjuntos fuzzy 9 2.1 Introdu¸c˜ao . . . 9

2.2 Conjuntos de confian¸ca e fun¸c˜oes de membership . . . 11

2.3 Exemplos . . . 21

2.4 Aplica¸c˜oes . . . 30

2.5 Conclus˜oes e observa¸c˜oes finais . . . 37

3 Uma nova ordem para os n´umeros fuzzy LR-type 39 3.1 Introdu¸c˜ao . . . 39

3.2 A proposta . . . 41

3.3 Compara¸c˜ao com outros m´etodos de ordem . . . 46

3.4 Exemplos . . . 48

3.4.1 Vida ´util do pneu . . . 48

(10)

3.5 Conclus˜ao . . . 49

4 Generaliza¸c˜ao do estimador de Kaplan-Meier para tempos de vida fuzzy 53 4.1 Introdu¸c˜ao . . . 53

4.2 M´etodo . . . 54

4.2.1 O estimador de Kaplan-Meier . . . 54

4.2.2 Frequˆencia relativa fuzzy . . . 55

4.3 Kaplan-Meier fuzzy e comportamento assint´otico . . . 59

4.3.1 Comportamento assint´otico . . . 61

4.4 Aplica¸c˜ao . . . 63

4.5 Conclus˜oes . . . 65

5 Considera¸c˜oes finais 67 5.1 Trabalhos futuros . . . 68

Referˆencias 68

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Para Ram´on Robres

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Agradecimentos

Na medida que avan¸ca nossa idade, escrever um agradecimento é cada vez mais dif´ıcil e emocionante, porque o caminhar pela vida nos ajuda em descobrir novas qualidades das pessoas, que evidenciam a existência de uma divinidade rica em bondade. Vou come¸car meu agradecimento por minha esposa, ela entregou quatro anos da sua vida para me acompanhar no logro de meu sonho e ser meu fôlego nos momentos de fra-queza. Também vou agradecer aos meus pais pela confian¸ca e suas ora¸cões que de meu pa´ıs alegravam meu cora¸cão. Quero agradecer meu professor orientador V´ıctor Hugo Lachos, pela confian¸ca que me deu, por acreditar em uma linha de trabalho diferente do convencional, pela sua simpicidade e humildade. Também vou agradecer meu professor coorientador Alexandre Patr´ıota Galvão, pela sua entrega em meu trabalho de tese e me ensinar um jeito diferente de olhar a estat´ıstica. Come¸car um doutorado foi uma etapa dif´ıcil, mas afortunadamente existem pessoas de bom cora¸cão que de maneira generosa e desisteressada aparecem para estender uma mão, por isso eu quero agradecer aos professores Filidor Vilca Labra e Caio Azevedo, pela grande ajuda que deram na etapa inicial do doutorado. Também gostaria de agradecer meu aluno, colega e amigo Nicolas Moreno, por ser uma ótima companhia nestes anos compartilhando grandes momentos. De maneira similar vou agradecer a minha turma e todos os colegas que conheci no de-correr do doutorado, particularmente Diana, Larissa, Tatiana, Marcos, Roberto, Diego, Carlos, Luis e Rocio, Julian. Também vou agradecer a meu amigo Cristian Carvajal, por estar constantemente preocupado comigo e minha situa¸cão e seguir também o caminho do doutorado. Quero agradecer também meus profesores do doutorado que me guiaram em meu processo de forma¸cão, que além de serem boms professores são boas pessoas: Nancy, Marina, Hildete e Mauricio, particularmente vou agradecer ao professor Ronaldo Dias pela sua boa disposi¸cão para resolver minhas infinitas perguntas e sempre ter um tempo para compartilhar de sua rica cultura estat´ıstica. Quando o caminho come¸ca ser dif´ıcil, Deus sempre apresenta boas pessoas que dão luz nesse caminhar e fazem voltar

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as esperan¸cas, por isso estão presente em meus agradecimentos nossos amigos Mauricio Castro e Jenny. Também vou agradecer a meus professores e colegas da Universidade de Playa Ancha, particularmente Eduardo Cabrera, Eduardo Montenegro, Alejandro Nettle, José Rubio e Rolando Tiemann. Também vou agradecer a meu amigo V´ıctor Leiva, pela constante preocupa¸cão e conselhos. A distância muitas vezes tem algumas implica¸cões dif´ıceis, mas sempre soube que estavam presentes em seus cora¸cões, mas se foram antes de meu regresso, muito obrigado aos meus 4 avós. Também vou agradecer minha sogra que foi um pilar muito importante, primeiro pela gera¸cão da esposa mais bonita do mundo e por ser o fôlego para ela nos momentos dif´ıceis. Também vou agra-decer as agências de fomento, CAPES (2011-2012) e BECASCHILE (2013-2014) pela entrega das bolsas de estudo.

Finalmente dou Gra¸cas ao meu Deus, porque cada segundo da minha vida enviou anjos para me acompanhar neste caminhar.

Muito Obrigado.

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”N˜ao tenho explicado que, o mundo seja finito ou que seja infinito.” Buda (580 . 480 a.c.)

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Para Ram´on Robres

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Lista de Figuras

1.1 Representa¸cões de (a) um conjunto fuzzy geral, (b) um intervalo fuzzy e (c) um número fuzzy. . . 6 1.2 Diagrama Resumo da proposta . . . 8 2.1 Fun¸cão de membership para a média da popula¸cão normal, θ. . . 13 2.2 (a) Fun¸cão de membership para o parâmetro θ quando n = 3 e bθ = 1/3.

(b) Fun¸cão de membership para o parâmetro θ quando n = 3 e bθ = 2/3. 15 2.3 (a) Fun¸cões de membership para a média da popula¸cão de uma

distri-bui¸cão normal quando a variância é conhecida (linha sólida) e quando a variância é desconhecida (linha pontilhada);(b) Operador integral r-down para as respectivas memberships; (c) O operador integral r-up para as respectivas memberships. São considerados n = 5, ¯x = 5, σ2 _{= s}2 _{= 5.} _. ₂₃

2.4 (a) Fun¸cões de membership para a taxa exponencial com base na quan-tidade pivotal (linha sólida) e com base na aproxima¸cão normal (linha pontilhada);(b) O operador integral r-down para as respectivas mem-berships; (c) O operador integral r-up para as respectivas memberships. São considerados n = 5 e ¯x = 1. . . 25 2.5 (a) Fun¸cões de membership para a taxa Poisson com base na

quanti-dade pivotal (linha sólida) e com base na aproxima¸cão normal (linha pontilhada); (b) O operador integral r-down para as respectivas mem-berships; (c) O operador integral r-up para as respectivas memberships. São considerados n = 5 e ¯x = 4. . . 27 2.6 (a) Superf´ıcie de membership para a média e variância de uma

po-pula¸c˜ao normal; (b) o operador integral r-down e r-up para a mem-bership. Considerando-se n = 5, ¯x = 5 e s2 _{= 5.} _{. . . .} ₂₉

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2.8 (a) Fun¸cões de membership com base no método de Wald, com e sem ajuste Bonett-Price Laplace. (b) Operador integral r-down para as mem-berships. (c) Operador integral r-up para as memmem-berships. . . 35 2.9 (a) Fun¸cões de membership com base no método do Wald com e sem

ajuste pseudo-frequˆencia Agresti-Min. (b) Operador integral r-down para as memberships. (c) Operador integral r-up para as memberships. 36

3.1 Valores de f ( eA) (linha s´olida) e f ( eB) (linha pontilhada) para diferentes valores de λ. . . 44 3.2 Valores de f ( eA) (linha s´olida) e f ( eB) (linha pontilhada) para diferentes

valores de λ. . . 45 3.3 Valores de f ( eA) (linha s´olida), f ( eB) (linha a tracejado) e f ( eC) (linha

pontilhada) para diferentes valores de λ. . . 47 4.1 Esta figura apresenta uma amostra de n´umeros fuzzy triangulares n˜ao

sim´etricos. Foram destacados os valores m´ınimo e m´aximo. . . 57 4.2 Conjunto fuzzy do intervalo ou classe. . . 58

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Lista de Tabelas

2.1 Tabela de Contingˆencia de 2 × 2. . . 30

2.2 Status Hiperresponsividade das vias aéreas (AHR), antes e após o trans-plante de células-tronco (SCT) em 21 crian¸cas (dados obtidos de Bentur et al., 2009). . . 32

3.1 Valores da fun¸c˜ao f (·) para os n´umeros fuzzy eA, eB e eC.. . . 46

3.2 Compara¸cão de métodos para ordenar números fuzzy. . . 50

3.3 Tempo de vida do pneu. . . 51

3.4 Conjunto de dados fuzzy para o Exemplo 3.4.1. . . 51

3.5 Quartis amostral. . . 51

3.6 Grau de felicidade de casado vs solteiro . . . 52

3.7 Compara¸c˜ao da mediana: Casado vs Solteiro . . . 52

3.8 Compara¸c˜ao da variabilidade: Casado vs Solteiro. . . 52

4.1 Frequˆencia absoluta fuzzy .. . . 58

4.2 Kaplan-Meier para o grupo de ester´oide. . . 64

4.3 Estimativas de Kaplan-Meier para o grupo de ester´oide com tempos fuzzy. 64 4.4 Estimativas de Kaplan-Meier para os grupos de ester´oides de maneira convencional e com tempos de vida fuzzy. . . 65

(20)

Para Ram´on Robres

(21)

Cap´ıtulo 1

Introdu¸

c˜

ao

1.1 Motiva¸

c˜

ao

A teoria de conjuntos fuzzy proporciona um tratamento matemático de alguns ter-mos ligu´ısticos vagos tais como “aproximado”, “em torno de”, “perto”, “curto”, entre outros. Por exemplo, desde o ponto de vista da teoria fuzzy, os números são idea-liza¸cões de informa¸cões imprecisas expressas por meio de um valor numérico. Logo, quando a altura de um indiv´ıduo é medida, o valor numérico registrado inclui algumas imprecisões. Tais imprecisões podem ter sido causadas pelos instrumentos de medi¸cão, limita¸cões humanas, ou informa¸cões tendenciosas prévias entre muitas outras causas. Se o valor “real” da altura é representado pelo número h, talvez fosse mais correto dizer que o valor da altura é de aproximadamente e não exatamente h (de Barros and Bassa-nezi, 2006), a palavra “ aproximadamente” é imprecisa e pode ser modelada pela teoria fuzzy. Como foi observado por Coppi et al. (2006), a teoria fuzzy pode fornecer um valor adicional aos métodos estat´ısticos, pois a incerteza inerente ao mundo observável e suas fontes de informa¸cão associados são combinados para além da teoria da probabi-lidade tradicional. Por exemplo,Tanaka (1982) introduziu o conceito de regressão fuzzy enquanto Wünsche and Naether (2002) caracterizaram o método dos m´ınimos quadra-dos para variáveis aleatórias fuzzy. Além disso, Choi and Kim (2006) estenderam o modelo de regressão fuzzy para um sistema de censura. Dubois (2006) discute algumas

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quest˜oes sobre a teoria de possibilidades e racioc´ınio estat´ıstico e, mais recentemente,

Arabpour and Tata (2008) desenvolveram alguns elementos teóricos sobre estimativa de parâmetros em modelos de regressão fuzzy. A conexão entre a estimativa de parâmetros e teoria fuzzy tem sido estudada por vários autores. Cheng and Mon (1993) estudaram sistemas fuzzy usando intervalos de confian¸ca e Chiang (2001) analisou problemas de programa¸cão linear usando conjuntos de confian¸ca. Geyer and Meeden (2005) esta-beleceram uma rela¸cão entre o conceito de p-valor e estruturas fuzzy, enquanto que

Parchami et al. (2006) introduziram o conceito de intervalos de confian¸ca fuzzy. Por outro lado,Casals et al. (1986) estudaram problemas de decisão fuzzy, relacionando os conceitos de testes de hipóteses e informa¸cão de natureza fuzzy. Saade and Schwarzlan-der (1990); Saade (1994) propuseram uma caracteriza¸cão dos testes de hipótese fuzzy enquanto Watanabe and Imaizumi (1993) conectaram os conceitos de estat´ısticas de teste de hipóteses e hipóteses fuzzy. Arnold (1996) eArnold (1998) relacionaram com o conceito de teste de hipóteses fuzzy com métodos convencionais de análise de dados re-ais. Taheri and Behboodian (1999) generalizaram a abordagem Neyman-Pearson para o teste de hipóteses sob o ponto de vista fuzzy eFilzmoser and Viertl (2004) introduzeram o conceito de valor-p fuzzy para hipóteses estat´ısticas usando dados fuzzy. Parchami et al. (2010) apresentaram uma variante do p-valor para o teste de hipóteses fuzzy de conjuntos de números reais. Recentemente, Patriota (2013) forneceu uma medida de evidência para testar hipóteses nulas que estão intrinsecamente relacionadas com a teoria fuzzy. Esta descri¸cão histórica e evolutiva mostra como come¸ca a rela¸cão da es-tat´ıstica com a teoria de conjuntos fuzzy. A teoria de conjunto fuzzy é uma teoria nova, formulada porZadeh (1965) e posteriormente aritmeticamente enriquecida por Dubois and Prade (1978). Na seguinte se¸cão são apresentados conceitos teóricos preliminares da teoria de conjuntos fuzzy, obtendo uma proposta autocontida, para posteriormente entregar a descri¸cão de cada cap´ıtulo da tese.

1.2 Preliminares

´

E importante ressaltar que usaremos alguns conceitos e terminologia da teoria dos conjuntos fuzzy baseados principalmente nos trabalhos de Zadeh (1965), Dubois and Prade (1978) e Nasseri et al. (2012).

(23)

Defini¸cão 1 _{Conjunto fuzzy. Seja Ω ⊆ R}k um subconjunto não vazio do espa¸co Euclidiano k-dimensional. Um conjunto fuzzy eA é um conjunto de pares ordenados

e

A = ω, µ_A_e(ω)_{: ω ∈ Ω} , onde µ_A_e _{: Ω → [0, 1] é chamada fun¸cão de membership} para o conjunto fuzzy eA. Adicionalmente, o conjunto fuzzy vazio e∅_{é caracterizado por} µ∅e(ω) = 0 para todo ω ∈ Ω ⊆ Rk.

Nota-se que, a teoria dos conjuntos fuzzy estende a teoria dos conjuntos tradicionais, relaxando o conceito de pertinência de elementos de seus respectivos conjuntos. Por um lado, na teoria dos conjuntos convencional considera-se que ω ∈ A (membership um) ou ω 6∈ A (membership zero), ou seja, é uma opera¸cão binária. Por outro lado, a teoria dos conjuntos fuzzy considera um grau de pertinência que varia no intervalo [0, 1], ou seja, ω é um membro de A com um certo grau e este mesmo elemento ω é tambem um membro de Ac _{com outro grau. A teoria da probabilidade é constru´ıda sobre a teoria}

dos conjuntos usuais e fornece um número no intervalo [0, 1] para descrever o grau de incerteza que ω ∈ A. A principal diferen¸ca entre a teoria da probabilidade e teoria fuzzy encontra-se na defini¸cão de um conjunto: a primeira considera os conjuntos tradicionais e o outro considera conjuntos fuzzy. Como veremos nesta se¸cão, as propriedades dos conjuntos fuzzy são muito diferentes das tradicionais. A aplicabilidade dos conjuntos fuzzy é enorme na modelagem l´ınguistica (Zadeh, 1975), análise de imagem (Sonka et al., 2008), desenho de dispositivos eletrônicos (Egusa et al., 1995) e assim por diante. Desde a Defini¸cão1, podemos representar um conjunto comum, usando uma nota¸cão fuzzy. Note-se que se Ω = Rk_{, qualquer subconjunto usual B ⊆ R}k _{é representado por}

defini¸c˜ao por µBe(ω) = 1 para todo ω ∈ B e µBe(ω) = 0 para todo ω 6∈ B. Por exemplo,

seja Ω = R e B = (a, b) um intervalo na linha real com a < b. Ent˜ao, B pode ser escrito em termos de um conjunto fuzzy como e_{B = {(ω, 1) : ∀ ω ∈ B} ∪ {(ω, 0) : ∀ ω 6∈ B}.}

´

E importante ressaltar que fun¸cões de membership e de densidade de probabilidade são intrinsecamente diferentes. Por exemplo, se π(ω) é uma fun¸cão de densidade com π(ω) ≥ 0 para todo ω ∈ Ω e RΩπ(ω)dω = 1, podemos obter uma fun¸cão de

mem-bership, definindo µAe(ω) = C−1π(ω), desde que C = sup

ω∈Ωπ(ω) < ∞. No entanto, o

inverso não é necessariamente verdadeiro, uma vez que uma fun¸cão de membership não precisa ser integrável sobre Ω.

Para as fun¸cões de densidade de probabilidade, é comum definir um suporte para caracterizar o conjunto de todos os pontos com uma densidade positiva. Para a fun¸cão de membership, temos a mesma defini¸cão para representar o conjunto de todos os pontos

(24)

com membership positiva no conjunto fuzzy. A Defini¸c˜ao2 formaliza este conceito.

Defini¸c˜ao 2 O suporte de um conjunto fuzzy eA ´e definido como supp( eA) = ω _{∈ Ω : µ}_A_e(ω) > 0 .

Nota-se que, um elemento ω tem pertinência plena no seu respectivo conjunto fuzzy, quando sua pertinência é um. Neste contexto, o elemento ω contém completamente todos os recursos exigidos pelo conjunto fuzzy. A Defini¸cão 3 formaliza o conjunto de todos os pontos com a pertinência plena, ou seja, todos os pontos onde as suas fun¸cões de membership são iguais a um.

Defini¸c˜ao 3 O core de um conjunto fuzzy eA ´e definido como core( e_{A) = {ω ∈ Ω :} µ_A_e_{(ω) = 1}.}

Quando o core tem pelo menos um elemento, temos um conjunto fuzzy normal, (ver Defini¸c˜ao4).

Defini¸cão 4 Um conjunto fuzzy eA é chamado normal se seu core é não vazio. Em outras palavras, existe, pelo menos, um ponto ω ∈ Rk _{com µ}

e

A(ω) = 1.

Seja eA um conjunto fuzzy normal, em seguida quanto mais perto µ_A_e(ω0) est´a de

um, mais acreditamos que ω0 encontra-se no core( eA) e quanto mais perto µAe(ω0) esta

de zero, mais acreditamos que ω0 n˜ao esta no core( eA). Ou seja, o grau de ades˜ao de

um elemento pode também ser visto como uma medida de incerteza (Zadeh, 1975). Seja eA e eB dois conjuntos fuzzy com fun¸cão de membership µ_A_e(ω) e µ_B_e(ω), respec-tivamente, de acordo com Zadeh (1965) (ver támbem Wang, 1999_{), se Ω ⊆ R}k_{, então}

as opera¸c˜oes comuns s˜ao definidas da seguinte forma:

1. _{A ⊆ e}e _{B ⇐⇒ µ}Ae(ω) ≤ µBe(ω), para todo ω ∈ Ω. 2. _{A ≡ e}e _{B ⇐⇒ µ}Ae(ω) = µBe(ω), para todo ω ∈ Ω. 3. Aec _{´e o complementar de e}_{A ⇐⇒ µ}

e

Ac(ω) = 1 − µ_A_e(ω), para todo ω ∈ Ω.

4. C = ee _{A ∪ e}_{B ⇐⇒ µ}_C_e_{(ω) = max{µ}_A_e(ω) , µ_B_e_{(ω)}, para todo ω ∈ Ω.}

5. D = ee _{A ∩ e}_{B ⇐⇒ µ}De(ω) = min{µAe(ω) , µBe(ω)}, para todo ω ∈ Ω. 4

(25)

A partir das defini¸c˜oes acima, se considerarmos e_{Ω = {(ω, 1) ; ω ∈ Ω ⊆ R}k_{} como}

o conjunto fuzzy universal, então para qualquer conjunto fuzzy eA com fun¸cão de mem-bership µ_A_e_{(ω) para todo ω ∈ Ω, temos que e}_{A ⊆ e}Ω. Além disso, se existe ω0 ∈ Ω

tal que max{µAe(ω0) , µAec(ω0)} < 1 temos que eA ∪ eAc 6= eΩ. Por outro lado, se existe

ω0 ∈ Ω tal que min{µAe(ω0) , µAec(ω)} > 0, temos que eA ∩ eAc 6= e∅. Como o leitor pode ver, estas propriedades não atendem as leis do terceiro exclu´ıdo e de contradi¸cão da teoria dos conjuntos clássicos (para mais informa¸cões ver Goguen, 1967; Wang, 1999;

Lee, 2005).

O conceito de um conjunto fuzzy é muito amplo e dif´ıcil de lidar, sem algumas es-pecifica¸cões adicionais. Neste contexto, a próxima defini¸cão nos permite especificar um número fuzzy, que é uma extensão natural dos números reais. No entanto, esta última defini¸cão depende da convexidade no contexto fuzzy, o qual é definido no seguinte.

Defini¸c˜ao 5 (Zadeh, 1965) Um conjunto eA ´e convexo, se e somente se µ_A_e(λω1+ (1 −

λ)ω2) ≥ min{µAe(ω1), µAe(ω2)} para todo ω1, ω2 ∈ Ω e λ ∈ [0, 1].

Nota-se que o conceito de convexidade sob a abordagem fuzzy difere da defini¸cão clássica de convexidade em análise funcional. Um intervalo fuzzy eA é um conjunto fuzzy que satisfaz a condi¸cão de convexidade e normalidade, de modo que o intervalo é constitu´ıdo por todos os elementos com fun¸cão de membership um. Um intervalo fuzzy

e

A é um número fuzzy quando a cardinalidade do core( eA) é igual que 1 (Nasseri et al., 2012). Os números e intervalos fuzzy são úteis para representar imprecisão e medidas de intervalos, respectivamente. Estes conceitos têm múltiplas aplica¸cões, por exemplo, na inteligência artificial, processamento de imagem, reconhecimento de voz, ciências biológicas e médicas, pesquisa operacional, análise de decisão e processamento da in-forma¸cão, economia, geografia, psicologia, lingu´ıstica, etc. Mais aplica¸cões podem ser encontradas emZimmermann (1992) eDubois (1980). Figuras1.1(a), (b) e (c) ilustram um conjunto geral fuzzy, um intervalo fuzzy e um número fuzzy, respectivamente.

Dubois and Prade (1978) definiram a classe das fun¸cões de membership LR (left e right) definidas sobre Ω = R, é dizer, a classe de fun¸cões de membership que podem ser inteiramente caracterizadas por três parâmetros, a saber, (m, α, β), e duas fun¸cões L e R. A próxima defini¸cão está relacionada com o conceito de números fuzzy LR-type.

Defini¸cão 6 O número fuzzy eA é dito LR-type se existem duas fun¸cões decrescentes L, R : [0, +∞) → [0, 1] com L(0) = R(0) = 1, lim

(26)

0 1 2 3 4 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 θ Função de Membership (a) 0.0 1.0 2.0 3.0 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 θ Função de Membership (b) 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 θ Função de Membership (c) F ig u ra 1.1 : R ep re se n ta ¸c˜o es d e (a ) u m co n ju n to fu zz y ge ra l, (b ) u m in te rv alo fu zz y e (c ) u m n ´u m er o fu zz y. 6

(27)

reais positivos m ≥ 0, α > 0, β > 0 tal que µ_A_e(ω) =          L m − ω α , _{para ω ≤ m,} R ω − m β , _{para ω ≥ m,}

onde m é chamado centro de eA, α e β são chamados de propaga¸cões esquerda e direita, respectivamente.

Se α = β, eA é chamado número fuzzy simétrico. É importante ressaltar que, para uma fun¸cão de membership simétrica, tem-se a igualdade L m−ω_α = Rω−m_β para todo ω ∈ R. Se L e R são segmentos que come¸cam nos pontos (al, 0) e (ar, 0),

respec-tivamente, e termina em (am, 1), então dizemos que eA é um número fuzzy triangular.

1.3 Objetivos e organiza¸

c˜

ao da pesquisa

Baseado nos conceitos da se¸cão anterior, nossa proposta carateriza três linhas de pes-quisa ou dimensões de estudo:

1. Teoria fuzzy como ferramenta de visualiza¸cão e interpreta¸cão de procedimentos estat´ısticos. Nesta dimensão nosso objetivo é usar algumas das ferramentas da teoria fuzzy para enriquecer a analise estat´ıstica, particularmente na análise dos conjuntos de confian¸ca depois de obtida a amostra.

2. Teoria fuzzy desde uma perspectiva matemática. Nesta dimensão nosso obje-tivo é gerar uma ferramenta especifica na area da teoria de conjuntos fuzzy com proje¸cões estat´ısticas, particularmente na defini¸cão de uma ordem.

3. Extensões estat´ısticas para conjuntos de dados fuzzy. Nesta dimensão nosso ob-jetivo é extender algumas ferramentas estat´ısticas para a analise de conjuntos de dados fuzzy, particularmente na generaliza¸cão do estimador de Kaplan-Meier para tempos de vida fuzzy.

Baseado nestas três dimensões, caracterizamos três cap´ıtulos da tese, no Cap´ıtulo 2 utilizamos os elementos da teoria de conjuntos fuzzy para resumir, visualizar e inter-pretar conjuntos de confian¸ca depois de obtida a amostra. No Cap´ıtulo 3 é apresentada

(28)

Figura 1.2: Diagrama Resumo da proposta

uma proposta de ordem de números fuzzy. Este cap´ıtulo nasceu como uma necessidade de compara¸cão de dados fuzzy. São definidos conceitos elementares da estat´ıstica em conjuntos de dados fuzzy, como é o caso de frequências, mediana e medidas de variabili-dade. No Cap´ıtulo 4 é apresentada uma proposta de análise de sobrevivência, baseada no estimador de Kaplan-Meier quando os tempos de vida são considerados números fuzzy. Por fim, o Cap´ıtulo 5 é dedicado aos comentários finais e dire¸cões para trabalhos futuros.

(29)

Cap´ıtulo 2

Uma an´

alise de conjuntos de

confian¸

ca para amostras observadas:

uma abordagem desde conjuntos

fuzzy

2.1 Introdu¸

c˜

ao

Como foi mencionado por R.A. Fisher em 1922, o principal objetivo dos métodos es-tat´ısticos, é a redu¸cão de dados. Em geral, considera-se que as quantidades de inte-resse a partir da popula¸cão alvo podem ser modeladas por medidas de probabilidade, que são especificadas por relativamente poucas quantidades desconhecidas chamadas parâmetros. Além disso, Fisher (1922) apontou que os dados observados constituem toda a informa¸cão relevante sobre os parâmetros desconhecidos. Neste contexto, um dos principais desafios da modelagem estat´ıstica é inferir sobre esses parâmetros com base nas informa¸cões fornecidas pelos dados observados. A fim de formalizar o processo infe-rencial, um modelo estat´ıstico é tipicamente definido, a saber: (X , F, P), onde X ⊆ Rn

é o espa¸co amostral, F é a σ-álgebra associada e P = {P θ : θ ∈ Θ} é uma fam´ılia de medidas de probabilidades amostrais indexadas por um parâmetro θ, onde Θ ⊂ Rk_,

(30)

com k < ∞, é um conjunto não vazio chamado espa¸co paramétrico (ver Fisher, 1922;

Basu, 1975; Cox and Hinkley, 1974; Lehmann, 1957; Bernardo et al., 1996; McCul-lagh, 2002). Portanto, a afirma¸cão de Fisher pode ser resumida em encontrar qual probabilidade amostral P θ modela adequadamente os dados observados, ou em outras palavras, encontrar um possivel valor para θ (estimativa pontual) ou subconjunto de Θ (estimativa por conjuntos de confian¸ca) que contenham medidas de probabilidade que ajustam-se adequadamente aos dados observados. Normalmente, o processo inferencial sobre θ envolve um resumo das informa¸cões fornecidas pelo dados observados através de estat´ısticas suficientes (m´ınimal) que concentram a informa¸cão relevante dos dados. Em geral, em condi¸cões de regularidade, procedimentos estat´ısticos dependem dessas estat´ısticas suficientes, a saber: máxima verossimilhan¸ca para estimativa pontual, quan-tidade pivotal para conjuntos de confian¸ca ou a teoria de Neyman-Pearson para testes de hipóteses. No paradigma frequentista, as ferramentas teóricas são derivadas de ter um bom desempenho a longo prazo (por exemplo, baixas probabilidades de erro tipo I e tipo II), ou seja, os métodos frequentistas devem se comportar bem, em média, sobre todo o espa¸co amostral. Se um experimento for repetido e um conjunto de confian¸ca é calculado para cada experimento, então o parâmetro do modelo de probabilidade que ajusta-se adequadamente a os dados observados espera-se ser contido em uma percen-tagem desses conjuntos de confian¸ca. Essa percenpercen-tagem é determinada pelo n´ıvel de confian¸ca (ver Seçcão 2.2 para uma defini¸cão formal de conjuntos de confian¸ca). No entanto, na prática, o experimento é repetido uma vez e apenas um conjunto de con-fian¸ca é observado. Este conjunto de concon-fian¸ca observado contém valores não aleatórios, assim, a probabilidade de este conjunto de confian¸ca observado conter qualquer ponto espec´ıfico ou região sempre será zero ou um. Portanto, depois de observar a amostra a interpreta¸cão dos conjuntos de confian¸ca não podem ser feitas em termos de frequências (ver Hoff, 2009, na Se¸cão 3.1.2, página 41, para mais detalhes). Este trabalho mostra como analisar um conjunto de confian¸ca, sem recorrer à interpreta¸cão de frequência. Isto é poss´ıvel através da utiliza¸cão da teoria dos conjuntos fuzzy desenvolvida por

Zadeh (1965, 1999).

(31)

2.2 Conjuntos de confian¸

ca e fun¸

c˜

oes de membership

Como foi mencionado na introdu¸cão, nosso principal objetivo é estabelecer uma conexão entre os conceitos clássicos de conjuntos de confian¸ca com a teoria dos conjuntos fuzzy. Come¸camos esta seçcão apresentando a defini¸cão de um conjunto de confian¸ca geral.

De acordo com um modelo estat´ıstico paramétrico (X , F, P) com P = {P θ, θ ∈ Θ}, onde Θ ⊂ Rk _{e k < ∞, um conjunto de confian¸ca (1 − α) é uma fun¸cão C}

α : X → 2Θ,

onde 2Θ _{´e a familia de todos os subconjuntos de Θ (conjunto potencia) satisfazendo}

P θ(Cα(X) = ∅) = 0, P θ(Cα(X) ∋ θ) ≥ 1 − α e inf

θ∈Θ

P θ(Cα(X) ∋ θ) = 1 − α,

(2.1) para cada θ ∈ Θ, onde X é um vetor aleatório, (ver Schervish, 1997, página 315). Quando P θ(Cα(X) ∋ θ) = 1 − α para todo θ ∈ Θ, então o conjunto de confian¸ca

Cα ´e exato. Procedimentos para a constru¸c˜ao de conjuntos de confian¸ca podem ser

encontrados emBoes et al. (1974);Lehmann and Romano (2006);Beran (1988);Casella and Berger (1990);Cepeda-Cuervo et al. (2008) entre outros. Esses procedimentos são, em geral, baseados nas quantidades pivotais e estat´ısticas de razão de verossimilhan¸ca. Aqui, 1 − α é chamado n´ıvel de confian¸ca e α é chamado n´ıvel de significância (Fisher, 1955). Intuitivamente, a amplitude do intervalo depende do n´ıvel de confian¸ca, isto é, quanto maior o n´ıvel de confian¸ca, maior é a amplitude do intervalo (ver Henderson and Meyer, 2001).

Nota-se que, depois de observar a amostra, o conjunto de confian¸ca Cα(x) ´e um

conjunto fixo e P θ(Cα(x) ∋ θ) ´e zero ou um, onde x ´e a amostra observada, assim as

declara¸cões de probabilidade em (2.1) são usadas apenas para atingir um conjunto de confian¸ca adequado. Uma vez que a amostra é observada este conjunto de confian¸ca é fixo.

Portanto, uma interpreta¸cão pós-experimento de conjuntos de confian¸ca não pode ser efetuada em termos de probabilidades sem repeti¸cões experimentais (verHoff, 2009, Se¸cão 3.1.2, página 41, para mais detalhes). Nesta se¸cão, veremos que, embora não seja poss´ıvel fazer afirma¸cões probabil´ısticas sobre conjuntos de confian¸ca observados, podemos interpretar os conjuntos de confian¸ca observados em termos de conjuntos fuzzy. Mostramos a existência de uma fun¸cão geral de membership que fornece todas as informa¸cões contidas num conjunto de confian¸ca observado Cα(x), para todo n´ıvel

(32)

α ∈ [0, 1]. O seguinte resultado estabelece que a fun¸c˜ao de membership pode ser expressa em termos de um conjunto de confian¸ca observados.

Lema 1 Seja Cα um conjunto de confian¸ca de n´ıvel α ∈ [0, 1] para algum subconjunto

de Θ, onde x ∈ X . Seja C = {Cα(x)}α∈I a fam´ılia que cont´em o respectivo conjunto de

confian¸ca para I ⊂ [0, 1] n˜ao vazio. Definir, para cada θ ∈ Θ,

µ_Θ,Ce (θ) = max{0, sup{α ∈ I : Cα(x) ∩ {θ} 6= ∅}}, (2.2)

onde sup{∅} = −∞. Usamos a nota¸cão curta µΘe quando a fam´ılia C não é o foco.

Então, µΘe é uma fun¸cão de membership, isto é, µΘe : Θ → [0, 1].

Prova _{Seja θ ∈ Θ, então temos duas situa¸cões: (1) θ ∈ C}_α(x) para algums valores de α ∈ I e (2) θ 6∈ Cα(x) para todo α ∈ I. Para a primeira situa¸cão, a prova é

simples por constru¸cão, isto é, µΘe(θ) é única para cada θ ∈ Θ e 0 ≤ µΘe(θ) ≤ 1. Para

a segunda situa¸c˜ao, temos que µΘe(θ) = max{0, sup{α ∈ I : Cα(x) ∩ {θ} 6= ∅}} =

max{0, sup (∅)} = 0. Isto é, para cada θ ∈ Θ, temos µΘe(θ) é única e 0 ≤ µΘe(θ) ≤ 1.

Nota-se que, um outro caso extremo tamb´em acontece quando θ ∈ Cα(x) para todo

α ∈ I, caso em que temos que µΘe(θ) = max{0, sup{α ∈ I : Cα(x) ∩ {θ} 6= ∅}} =

max{0, sup(I)} = sup(I) ≤ 1.

Para cada regi˜ao de confian¸ca proposta, podemos representar o espa¸co de parˆametros pelo conjunto fuzzy

e

Θ = {(θ, µΘe(θ)); θ ∈ Θ},

onde µΘe(θ) ´e dada na Equa¸c˜ao (2.2). Nota-se que para diferentes conjuntos de confian¸ca

C1,α e C2,α temos diferentes membership, ou seja, µ_Θ,Ce ₁ ≡ µΘe1 e µΘ,Ce 2 ≡ µΘe2, respec-tivamente, onde C1 = {C1,α(x)}α∈I1 e C2 = {C2,α(x)}α∈I2 com I1 ∪ I2 ⊂ [0, 1]. Como consequência disso, os conjuntos fuzzy resultantes terão diferentes representa¸cões, ou seja,

e

Θ1 = {(θ, µΘe1(θ)); θ ∈ Θ} e eΘ2 = {(θ, µΘe2(θ)); θ ∈ Θ},

respectivamente. Informa¸cões adicionais com rela¸cão à Equa¸cão (2.2) pode ser encon-trada em Mauris et al. (2001) e mais recentemente, em Patriota (2013). O exemplo a seguir mostra uma aplica¸cão do resultado indicado no Lema1.

(33)

Exemplo 1 Seja X = (X1, X2, . . . , Xn)⊤ uma amostra aleat´oria de uma popula¸c˜ao

normal com m´edia θ e variˆancia conhecida σ2 _{e seja x a amostra observada. Aqui,}

Θ = R e um conjunto de confian¸ca de (1 − α) para θ, usando o m´etodo da quantidade pivotal, ´e dado pelo Cα(x) =

¯ x − zα/2σ/√n, ¯x + zα/2σ/√n , para α ∈ I = [0, 1], onde ¯

x é a média amostral e zq é o qth-quantil de uma distribui¸cão normal padrão. Assim,

desde o Lema 1 temos que

µ_Θ_e(θ) =      2 Φ√n(θ−¯_σ x)_{, para θ ≤ ¯x,} 2 Φ√n(¯_σx−θ)_{, para θ ≥ ¯x,}

onde Φ denota a distribui¸cão acumulativa da distribui¸cão normal padrão.

Nota-se que eΘ é um número fuzzy LR-type onde L(θ) = 2Φ(√_{n(θ − ¯x)/σ) para} θ ≤ ¯x e R(θ) = 2Φ(√n(¯_{x − θ)/σ) para θ ≥ ¯x. Figura}2.1 mostra a representa¸cão gráfica da fun¸cão de membership, considerando n = 5, ¯x = 5 e σ2 _{= 5. Esta figura contém}

intervalos de confian¸ca para todos os n´ıveis α, isto ´e, para cada α fixo, podemos obter um intervalo de confian¸ca para θ com n´ıvel de confian¸ca (1 − α)100%.

0 2 4 6 8 10 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 θ Função de Membership

(34)

Exemplo 2 Seja X = (X1, X2, . . . , Xn)⊤ uma amostra aleat´oria de uma popula¸c˜ao

Bernoulli com m´edia θ e seja x a amostra observada. Aqui, Θ = [0; 1] e seja Cα(x) =

h b

θ(1 − κα), bθ(1 + κα)

i

um conjunto de confian¸ca de (1 − α) para θ, onde α ∈ I, bθ é a propor¸cão amostral e κq é definida como:

κq ∈                      {0}, se q = 1, (0; 1) , se q = 5 8, [1; 2) , se q = 1 8, {2}, se q = 0, Assim, desde o Lema 1, temos que

µ_Θ_e(θ) =      κ−1_{1 −} θ b θ , para θ ≤ bθ, κ−1θ b θ − 1 , para θ ≥ bθ,

onde κ−1 _{denota o inverso de κ} q.

Nota-se que eΘ ´e um n´umero fuzzy LR-type onde L(θ) = κ−1_{1 −}θ b θ para θ ≤ bθ e R(θ) = κ−1θ b θ − 1

para θ ≥ bθ. Al´em disso, I = 0,1 8,

5 8, 1

. Figura 2.2 (a) mostra a representa¸cão gráfica da fun¸cão de membership, considerando n = 3 e bθ = 1/3. Esta figura apresenta intervalos de confian¸ca para todos os n´ıveis α ∈ I, isto é, para cada α fixo, podemos obter um intervalo de confian¸ca de (1 − α) para θ. Figura2.2 (b) retrata a mesma fun¸cão de membership, considerando n = 3 e bθ = 2/3.

Observa¸cão 1 Se o conjunto de confian¸ca Cα(x) é centrado no estimador ML, bθ, então

temos que µΘe(bθ) = 1. Isto significa que a estimativa ML ´e parte do core do conjunto

fuzzy eΘ. Podemos interpretar o Core( eΘ) como o conjunto de todos os valores dos parâmetros para os quais a distribui¸cão de probabilidade relacionada explica os dados observados de acordo com C. Com efeito, quanto mais próximo θ esta do Core(eΘ), mais acreditamos que o modelo P θ é o melhor modelo, conforme C e os dados observados.

O pr´oximo resultado caracteriza o core do eΘ.

(35)

0.0 0.4 0.8 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 θ Função de Membership (a) 0.0 0.4 0.8 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 θ Função de Membership (b)

Figura 2.2: (a) Fun¸cão de membership para o parâmetro θ quando n = 3 e bθ = 1/3. (b) Fun¸cão de membership para o parâmetro θ quando n = 3 e bθ = 2/3.

(36)

Teorema 1 Seja µΘe(θ) e I = [0, 1] as quantidades definidas em (2.2), ent˜ao core( eΘ) =

{θ ∈ Θ : θ ∈ Cα(x) ∀α ∈ I}.

Prova 1 Desde a Defini¸c˜ao 3, temos que core( e_{Θ) = {θ ∈ Θ : µ}Θe(θ) = 1}. Agora,

temos que µΘe(θ) = 1 se, e so se, sup{α ∈ I : Cα(x) ∩ {θ} 6= ∅} = 1. Este ´ultimo fato

ocorre quando θ ∈ Cα(x) para todo α ∈ I concluindo a prova.

O Teorema 1 caracteriza a forma funcional do core para a fun¸cão de membership definida em (2.2), isto é, esses valores em Θ produzem plena pertinência. Por exemplo, no caso do Exemplo 1, core( e_{Θ) = {¯x} porque µ}Θe(θ) = 1 so para θ = ¯x. Assim eΘ é

chamado conjunto fuzzy normal (ver Defini¸cão 4). Assumindo que existe uma medida de probabilidade Pθ _{que gera os dados e com base na Defini¸cão} ₃_{, Lema} ₁ _{e Teorema} 1_{, a interpreta¸cão de θ ∈ Core(e}Θ) é o valor do parâmetro com o qual a distribui¸cão de probabilidade tem máxima credibilidade de ter gerado os dados, em termos de C. Em seguida, definimos conjuntos de confian¸ca não-crescentes em termos do n´ıvel de significância α.

Defini¸c˜ao 7 _{Seja C = {C}α(x)}α∈I uma fam´ılia de conjuntos de confian¸ca para um

vetor de parâmetros. Dizemos que C é uma fam´ılia de conjuntos de confian¸ca não-crescentes se Cα1(x) ⊆ Cα2(x) para todo 0 ≤ α2 < α1 ≤ 1.

O próximo resultado refere-se à propriedade de monoticidade de conjuntos de con-fian¸ca com as fun¸cões de membership.

Teorema 2 _{Seja C = {C}_α_(x)}_α∈I uma fam´ılia de conjuntos de confian¸ca n˜ao crescente. Se θǫ ⊆ θγ onde θν = {θ ∈ Θ; kθ − θ∗k ≤ ν} e core(eΘ) = {θ∗} com ǫ, γ ∈ R+ e ǫ ≤ γ.

Ent˜ao µΘe(θ) ≥ µΘe(θ +

), para todo θ ∈ θǫ e θ+ ∈ (θγ∩ θcǫ).

Prova 2 Se Cα(x) ´e n˜ao crescente, temos que

{α ∈ I : Cα(x) ∩ {θ+} 6= ∅} ⊆ {α ∈ I : Cα(x) ∩ {θ} 6= ∅}.

Usando o supremo desses conjuntos, temos que µΘe(θ) ≥ µΘe(θ

+_{), concluindo a prova.}

Outro resultado importante para conjuntos de confian¸ca não crescente é a rela¸cão entre o conceito de convexidade da Defini¸cão 5, apresentada por Zadeh (1965), e a

(37)

propriedade de monotonicidade. Esta rela¸c˜ao ´e baseada no Teorema 2 concluindo que µ_Θ_e(λθ+_{+ (1 − λ)θ) ≥ min{µ}_Θ_e(θ+), µ_Θ_e_{(θ)}, para todo θ}+_{, θ ∈ Θ e λ ∈ [0, 1] e portanto} e

Θ ´e convexa no contexto fuzzy.

O Teorema 2 pode ser usado para comparar fun¸c˜oes de membership. Por exemplo, baseado na seguinte defini¸c˜ao.

Defini¸cão 8 Seja µΘe1, µΘe2 : Θ → [0, 1] duas fun¸cões de membership com o mesmo core. Dizemos que µΘe1 tem supremacia total sobre µΘe2 se µΘe1(θ) ≤ µΘe2(θ) para todo θ _{∈ Θ. Eles são totalmente equivalentes se µ}_Θ_e

1(θ) = µΘe2(θ) para todo θ ∈ Θ. N´os denotamos a supremacia total por µ_Θ_e₁ _≪T µΘe2 e equivalencia total por µΘe1 ∼T µΘe2.

A Defini¸cão 8 nos permite comparar dois conjuntos de confian¸ca diferentes, por exemplo, podemos determinar se um conjunto de confian¸ca é mais conservativo do que o outro para todos os n´ıveis de confian¸ca. É importante ressaltar que a Defini¸cão 8

é similar à defini¸cão de superioridade apresentada por Xie and Singh (2013). Note também que se U é uma familia de todas as fun¸cões de membership então ≪ estabelece uma rela¸cão de ordem em U e esta rela¸cão é uma rela¸cão de ordem da inclusão de conjuntos fuzzy, ver, por exemplo, Fra¨ıssé (2000). Note-se que, a Defini¸cão 8 é forte e não aplicável em muitas situa¸cões, especialmente, se duas fun¸cões de membership têm diferentes conjuntos core, em seguida, esta defini¸cão não funciona. A fim de tornar menos restritivo o conceito supremacia, e portanto incluir mais situa¸cões, definimos as seguintes integrais.

Defini¸c˜ao 9 Sejam µΘe : Θ → [0, 1] uma fun¸c˜ao de membership continua e

Er(µΘe) = Z Θr µΘe(θ) dθ e Θr= {θ ∈ Θ : µΘe(θ) ≥ r}, dizemos que:

1. µΘe1 tˆem r-up-supremacia sobre µΘe2 se E r_(µ

e

Θ1) ≤ E r_(µ

e

Θ2), que denotamos por µΘe1 ≪Er µΘe2. Elas s˜ao r-up-equivalentes quando E

r_(µ e Θ1) = E r_(µ e Θ2), que ´e denotado por µΘe1 ∼Er µΘe2 e r ∈ [0, 1] tal que a integral resultante est´a bem definida.

(38)

2. Se µΘe é integrável com respeito à medida de Lebesgue em dimensão k = dim(Θ),

µ_Θ_e₁ temos r-down-supremacia sobre µ_Θ_e₂ se Er(µΘe1) ≤ Er(µΘe2), que notamos por µ_Θ_e₁ _≪Er µΘe2. Elas s˜ao r-down-equivalentes quando Er(µΘe1) = Er(µΘe2), que denotamos por µΘe1 ∼Er µΘe2, onde

Er(µΘe) =

Z

Θc r

µΘe(θ) dθ.

Chamamos Er _{o r-up operador integral e E}

r o r-down operador integral.

Nota-se que, se µΘe é integrável, então por Defini¸cão 9, é simples que

E0(µ_Θ_e) = Er(µΘe) + E r_(µ

e

Θ) = E1(µΘe), (2.3)

para todo r ∈ [0, 1]. Adicionalmente, se dim({θ ∈ Θ : µΘe(θ) = 1}) < k, tamb´em

temos que E1_(µ e

Θ) = E0(µΘe) = 0. O Exemplo 3 descreve como calcular as

quantida-des analiticamente Er _{e E}

r. No entanto, para os modelos mais complexos, solu¸c˜oes

anal´ıticas s˜ao praticamente imposs´ıveis de modo que essas integrais devem ser compu-tados numericamente usando qualquer software (por exemplo, MAPLE, MATLAB, Ox, R, SAS_).

Exemplo 3 Considere o contexto do Exemplo 1 com variˆancia conhecida σ2_{. Aqui,}

Θr = µ−1_Θ_e ([r, 1]) = [c1r, c2r], onde µΘe(c1r) = µΘe(c2r) = r e c1r ≤ ¯x ≤ c2r. Ent˜ao, c1r = ¯x + σ √ nΦ −1 r 2 , c2r = ¯x − σ √ nΦ −1 r 2 e Er(µΘe) = Z Θc r µΘe(θ) dθ = 4 Z c1r −∞ Φ √ n(θ − ¯x) σ dθ,

onde Φ(·) a fun¸cão de distribui¸cão cumulativa de uma variável normal padrão. Fazendo uma mudan¸ca de variável u =√_{n(θ − ¯x)/σ, temos a expressão.}

Z c1r −∞ Φ √ n(θ − ¯x) σ dθ = _√σ n Z √ n(c1r−¯x)/σ −∞ Φ(u) du.

Agora usando a identidadeR _{Φ(x) dx = xΦ(x)+φ(x), onde φ(·) é a fun¸cão densidade de} probabilidade de uma variável normal padrão (verJeffrey and Zwillinger, 2007, p. 629),

(39)

temos Er(µΘe) = 4σ √ n √ n(c1r− ¯x) σ Φ √ n(c1r− ¯x) σ + φ √ n(c1r− ¯x) σ .

Similarmente, temos que

Er(µΘe) = 4 Z x¯ −∞ Φ √ n(θ − ¯x) σ dθ − 4 Z c1r −∞ Φ √ n(θ − ¯x) σ dθ, ent˜ao Er(µ_Θ_e) = _√4σ n φ(0) − √ n(c1r− ¯x) σ Φ √ n(c1r− ¯x) σ − φ √ n(c1r− ¯x) σ .

A Defini¸c˜ao9ser´a usada para identificar conjuntos de confian¸ca mais conservadores. ´

E poss´ıvel demonstrar que ≪Er, ≪Er e ≪T satisfaz o requisito de ser rela¸cão de ordem (reflexividade, antisimetria e transitividade) e ∼Er, ∼Er e ∼T satisfaze o requisito de ser rela¸cão de equivalência (reflexividade, simetr´ıa e transitividade).

O Teorema 3 estabelece algumas rela¸c˜oes entre os trˆes tipos de supremacias.

Teorema 3 Seja µ_Θ_e₁, µ_Θ_e₂ _{: Θ → [0, 1] duas fun¸c˜oes de membership cont´ınuas e} inte-graveis. Ent˜ao,

[∀r ∈ [0, 1], µΘe1 ≪Er µΘe2] ⇐⇒ [∀r ∈ [0, 1], µΘe1 ≪Er µΘe2]. (2.4)

Al´em disso, se core( eΘ1) = core( eΘ2),

[∀r ∈ [0, 1], µΘe1 ≪Er µΘe2] ⇐⇒ [µΘe1 ≪T µΘe2], (2.5)

onde eΘi = {(θ, µΘei) : θ ∈ Θ}.

Prova 3 Seja θ∗ _{∈ Θ e k ∈ R e definir µ} e

Θ_1,k,∗(θ) = µΘe1(θ + kθ

∗_{). Nota-se que}

Er(µ1) ≤ Er(µ2), para todo r ∈ [0, 1], se e s´o se existe θ∗ ∈ Θ e k ∈ R tal que

e

Θ_1,k,∗ _{⊆ e}Θ2, onde isto ´e a inclus˜ao de conjuntos fuzzy e eΘ1,k,∗ depende de µΘe1,k,∗. Isto implica que Er_(µ

1) ≤ Er(µ2) para todo r ∈ [0, 1]. A prova do inverso ´e semelhante. Se

k = 0, temos eΘ1 ⊆ eΘ2 se e s´o se µΘe1 ≪T µΘe2.

(40)

do intervalo é maior do que o outro para um n´ıvel de significância espec´ıfico. Um procedimento para identificar um intervalo de confian¸ca mais conservativo do que outro é comparando as amplitudes dos intervalos para todos os n´ıveis de significância. Abaixo, vamos definir o conceito conservativo para conjuntos de confian¸ca geral.

Defini¸c˜ao 10 _{Seja C}1 = {C1,α(x)}α∈I1 e C2 = {C2,α(x)}α∈I2 duas fam´ılias de conjuntos de confian¸ca, dizemos que C2 ´e mais conservativo que C1 se as respectivas membership

µ_Θ,C_e ₂ _{≡ µ}_Θ_e₂ e µ_Θ,C_e ₁ _{≡ µ}_Θ_e₁ satisfazem µ_Θ_e₁ _≪Er µΘe2 para todo r ∈ [0, 1]. Dizemos que a regi˜ao C2,α(x) ´e up-mais conservativa que C1,α(x) se µΘe1 ≪Eα µΘe2 e down-mais conservativa se µΘe1 ≪Eα µΘe2.

A próxima proposi¸cão estabelece algumas propriedades de eΘ. A prova é simples desde Lema 1, Defini¸cão 3e Defini¸cão 8 e por conseguinte, é omitida.

Proposi¸c˜ao 1 Seja e_{Θ = {(θ, µ}Θe(θ)); θ ∈ Θ} com µΘe(θ) como em (2.2). Ent˜ao, os

seguintes items s˜ao v´alidos.

1. Core( eΘ) = µ−1_e

Θ ({1}), onde µ −1

e

Θ ({1}) = {θ ∈ Θ : µΘe(θ) = 1}. Tamb´em, se

core( eΘ) é a singleton então eΘ é um número fuzzy.

2. Se a cardinalidade µ−1_Θ_e _{({1}) é maior que 1, então e}Θ é um conjunto fuzzy normal.

3. Se µ−1 e

Θ ({1}) = Θ, ent˜ao eΘ = {(θ, 1); θ ∈ Θ}.

4. Seja eΘ1 e eΘ2 duas representa¸c˜oes fuzzy sobre o espa¸co paramˆetrico Θ associados

com C1,α(x) e C2,α(x) respectivamente. Se C1,α(x) ⊆ C2,α(x) para todo α ∈ [0, 1],

então µΘe1 ≪ µΘe2 e C2,α(x) é mais conservativo que C1,α(x) para todo α ∈ [0, 1]. As Defini¸cões8,9e10são ferramentas para comparar conjuntos de confian¸ca através de suas respectivas fun¸cões de membership. As fun¸cões de membership utilizadas são definidas no mesmo espa¸co paramétrico. No entanto, há situa¸cões em que estamos interessados em comparar conjuntos de confian¸ca a partir de um vector de parâmetros parcial com conjuntos de confian¸ca a partir de um vector de parâmetros completo (ver Exemplo 4). Portanto, uma fun¸cão de membership para o vetor de parâmetros parcial é definido a seguir.

Seja θ = (λ⊤, ψ⊤)⊤_{, onde λ e ψ s˜ao vetores com dimens˜ao k}

1 e k2 com k = k1+ k2.

Sem perda de generalidade, seja C∗

α(x) un conjunto de confian¸ca para λ e seja Λ o 20

(41)

conjunto onde λ varia. Ent˜ao, a fun¸c˜ao de membership para λ pode ser definida simplesmente por µ_Λ_e _{: Λ → [0, 1] tal que}

µeΛ(λ) = max{0, sup{α ∈ [0, 1] : Cα∗(x) ∩ {λ} 6= ∅}}. (2.6)

As mesmas propriedades da membership (2.2) e as defini¸cões acima são válidos para esta fun¸cão parcial de membership.

2.3 Exemplos

Nesta se¸cão, apresentaremos alguns exemplos clássicos para conjuntos de confian¸ca. Cada exemplo apresenta a rela¸cão entre conjunto de confian¸ca e fun¸cão de membership associada. Além disso, são computados os operadores integrais r-up e down.

Nosso primeiro exemplo considera a compara¸cão dos intervalos de confian¸ca para a média de uma popula¸cão normal em duas situa¸cões: (a) quando a variância da po-pula¸cão é conhecida (Cα(x)), onde λ é a média da popula¸cão; e (b) quando a variância

da popula¸c˜ao ´e desconhecida (C∗

α(x)), com θ = (λ, σ2)⊤ ∈ Θ ≡ R × R+, onde λ ´e a

média da popula¸cão, σ2 _{é a variância populacional e Λ ≡ R. Em ambos os casos, o} método para a constru¸cão de intervalos de confian¸ca baseia-se na quantidade pivotal.

Exemplo 4 (Distribui¸c˜ao Normal) Seja X = (X1, X2, . . . , Xn)⊤uma amostra aleat´oria

desde uma popula¸c˜ao normal e seja x a amostra abservada, ¯x a m´edia amostral e s2 _a

variˆancia amostral.

(a1) Para o caso da variância conhecida: θ é a média populacional, Θ = R e um

conjunto de confian¸ca de n´ıvel (1 − α) para θ usando o m´etodo da quantidade pivotal ´e dado por C1,α(x) =

¯ x − zα/2 √ 2/√n, ¯x + zα/2 √ 2/√n, onde zq ´e o

qth-quantil da distribui¸c˜ao normal padr˜ao.

(a2) Para o caso da variância desconhecida: θ = (λ, σ2), onde λ é a média da

po-pula¸cão e σ2 _{é a variância populacional, Θ = R × R}+_{, Λ = R e o conjunto de}

confian¸ca de n´ıvel (1 − α) para a média populacional λ usando o método da quan-tidade pivotal é dado por C2,α(x) =

¯

x − tα/2,νs/√n, ¯x + tα/2,νs/√n

, onde tq ´e o

q th-quantil da distribui¸c˜ao t-Student com ν graus de liberdade. Assim, desde o Lema 1 temos o seguinte:

(42)

(a1) A fun¸cão de membership para o caso da variância conhecida é µΘe : R → [0, 1] tal que µ_Θ_e(θ) =      2 Φ√n(θ−¯_σ x)_{, para θ ≤ ¯x,} 2 Φ√n(¯_σx−θ)_{, para θ ≥ ¯x.}

(a2) A fun¸cão de membership parcial para o caso da variância desconhecida é µΛe :

R_{→ [0, 1] tal que} µΛe(λ) =      2 T √n(λ−¯_s x)_{; n − 1}_{, para λ ≤ ¯x,} 2 T √n(¯x−λ)_s _{; n − 1}_{, para λ ≥ ¯x,}

onde T (·; ν) denota a fun¸cão de distribui¸cão acumulativa (fdc) da distribui¸cão t-Student com ν graus de liberdade.

Na Figura 2.3 representa as quantidades relacionadas com o Exemplo 4: (a) apre-senta as fun¸c˜oes de membership, (b) apreapre-senta o gr´afico de (r, Er) para r ∈ [0, 1] e (c)

apresenta o gr´afico de (r, Er_{) para r ∈ [0, 1] para ambos os intervalos de confian¸ca.}

Considera-se que n = 5, ¯x = 5 e σ2 _{= s}2 _{= 5. As linhas cont´ınuas e tracejadas}

re-presentam casos (a1) e (a2), respectivamente. Para este exemplo temos que µΘe ≪T µΛe

(ver Figura 2.3(a)). Portanto, pelo Teorema 3_{, concluimos que C}2 = {C2,α(x)}0≤α≤1 ´e

mais conservativo que C1 = {C1,α(x)}0≤α≤1. Desde Figuras 2.3(b)–(c) observamos que

µΘe tem r-down(up)-supremacia sobre µΛe para todo r ∈ [0, 1], ´e dizer, µΘe ≪Er µ_Λe e µΘe ≪Er µeΛ para todo r ∈ [0, 1]. N˜ao sempre existe r-up ou r-down supremacia para

todo r ∈ [0, 1]. Os exemplos a seguir apresentam situa¸c˜oes onde a supremacia total n˜ao ocorre.

Exemplo 5 (Distribui¸c˜ao exponencial) Seja X = (X1, . . . , Xn)⊤uma amostra aleat´oria

de uma distribui¸cão exponencial com taxa θ, seja x a amostra observada e ¯x a média amostral. Então, o intervalo de confian¸ca de n´ıvel 1 − α para θ é:

(a1) Usando o m´etodo da quantidade pivotal (verRoss, 2009, p. 267)

C1,α(x) = " χ2 2n;1−α/2 2n¯x ; χ2 2n;α/2 2n¯x # . 22

(43)

0 2 4 6 8 10 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 θ Funções de Membership (a) µΘ µΛ 0.0 0.4 0.8 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 r Oper ador Er Er(µΘ) Er(µΛ) (b) 0.0 0.4 0.8 0 1 2 3 4 r Oper ador E r Er(µΘ) Er(µΛ) (c)

Figura 2.3: (a) Fun¸cões de membership para a média da popula¸cão de uma distribui¸cão normal quando a variância é conhecida (linha sólida) e quando a variância é desconhe-cida (linha pontilhada);(b) Operador integral r-down para as respectivas memberships; (c) O operador integral r-up para as respectivas memberships. São considerados n = 5, ¯

(44)

(a2) Utilizando a aproxima¸c˜ao assint´otica (Guerriero, 2012) C2,α(x) = 1 ¯ x − zα/2 ¯ x√n; 1 ¯ x+ zα/2 ¯ x√n , onde χ2

ν;q ´e o q-th quantil da distribui¸c˜ao qui-quadrado com ν graus de liberdade.

Assim, desde o Lema 1 temos o seguinte.

(a1) A fun¸c˜ao de membership para C1 = {C1,α}0≤α≤1 ´e µΘe1 : R → [0, 1] tal que

µΘe1(θ) =      2 1 − χ2 _2nθ¯_{x; n − 1} , para θ ≤ 1/¯x, 2 χ2 _2nθ¯_{x; n − 1}_, _{para θ ≥ 1/¯x.}

(a2) A funçcão de membership para C2 = {C2,α}0≤α≤1 é µΘe2 : R → [0, 1] tal que

µΘe2(θ) =      2 Φ(√n(¯_{xθ − 1)), para θ ≤ 1/¯x,} 2 Φ(√_{n(1 − ¯xθ)) para θ ≥ 1/¯x,}

onde χ2_{(·; ν) é a fun¸cão de distribui¸cão acumulativa qui-quadrado com ν graus de}

liberdade.

A Figura2.4representa as quantidades relacionadas com o Exemplo5: (a) apresenta as fun¸c˜oes de membership, (b) apresenta o gr´afico de (r, Er) para r ∈ [0, 1] e (c)

apresenta o gr´afico de (r, Er_{) para r ∈ [0, 1] para ambos os intervalos de confian¸ca.}

considerando-se n = 10 e ¯x = 1. Em todos os casos, as linhas cont´ınuas e pontilhadas representam casos (a1) e (a2), respectivamente.

A Figura 2.4_{(a) mostra que para alguns θ ∈ Θ}∗ _{⊂ Θ temos µ} e

Θ1(θ) ≤ µΘe2(θ) e para alguns θ ∈ Θ′

⊂ Θ temos µΘe2(θ) ≤ µΘe1(θ). Isto é, a rela¸cão de ordem não é a mesma para todos θ ∈ Θ. No entanto, Defini¸cão 8 afirma que a rela¸cão de ordem deve ser cumprida para todos θ ∈ Θ. Na Figura 2.4(b) podemos observar que a desigualdade Er(µΘe1) ≤ Er(µΘe2) vale para r ∈ [0.81; 1.00]. Consequentemente µΘe1 tem r-down-supremacia sobre µΘe2 para todo r ∈ [0.81; 1] (ver Defini¸cão 9). Para r = 0.81, temos Er(µΘe1) = Er(µΘe2) = 0.55, enquanto que para valores de r ≤ 0.81 observamos que Er(µΘe1) e Er(µΘe2) têm entrela¸camentos. Na Figura 2.4(c) observa-se que a rela¸cão

(45)

Er_(µ e

Θ2) ≤ E r_(µ

e

Θ1) ´e verdadeira para r ∈ [0.40; 0.84], ent˜ao observamos que µΘe2 tem r-up-supremacia sobre µ_Θ_e₁ _{para todo r ∈ [0.4; 0.84]. Para r = 0.4 e r = 0.84, temos} Er_(µ e Θ1) = E r_(µ e Θ2) = 0.41 e E r_(µ e Θ1) = E r_(µ e Θ2) = 0.14, respectivamente. Para r ≥ 0.84 observa-se que µΘe1 tem r-up-supremacia sobre µΘe2.

−1 0 1 2 3 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 θ Funções de Membership µΘ1 µΘ2 (a) 0.0 0.4 0.8 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 r Oper ator Er Er(µΘ1) Er(µΘ2) (b) 0.0 0.4 0.8 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 r Oper ador E r Er₍_µ Θ1) Er(µΘ2) (c)

Figura 2.4: (a) Fun¸cões de membership para a taxa exponencial com base na quanti-dade pivotal (linha sólida) e com base na aproxima¸cão normal (linha pontilhada);(b) O operador integral r-down para as respectivas memberships; (c) O operador integral r-up para as respectivas memberships. São considerados n = 5 e ¯x = 1.

Exemplo 6 (Distribui¸c˜ao Poisson) Seja X = (X1, . . . , Xn)⊤ uma amostra aleat´oria

de uma distribui¸cão de Poisson com taxa θ, e seja x a amostra observada e ¯x a média amostral. Então, o intervalo de confian¸ca de n´ıvel 1 − α para θ é:

(a1) usando a quantidade pivotal (Sahai and Khurshid, 1993)

C1,α(x) = " χ2 2n¯x;1−α/2 2n ; χ2 2n¯x+2;α/2 2n # ,

(46)

(a2) utilizando a aproxima¸c˜ao assint´otica (Correa, 2007) C2,α(x) = ¯ x −zα/2 √ ¯ x √ n ; ¯x + zα/2√x¯ √ n .

Assim, desde o lema 1 temos o seguinte.

µΘe1(θ) =      2 1 − χ2 _{2nθ; 2n¯}_x , para θ ≤ ¯x, 2 χ2_{(2nθ; 2n¯}_{x + 2),} _{para θ ≥ ¯x.}

µΘe2(θ) =          2 1 − Φ _√ n(¯_√x−θ) ¯ x , para θ ≤ ¯x, 2 1 − Φ _√ n(θ−¯x) √ ¯ x para θ ≥ ¯x.

A Figura2.5representa as quantidades relacionadas com o Exemplo6: Figura2.5(a) apresenta as fun¸c˜oes de memberships, Figura2.5(b) apresenta o gr´afico de (r, Er) para

r ∈ [0, 1] e Figura 2.5(c) apresenta o gr´afico de (r, Er_{) para r ∈ [0, 1] para ambos os}

intervalos de confian¸ca. Considerando n = 5 e ¯x = 4. Em todos os gr´aficos, as linhas cont´ınuas e pontilhadas representam os casos (a1) e (a2), respectivamente. Desde a

Figura2.5(a), observa-se que a supremacia total n˜ao ocorrer (ver Defini¸c˜ao8). Figuras

2.5(b)–(c) mostram que µ_Θ_e₁ tem r-down(up)-supremacia sobre µ_Θ_e₂ _{para todo r ∈ [0, 1].}

Exemplo 7 Seja X1, . . . , Xn uma amostra aleat´oria de uma distribui¸c˜ao normal com

m´edia θ1 e variˆancia θ2. O conjuntos de confin¸ca de n´ıvel de significancia α para

θ = (θ1, θ2)⊤ ´e dado por:

Cα(x) = h x − tα1/2,n−1 p s2_{/n; x − t} α1/2,n−1 p s2_/ni_× " (n − 1)s2 χ2 α2/2,n−1 ; (n − 1)s 2 χ2 1−α2/2,n−1 # ,

onde 1 − α = (1 − α1)(1 − α2), tq,ν ´e o qth quantil da distribui¸c˜ao t-Student com ν grau

de liberdade e χ2

q,ν ´e o qth quantil da distribui¸c˜ao qui-quadrada com ν grau de liberdade. 26

(47)

0 2 4 6 8 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 θ Funções de Membership µΘ1 µΘ2 (a) 0.0 0.4 0.8 0.0 0.5 1.0 1.5 r Oper ador Er Er(µΘ1) Er(µΘ2) (b) 0.0 0.4 0.8 0.0 0.5 1.0 1.5 r Oper ador E r Er₍_µ Θ1) Er(µΘ2) (c)

Figura 2.5: (a) Fun¸cões de membership para a taxa Poisson com base na quantidade pivotal (linha sólida) e com base na aproxima¸cão normal (linha pontilhada); (b) O operador integral r-down para as respectivas memberships; (c) O operador integral r-up para as respectivas memberships. São considerados n = 5 e ¯x = 4.

(48)

Desde o Lema1 temos a seguinte superf´ıcie µΘe(θ) =      4 T √n(θ1−x) s ; n − 1 1 − χ2(n−1)s2 θ2 ; n − 1, para θ2 ≤ s2 e θ1 ≤ x, 4 T √n(x−θ1) s ; n − 1 χ2(n−1)s2 θ2 ; n − 1 , para θ2 ≥ s2 e θ1 ≥ x,

onde χ(·; ν) denota a fdp da distibui¸c˜ao qui-quadrado com ν grau de liberdade. Aqui, Θr = µ−1_Θ_e ([r, 1]) = [c11r, c12r] × [c21r, c22r], onde µΘe(c11r) = µΘe(c12r) = µΘe(c21r) = µ_Θ_e(c22r) = r, c11r ≤ ¯x ≤ c12r e c21r ≤ s2 ≤ c22r. Ent˜ao, c11r = ¯x − s √ nT −1 r 2, n − 1 , c12r = ¯x + s √ nT −1 r 2, n − 1 , c21r = (n − 1)s 2 χ−2 r 2, n − 1 , c22r = (n − 1)s 2 χ−2 1 − r2, n − 1 e Er(µΘe) = Z Θc r µΘe(θ) dθ = 8 Z c11r −∞ Z c21r −∞ T √ n(x − θ1) s ; n − 1 χ2 (n − 1)s2 θ2 ; n − 1 dθ1dθ2,

onde T (·; ν) e χ2_{(·; ν) são as fun¸cões de distribui¸cão acumulativas da t-Student e}

qui-quadrado com ν grau de liberdade, respectivamente. Similarmente, temos que

Er_(µ e Θ) = 8 Z x¯ −∞ Z s2 −∞ T √ n(x − θ1) s ; n − 1 χ2 (n − 1)s2 θ2 ; n − 1 dθ1dθ2− 8 Z c11r −∞ Z c21r −∞ T √ n(x − θ1) s ; n − 1 χ2 (n − 1)s2 θ2 ; n − 1 dθ1dθ2,

Estas integrais podem ser calculadas numericamente utilizando um software (por exem-plo, MAPLE, MATLAB, Ox, R, SAS). Figura 2.6 apresenta a fun¸c˜ao de membership com n = 5, ¯x = 5, s2 _{= 5 e o r-down e o r-up operador integral para as respectivas fun¸c˜oes}

de membership.

Na Figura 2.6(a) dois planos são tra¸cados, com altura de 0,3 e 0,8 para mostrar as mudan¸cas das regiões de confian¸ca. Na Figura 2.6(b) o gráfico de (r, Er) e (r, Er) são

apresentados. Neste caso, pode ser observado que Er = Er quando r = 0.253, como

indicado pela linha vertical s´olida.

(49)

(a) (b)

Figura 2.6: (a) Superf´ıcie de membership para a média e variância de uma popula¸cão normal; (b) o operador integral r-down e r-up para a membership. Considerando-se n = 5, ¯x = 5 e s2 _{= 5.}

Basicamente, quando o profissional quer comparar conjuntos de confian¸ca gerais, ´e suficiente tra¸car gr´aficos de (r, Er(µΘe)) e (r, Er(µΘe)) a fim de analisar os

comporta-mentos. Além disso, para os conjuntos de confian¸ca uni ou bidimensionais, o gráfico de (θ, µ_Θ_e(θ)) pode ser utilizado em lugar dos habituais conjuntos de confian¸ca com um n´ıvel de confian¸ca pré-fixo, obtendo muito mais informa¸cões.

(50)

2.4 Aplica¸

c˜

oes

Nesta se¸cão apresentaremos uma aplica¸cão baseada no conjunto de dados reais, mos-trando a rela¸cão entre um conjunto de confian¸ca e a fun¸cão de membership associada. Os operadores integrais r-up e down são também calculados. Baseado em Fagerland et al. (2014), considerarmos um experimento onde são observados N pares de eventos Bernoulli designados por A e B. Neste caso, os resultados são registados como 1 (su-cesso) e 2 (fracasso), e a ith par observado é denotado por (Yi1, Yi2). Os resultados do

experimento podem ser resumidos numa tabela de contingˆencia de 2 × 2 (ver Tabela

4.2). Note-se que, cada nkl corresponde ao n´umero de pares (Yi1, Yi2) com resultados

Yi1= k e Yi2 = l.

Tabela 2.1: Tabela de Contingˆencia de 2 × 2.

Evento B

Sucesso Falha Total

Evento Sucesso n11 n12 n1+

A Falha n21 n22 n2+

Total n+1 n+2 N

Nesta aplica¸cão, estamos interessados num intervalo de confian¸ca de (1 − α) para a diferen¸ca das probabilidades de sucesso dadas pelas propor¸cões marginais, isto é, θ = p1+ − p+1, onde p1+ é a probabilidade de sucesso para o evento A e p+1 é a

probabilidade de sucesso para o evento B. Para isso, usamos os seguintes métodos: Wald, Wald com corre¸cão de continuidade, Wald com ajuste pseudo-frequência Agresti-Min e Wald com ajuste Bonett-Price Laplace. Para mais detalhes destes métodos, ver

Fagerland et al. (2014);Newcombe (1998a,b).

Usando a mesma nota¸c˜ao que noFagerland et al. (2014), os intervalos de confian¸ca para θ s˜ao os seguintes:

1. M´etodo de Wald C1,α(x) = bθ ± zα/2 N p n12+ n21− (n12− n21)2/N.

2. M´etodo de Wald com corre¸c˜ao de continuidade

C2,α(x) = bθ ± zα/2 N p n12+ n21− (|n12− n21| − 1)2/N. 30

(51)

3. Método de Wald com ajuste pseudo-frequência Agresti-Min C3,α(x) = e n12− en21 e N ± zα/2 e N q en12+ en21− (en12− en21)2/ eN , onde en12= n12+ 1/2, en21= n21+ 1/2 e eN = N + 2. 4. Método de Wald com ajuste Bonett-Price Laplace

C4,α(x) = ep12− ep21± zα/2

q

(ep12+ ep21− (ep12− ep21)2)/( eN + 2),

onde ep12 = (n12+ 1)/(N + 2) e ep21 = (n21+ 1)/(N + 2).

Para cada método α ∈ I = [0, 1] e zq é o qth-quantil da distribui¸cão normal padrão.

Portanto, as fun¸cões de membership para cada método são dadas por:

1. M´etodo de Wald: µΘe1(θ) =            2Φ _p (θ − bθ)N n12+ n21− (n12− n21)2/N ! , para θ ≥ bθ, 2Φ _p (bθ − θ)N n12+ n21− (n12− n21)2/N ! , para θ ≤ bθ.

2. M´etodo de Wald com corre¸c˜ao de continuidade:

µ_Θ_e₂(θ) =            2Φ p (θ − bθ)N n12+ n21− (|n12− n21| − 1)2/N ! , para θ ≥ bθ, 2Φ p (bθ − θ)N n12+ n21− (|n12− n21| − 1)2/N ! , para θ ≤ bθ.

3. M´etodo de Wald com ajuste pseudo-frequˆencia Agresti-Min:

µΘe3(θ) =                2Φ   (θ − ((en12− en21)/ eN) eN q en12+ en21− (en12− en21)2/ eN   , para θ ≥ (en12− en21)/ eN, 2Φ  _q (bθ − θ)N en12+ en21− (en12− en21)2/ eN   , para θ ≤ (en12− en21)/ eN.