y 2 Y podemos escolher x = g(y) tal que f(x) = y; isto decorre do fato de f ser sobrejetiva. É fácil ver que g é injetiva. Sejam y1; y2 2 Y; com g(y1) = g(y2); aplicando
f em ambos os menbros, obtemos f (g(y1)) = f (g(y2)); pela de…nição da composta
temos y1 = y2: Como Y é in…nito existe uma aplicação h : N ! Y injetiva. Assim a
composição g h : N ! X é injetiva. Logo X é in…nito.
Exemplo 2.2.13 O conjunto dos números primos é in…nito. Suponhamos por absurdo que o conjunto P dos números primos é …nito, i:e:, P = fp1; p2; p3; :::; pkg N: Tome
p = (p1 p2 p3 pk) + 1 2 N; assim pi < p para todo i = 1; 2; 3; :::; k; ou seja, p
=
2 P . Note que se pi divide p para algum i = 1; :::; k, então pi divide 1 e então pi = 1:
Uma contradição, pois pi 6= 1 para todo i = 1; :::; k: Portanto, P é in…nito.
2.3
Conjuntos enumeráveis e não-enumeráveis
De…nição 2.3.1 Um conjunto X diz-se enumerável quando é …nito ou quando existe uma bijeção f : N ! X: Neste caso, f chama-se uma enumeração dos elementos de X. Escrevendo f (1) = x1; f (2) = x2; :::; f (n) = xn; ::: tem-se então X =
fx1; x2; :::; xn; :::g :
Teorema 2.3.2 Todo suconjunto X N é enumerável.
Demonstração: Se X for …nito o teorema está provado. Se X for in…nito de…namos intuitivamente f : N ! X; pondo f(1) = menor elemento de X e suponha de…nidos f (1); f (2); :::; f (n); de modo que f (1) < f (2) < ::: < f (n): Escrevendo An = X ff(1); f(2); :::; f(n)g ; tem-se f(n) < x; para todo x 2 An: Tomemos
f (n + 1) =menor elemento de An (An 6= ?; pois X é in…nito). Note que f é injetiva:
Com efeito, dados n1; n2 2 N tais que n1 6= n2: Se n1 < n2, então pela de…nição de f
tem-se f (n1) < f (n2);o que implica f (n1)6= f(n2):O resultado é análogo para n2 < n1:
Veja também que f é sobrejetiva, caso contrário existiria algum x 2 X f (N); sendo assim x 2 An; para todo n 2 N; isso acarreta x > f(n); qualquer que fosse n 2 N:
Então o conjunto in…nito f (N) N seria limitado. O que é absurdo, pois ser limitado implica ser …nito (Corolário 2.2.8).
Corolário 2.3.3 Seja f : X ! Y injetiva. Se Y é enumerável então X também é. Demonstração: Como Y é enumerável, existe uma bijeção g : N ! Y: Seja a função h : X! N de…nida por h(x) = g 1(f (x));
2.3. CONJUNTOS ENUMERÁVEIS E NÃO-ENUMERÁVEIS
h também é injetiva. Considere a função hh(X) : X ! h(X); temos uma bijeção de
X em um subconjunto h(X) N: Pelo Teorema 2.3.2, h(X) é enumerável, logo se h(X) for …nito então existem n 2 N e uma aplicação ' : In ! h(X) bijetiva. Daí, a
composição hh(X)1 ' : In! X é bijetiva, o que implica X …nito e enumerável. Agora,
se h(X) for in…nito (enumerável), então existe uma bijeção t : N ! h(X); assim a composição hh(X)1 t : N ! X é bijetiva. Portanto, X é enumerável.
Corolário 2.3.4 Seja f : X ! Y sobrejetiva. Se X é enumerável então Y também é. Demonstração: De…na g : Y ! X; onde para cada y 2 Y; encontremos x = g(y) 2 X tal que f (x) = y: Claramente g é injetiva e pelo Corolário 2.3.3, Y é enumerável.
Exemplo 2.3.5 O produto cartesiano de dois conjuntos enumeráveis é um conjunto enumerável. De fato, sejam X e Y conjuntos enumeráveis. Então existem bijeções f : N ! X e g : N ! Y: Assim a função h : N N ! X Y, de…nida por h(m; n) = (f (m); g(n)) é sobrejetiva, isto decorre da sobrejetividade de f e g. Agora provemos que N N é enumerável, seja a função g : N N ! N dada por g(m; n) = 2m 3n: Note que g é injetiva, pois, dados (n
1; m1); (n2; m2) 2 N N tais
que g(n1; m1) = g(n2; m2) = k 2 N; então k = 2m1 3n1 e k = 2m2 3n2: Logo pela
unicidade da decomposição de um número em fatores primos, temos (n1; m1) = (n2;
m2): Segue do Corolário 2.3.3, que N N é enumerável. E pelo Corolário 2.3.4, que o
produto cartesiano X Y é enumerável.
Exemplo 2.3.6 O conjunto Z dos números inteiros é enumerável. De…namos a aplicação f : N ! Z dada por f(n) = (n 1)2 para n ímpar e f (n) =
n
2 para n par.
É fácil ver que f é bijeção. Com efeito, sejam n1; n2 2 N números ímpares, tais que
f (n1) = f (n2): Temos: (n1 1) 2 = (n2 1) 2 =) n1 1 = n2 1 =) n1 = n2:
Sejam agora n3; n4 2 N números pares, tais que f(n3) = f (n4). Então n3 2 = n4 2 =) n3 = n4 =) n3 = n4:
2.3. CONJUNTOS ENUMERÁVEIS E NÃO-ENUMERÁVEIS
Logo, f é injetiva. Dado m 0 (m 2 Z), existe n = 2m + 1 ímpar, tal que m = (n 1)2 . Logo para todo m 0 (m2 Z); existe n 2 N ímpar tal que f(n) = m:
Agora, seja m < 0 (m 2 Z): Sendo assim, note que m > 0 e existe n = 2( m) par, tal que m = n2. Logo para todo m < 0 (m 2 Z); existe n 2 N par tal que f(n) = m: Portanto; f é sobrejetiva.
Exemplo 2.3.7 Todo subconjunto de um conjunto enumerável é enumerável. Com efeito, sejam X um conjunto enumerável e Y X: Se Y = X então Y é enumerável. Analisemos agora para Y 6= X: Se X for …nito, tem-se Y …nito (Teorema 2.2.6) e consequentemente enumerável. Caso contrário (X in…nito), então Y é …nito ou in…nito. No primeiro caso temos que Y é enumerável. No segundo caso, como Y é subconjunto próprio de X existe um aplicação g : X ! Y bijetiva (Corolário 2.2.11) e como X é enumerável existe uma função bijetiva f : N ! X, logo a aplicação h = g f : N ! Y é bijetiva. Portanto, o subconjunto Y é enumerável.
Exemplo 2.3.8 Outro exemplo de conjunto enumerável é o conjunto Q =
m
n; m; n2 Z; n 6= 0 dos números racionais. Inicialmente seja Z = Z f0g
subconjunto próprio de Z: Note que Z é enumerável (Exemplo 2.3.7), e que Z Z também é enumerável (Exemplo 2.3.5). Assim basta mostrar que a aplicação f : Z Z ! Q de…nida por f(m; n) = mn é sobrejetiva e usar o resultado do Corolário
2.3.4. Com efeito, seja m 2 Z podemos escrever m como produto de dois números inteiros, i:e:; m = q n; q; n 2 Z e n 6= 0. Assim note que dado q 2 Q, existe (m; n)2 Z Z ; tal que q = mn. O que implica f (m; n) = q: Note que f não é injetiva, pois dados (4; 2); (8; 4) 2 Z Z obtemos f(4; 2) = 42 = 2 =
8
4 = f (8; 4); i:e:, (4;
2)6= (8; 4); mas f(4; 2) = f(8; 4):
Um conjunto X qualquer é dito não-enumerável se for in…nito e não existir uma aplicação f : N ! X bijetiva.
Exemplo 2.3.9 Seja S o conjunto de todas as sequências in…nitas, formadas pelos algarismos 0 e 1. O conjunto S pode ser de…nido também como o conjunto de todas as funções s : N ! f0; 1g : Provemos que o conjunto S é não enumerável. Com efeito, consideremos o subconjunto enumerável X = fs1; s2; :::; sn; :::g S. É fácil ver que X é
enumerável basta notar que a aplicação f : N ! X dada por f(n) = sn;para todo n 2 N;
é bijetiva. Indiquemos por snm o n ésimo termo da sequência sm 2 X: De…namos uma
2.3. CONJUNTOS ENUMERÁVEIS E NÃO-ENUMERÁVEIS
igual a 1 se snn = 0: Logo, s não pertence ao conjunto X pois seu n-ésimo termo é
diferente do n-ésimo termo de sn: Portanto, o conjunto S 6= fs1; s2; :::; sn; :::g = X;
i:e:, nenhum subconjunto enumerável X é igual a S: Consequentemente conclui-se que S não é enumerável. Vale salientar que esse importante raciocínio deve-se a Cantor, e é conhecido como o método da diagonal.
Exemplo 2.3.10 O conjunto P (N) de todos os subconjuntos de N não é enumerável. Com efeito, considere o subconjunto X enumerável formado por subconjuntos de N, i:e:; X P (N): Devemos mostrar que nenhum conjunto X é igual a P (N): Para isso interprete cada subconjunto Y N como uma sequência de zeros e uns, na qual o n-ésimo termo é 1 se n 2 Y e 0 se n =2 Y: Assim cada subconjunto Y X será uma sequências formadas pelos algarismos 0 e 1; ou seja, X = fs1; s2; :::; sn; :::g.
Desse modo, basta usar o método da diagonal e concluir que o conjunto P (N) não é enumerável.
Capítulo 3
Algumas Noções Topológicas
A palavra Topologia em grego signi…ca "estudo das formas"(topos - forma e logos - estudo. É o ramo da Matemática que se dedica ao estudo das noções de limite, continuidade e as ideias com elas relacionadas. A Topologia é aplicada em diversas áreas, muitos de seus resultados foram descobertos por meio de procedimentos intuitivos, formalizadas pelo rigor matemático posteriormente.
O celébre problema das sete pontes de Königsberg, cidade da antiga Prússia, onde hoje é a cidade de Kaliningrado, Rússia, é considerado o impulsionador dos estudos topológicos. No centro da cidade de Königsberg o rio Pregel se divide em dois rios, um ao norte chamado Pregel Velho, e o outro ao sul chamado Pregel Novo. Esses rios dividiam a cidade em quatro porções de terra, para ligar essas porções foram construidas sete pontes. O problema consiste em fazer um passeio pela cidade atravessando as sete pontes, cada uma, uma única vez. Em 1736, o matemático suíço Leonhard Euler, percebeu que o problema não era de geometria, o que importava era a forma como as porções de terra estavam interligadas entre si. Nascendo assim a Topologia e a Teoria dos Grafos. Euler representou em um grafo (conjunto cujos os elementos são unidos por arcos) as porções de terra como vértice e as pontes como arestas. A partir daí, Euler percebeu que a única maneira de resolver esse problema séria se houvesse no máximo dois vértices de onde saísse um número impar de caminhos. Desse modo, cada vértice deveria ter um número par de caminhos, pois é necessário um caminho para entrar e outro para sair. Logo, os vértices que tivessem números ímpares de caminhos seriam a entrada e a saída do percurso (veja [2]).
Tendo em vista que a de…nição de conjunto aberto e conjunto fechado está ligado a ideia de limite de uma sequência, iniciaremos este capítulo apresentando uma breve
noção desse assunto.
De…nição 3.0.11 Uma sequência de números reais é uma função x : N ! R; que associa a cada número natural n um número real xn; chamado o n-ésimo termo da
sequência.
Uma sequência cujo n-ésimo termo é xn; pode ser indicada por (x1; x2; :::; xn; :::)
ou (xn)n2N;ou simplesmente (xn):
De…nição 3.0.12 Dada uma sequência x = (xn)n2N; uma subsequência de x é a
restrição da função x a um subconjunto in…nito N0 = fn
1 < n2 < < nk< g
de N: Escreve-se x0 = (x
n)n2N0 ou (xn1; xn2; : : : ; xnk; : : :); ou (xnk)k2N para indicar a
subsequência x0 = xj N0:
A notação (xnk)k2N mostra que uma subsequência pode ser considerada como uma
sequência, i:e:; uma função cujo domínio é N:
De…nição 3.0.13 Diz-se que o número real a é limite da sequência (xn) quando, para
todo real " > 0; dado arbitrariamente, pode-se obter n0 2 N tal que todos os termos xn
com índice n > n0 cumpre a condição jxn aj < ": Escreve-se então a = lim xn:
Isto signi…ca que, para valores muito grandes de n; os termos xn tornam-se e se
mantêm tão próximos de a quanto se queira. Estipulando uma margem de erro " > 0; existe um índice n0 2 N tal que todos os termos xn da sequência com índice n > n0 são
valores aproximados de a com erro menor do que ":
Vale ressaltar que jxn aj < " equivale a a " < xn < a + "; ou seja, xn 2 (a ";
a + "):
Outras formas de escrever a = lim xn são a = limn2Nxn; a = limn !1xn ou
xn ! a: Uma sequência que possui limite diz-se convergente. Caso contrário, ela se
chama divergente.
Teorema 3.0.14 O limite de uma sequência quando existe é único.
Demonstração: Sejam (xn)uma sequência com lim xn = ae b 6= a: Seja a < b; tome
" = b a2 > 0: Então existe n 2 N tal que
n > n0 =) xn2 (a "; a + ") =) xn2 (a ";
a + b 2 ):
Sendo assim, note que xn 2 (= a+b2 ; b + "); o que implica xn 2 (b= "; b + "): Portanto,
lim xn6= b: De maneira análoga prova-se para b < a; basta tomar " = a b2 > 0:
Este importante resultado mostra que o limite de uma sequência quando existe é único.
De…nição 3.0.15 Uma sequência (xn) chama-se monótoma quando se tem xn xn+1
para todo n 2 N ou então xn+1 xn para todo n: No primeiro caso, diz-se que (xn) é
monótona não decrescente e, no segundo, que (xn) é monótona não crescente. Se, mais
precisamente, tivermos xn< xn+1 (respct. xn > xn+1) para todo n2 N; diremos que a
sequência é crescente (respectivamente, decrescente):
Proposição 3.0.16 Toda sequência monótona não decrescente (respect. não crescente) é limitada inferiormente (respect. superiormente) pelo seu primeiro termo. Se (xn) é
monótona e possui uma subsequência limitada, então (xn) é limitada.
Demonstração: De fato, seja (xn) uma sequência não decrescente e (xnk) é uma
subsequência limitada. Sendo assim, existe c 2 R tal que
xnk c;8k 2 N: (3.1)
Para qualquer n 2 N; como o conjunto de índices fn1; n2; n3; : : : ; nk; : : :g é in…nito,
existe nk0 tal que n < nk0: Como (xn)é não decrescente, tem-se
xn xnk: (3.2)
De (3.1) e (3.2) segue xn xnk0 c: Como n foi tomado arbitrariamente, temos que
xn c; 8 n 2 N:
Se (xn)for não crescente, a demonstração é análoga a anterior.
Teorema 3.0.17 Toda sequência monótona limitada é convergente.
Demonstração: Seja (xn) monótona, limitada, digamos não decrescente. Considere
o conjunto X = fx1; : : : ; xn; : : :g dos termos da sequência (xn): Como (xn) é limitada,
claramente X é limitado. Seja b = sup X: A…rmamos que b = lim xn: Com efeito, dado
" > 0; note que o número b " não é cota superior de X: Logo existe n0 2 N tal que
b " < xn0: Assim , se n > n0 tem-se
b " < xn0 xn b + "; i.e., jxn bj < ": Portanto, lim xn = a:
3.1. CONJUNTOS ABERTOS
De…nição 3.0.18 Diremos que um termo xn de uma sequência é destacado quando
xn xp para todo p > n:
Corolário 3.0.19 (Teorema de Bolzano-Weierstrass) Toda sequência limitada de números reais possui uma subsequência convergente.
Demonstração: Note que basta encontrar uma subsequência monótona (limitada) e o teorema anterior garante sua convergência. Seja D N o conjunto dos índices n tais que xn é um termo destacado. Se o conjunto D for in…nito,
D = fn1 < n2 < < nk< g, então a subsequência (xn)n2D será monótona não
crescente. Se D não for in…nito, então D será limitado, pois todo conjunto …nito é limitado. Seja n1 maior do que todos os elementos de D: Assim xn1 não é destacado,
i.e., existe n2 > n1 tal que xn1 < xn2: Sendo assim, xn2 não é destacado, logo existe
n3 > n2 com xn1 < xn2 < xn3: Continuando desse forma, obteremos uma sequência
crescente xn1 < xn2 < < xn3 < :
Teorema 3.0.20 (Teorema do Confronto) Se lim xn = lim yn = a e xn zn yn
para todo n su…cientemente grande então lim zn = a:
Demonstração: Dado arbitrariamente " > 0; existem n1; n2 2 N tais que n > n1 =)
jxn aj < " =) a " < xn < a + " e n > n2 =) jyn aj < " =) a " < yn < a + ":
Seja n0 = maxfn1; n2g : Então n > n0 =) a " < xn zn yn < a + ": Logo
zn2 (a "; a + "): Portanto, lim zn = a:
3.1
Conjuntos abertos
De…nição 3.1.1 Diz-se que o ponto a é interior ao conjunto X R quando existe um número " > 0 tal que o intervalo aberto (a "; a + ") está contido em X:
De…nição 3.1.2 O conjunto dos pontos interiores a X chama-se interior do conjunto X e representa-se pela notação intX: Quando a 2 intX diz-se que o conjunto X é uma vizinhança do ponto a. Um conjunto A R chama-se aberto quando A = intA; i.e., quando todos os pontos de A são interiores a A:
Observação 3.1.3 Diz-se que o conjunto X R não é aberto, quando existe x 2 X tal que x =2 intX:
3.1. CONJUNTOS ABERTOS
Exemplo 3.1.4 Todo ponto c 2 (a; b), é ponto interior a (a; b). Com efeito, existe n0 2 N tal que c + n1 0 > a e c 1 n0 < d: Daí, tomemos " = 1 n0 > 0; então
(c "; c + ") (a; b). Disto decorre que todo intervalo aberto é um conjunto aberto, pois para todo c 2 (a; b). tem-se c 2 int(a; b): Seja o intervalo fechado [a; b] ; os extremos a; b
=
2 int [a; b], pois para qualquer n 2 N; tem-se a n1 < ae b+ 1 n > b;assim ( a 1 n; a+ 1 n)6
[a; b] e (b n1; b+n1)6 [a; b] : O conjunto ? vazio é aberto, caso contrário existiria x 2 ? tal que x =2 int(?), absurdo pois o conjunto vazio não possui elementos. O interior do conjunto Q não contém intervalos. De fato, considere o conjunto Q Q; com a; b 2 Q tal que a < b; assim dado qualquer intervalo (a; b); temos que (a; b) 6 Q; pois entre dois números racionais existe sempre um número irracional, i:e:; existe i 2 (a; b) tal que i =2 Q: Portanto, (a; b) 6 Q:
Teorema 3.1.5 Sejam A1 e A2 conjuntos abertos, então A1\A2 é um conjunto aberto.
Demonstração: Vamos mostrar que A1 \ A2 = int(A1 \ A2); de imediato tem-
se que int(A1 \ A2) A1 \ A2: Assim, basta mostrar que A1 \ A2 int(A1 \ A2):
Com efeito, seja a 2 A1 \ A2; como A1 e A2 são abertos, então a é ponto interior
de A1 e de A2 (a 2 intA1 e a 2 intA2): Logo, existem "1 > 0 e "2 > 0; tais que
(a "1; a + "1) A1 e (a "2; a + "2) A2: Tomando " = min f"1; "2g ; tem-se que
(a "; a + ") (a "1; a + "1) A1 e (a "; a + ") (a "2; a + "2) A2:Portanto,
(a "; a + ") A1\ A2, a 2 int(A1 \ A2);como queriamos demonstrar.
Teorema 3.1.6 Se (A ) 2L é uma família qualquer de conjuntos abertos, a reunião A = [
2L
A é um conjunto aberto.
Demonstração: Devemos mostrar que A intA = int[
2L
A :Seja a 2 A então existe 2 L tal que a 2 A : Como A é aberto, existe " > 0 tal que (a "; a + ") A [
2L
A = A: Logo para todo ponto x 2 A; tem-se x 2 intA = int[
2L
A : Portanto A é aberto.
Do Teorema 3.1.5, resulta que a interseção A1 \ \ An de um número …nito de
conjuntos abertos é um conjunto aberto. Por outro lado, a interseção de um número in…nito de conjuntos abertos pode não ser aberto. Por exemplo, seja In = ( n1;n1)
aberto; para todo n 2 N: Note que a interseção
1
\
n2N
In = ( 1; 1) \ ( 12;12)\ \