Universidade Federal do Rio Grande do Norte
Centro de Ensino Superior do Seridó
Curso de Licenciatura em Matemática
Um Estudo do Conjunto de Cantor
Bismark Gonçalves do Nascimento
2017
Universidade Federal do Rio Grande do Norte
Centro de Ensino Superior do Seridó
Curso de Licenciatura em Matemática
Um Estudo do Conjunto de Cantor
por
Bismark Gonçalves do Nascimento
sob orientação do
Prof. Dr. Adriano Thiago Lopes Bernardino
Dezembro de 2017 Caicó-RN
Nascimento, Bismark Goncalves do.
Um estudo do conjunto de Cantor / Bismark Goncalves do Nascimento. - Caicó,RN: UFRN, 2017.
51f.
Trabalho de Conclusão de Curso (licenciatura em Matemática) Universidade Federal do Rio Grande do Norte. Centro de Ensino Superior do Seridó - Campus Caicó. Departamento de Ciências Exatas e da Terra.
Orientador: Dr. Adriano Thiago Lopes Bernardino.
1. Conjuntos. 2. Noções Topológicas. 3. Conjunto de Cantor. I. Bernardino, Adriano Thiago Lopes. II. Título.
RN/UF/BS-CAICÓ CDU 51:373.5
Universidade Federal do Rio Grande do Norte - UFRN Sistema de Bibliotecas - SISBI
Catalogação de Publicação na Fonte. UFRN - Biblioteca Setorial Profª. Maria Lúcia da Costa Bezerra - - CERES--Caicó
Agradecimentos
Agradeço principalmente a Deus por ter sido meu melhor amigo e companheiro em todos os momentos, me proporcionado a oportunidade de estudar e conhecer pessoas maravilhosas.
Agredeço a minha mãe Maria de Fátima Gonçalves por ter sido uma guerreira todos esses anos e aos meus irmãos e familiares.
Agradeço a todos os amigos, em especial os residentes, e a todos os professores principalmente ao meu orientador Porf. Dr. Adriano Thiago Lopes Bernardino pela paciência e dedicação na elaboração deste trabalho.
Resumo
Este trabalho tem como objetivo explicitar alguns conceitos tais como conjuntos, funções e algumas noções topológicas, aplicando os mesmos no estudo do conjunto de Cantor, na demonstração de propriedades. Inicialmente serão expostos conceitos básicos de conjuntos, funções e números naturais, posteriormente será apresentada a de…nição de conjunto limitado, …nito, in…nito, enumerável e não enumerável e a demonstração de alguns resultado bem como a exposição de exemplos. Seguindo a mesma ideia, no segundo momento serão de…nidos os conceitos de sequência, conjunto aberto, fechado, pontos de acumulação e conjunto compacto e também serão provados resultados e exemplos. Por …m, o quarto capítulo é dedicado a construção do conjunto de Cantor e mostramos algumas de suas propriedades.
Abstract
This work aims to explain some concepts such as sets, functions and some topological notions (open, closed, compact and accumulation points), applying them to the study of set of Cantor, in the demonstration of properties. Firstly, the basic concepts of sets, functions and natural numbers will be presented. Later, the de…nition of a limited, …nite, in…nite, enumerable and non-enumerable set will be presented, as well as the demonstration of some results as well as the exposition of examples. Following the same idea, in the second moment the concepts of sequence, open set, closed, accumulation points and compact set will be de…ned, and results and examples will also be proved. Finally, the fourth chapter is dedicated to the construction of the Cantor set and we show some of its properties.
Sumário
1 Noções Fundamentais 1
1.1 Conjuntos . . . 1
1.2 Funções . . . 6
1.3 Números naturais . . . 10
2 Conjuntos Finitos, In…nitos, Enumeráveis e Não-Enumeráveis 17 2.1 Conjuntos limitados de números reais . . . 17
2.2 Conjuntos …nitos e in…nitos . . . 19
2.3 Conjuntos enumeráveis e não-enumeráveis . . . 23
3 Algumas Noções Topológicas 27 3.1 Conjuntos abertos . . . 30
3.2 Conjuntos fechados . . . 32
3.3 Pontos de acumulação . . . 33
3.4 Conjuntos compactos . . . 34
4 Aplicando Resultados no Conjunto de Cantor 36 4.1 Construção . . . 36
Introdução
Neste trabalho é apresentado algumas propriedades do conjunto de Cantor, bem como conceitos preliminares necessários para a demonstração de tais propriedades. Além disso, em cada capítulo foram destacados momentos históricos relacionados a Matemática.
Os conteúdos foram expostos em quatro capítulos, estruturados da seguinte forma: 1. Noções fundamentais, 2. Conjuntos …nitos, in…nitos, enumeráveis e não-enumeráveis, 3. Algumas noções topológicas, 4. Algumas propriedades do conjunto de Cantor, …nalizando com as referências bibliiográ…cas.
Os elementos norteadores para a realização deste estudo foram o interesse desenvolvido na disciplina de Análise Real I e principalmente pelas características do conjunto de Cantor, entre elas está o fato de que a soma de todos os elementos retirados é igual a soma do que tinha no início, ou seja, igual a 1.
Capítulo 1
Noções Fundamentais
1.1
Conjuntos
Com o propósito de expor conceitos básicos do trabalho que pretendemos desenvolver, será conveniente conhecer algumas ideias e conceitos da teoria matemática dos conjuntos. Por ser um assunto muito extenso abordaremos apenas noções fundamentais. Os conteúdos desta seção foram retirados de [5], [6] e [8].
A Álgebra por mais de um milênio, foi vista apenas como um conjunto de regras relacionadas às operações aritméticas com números e ao manuseio de símbolos que representavam números e as operações. No entanto, o matemático inglês George Boole (1815-1864) mostrou que a Álgebra poderia ser trabalhada com conjuntos e outros tipos de entes. Essa revolução …cou conhecida como "a liberação da Álgebra", que contou também com a participação de outros matemáticos como Arthur Cayley (1821-1895), William Rowan Hamilton (1805-1865) e Hermann Günther Grassmann (1809-1877) (veja [4]).
Compreenderemos por conjunto uma coleção qualquer de objetos que possuem características em comum, os quais chamaremos de elementos do conjunto. Usualmente, conjuntos são representados por letras maiúsculas e os elementos por letras minúsculas, o conjunto vazio ou sem elementos será dentado por ?:
Quando um elemento x pertence a algum conjunto A escrevemos x 2 A. Caso contrário escrevemos x =2 A, que quer dizer x não pertence a A:
Se todo elemento de um conjunto A pertence também a um conjunto B, dizemos que A é um subconjunto de B, e denotaremos por A B que signi…ca "A está contido em B" ou B A que quer dizer "B contém A". Caso o conjunto A não esteja contido
1.1. CONJUNTOS
no conjunto B, então, neste caso existe um elemento x 2 A tal que x =2 B, usaremos a notação A 6 B:
Observação 1.1.1 O conjunto ? está contido em qualquer conjunto. De fato, seja A um conjunto qualquer. Suponhamos por absurdo que ? 6 A, i:e:, existe um elemento x2 ? tal que x =2 A: O que é uma contradição, pois, o conjunto ? não possui elementos. Portanto ? A:
Quando vamos desenvolver um certo assunto de Matemática, admitimos a existência de um conjunto U ao qual pertecem todos os elementos utilizados no assunto. Esse conjunto U recebe o nome de conjunto universo.
Assim, se procuramos as soluções reais de uma equação, nosso conjunto universo é R (conjunto dos números reais); se estamos resolvendo um problema cuja solução será um número inteiro, nosso conjunto universo é Z (conjunto dos números inteiros); se estamos resolvendo um problema de Geometria Plana, nosso conjunto universo é um certo plano :
Portanto, quando vamos descrever um conjunto A através de uma propriedade P , é essencial …xarmos o conjunto universo U em que estamos trabalhando, escrevendo
A =fx 2 U; x tem a propriedade P g :
Dois conjuntos A e B são iguais quando possuem os mesmos elementos. Quando isto ocorre escrevemos A = B:
Observação 1.1.2 Sejam A e B dois conjuntos quaisquer, então A = B se, e somente se, A B e B A. De fato, se A = B, então todo elemento de A é elemento de B, e vice-versa. Daí, A B e B A. Reciprocamente, seja A B e B A. Dado x 2 A; como A B então x 2 B; e para todo y 2 B obtemos y 2 A, já que B A;isto é, todo elemento de A é elemento de B e vice-versa. Logo, A = B.
É chamado de intersecção do conjunto A com o conjunto B, o conjunto formado pelos elementos que pertencem simultaneamente ao conjunto A e ao conjunto B, escrevemos:
A\ B = fx; x 2 A e x 2 Bg :
Enquanto que, o conjunto dos elementos que pertencem a um conjunto A ou a um conjunto B será denotado por:
1.1. CONJUNTOS
é chamado de união do conjunto A com o conjunto B:
Exemplo 1.1.3 Os resultados abaixo são facilmente veri…cados, para quaisquer que sejam os conjuntos A e B. i) A A; ii) A\ ? = ?; iii) A[ ? = A; iv) A\ B A; v) A A[ B:
Exemplo 1.1.4 Sejam A, B e C conjuntos quaisquer com A B e B C: Então para todo x 2 A tem-se x 2 B e, como todo elemento de B é também elemento de C, temos que x 2 C. Assim, todo elemento de A é elemento de C, i.e., A C.
As operações de união e intersecção entre conjuntos e a relação de inclusão, possuem várias propriedades. Apresentaremos algumas delas:
Para quaisquer que sejam os conjuntos A; B; C e D; tem-se: 1) (A[ B) [ C = A [ (B [ C); 2) (A\ B) \ C = A \ (B \ C); 3) A[ B = A () B A; 4) A\ B = A () A B; 5) A B e C D =) A [ C B[ D; 6) A B e C D =) A \ C B \ D; 7) A[ (B \ C) = (A [ B) \ (A [ C); 8) A\ (B [ C) = (A \ B) [ (A \ C):
As demonstrações destas propriedades, embora as vezes triviais, apresentam certas di…culdades. Daremos uma breve demonstração:
1) De fato, seja x 2 (A [ B) [ C, i:e:, x 2 A [ B ou x 2 C: No primeiro caso, x 2 A ou x 2 B; se x 2 A segue que x 2 A [ (B [ C); caso x 2 B tem-se que x 2 B [ C; assim x 2 A [ (B [ C): No segundo caso x 2 C; o que implica x 2 B [ C; assim x2 A [ (B [ C): Logo, (A [ B) [ C A[ (B [ C):
Vamos mostrar que A [ (B [ C) (A[ B) [ C; dado x 2 A [ (B [ C), então x 2 A ou x 2 B [ C; do primeiro caso obtemos x 2 A [ (B [ C): Já no segundo caso x 2 B ou x 2 C; se x 2 B tem-se x 2 A [ B assim x 2 (A [ B) [ C; caso x 2 C; então x2 (A [ B) [ C:
1.1. CONJUNTOS
2) Seja x 2 (A \ B) \ C, então x 2 A \ B e x 2 C: Observe que do primeiro caso x 2 A e x 2 B; assim, x 2 B \ C o que acarreta x 2 A \ (B \ C): Logo, (A\ B) \ C A\ (B \ C):
Dado x 2 A \ (B \ C), temos que x 2 A e x 2 B \ C, ou seja, x 2 B e x 2 C. Assim x2 A \ B; desse modo tem-se x 2 (A \ B) \ C: Por …m, A \ (B \ C) (A\ B) \ C: 3) Como A [ B = A; então A [ B A e A A[ B; vamos mostrar que B A. Para isso basta notar que B A[ B (Exemplo 1.1.3 (v)); usando a hipótese A [ B A e o exemplo acima, obtemos B A:
Agora vamos mostrar que dado B A; obtem-se A [ B = A; ou seja, A [ B A e A A[ B: A princípio, note que A A[ B é imediato pelo Exemplo 1.1.3 (v): Assim dado x 2 B; tem-se x 2 A [ B;e como B A; então x 2 A: Portanto, A [ B A:
4) Agora, vamos veri…car que dado A \ B = A; i:e:, A \ B A e A A \ B, tem-se A B: Pelo Exemplo 1.1.3 (iv); obtemos A \ B B e pela hipótese sabemos que A A\ B; o que acareta A B (Exemplo 1.1.4). Reciprocamente, seja A B, veri…quemos se A \ B A e A A\ B, ou seja, A \ B = A: Perceba que A \ B A como vimos no Exemplo 1.1.3 (iv). Daí, dado x 2 A tem-se x 2 B; pois, A B;então x2 A \ B; o que implica A A\ B:
5) Com efeito, dado x 2 A [ C, i:e:, x 2 A ou x 2 C. No primeiro caso se x 2 A; então x 2 B; pois, A B; sendo assim x 2 B [ D; o que implica A [ C B [ D: No segundo caso se x 2 C temos que x 2 D, já que C D assim x 2 B [ D: Logo, A[ C B [ D:
6) Seja x 2 A \ C; então x 2 A e x 2 C: Como A B e C D segue-se que x 2 B e x 2 D: Portanto, x 2 B \ D; dessa forma A \ C B\ D:
7) Inicialmente provaremos que A [ (B \ C) (A[ B) \ (A [ C); De fato, seja x2 A [ (B \ C); tem-se x 2 A ou x 2 B \ C: No primeiro caso se x 2 A, segue-se que x2 A [ B e x 2 A [ C: Sendo assim, x 2 (A [ B) \ (A [ C): No segundo caso temos x 2 B e x 2 C. De x 2 B segue-se que x 2 A [ B e de x 2 C conclui-se x 2 A [ C: En…m, x 2 A [ B e x 2 A [ C; consequentemente x 2 (A [ B) \ (A [ C):
Mostraremos agora que (A [ B) \ (A [ C) A [ (B \ C): Para isto, seja x 2 (A [ B) \ (A [ C): Nesse caso, x 2 A [ B e x 2 A [ C; nessa situação tem-se duas possibilidades: ou x 2 A ou x =2 A: Se x 2 A evidentemente x 2 A [ (B \ C): Se por acaso x =2 A, então como x 2 A [ B e x 2 A [ C; obtemos x 2 B e x 2 C; …nalmente tem-se x 2 B \ C: Em vista disso conclui-se que x 2 A [ (B \ C): Isso quer dizer: (A [ B) \ (A [ C) A[ (B \ C):
1.1. CONJUNTOS
(A\ B) [ (A \ C) A\ (B [ C): Seja x 2 A \ (B [ C); então x 2 A e x 2 B [ C; i:e:, x2 B ou x 2 C: Caso x 2 B temos que x 2 A \ B; o que implica x 2 (A \ B) [ (A \ C): Se x 2 C; então x 2 A \ C: O que acarreta x 2 (A \ B) [ (A \ C): Consequentemente A\ (B [ C) (A\ B) [ (A \ C): Ora, dado x 2 (A \ B) [ (A \ C); ou seja, x 2 A \ B ou x 2 A \ C; sendo assim, se x 2 A \ B, i:e:, x 2 A e x 2 B; o que implica que x2 B [ C: Logo, x 2 A \ (B [ C): Se x 2 A \ C, o quer dizer que x 2 A e x 2 C; desse modo x 2 B [ C, acarretando x 2 A \ (B [ C): Como queríamos demonstrar.
Entre os conjuntos mais conhecidos estão os conjuntos numéricos, que são: O conjunto dos números naturais, representado pelo símbolo N, escrevemos
N = f1; 2; 3; :::; m; :::g :
O conjunto dos números inteiros, indicado pelo símbolo Z, segue Z = f:::; n; :::; 1; 0; 1; :::; m; :::g :
Além desses, temos o conjunto Q dos números racionais, em símbolos Q =nm
n; m; n2 Z, n 6= 0 o
:
O conjunto dos números reais, formado por todos os pontos da reta real, será representado por R.
E por …m, mas não menos importante, o conjunto dos números complexos, em símbolos
C = a + bi; a; b 2 R; i =p 1 :
Observe que os conjuntos numéricos acima possuem a seguinte relação:
N Z Q R C:
Exemplo 1.1.5 Note quep22 R. masp2 =2 Q. Então,p2 é irracional. Suponhamos por absurdo que p2 2 Q. Daí, existem m; n 2 Z com n 6= 0, tais que p2 = mn. Assim, elevando ambos os lados da igualdade anterior ao quadrado, obtemos 2 = mn22,
multiplicando ambos os membros da igualdade anterior por n2, tem-se 2n2 = m2. Como
n2 e m2 tem a mesma quantidade de fatores 2, e essa quantidade é par. Dessa forma,
2n2 tem uma quantidade ímpar de fatores 2. Portanto, pela unicidade da fatoração
1.2. FUNÇÕES
Dado dois conjuntos quaisquer A e B, a diferença entre esses conjuntos A B, é o conjunto formado pelos elementos de A que não pertencem a B. Em notação matemática
A B =fx; x 2 A e x =2 Bg :
Observação 1.1.6 Veja que se A e B forem disjuntos, i:e:, nenhum elemento de A pertence a B e vice-versa (A \ B = ?), a diferença A B = A. Assim, em qualquer caso tem-se A B = A (A\ B).
Outro conceito bastente importante, e que será usado neste trabalho, é o de complementar que diz:
Dados dois conjuntos A e B, tais que A B; chama-se o complementar de B em relação a A o conjunto A B, i.é., o conjunto dos elementos de A que não pertencem a B. Em símbolos
CAB = A B ou CAB =fx; x 2 A e x =2 Bg :
Exemplo 1.1.7 Sejam A e B dois conjuntos com A = fx 2 N; x 10g e B = fx 2 N; x 13g. Dessa forma, A B =fx 2 N; x 14g e B A =fx 2 N; x 9g. Neste caso, note que o complementar de A em relação a N é dado por CA =
fnaturais menores que 10g e o de B em relação a N é CB=fnaturais maiores que 13g.
1.2
Funções
Como no decorrer deste estudo abordaremos assuntos de funções, será necessário apresentar alguns conceitos básicos. Caso o leitor queira esclarecer dúvidas ou aprofundar seus conhecimentos, sugerimos [6] e [8]. Os assuntos abordados nesta seção são encontrados em [5] e [8].
Inicialmente a palavra função parece ter sido introduzida por Leibniz em 1694, com o intuito de expressar qualquer quantidade associada a uma curva, como, por exemplo: a inclinação de uma curva, o raio da curvatura de uma curva e as coordenadas de um ponto da curva. Johann Bernoulli por volta de 1718, considerou uma função como uma expressão constituida por uma variável e algumas constantes. Logo depois Euler julgou uma função como uma equação ou fórmula envolvendo variáveis e constantes. Até que Joseph Fourier (1768-1830), estabeleceu uma relação mais geral entre as variáveis, através das chamadas séries trigonométricas. Leyeune Dirichlet (1805-1859) com o
1.2. FUNÇÕES
objetivo de dar uma de…nição ampla de função, chegou a seguinte formulação: Se duas variáveis x e y estão relacionadas de maneira que, sempre que se atribui um valor a x, por alguma lei ou regra, corresponde um único valor y, então se diz que y é uma função de x. A variável x, á qual se atribuem valores a vontade, é chamada variável independente e a variável y, cujos valores dependem dos valores de x, é chamada variável dependente (veja [3]).
Sejam A e B dois conjuntos. A regra que associa todo elemento de A com um único elemento de B, é chamada função do conjunto A no conjunto B, e denotamos
f : A ! B
a f(a)
Na qual para cada a 2 A está associado um único b = f (a) 2 B, com base na regra que de…ne f . O conjunto A é chamado domínio da função f e o conjunto B contradomínio da função f .
Seja a função f : A ! B e X A um conjunto qualquer. Então o conjunto denotado por f (X) = ff(x); x 2 Xg B é chamado imagem de X pela f: Denotamos por Im f ao conjunto f (A) que é chamado conjunto imagem da f . Em símbolos
Im f = f (A) = ff (a) ; a 2 Ag :
Se f : A ! B é uma função e y 2 B; denotamos por f 1(y) ao conjunto f 1(y) =fx 2 A; f(x) = yg :
o qual chamamos de imagem inversa de y pela f: Em caso geral, dado algum conjunto Y B denotamos por f 1(Y ) ao conjunto f 1(Y ) =
fx 2 A; f(x) 2 Y g e chamamos tal conjunto de imagem inversa de Y B pela f:
Exemplo 1.2.1 Seja a função f : R ! R de…nida por f(x) = senx, temos f 1(1) = 2 + 2k ; k 2 Z e o conjunto f 1( 0;1 2 ) =fk ; k 2 Zg [ n 6 + 2k ; k 2 Z o [ 56 + 2k ; k 2 Z : Exemplo 1.2.2 Consideremos a função f : R2
! R; de…nida por f(x; y) = ax + by e o conjunto X = f(x; y) 2 R2; ax + by = c
1.2. FUNÇÕES
ax + by = c. Note que a reta X é a imagem inversa do conjunto fcg por f; ou seja, X = f 1(c): A circunferência cuja a equação é x2 + y2 = 1 é o conjunto
C = f(x; y) 2 R2; x2+ y2 = 1
g : Tomemos a função g : R2
! R; de…nida por g(x; y) = x2+ y2: Então g 1(1) = C:
Existem vários tipos especiais de funções que possuem certas característica. Duas delas, que serão utilizadas no decorrer deste trabalho, são apresentadas a seguir:
Dizemos que uma função é sobrejetiva se Im f = B, i:e:, a imagem é igual ao contradomínio da função f:
Uma função f : A ! B é injetiva se para quaisquer x; y 2 A, com x 6= y tem-se f (x) 6= f (y). Equivalentemente, se f (x) = f (y) então x = y.
Exemplo 1.2.3 Seja f : Z ! Z de…nida por f(x) = 2x2 e h : N ! N de…nida por h(1) = 1 e, para cada número natural x > 1; h(x) é o número de fatores primos distintos que entra na decomposição de x. Observe que f ( 1) = 2 = f (1); como 16= 1, a função f não é injetiva. Note também que, não existe x 2 Z tal que 2x2 = 2: Logo,
f não é sobrejetiva. A função h é sobrejetiva. De fato, m um natural qualquer, como o conjunto dos números primos é in…nito, existem m primos distintos,digamos p1; :::; pm.
Tome n =
m
Y
i=1
pi:Assim h(n) = m: Agora sejam x; y 2 N primos quaisquer, com x 6= y,
tem-se h(x) = 1 = h(y): Sendo assim, h não é injetiva.
Diz-se que uma função f : A ! B é bijetiva, se for simultâneamente injetiva e sobrejetiva.
Exemplo 1.2.4 Seja f : N N ! N dada por f (1; n) = 2n 1 e f (m + 1; n) = 2m(2n 1) : Então f é bijetiva, pois dados n
1; n2 2 N tais que f (1; n1) = f (1; n2)
então 2n1 1 = 2n2 1; ou seja, 2n1 = 2n2; donde n1 = n2:Agora sejam m; n; p; q 2 N
tais que f (m + 1; n) = f (p + 1; q); obtemos 2m(2n 1) = 2p(2q 1) : Note que, nesta
última igualdade, o lado esquerdo tem m fatores iguais a 2, quando decomposto em números primos, já que (2n 1) é ímpar e, no lado direito o número 2 aparecerá p vezes na decomposição em números primos ((2q 1) é impar). O que acarreta m = p e, consequentemente, n = q. Provando assim que f é injetiva. Note também que f é sobrejetiva, pois dado x 2 N então x é impar ou x é par. Se x for impar, existe n natural tal que x = 2n 1. Então f (1; n) = x. Se x for par, pelo Teorema
1.2. FUNÇÕES
Fundamental da Aritmética, podemos escrever esse número como produto de fatores primos x = Qki=1p i
i , i 2 N, i = 1; :::; k. Note que os primos maiores que 2 são
ímpares e o produto de ímpares é ímpar, podemos então escrever
x = 2 k0 Y i=1 p i i = 2 l,
onde l é impar. Sendo assim existe n 2 N tal que l = 2n 1. Tomando m = , temos que
f (m + 1; n) = 2m(2n 1) = 2 l
= x:
Logo f é sobrejetiva e, portanto, bijetiva.
Sejam as funções f : A ! B e g : B ! C tais que o domínio de g é igual ao contra-domínio de f: Denotamos por g f : A ! C a função de…nida por (g f)(x) = g(f(x)) qualquer que seja x 2 A, a qual chamamos de função composta de g e f.
Exemplo 1.2.5 Sejam R o conjunto de todos os números reais e A o conjunto dos números reais 0 (maiores ou iguais a zero). Consideremos f : A ! R de…nida por f (x) = x2 e g : R ! A; de…nida por g(x) = px se x 0 e g(x) = 0 se x < 0: Assim para todo x 2 A; temos (g f)(x) = g(f(x)) = g(x2) = px2 = x:
Observação 1.2.6 Se duas funções f e g são injetivas ou sobrejetivas e existir a função composta g f, então esta função não perde essas caracteristicas. De fato, sejam f : A ! B e g : B ! C: Dados x1; x2 2 A ; tais que (g f )(x1) = (g f )(x2); se g
for injetiva, então f (x1) = f (x2) e, se f for injetiva, obtemos x1 = x2; i.e., a função
g f é injetiva. Agora, dado y 2 C, se g for sobrejetiva então para algum x1 2 B;
tem-se g (x1) = y: Sendo assim, se f for sobrejetiva segue-se existe x 2 A tal que,
f (x) = x1: Pontanto g(f (x)) = g(x1) = y. Como y em C foi arbitrário, segue que g f
é sobrejetiva.
Se apenas uma das funções f ou g for injetiva (sobrejetiva), não se tem garantia de que a composta será injetiva (sobrejetiva).
1.3. NÚMEROS NATURAIS
Exemplo 1.2.7 Seja a função f : R ! R de…nida por f(x) = ex. É facil veri…car que f é injetiva basta notar que dados x1; x2 2 R se f(x1) = f (x2); então ex1 = ex2;
donde x1 = x2 (unicidade do expoente). Assim, dada a função g : R ! R de…nida
por g(x) = ln 2x2 (não é injetiva). Veja que a composição f g não é injetiva, pois
f (g(x)) = eln 2x2
= 2x2 (Exemplo 1.2.3).
A função IA : A ! A de…nida pela regra IA(x) = x qualquer que seja x 2 A é
chamada de função identidade de A:
Dada uma função f : A ! B bijetiva, existe uma função g : B ! A de…nida por: se y2 B; g(y) = x onde x é o único elemento de A tal que f(x) = y: Note que o elemento xexiste pois f é sobrejetiva e ele é único pois f é injetiva.
As seguintes propriedades são de fácil veri…cação:
g f = IA e f g = IB
A função g que cumpre as propriedades acima é dita função inversa da função f , e será denotada por g = f 1 : B
! A:
Exemplo 1.2.8 Seja a função f : R ! R+ de…nida por f (x) = ex;
onde R+ =
fx 2 R; x > 0g. Então f é bijetiva e a sua inversa é f 1
: R+
! R é de…nida por f 1(x) = ln x:
1.3
Números naturais
Tendo em vista que a noção de conjunto enumerável está estreitamente ligada ao conjunto dos números naturais. Iniciaremos este seção apresentando os axiomas de Peano, que são capazes de deduzir toda a teoria dos números naturais.
Aceitaremos que a palavra "sucessor"é um conceito primitivo, e a entenderemos intuitivamento como "o que vem logo depois".
Os Axiomas de Peano caracterizam o conjunto N; cujo os elemento são chamados números naturais. Os Axiomas de Peano são os seguintes:
P 1. Existe uma função injetiva s : N ! N: Onde a imagem s(n) de cada número natural n é chamada sucessor de n:
Em outros termos: dados m; n 2 N tem-se s(m) = s(n) =) m = n: Em palavras, dois números que tem o mesmo sucessor são iguais.
1.3. NÚMEROS NATURAIS
P 2. Existe um único número natural 1 tal que 1 6= s(n) para todo n 2 N, i:e:, N s(N) possui apenas um elemento.
No entanto, se n 6= 1 então existe um único n0 2 N; tal que s(n0) = n:
P 3. Princípio de Indução: Se um conjunto X N é tal que 1 2 X e s(X) X; i:e:, 1 2 X e n 2 X =) s(n) 2 X; então X = N:
Os três axiomas acima podem ser reformulados da seguinte maneira:
P 1’. Todo número natural tem um sucessor, que ainda é um número natural; números diferentes têm sucessores diferentes.
P 2’. Existe um único número natural 1 que não é o sucessor de nenhum outro. P 3’. Se um conjunto de números naturais contém o numero 1 e contém também o sucessor de cada um dos seus elementos, então esse conjunto contém todos os números naturais.
O axioma P 3 é conhecido como o princípio de indução, este princípio serve de base para um método de demonstração de teoremas, conhecido como o método de inducão ou recorrência, e pode ser enumciado assim:
Seja P uma propriedade referente a números naturais. Se 1 gozar da propriedade P e se, supondo P válida para um número natural n puder-se concluir que o sucessor s(n) goza de P; então P é válida para todos os números naturais.
Observação 1.3.1 Para todo n 2 N; se s(n) 6= n: De fato, Pelo axioma P 2 tem-se 1 6= s(n) para todo n; assim a a…rmação é válida para n = 1; pois em particular 16= s(1): Suponha que para um certo n 2 N, vale
n 6= s(n): (1.1)
Sabendo que a função s é injetiva, aplicando s a ambos os membros em (1.1), obtemos s(n) 6= s(s(n)): Portanto, pelo princípio de indução, s(n) 6= n para todo n 2 N: Duas operações fundamentais são de…nidas no conjunto dos números naturais N, são elas: adição e a multiplicação.
Adição + : N N ! N (m; n) m + n; dada por: ( n + 1 = s (n) n + s (m) = s (n + m) :
1.3. NÚMEROS NATURAIS Multiplicação : N N ! N (m; n) m n; de…nida por: ( n 1 = n n (m + 1) = n m + n :
As operações de adição e multiplicação de números naturais possuem as seguintes propriedades:
Dados m; n; p 2 N; temos:
(i)Associatividade: (m + n) + p = m + (n + p); m (n p) = (m n) p; (ii)distributividade: m (n + p) = m n + m p;
(iii)Comutatividade: m + n = n + m; m n = n m;
(iv)Lei do cancelamento: n + m = p + m =) n = p; n m = p m =) n = p: Essas propriedades seguem das de…nições de soma e produto e dos Axiomas de Peano. Para não perdermos o foco deste trabalho, provaremos apenas a propriedade comutativa da adição:
Primeiro vamos mostrar que m + 1 = 1 + m para todo m 2 N. Para isso, façamos indução sobre m:
Para m = 1, a identidade 1 + 1 = 1 + 1 é óbvia.
Suponhamos, por hipótese de indução, que para algum m 2 N; vale
m + 1 = 1 + m: (1.2)
Mostremos que s(m) + 1 = 1 + s(m): Inicialmente (1.2) equivale a s(m + 1) = s(1 + m): Assim, s(m) + 1 = s(s(m)) = s(m + 1) (1:2) = s(1 + m) = 1 + s(m):
Portanto, pelo princípio de indução m + 1 = 1 + m, para todo m natural:
Observe que mostramos o primeiro passo de indução, para n = 1, para provar que m + n = n + m:
1.3. NÚMEROS NATURAIS
Agora, suponhamos que para algum n 2 N; vale
m + n = n + m: (1.3)
Devemos mostrar que
m + s(n) = s(n) + m; para todo m2 N: De fato, m + s(n) = s(m + n) = (m + n) + 1 1:2 = 1 + (m + n) 1:3 = 1 + (n + m) (i) = (1 + n) + m 1:2 = (n + 1) + m = s(n) + m
Em vista disso, pelo princípio de indução, m + n = n + m, para todo m; n 2 N:
De…nição 1.3.2 Dados m; n 2 N; diz-se que m é menor do que n e escreve-se m < n, quando existe q 2 N tal que n = m + q: Enquanto que a notação m n signi…ca que m < n ou m = n:
A relação de ordem em N de…nida acima, possui algumas propriedades interessantes. Para …xarmos a ideia de desigualdade, demonstraremos algumas dessas propriedades:
Transitividade: Para quaisquer m; n; q 2 N; se m < n e n < q; então m < q. De fato, existem p; k 2 N tais que
n = m + p
e
1.3. NÚMEROS NATURAIS
Das igualdades acima, obtemos:
q = (m + p) + k = m + (p + k):
Como p + k 2 N, pois a operação de adição está bem de…nida em N; temos que m < q:
Monotonocidade da adicão: Se m < n então, para todo p 2 N tem-se m+p < n+p: Com efeito, existe q 2 N tal que
n = m + q
Somando p a ambos os menbros da igualdade acima, tem-se
n + p = (m + q) + p = m + (q + p) = m + (p + q) = (m + p) + q: Logo m + p < n + p:
O seguinte exemplo, aparentemente óbvio, apresenta uma boa aplicação da de…nição de relação de ordem e dos Axiomas de Peano;
Exemplo 1.3.3 Dado n 2 N não existe p 2 N tal que n < p < n + 1: Suponhamos por absurdo que exista p 2 N com tal propriedade. Assim, teríamos
p = n + q
e
1.3. NÚMEROS NATURAIS
onde q; r 2 N: Note que
p + 1 = (n + q) + 1 = n + (q + 1) = n + (1 + q) = (n + 1) + q = (p + r) + q = p + (r + q):
Cancelando p, obtemos 1 = r + q: Contradição, pois, pela de…nição da adição, a soma de dois números naturais é sempre o sucessor de algum número natural, e pelo Axioma P 2 de Peano o número 1 não é o sucessor de nenhum número natural.
O próximo resultado, conhecido com Princícpio da Boa Ordem, é equivalente ao Princípio de Indução. Desse modo, mostraremos primeiro que o Princípio de Indução implica no Princípio da Boa Ordem, e posteriormente mostraremos que a recíproca também é válida, ou seja, que o Princípio da Boa Ordem implica no Princípio de Indução.
Proposição 1.3.4 Todo subconjunto não vazio A N possui um menor elemento. Demonstração: De fato, se 1 2 A; então 1 é o menor elemento de A. Se 1 =2 A; então seja In=f1; 2; :::; ng e considere o conjunto X = fn; In N Ag : Observe que
12 X; i:e:, I1 =f1g X;pois 1 62 A: Pelo Axioma P3 de Peano, deve existir n 2 N tal
que n + 1 = s(n) =2 X: Segue-se que f1; 2; :::; ng N A e f1; 2; :::; n; n + 1g 6 N A: Daí, 1; 2; :::; n =2 A e n + 1 2 A: Logo, n + 1 é o menor elemento de A:
Este resultado é muito importante, pois além de apresentar uma propriedade do conjunto N dos números naturais, também é muito usado como uma ferramenta de demonstração.
Exemplo 1.3.5 Provemos o princípio de indução como consequência do Princípio da Boa Ordenção. Dessa forma, devemos mostrar que dado X N tal que 1 2 X e n2 X =) n + 1 2 X; então X = N: Suponhamos por absurdo que X 6= N; assim existe k2 N tal que k 62 X: Como X 6= ?; pois 1 2 X; temos que N X6= ?: Tomemos k = menor elemento de N X: Note que k 6= 1; pois 1 2 X; segue dos Axiomas de Peano que k é o sucessor de algum número natural. Digamos que k = s(q): Como q 2 X e
1.3. NÚMEROS NATURAIS
s(q) = q + 1; pela hipótese tem-se k = q + 12 X: Contradição, logo pelo Princípio da Boa Ordenção temos X = N:
Capítulo 2
Conjuntos Finitos, In…nitos,
Enumeráveis e Não-Enumeráveis
Neste capítulo, vamos aplicar os conceitos básicos de conjuntos e funções vistos anteriormente, com a …nalidade de estudar as noções de conjunto …nito e in…nito, bem como suas diferanças. Alem disso, será estabelecida com rigor a distinção entre conjunto emumerável e conjunto não enumerável. Ressaltando que os conteúdos abordados no decorrer deste capítulo tem como base os livros [7] e [8].
Vale salientar que a descorberta e a análise de diversos tipos de in…nito, deve-se a Cantor. Em 1874 ele começou seu revolucionário trabalho em teoria dos conjuntos e teoria do in…nito, criando com este último trabalho um campo novo da pesquisa matemática. Desenvolvendo em seus artigos a teoria dos números trans…nitos, com base num tratamento matemático do in…nito atual. Além disso, Cantor criou uma aritmética dos números trans…nitos análoga à aritmética dos números …nitos (veja [3]).
2.1
Conjuntos limitados de números reais
Uma característica que diferencia o conjunto R dos números reais e o conjunto Q dos números racionais é o fato de que R é completo, propriedade que Q não tem. Os conteúdos desta seção foram retirados de [7].
De…nição 2.1.1 Um conjunto X R diz-se limitado superiormente quando existe algum b 2 R tal que x b para todo x 2 X:
Neste caso, diz-se que b é uma cota superior de X: Analogamente, diz-se que o conjunto X R é limitado inferiormente quando existe a 2 R tal que a x para
2.1. CONJUNTOS LIMITADOS DE NÚMEROS REAIS
todo x 2 X: O número a chama-se então uma cota inferior de X: Se X é limitado superiormente e inferiormente, diz-se que X é um conjunto limitado. Isto signi…ca que o conjunto X está contido em algum intervalo limitado [a; b] ou, equivalentemente, que existe k > 0 tal que x 2 X =) jxj k:
De…nição 2.1.2 Seja X R limitado superiormente e não vazio. Um número b 2 R chama-se supremo do conjunto X quando é a menor das cotas superiores de X: Mais explicitamente, b é o supremo de X quando cumpre as duas condições:
S1. Para todo x2 X; tem-se x b;
S2: Se c2 R é tal que x c para todo x 2 X então b c: A condição S2 admite a seguinte reformulação:
S20: Se c < b então existe x 2 X com c < x:
Com efeito, S20 diz que nenhum número real menor do que b pode ser cota superior
de X: Às vezes se exprime S20 assim: para todo " > 0 existe x 2 X tal que b " < x: Escrevemos b = sup X para indicar que b é o supremo do conjunto X:
De…nição 2.1.3 Se X R é um conjunto não vazio, limitado inferiormente, um número real a chama-se o ín…mo do conjunto X; e escreve-se a = inf X; quando é a maior das cotas inferiores de X: Isto equivale às duas a…rmações:
I1: Para todo x2 X tem-se a x;
I2: Se c x para todo x 2 X então c a:
A condição I2 pode também ser formulada assim: I20: Se a < c então existe x 2 X tal que x < c:
De fato, I20 diz que nenhum número maior do que a é cota inferior de X:
Equivalentemente: para todo " > 0 existe x 2 X tal que x < a + ":
De…nição 2.1.4 Diz-se que um número b 2 X é o maior elemento (ou elemento máximo) do conjunto X quando b x para todo x 2 X: Isto quer dizer que b é uma cota superior de X; pertencente a X:
Observação 2.1.5 Por exemplo, b é o elemento máximo do intervalo fechado [a; b] mas o intervalo [a; b) não possui maior elemento. Evidentemente, se um conjunto X possui elemento máximo este será seu supremo. A noção de supremo serve precisamente para substituir a ideia de maior elemento de um conjunto quando esse maior elemento não existe. O supremo do conjunto [a; b) é b:
2.2. CONJUNTOS FINITOS E INFINITOS
Sendo assim, a…rmar que o conjunto R dos números reais é completo signi…ca dizer que todo conjunto não vazio, limitado superiormente, X R possui supremo, i:e:; existe b 2 R tal que sup X = b: Desse modo, o conjunto Q dos números racionais não é completo, pois dado o intervalo [0;p2)\ Q Q não vazio e limitado superiormente; tal que sup[0;p2) = p2, tem-se que p2 =2 Q:
Note que todo conjunto não vazio, limitado inferiormente, Y R possui ín…mo. De fato, considere o conjunto Y0 = f y; y 2 Y g ; i:e:; Y0 = Y: Veja que Y0 6= ?; pois
Y 6= ?: Como Y é limitado inferiormente, temos que existe b 2 R tal que para todo y2 Y; tem-se b y. Daí, tem-se b y; o que acarreta Y0 limitado superiormente. Sendo assim, existe a 2 R tal que sup Y0 = a (resulta da De…nição 2.1.1): A…rmação inf Y = a: Com efeito, dado y 2 Y tem-se y a; o que implica y a:Se a < c; então a > c; como sup Y0 = a existe y 2 Y tal que y > c; o que resulta y < c:
Proposição 2.1.6 (i) O conjunto N R dos números naturais não é limitado superiormente.
(ii) O ín…mo do conjunto X = n1; n2 N é igual a 0.
Demonstração: (i) Suponhamos que N é limitado. Então existe c = sup N; como c 1não é cota superior, existe n 2 N com c 1 < n:Daí c < n + 1 2 N: Contradição, pois c é o supremo de N: Logo N não é limitado.
(ii) Com efeito, como 0 < 1, temos que 0 < 1n para todo n 2 N: Logo 0 é uma cota inferior do conjunto X: Com isso; é su…ciente mostrar que nenhum c > 0 é cota inferior de X: Desse modo, como N não é limitado superiormente, dado 1c;existe n 2 N tal que 1
c < n: Daí, 1
n < c e, portanto c não é cota inferior de X, consequentemente 0 = inf X:
2.2
Conjuntos …nitos e in…nitos
Chamaremos de In o conjunto dos números naturais n: Em símbolos In =
fp 2 N; p ng.
De…nição 2.2.0.1 Um conjunto X chama-se …nito quando é vazio ou quando existe, para algum n 2 N; uma bijeção f : In! X:
Escrevendo x1 = f (1); x2 = f (2); :::; xn = f (n) temos então X =
fx1; x2; x3; :::; xng : A bijeção f chama-se uma contagem dos elementos de X e o
2.2. CONJUNTOS FINITOS E INFINITOS
Desse modo, se X for vazio diremos que o conjunto X tem zero elementos.
Exemplo 2.2.1 O conjunto Z = f3; 4; 5:::; k + 2g, com k 2 N …xo, é …nito. Basta notar que a função : Ik ! Z de…nida por (n) = n + 2; com n = 1; 2; :::; k é injetora,
pois dados n1; n2 2 Ik, se (n1) = (n2); então n1 + 2 = n2 + 2 =) n1 = n2: E
sobrejetora, pois para todo m 2 Z; existe um número natural n = m 2 2 Ik tal que
(n) = m: Assim, concluimos que é bijetora.
Lema 2.2.2 Se existe uma bijeção f : X ! Y então, dados a 2 X e b 2 Y; existe também uma bijeção g : X ! Y tal que g(a) = b:
Demonstração: Inicialmente, note que se f (a) = b; o resultado é imediato. Basta tomar g igual a f; i:e:; f e g possuem os mesmo domínios, os mesmos contra-domínios e as mesmas regras. Caso f (a) 6= b; então pela sobrejetividade de f; existem a0 2 X e
b0 2 Y tais que f(a) = b0 e f (a0) = b: Veja que f (a) = b0 6= b = f(a0), pois f é injetiva.
Sendo assim, de…namos g : X ! Y pondo g(a) = b, g(a0) = b0 e g(x) = f (x) se x 2 X
e x 6= a; a0:
Teorema 2.2.3 Se A é um subconjunto próprio de In, não pode existe uma bijeção
f : A! In:
Demonstração: Suponha por absurdo que existam n 2 N e a bijeção f : A ! In,
considere o seguinte conjunto
X =fn 2 N; existem um subconjunto próprio A In e a bijeção f : A ! Ing
Como X 6= ?; pelo Príncipio da Boa Ordem o subconjunto X N possui um menor elemente, i:e:, um elemento n0 2 X tal que n0 n para todo n 2 X: Se n0 2 A;
pelo lema anterior, temos g : A ! In0 bijeção com g(n0) = n0: Daí a restrição de g a
A fn0g é uma bijeção g : A fn0g ! In0 1. O que é uma contradição, pois n0 é o
menor índice para o qual existe bijeção de A em In: Entretanto se n0 2 A, tomemos=
a2 A tal que f(a) = n0:A restrição de f ao subconjunto próprio A fag In0 1 será
uma bijeção sobre In0 1; o que novamente contraria a minimalidade de n0:
Corolário 2.2.4 Não pode existir uma bijeção de um conjunto …nito X sobre uma parte própria Y X:
Demonstração: De fato, como X é …nito existem n 2 N e uma bijeção g : In ! X:
Seja A = g 1(Y ) uma parte própria de I
2.2. CONJUNTOS FINITOS E INFINITOS
A: Se existir uma bijeção f : Y ! X; teríamos g 1 f gA: A! In bijetiva. Absurdo,
pois pelo Teorema 2.2.3, não pode existir uma bijeção entre o conjunto …nito In e uma
parte própria A In. Logo não existe a bijeção f : Y ! X:
Lema 2.2.5 Se X é um conjunto …nito e a 2 X então X fag é …nito.
Demonstração: Como o conjunto X é …nito existem n 2 N e uma bijeção f : In! X;
pelo Lema 2.2.2, podemos considerar que f (n) = a: Se n = 1, i:e:, f (1) = a; então X = fag e X fag = ? …nito. Caso n > 1, a restrição de f ao conjunto In 1 é uma
bijeção sobre X fag : Portanto, X fag é …nito e possui n 1 elementos. Teorema 2.2.6 Todo subconjunto de um conjunto …nito é …nito.
Demonstração: Façamos por indução sobre o número n de elementos do conjunto …nito X.
Se X = ? ou n = 1; então os subconjuntos de X são vazios ou ele mesmo, e portanto …nito. Suponha por hipótese de indução, que o teorema vale para um conjunto com n elementos, i:e:, se X tem n elementos todo suconjunto Y de X é …nito. Vamos provar que o teorema vale para o conjunto …nito X com n + 1 elementos. Seja Y X; se Y = X, então Y é …nito e o teorema está provado. Caso Y X; tem-se que existe a2 X; tal que a =2 Y: Daí, Y X fag ; como X fag tem n elementos, pela hipótese de indução Y é …nito.
O número de elementos de um conjunto …nito X será indicado por card X, ou seja, se X tem n elementos então card X = n:
Exemplo 2.2.7 Seja f (X; Y ) o conjunto das funções f : X ! Y: Se card X = m e o card Y = n; então o card f (X; Y ) = nm: De fato, considere X = X0 [ fag ;
a =2 X0;então para cada função f0 : X0 ! Y há n maneiras de estendê-la a uma função
f : X ! Y; já que o card Y = n: Assim, note que o card f(X; Y ) = card f(X0; Y ) n:
Sendo assim, provemos o resultado por indução sobre m: Se m = 1; temos que o card X = 1 e como X = X0 [ fag ; a =2 X0; então X0 = ?; i.e.; card X0 = 0: Logo, o
card f (X; Y ) = n: Agora, se m = 2 tem-se que o card X0 = 1; ou seja, X0 = fbg : Desse modo, obtemos o card f (X; Y ) = card f (X0; Y ) n = n n = n2: Suponhamos por indução que para algum m 2 N; vale que o card f(X; Y ) = nm;
para todo n 2 N: Daí, seja card X = m + 1 o que acarreta card X0 = m e card fag = 1: Pela hipótese
de indução sabemos que card f (X0; Y ) = nm como card f (X; Y ) = card f (X0; Y ) n;
segue-se que o card f (X; Y ) = card f (X0; Y ) n = nm n = nm+1: Portanto pelo
2.2. CONJUNTOS FINITOS E INFINITOS
De…nição 2.2.0.2 Um subconjunto X de números naturais é limitado se existir k 2 N; tal que x k; para todo x 2 N:
Corolário 2.2.8 Um subconjunto X N é …nito se, e somente se, é limitado.
Demonstração: Se X é …nito, existem n 2 N e uma bijeção f : In ! X; escrevemos
f (n) = xn: Daí, X = fx1; x2; :::; xng : Tome k = x1+ x2+ :::+ xn; assim, xi k; para
todo i = 1; :::; n: Então X é limitado. Reciprocamente, se X é limitado, existe k 2 N tal que x k para todo x 2 X: Seja Ik =f1; 2; :::; kg ; assim X Ik; como Ik é …nito
pelo Teorema 2.2.6, o subconjunto X N é …nito.
De…nição 2.2.9 Diz-se que um conjunto X é in…nito quando não é …nito. Assim, X é in…nito quando não é vazio nem existe, seja qual for n 2 N; uma bijeção f : In! X:
Teorema 2.2.10 Se X é um conjunto in…nito, então existe uma aplicação injetiva f : N ! X:
Demonstração: Para cada subconjunto A X e A 6= ?; escolhemos xA 2 A:
Agora, de…namos f : N ! X indutivamente, pondo f(1) = xX; supondo já de…nidos
f (2); f (3); :::; f (n): Escreva An = X ff(1); f(2); :::; f(n)g ; note que An 6= ?;
pois X é in…nito. Escolha xAn 2 An e ponha f (n + 1) = xAn. Vamos mostrar
que f é injetiva. Sejam m; n 2 N tais que m 6= n, digamos que m < n: Então f (m)2 ff(1); f(2); :::; f(n 1)g enquanto que f(n) 2 X ff(1); f(2); :::; f(n 1)g : Logo, f (m) 6= f(n) e, consequentemente f é injetiva.
Corolário 2.2.11 Um conjunto X é in…nito se, e somente se, existe uma bijeção g : X ! Y sobre um subconjunto próprio Y X:
Demonstração: Com efeito, se o conjunto X é in…nito. Então o Teorema 2.2.10, garante que existe uma função f : N ! X injetiva. Escreva, para cada n 2 N; f (n) = xn: Considere o subconjunto Y = X fx1g (próprio) de X e de…na g : X ! Y;
pondo g(x) = x; se x não for um dos xn e g(xn) = xn+1; com n 2 N: Reciprocamente,
se existir uma bijeção de X em uma parte própria sua, então X não é …nito. Como vimos no Corolário 2.2.4. Logo, o conjunto X é in…nito.
Exemplo 2.2.12 Seja a função f : X ! Y sobrejetiva. Se Y é in…nito, então X é in…nito. Com efeito, consideremos a aplicação injetiva g : Y ! X; onde para todo
2.3. CONJUNTOS ENUMERÁVEIS E NÃO-ENUMERÁVEIS
y 2 Y podemos escolher x = g(y) tal que f(x) = y; isto decorre do fato de f ser sobrejetiva. É fácil ver que g é injetiva. Sejam y1; y2 2 Y; com g(y1) = g(y2); aplicando
f em ambos os menbros, obtemos f (g(y1)) = f (g(y2)); pela de…nição da composta
temos y1 = y2: Como Y é in…nito existe uma aplicação h : N ! Y injetiva. Assim a
composição g h : N ! X é injetiva. Logo X é in…nito.
Exemplo 2.2.13 O conjunto dos números primos é in…nito. Suponhamos por absurdo que o conjunto P dos números primos é …nito, i:e:, P = fp1; p2; p3; :::; pkg N: Tome
p = (p1 p2 p3 pk) + 1 2 N; assim pi < p para todo i = 1; 2; 3; :::; k; ou seja, p
=
2 P . Note que se pi divide p para algum i = 1; :::; k, então pi divide 1 e então pi = 1:
Uma contradição, pois pi 6= 1 para todo i = 1; :::; k: Portanto, P é in…nito.
2.3
Conjuntos enumeráveis e não-enumeráveis
De…nição 2.3.1 Um conjunto X diz-se enumerável quando é …nito ou quando existe uma bijeção f : N ! X: Neste caso, f chama-se uma enumeração dos elementos de X. Escrevendo f (1) = x1; f (2) = x2; :::; f (n) = xn; ::: tem-se então X =
fx1; x2; :::; xn; :::g :
Teorema 2.3.2 Todo suconjunto X N é enumerável.
Demonstração: Se X for …nito o teorema está provado. Se X for in…nito de…namos intuitivamente f : N ! X; pondo f(1) = menor elemento de X e suponha de…nidos f (1); f (2); :::; f (n); de modo que f (1) < f (2) < ::: < f (n): Escrevendo An = X ff(1); f(2); :::; f(n)g ; tem-se f(n) < x; para todo x 2 An: Tomemos
f (n + 1) =menor elemento de An (An 6= ?; pois X é in…nito). Note que f é injetiva:
Com efeito, dados n1; n2 2 N tais que n1 6= n2: Se n1 < n2, então pela de…nição de f
tem-se f (n1) < f (n2);o que implica f (n1)6= f(n2):O resultado é análogo para n2 < n1:
Veja também que f é sobrejetiva, caso contrário existiria algum x 2 X f (N); sendo assim x 2 An; para todo n 2 N; isso acarreta x > f(n); qualquer que fosse n 2 N:
Então o conjunto in…nito f (N) N seria limitado. O que é absurdo, pois ser limitado implica ser …nito (Corolário 2.2.8).
Corolário 2.3.3 Seja f : X ! Y injetiva. Se Y é enumerável então X também é. Demonstração: Como Y é enumerável, existe uma bijeção g : N ! Y: Seja a função h : X! N de…nida por h(x) = g 1(f (x));
2.3. CONJUNTOS ENUMERÁVEIS E NÃO-ENUMERÁVEIS
h também é injetiva. Considere a função hh(X) : X ! h(X); temos uma bijeção de
X em um subconjunto h(X) N: Pelo Teorema 2.3.2, h(X) é enumerável, logo se h(X) for …nito então existem n 2 N e uma aplicação ' : In ! h(X) bijetiva. Daí, a
composição hh(X)1 ' : In! X é bijetiva, o que implica X …nito e enumerável. Agora,
se h(X) for in…nito (enumerável), então existe uma bijeção t : N ! h(X); assim a composição hh(X)1 t : N ! X é bijetiva. Portanto, X é enumerável.
Corolário 2.3.4 Seja f : X ! Y sobrejetiva. Se X é enumerável então Y também é. Demonstração: De…na g : Y ! X; onde para cada y 2 Y; encontremos x = g(y) 2 X tal que f (x) = y: Claramente g é injetiva e pelo Corolário 2.3.3, Y é enumerável.
Exemplo 2.3.5 O produto cartesiano de dois conjuntos enumeráveis é um conjunto enumerável. De fato, sejam X e Y conjuntos enumeráveis. Então existem bijeções f : N ! X e g : N ! Y: Assim a função h : N N ! X Y, de…nida por h(m; n) = (f (m); g(n)) é sobrejetiva, isto decorre da sobrejetividade de f e g. Agora provemos que N N é enumerável, seja a função g : N N ! N dada por g(m; n) = 2m 3n: Note que g é injetiva, pois, dados (n
1; m1); (n2; m2) 2 N N tais
que g(n1; m1) = g(n2; m2) = k 2 N; então k = 2m1 3n1 e k = 2m2 3n2: Logo pela
unicidade da decomposição de um número em fatores primos, temos (n1; m1) = (n2;
m2): Segue do Corolário 2.3.3, que N N é enumerável. E pelo Corolário 2.3.4, que o
produto cartesiano X Y é enumerável.
Exemplo 2.3.6 O conjunto Z dos números inteiros é enumerável. De…namos a aplicação f : N ! Z dada por f(n) = (n 1)2 para n ímpar e f (n) =
n
2 para n par.
É fácil ver que f é bijeção. Com efeito, sejam n1; n2 2 N números ímpares, tais que
f (n1) = f (n2): Temos: (n1 1) 2 = (n2 1) 2 =) n1 1 = n2 1 =) n1 = n2:
Sejam agora n3; n4 2 N números pares, tais que f(n3) = f (n4). Então n3 2 = n4 2 =) n3 = n4 =) n3 = n4:
2.3. CONJUNTOS ENUMERÁVEIS E NÃO-ENUMERÁVEIS
Logo, f é injetiva. Dado m 0 (m 2 Z), existe n = 2m + 1 ímpar, tal que m = (n 1)2 . Logo para todo m 0 (m2 Z); existe n 2 N ímpar tal que f(n) = m:
Agora, seja m < 0 (m 2 Z): Sendo assim, note que m > 0 e existe n = 2( m) par, tal que m = n2. Logo para todo m < 0 (m 2 Z); existe n 2 N par tal que f(n) = m: Portanto; f é sobrejetiva.
Exemplo 2.3.7 Todo subconjunto de um conjunto enumerável é enumerável. Com efeito, sejam X um conjunto enumerável e Y X: Se Y = X então Y é enumerável. Analisemos agora para Y 6= X: Se X for …nito, tem-se Y …nito (Teorema 2.2.6) e consequentemente enumerável. Caso contrário (X in…nito), então Y é …nito ou in…nito. No primeiro caso temos que Y é enumerável. No segundo caso, como Y é subconjunto próprio de X existe um aplicação g : X ! Y bijetiva (Corolário 2.2.11) e como X é enumerável existe uma função bijetiva f : N ! X, logo a aplicação h = g f : N ! Y é bijetiva. Portanto, o subconjunto Y é enumerável.
Exemplo 2.3.8 Outro exemplo de conjunto enumerável é o conjunto Q =
m
n; m; n2 Z; n 6= 0 dos números racionais. Inicialmente seja Z = Z f0g
subconjunto próprio de Z: Note que Z é enumerável (Exemplo 2.3.7), e que Z Z também é enumerável (Exemplo 2.3.5). Assim basta mostrar que a aplicação f : Z Z ! Q de…nida por f(m; n) = mn é sobrejetiva e usar o resultado do Corolário
2.3.4. Com efeito, seja m 2 Z podemos escrever m como produto de dois números inteiros, i:e:; m = q n; q; n 2 Z e n 6= 0. Assim note que dado q 2 Q, existe (m; n)2 Z Z ; tal que q = mn. O que implica f (m; n) = q: Note que f não é injetiva, pois dados (4; 2); (8; 4) 2 Z Z obtemos f(4; 2) = 42 = 2 =
8
4 = f (8; 4); i:e:, (4;
2)6= (8; 4); mas f(4; 2) = f(8; 4):
Um conjunto X qualquer é dito não-enumerável se for in…nito e não existir uma aplicação f : N ! X bijetiva.
Exemplo 2.3.9 Seja S o conjunto de todas as sequências in…nitas, formadas pelos algarismos 0 e 1. O conjunto S pode ser de…nido também como o conjunto de todas as funções s : N ! f0; 1g : Provemos que o conjunto S é não enumerável. Com efeito, consideremos o subconjunto enumerável X = fs1; s2; :::; sn; :::g S. É fácil ver que X é
enumerável basta notar que a aplicação f : N ! X dada por f(n) = sn;para todo n 2 N;
é bijetiva. Indiquemos por snm o n ésimo termo da sequência sm 2 X: De…namos uma
2.3. CONJUNTOS ENUMERÁVEIS E NÃO-ENUMERÁVEIS
igual a 1 se snn = 0: Logo, s não pertence ao conjunto X pois seu n-ésimo termo é
diferente do n-ésimo termo de sn: Portanto, o conjunto S 6= fs1; s2; :::; sn; :::g = X;
i:e:, nenhum subconjunto enumerável X é igual a S: Consequentemente conclui-se que S não é enumerável. Vale salientar que esse importante raciocínio deve-se a Cantor, e é conhecido como o método da diagonal.
Exemplo 2.3.10 O conjunto P (N) de todos os subconjuntos de N não é enumerável. Com efeito, considere o subconjunto X enumerável formado por subconjuntos de N, i:e:; X P (N): Devemos mostrar que nenhum conjunto X é igual a P (N): Para isso interprete cada subconjunto Y N como uma sequência de zeros e uns, na qual o n-ésimo termo é 1 se n 2 Y e 0 se n =2 Y: Assim cada subconjunto Y X será uma sequências formadas pelos algarismos 0 e 1; ou seja, X = fs1; s2; :::; sn; :::g.
Desse modo, basta usar o método da diagonal e concluir que o conjunto P (N) não é enumerável.
Capítulo 3
Algumas Noções Topológicas
A palavra Topologia em grego signi…ca "estudo das formas"(topos - forma e logos - estudo. É o ramo da Matemática que se dedica ao estudo das noções de limite, continuidade e as ideias com elas relacionadas. A Topologia é aplicada em diversas áreas, muitos de seus resultados foram descobertos por meio de procedimentos intuitivos, formalizadas pelo rigor matemático posteriormente.
O celébre problema das sete pontes de Königsberg, cidade da antiga Prússia, onde hoje é a cidade de Kaliningrado, Rússia, é considerado o impulsionador dos estudos topológicos. No centro da cidade de Königsberg o rio Pregel se divide em dois rios, um ao norte chamado Pregel Velho, e o outro ao sul chamado Pregel Novo. Esses rios dividiam a cidade em quatro porções de terra, para ligar essas porções foram construidas sete pontes. O problema consiste em fazer um passeio pela cidade atravessando as sete pontes, cada uma, uma única vez. Em 1736, o matemático suíço Leonhard Euler, percebeu que o problema não era de geometria, o que importava era a forma como as porções de terra estavam interligadas entre si. Nascendo assim a Topologia e a Teoria dos Grafos. Euler representou em um grafo (conjunto cujos os elementos são unidos por arcos) as porções de terra como vértice e as pontes como arestas. A partir daí, Euler percebeu que a única maneira de resolver esse problema séria se houvesse no máximo dois vértices de onde saísse um número impar de caminhos. Desse modo, cada vértice deveria ter um número par de caminhos, pois é necessário um caminho para entrar e outro para sair. Logo, os vértices que tivessem números ímpares de caminhos seriam a entrada e a saída do percurso (veja [2]).
Tendo em vista que a de…nição de conjunto aberto e conjunto fechado está ligado a ideia de limite de uma sequência, iniciaremos este capítulo apresentando uma breve
noção desse assunto.
De…nição 3.0.11 Uma sequência de números reais é uma função x : N ! R; que associa a cada número natural n um número real xn; chamado o n-ésimo termo da
sequência.
Uma sequência cujo n-ésimo termo é xn; pode ser indicada por (x1; x2; :::; xn; :::)
ou (xn)n2N;ou simplesmente (xn):
De…nição 3.0.12 Dada uma sequência x = (xn)n2N; uma subsequência de x é a
restrição da função x a um subconjunto in…nito N0 = fn
1 < n2 < < nk< g
de N: Escreve-se x0 = (x
n)n2N0 ou (xn1; xn2; : : : ; xnk; : : :); ou (xnk)k2N para indicar a
subsequência x0 = xj N0:
A notação (xnk)k2N mostra que uma subsequência pode ser considerada como uma
sequência, i:e:; uma função cujo domínio é N:
De…nição 3.0.13 Diz-se que o número real a é limite da sequência (xn) quando, para
todo real " > 0; dado arbitrariamente, pode-se obter n0 2 N tal que todos os termos xn
com índice n > n0 cumpre a condição jxn aj < ": Escreve-se então a = lim xn:
Isto signi…ca que, para valores muito grandes de n; os termos xn tornam-se e se
mantêm tão próximos de a quanto se queira. Estipulando uma margem de erro " > 0; existe um índice n0 2 N tal que todos os termos xn da sequência com índice n > n0 são
valores aproximados de a com erro menor do que ":
Vale ressaltar que jxn aj < " equivale a a " < xn < a + "; ou seja, xn 2 (a ";
a + "):
Outras formas de escrever a = lim xn são a = limn2Nxn; a = limn !1xn ou
xn ! a: Uma sequência que possui limite diz-se convergente. Caso contrário, ela se
chama divergente.
Teorema 3.0.14 O limite de uma sequência quando existe é único.
Demonstração: Sejam (xn)uma sequência com lim xn = ae b 6= a: Seja a < b; tome
" = b a2 > 0: Então existe n 2 N tal que
n > n0 =) xn2 (a "; a + ") =) xn2 (a ";
a + b 2 ):
Sendo assim, note que xn 2 (= a+b2 ; b + "); o que implica xn 2 (b= "; b + "): Portanto,
lim xn6= b: De maneira análoga prova-se para b < a; basta tomar " = a b2 > 0:
Este importante resultado mostra que o limite de uma sequência quando existe é único.
De…nição 3.0.15 Uma sequência (xn) chama-se monótoma quando se tem xn xn+1
para todo n 2 N ou então xn+1 xn para todo n: No primeiro caso, diz-se que (xn) é
monótona não decrescente e, no segundo, que (xn) é monótona não crescente. Se, mais
precisamente, tivermos xn< xn+1 (respct. xn > xn+1) para todo n2 N; diremos que a
sequência é crescente (respectivamente, decrescente):
Proposição 3.0.16 Toda sequência monótona não decrescente (respect. não crescente) é limitada inferiormente (respect. superiormente) pelo seu primeiro termo. Se (xn) é
monótona e possui uma subsequência limitada, então (xn) é limitada.
Demonstração: De fato, seja (xn) uma sequência não decrescente e (xnk) é uma
subsequência limitada. Sendo assim, existe c 2 R tal que
xnk c;8k 2 N: (3.1)
Para qualquer n 2 N; como o conjunto de índices fn1; n2; n3; : : : ; nk; : : :g é in…nito,
existe nk0 tal que n < nk0: Como (xn)é não decrescente, tem-se
xn xnk: (3.2)
De (3.1) e (3.2) segue xn xnk0 c: Como n foi tomado arbitrariamente, temos que
xn c; 8 n 2 N:
Se (xn)for não crescente, a demonstração é análoga a anterior.
Teorema 3.0.17 Toda sequência monótona limitada é convergente.
Demonstração: Seja (xn) monótona, limitada, digamos não decrescente. Considere
o conjunto X = fx1; : : : ; xn; : : :g dos termos da sequência (xn): Como (xn) é limitada,
claramente X é limitado. Seja b = sup X: A…rmamos que b = lim xn: Com efeito, dado
" > 0; note que o número b " não é cota superior de X: Logo existe n0 2 N tal que
b " < xn0: Assim , se n > n0 tem-se
b " < xn0 xn b + "; i.e., jxn bj < ": Portanto, lim xn = a:
3.1. CONJUNTOS ABERTOS
De…nição 3.0.18 Diremos que um termo xn de uma sequência é destacado quando
xn xp para todo p > n:
Corolário 3.0.19 (Teorema de Bolzano-Weierstrass) Toda sequência limitada de números reais possui uma subsequência convergente.
Demonstração: Note que basta encontrar uma subsequência monótona (limitada) e o teorema anterior garante sua convergência. Seja D N o conjunto dos índices n tais que xn é um termo destacado. Se o conjunto D for in…nito,
D = fn1 < n2 < < nk< g, então a subsequência (xn)n2D será monótona não
crescente. Se D não for in…nito, então D será limitado, pois todo conjunto …nito é limitado. Seja n1 maior do que todos os elementos de D: Assim xn1 não é destacado,
i.e., existe n2 > n1 tal que xn1 < xn2: Sendo assim, xn2 não é destacado, logo existe
n3 > n2 com xn1 < xn2 < xn3: Continuando desse forma, obteremos uma sequência
crescente xn1 < xn2 < < xn3 < :
Teorema 3.0.20 (Teorema do Confronto) Se lim xn = lim yn = a e xn zn yn
para todo n su…cientemente grande então lim zn = a:
Demonstração: Dado arbitrariamente " > 0; existem n1; n2 2 N tais que n > n1 =)
jxn aj < " =) a " < xn < a + " e n > n2 =) jyn aj < " =) a " < yn < a + ":
Seja n0 = maxfn1; n2g : Então n > n0 =) a " < xn zn yn < a + ": Logo
zn2 (a "; a + "): Portanto, lim zn = a:
3.1
Conjuntos abertos
De…nição 3.1.1 Diz-se que o ponto a é interior ao conjunto X R quando existe um número " > 0 tal que o intervalo aberto (a "; a + ") está contido em X:
De…nição 3.1.2 O conjunto dos pontos interiores a X chama-se interior do conjunto X e representa-se pela notação intX: Quando a 2 intX diz-se que o conjunto X é uma vizinhança do ponto a. Um conjunto A R chama-se aberto quando A = intA; i.e., quando todos os pontos de A são interiores a A:
Observação 3.1.3 Diz-se que o conjunto X R não é aberto, quando existe x 2 X tal que x =2 intX:
3.1. CONJUNTOS ABERTOS
Exemplo 3.1.4 Todo ponto c 2 (a; b), é ponto interior a (a; b). Com efeito, existe n0 2 N tal que c + n1 0 > a e c 1 n0 < d: Daí, tomemos " = 1 n0 > 0; então
(c "; c + ") (a; b). Disto decorre que todo intervalo aberto é um conjunto aberto, pois para todo c 2 (a; b). tem-se c 2 int(a; b): Seja o intervalo fechado [a; b] ; os extremos a; b
=
2 int [a; b], pois para qualquer n 2 N; tem-se a n1 < ae b+ 1 n > b;assim ( a 1 n; a+ 1 n)6
[a; b] e (b n1; b+n1)6 [a; b] : O conjunto ? vazio é aberto, caso contrário existiria x 2 ? tal que x =2 int(?), absurdo pois o conjunto vazio não possui elementos. O interior do conjunto Q não contém intervalos. De fato, considere o conjunto Q Q; com a; b 2 Q tal que a < b; assim dado qualquer intervalo (a; b); temos que (a; b) 6 Q; pois entre dois números racionais existe sempre um número irracional, i:e:; existe i 2 (a; b) tal que i =2 Q: Portanto, (a; b) 6 Q:
Teorema 3.1.5 Sejam A1 e A2 conjuntos abertos, então A1\A2 é um conjunto aberto.
Demonstração: Vamos mostrar que A1 \ A2 = int(A1 \ A2); de imediato
tem-se que int(A1 \ A2) A1 \ A2: Assim, basta mostrar que A1 \ A2 int(A1 \ A2):
Com efeito, seja a 2 A1 \ A2; como A1 e A2 são abertos, então a é ponto interior
de A1 e de A2 (a 2 intA1 e a 2 intA2): Logo, existem "1 > 0 e "2 > 0; tais que
(a "1; a + "1) A1 e (a "2; a + "2) A2: Tomando " = min f"1; "2g ; tem-se que
(a "; a + ") (a "1; a + "1) A1 e (a "; a + ") (a "2; a + "2) A2:Portanto,
(a "; a + ") A1\ A2, a 2 int(A1 \ A2);como queriamos demonstrar.
Teorema 3.1.6 Se (A ) 2L é uma família qualquer de conjuntos abertos, a reunião A = [
2L
A é um conjunto aberto.
Demonstração: Devemos mostrar que A intA = int[
2L
A :Seja a 2 A então existe 2 L tal que a 2 A : Como A é aberto, existe " > 0 tal que (a "; a + ") A [
2L
A = A: Logo para todo ponto x 2 A; tem-se x 2 intA = int[
2L
A : Portanto A é aberto.
Do Teorema 3.1.5, resulta que a interseção A1 \ \ An de um número …nito de
conjuntos abertos é um conjunto aberto. Por outro lado, a interseção de um número in…nito de conjuntos abertos pode não ser aberto. Por exemplo, seja In = ( n1;n1)
aberto; para todo n 2 N: Note que a interseção
1
\
n2N
In = ( 1; 1) \ ( 12;12)\ \
3.2. CONJUNTOS FECHADOS
3.2
Conjuntos fechados
De…nição 3.2.1 Diz-se que um ponto a é aderente ao conjunto X R quando a é limite de alguma sequência de pontos xn2 X:
Observação 3.2.2 Evidentemente, todo ponto a 2 X é aderente a X, basta tomar a sequência (xn) com termos xn = a para todo n2 N:
De…nição 3.2.3 Chama-se fecho de um conjunto X ao conjunto X formado por todos os pontos aderentes de X. Um conjunto X diz-se fechada quando X = X; i.e., quando todo ponto aderente a X pertence a X:
Observe que X X, e se X Y então X X Y :
Exemplo 3.2.4 Observe que dado o intervalo aberto X = (a; b); tem-se X 6 X; pois os pontos a e b são aderentes ao intervalo aberto (a; b), já que a = lim(a + n1) e b = lim(b n1); i.e., a e b são limite de alguma sequência de pontos do intervalo aberto (a; b): Logo a; b 2 X enquanto que a; b =2 X; em símbolos X = [a; b] 6= (a; b) = X: De…nição 3.2.5 Seja X Y:Diz-se que um conjunto X é denso no conjunto Y quando Y X; i:e:, quando todo b 2 Y é aderente a X:
Exemplo 3.2.6 O conjunto Q dos números racionais é denso no conjunto R dos números reais. Para isso temos que mostrar que R Q. A princípio notemos que todo intervalo não degenerado contém números racionais e irracionais, consideremos um número qualquer a 2 R: Se a 2 Q então basta tomar xn = a: Caso a 2 R Q
(conjunto dos números irracionais), então para cada n 2 N tome rn 2 (a n1; a + n1).
Desse modo, o número a 2 R Q é limite da sequência de números racionais (rn) e,
portanto, a 2 Q.
Teorema 3.2.7 Um ponto a é aderente ao conjunto X se, e somente se, toda vizinhança de a contém algum ponto de X:
Demonstração: Seja a 2 X; então a = lim xn; onde xn2 X; para todo n 2 N: Dada
uma vizinhança qualquer V (a "; a + "); onde " > 0; devemos mostrar que xn 2 V:
Pela de…nição de limite existe n0 2 N; tal que n > n0 implica xn 2 (a "; a + ") V;
i.e., toda vizinhaça de a contém algum ponto de X: Reciprocamente, notemos que todo intervalo a 1n; a + 1n ; n 2 N; é uma vizinhaça de a: Assim, tomemos, para cada n natural xn 2 a n1; a +n1 \ X. Teremos então uma sequência (xn) 2 X com
3.3. PONTOS DE ACUMULAÇÃO
Teorema 3.2.8 Um conjunto F R é fechado se, e somente se, seu complementar A = R F é aberto.
Demonstração: Se a 2 R F; então a =2 F; i.e., a não é aderente a F: Logo para todo " > 0 tem-se a vizinhaça V (a "; a + "); que não possui pontos de F; ou seja, V R F (Teorema 3.2.7). Sendo assim a 2 int (R F ) = intA: Portanto A é aberto. Reciprocamente, temos que mostrar que F F. Seja a 2 F : Pelo Teorema 3.2.7, toda vizinhaça de a contém pontos de F; logo a =2 intA o que acarreta a =2 A; pois A é aberto. Daí a 2 F; portanto F é fechado.
Teorema 3.2.9 Se F1 e F2 são fechados então F1[ F2 é fechado.
Demonstração: Incialmente, sejam A1 = R F1 e A2 = R F2 complementares de
F1 e F2 respectivamente. Pelo Teorema 3.2.7, os conjuntos A1 e A2 são abertos. Sendo
assim, pelo Teorema 3.1.5, A1\ A2 = R (F1[ F2)é aberto. O que acarreta F1[ F2
fechado (Teorema 3.2.7).
Teorema 3.2.10 Se (F ) 2L é uma família qualquer de conjuntos fechados então a interseção F = \
2L
F é um conjunto fechado.
Demonstração: Com efeito, para cada 2 L tem-se A = R F aberto (Teorema 3.2.7). Segue-se pelo Teorema 3.1.6, que A = [
2L
A é aberto. Note que
A = [ 2L A = R \ 2L F = R F; logo F é fechado.
3.3
Pontos de acumulação
De…nição 3.3.1 Diz-se que a 2 R é ponto de acumulação do conjunto X R quando toda vizinhança V de a contém algum ponto de X diferente do próprio a; i.e., V \ (X fag) 6= ?:
