Lembramos que um subconjunto de um espa¸co topol´ogico X ´e de primeira categoria emX se pode ser escrito como uni˜ao enumer´avel de conjuntos cujos respectivos fechos tˆem interior vazio. Por exemplo, Q´e de primeira categoria em R, pois Q´e uni˜ao enumer´avel de seus pontos que evidentemente tˆem interior vazio. Um subconjunto ´e de segunda categoria se n˜ao ´e de primeira categoria. Ou seja, se n˜ao ´e poss´ıvel escrevˆe-lo como uni˜ao enumer´avel de conjuntos cujos fechos tˆem interior vazio. Destacamos a seguir o Teorema de Baire.
Teorema 2.1. (de Baire) SejaM um espa¸co m´etrico completo. Ent˜ao cada aberto de M
´
e de segunda categoria em M. Em particular, M ´e de segunda categoria em si pr´oprio.
A demonstra¸c˜ao pode ser encontrada, por exemplo, no livro de Espa¸cos M´etricos do Elon. Veremos como o Teorema de Baire ´e usado para demonstrar os trˆes teoremas fundamentais para espa¸cos de Banach, o Princ´ıpio da Limita¸c˜ao Uniforme, o Teorema do Gr´afico Fechado e o Teorema da Aplica¸c˜ao Aberta. Daremos aqui uma demonstra¸c˜ao adaptada da obtida originalmente por P.P. Zabre˘ıko para espa¸cos vetorias topol´ogicos metriz´aveis e completos.
Defini¸c˜ao 2.2. Seja X um espa¸co normado. Uma fun¸c˜ao p:X →R+ ´e dita enumerav-elmente sub-aditiva se p P∞
n=1xn
≤ P∞
n=1p(xn) para toda s´erie covergente P∞
n=1xn de termos em X.
30
2.1. Consequˆencias do Teorema de Baire 31
Seja p uma semi-norma cont´ınua definida em um espa¸co normado X. Ent˜ao p ´e enumeravelmente subaditiva. De fato, segue imediatamente por indu¸c˜ao que p Pm
n=1xn
≤ Pm
n=1p(xn), para qualquer m ∈N. Usando a continuidade de p, obtemos que p P∞
n=1xn
= lim
m→∞p
m
X
n=1
xn
≤ lim
m→∞
m
X
n=1
p(xn) =
∞
X
n=1
p(xn).
O Lema de Zabre˘ıko trata da rec´ıproca para espa¸cos de Banach. Antes de demonstr´ a-lo, vejamos um resultado sobre a continuidade de semi-normas.
Proposi¸c˜ao 2.3. Seja X espa¸co normado e p : X →R+ uma semi-norma. Ent˜ao, s˜ao equivalente:
(a) p´e cont´ınua;
(b) p´e cont´ınua na origem;
(c) p´e limitada em alguma bola centrada na origem.
Demonstra¸c˜ao. A ´unica implica¸c˜ao que n˜ao ´e imediata ´e (c)⇒ (a). Para demonstr´a-la, suponha que p(x)≤M parax∈B[0, r]. Ent˜ao, sex, y ∈X, temos quep rkx−ykx−y
≤M e portanto p x−y
≤M r−1kx−yk. Ent˜ao
|p(x)−p(y)| ≤ |p(x−y)| ≤M r−1kx−yk, O que mostra quep ´e cont´ınua.
Teorema 2.4. (Lema de Zabre˘ıko) SeX ´e um espa¸co de Banach, ent˜ao toda semi-norma enumeravelmente sub-aditiva ´e cont´ınua.
Demonstra¸c˜ao. Para cada ε >0, definimos o conjunto
∆(ε) ={x∈X :p(x)≤ε}.
Claramente X = S
n∈Nn∆(ε/2), pela propriedade N1) de semi-norma. Pelo teorema de Baire, para algum n, n∆(ε/2) = n∆(ε/2) tem interior n˜ao vazio. Consequentemente
∆(ε/2) tamb´em tem interior n˜ao vazio (pois s˜ao homeomorfos). Ent˜ao existe uma bola B(x0, rε)⊂∆(ε/2). Como ∆(ε/2) ´e sim´etrico,
B(−x0, rε) = −B(x0, rε)⊂ −∆(ε/2) = −∆(ε/2) = ∆(ε/2),
ou seja, ∆(ε/2) tamb´em cont´em a bolaB(−x0, rε). Assim
B(0, rε)⊂B(x0, rε) +B(−x0, rε)⊂∆(ε/2) + ∆(ε/2)⊂∆(ε/2) + ∆(ε/2)⊂∆(ε), ou seja, ∆(ε) cont´em uma bola centrada na origem B(0, rε). Podemos supor que rε≤ ε.
Ent˜ao, definindo o conjunto
A(ε)def=B(0, rε)∩∆(ε), temos que A(ε) ´e um subconjunto denso em B(0, rε) (∗).
Considere ent˜ao, fazendo ε= 1, a bolaB =B(0, r1). Para mostrar quep´e cont´ınua, pela proposi¸c˜ao anterior basta mostrar que ´e limitada nesta bola. Seja ent˜aox∈B(0, r1).
Pela densidade, existe x1 ∈A(1) com kx−x1k ≤r1
2. Fazendo ε= 12 em (∗), encontramos x2 ∈A(12) comkx−x1−x2k< r1
22
. Prosseguindo assim, para cadan ∈N, encontraremos xn ∈ A(2n−11 ) com kx−x1 −x2 − · · · −xnk < r 1
2n. Vemos ent˜ao que a s´erie P∞ n=1xn converge para x (note que supusemosr 1
2n ≤ 21n). Como p´e enumeravelmente sub-aditiva e cada xn∈A(2n−11 ),
p(x)≤
∞
X
n=1
p(xn)≤
∞
X
n=1
1
2n−1 = 2.
Como x∈B era arbitr´ario, vemos que p(x)≤2, ∀x∈B, sendop cont´ınua.
Teorema 2.5. (Princ´ıpio da Limita¸c˜ao Uniforme) Seja F uma fam´ılia n˜ao-vazia de operadores lineares cont´ınuos definidos num espa¸co de Banach X e tomando valores no espa¸co normado Y. Se, para cada x ∈ X, cx = sup{kT(x)k : T ∈ F } ´e finito, ent˜ao sup{kTk : T ∈ F } ´e finito. Em outras palavras, toda fam´ılia pontualmente limitada ´e limitada em norma.
Demonstra¸c˜ao. Defina a aplica¸c˜ao p:X →R como sendo, para cadax∈X, p(x) = sup{kT(x)k:T ∈ F }.
Como a fam´ılia ´e pontualmente limitada, tal supremo ´e finito. Ainda, pela linearidade de T vemos que p ´e uma semi-norma. Para mostrar que p ´e enumeravelmente sub-aditiva, suponha que seja dada uma s´erie convergenteP∞
n=1xnde termos emX. Para cadaT ∈ F fixado,
TX∞
n=1
xn =
∞
X
n=1
T(xn) ≤
∞
X
n=1
kT(xn)k ≤
∞
X
n=1
p(xn).
2.1. Consequˆencias do Teorema de Baire 33
Portanto, p P∞
n=1xn
≤ P∞
n=1p(xn). Assim, p ´e uma semi-norma enumeravelmente sub-aditiva definida no espa¸co de BanachX. Ent˜aop´e cont´ınua, pelo Lema de Zabre˘ıko.
Logo, para ε = 1, existe δ > 0 tal que kxk ≤ δ⇒ p(x) ≤1. Assim, se x∈BX, kδxk ≤ δ e portanto p(δx) ≤ 1, o que implica p(x) ≤ δ−1. Vemos ent˜ao que, para cada x ∈ BX fixado, kT(x)k ≤ sup{kT(x)k : T ∈ F } ≤ δ−1, donde segue que kTk ≤ δ−1, ∀T ∈ F.
Logo, sup{kTk:T ∈ F }<∞.
Corol´ario 2.6. Seja Tn uma sequˆencia de operadores lineares cont´ınuos definidos em um espa¸co de Banach X e tomando valores em um espa¸co normado Y. Ent˜ao se para cada x∈X, (Tn(x))n converge, ent˜ao a aplica¸c˜ao definida por T(x) = limn∈NTn(x)´e linear e cont´ınua.
Demonstra¸c˜ao. Claramente T ´e linear. Como (Tn(x))n converge ent˜ao, para cada x∈X a sequˆencia (Tn(x))n ´e limitada. Pelo princ´ıpio da Limita¸c˜ao Uniforme, existeM tal que kTnk ≤M, ∀n∈N. Sejax∈BX. Dadoε >0, existeN ∈Ntal quekTN(x)−T(x)k< ε, e portanto
kT(x)k ≤ kTN(x)−T(x)k+kTN(x)k< ε+M, ∀ε >0.
Ent˜ao, kT(x)k ≤M, ∀x∈BX, o que mostra que T ´e cont´ınua com kTk ≤M.
Outra aplica¸c˜ao do Lema de Zabre˘ıko (e portanto do teorema de Baire) ´e o Teorema da Aplica¸c˜ao Aberta. Lembramos que Uma aplica¸c˜ao ϕ : A → B entre dois espa¸cos topol´ogicos ´e dita aberta se ϕ(U) for um conjunto aberto em B sempre que U for aberto em A.
Teorema 2.7. (da Aplica¸c˜ao Aberta) Toda transforma¸c˜ao linear cont´ınua e sobrejetora entre dois espa¸cos de Banach ´e uma aplica¸c˜ao aberta.
Demonstra¸c˜ao. Seja T : X → Y cont´ınua e sobrejetora. Mostraremos inicialmente que T(UX) ´e um conjunto aberto emY, onde ´eUX ´e a bola aberta unit´aria centrada na origem deX.
Definimos a aplica¸c˜ao p : Y →R+ pondo p(y) = inf{kxk : x ∈ X, T(x) = y}. Note que pest´a bem definida, pois T ´e sobrejetora. Se y∈Y eλ ´e um escalar n˜ao nulo,
{x∈X :T(x) = λy}={x∈X :T1 λx
=y}={λx∈X :T(x) = y}.
Logo, p(λy) = inf{kxk : x ∈ X, T(x) =λy} = inf{|λ|kxk : x ∈ X, T(x) = y} = |λ|p(y).
Como o caso λ = 0 ´e trivial, segue-se que p(λy) = |λ|p(y) para qualquer vetor y ∈ Y e escalar λ∈K. Note que a desigualdade triangular seguir´a imediatamente se mostrarmos que p´e enumeravelmente sub-aditiva.
Mostremos ent˜ao quep´e enumeravelmente sub-aditiva. Considere uma s´erie conver-genteP∞
n=1ynemY. Observe que como queremos mostrar quep P∞ n=1yn
≤P∞
n=1p(yn), podemos supor, sem perda de generalidade, que P∞
n=1p(yn) ´e convergente, pois caso contr´ario ter´ıamos P∞
n=1p(yn) = +∞ e a desigualdade seria trivial. Seja ε > 0. Pela defini¸c˜ao de ´ınfimo, podemos tomar uma sequˆencia (xn)n∈N em X tal que, T(xn) = yn e kxnk< p(yn) + 2−nε. Logo,P∞
n=1kxnk ≤P∞
n=1p(yn) +ε, e portantoP∞
n=1xn´e uma s´erie absolutamente convergente em X e, como este espa¸co ´e de Banach, tal s´erie converge.
Portanto, como T ´e um operador cont´ınuo, T P∞
n=1xn
= P∞
n=1T(xn) = P∞ n=1yn. Logo,
pX∞
n=1
yn
≤
∞
X
n=1
xn ≤
∞
X
n=1
kxnk ≤
∞
X
n=1
p(yn) +ε.
Como ε > 0 era arbitr´ario, segue que p P∞
n=1yn
≤ P∞
n=1p(yn), e portanto p ´e uma semi-norma enumeravelmente sub-aditiva. Como est´a definida no espa¸co de Banach Y p ´e cont´ınua pelo Lema de Zabre˘ıko. Assim, como T(UX) = {y ∈ Y : p(y) < 1} = p−1(]− ∞,1[), segue queT(UX) ´e aberto em Y.
O caso geral segue facilmente da linearidade de T: Considere um conjunto U 6= ∅ aberto em X, e tome y ∈T(U) arbitr´ario. Seja x∈ U tal que T(x) = y. Como U ´e um conjunto aberto, deve existir r > 0 tal que x+rUX ⊆ U. Logo, pela linearidade de T, y+rT(UX)⊂T(U). Pelo que mostramos anteriormenteT(UX) ´e um conjunto aberto em Y. Segue ent˜ao que T(U) ´e um conjunto aberto.
Corol´ario 2.8. Toda bije¸c˜ao linear cont´ınuas entre dois espa¸cos de Banach ´e um isomor-fismo.
Demonstra¸c˜ao. Pois tal bije¸c˜ao ser´a aberta pelo teorema anterior, o que implica a con-tinuidade de sua inversa.
2.1. Consequˆencias do Teorema de Baire 35
Corol´ario 2.9. Sejam k · k e k · k0 s˜ao duas normas em um espa¸co vetorial X munido das quaisX ´e completo. Ent˜ao, se existir M > 0tal que kxk ≤Mkxk0, para todo x∈X, ent˜ao as normas s˜ao equivalentes.
Demonstra¸c˜ao. De fato, as hip´oteses implicam que a identidade de X,k · k0
em X,k · k
´e uma bije¸c˜ao linear cont´ınua. Basta ent˜ao usar o corol´ario anterior para concluir que ´e um isomorfismo. Logo, X,k · k0
em X,k · k
tˆem a mesma topologia.
Como uma ´ultima aplica¸c˜ao do Teorema da Aplica¸c˜ao Aberta, demonstraremos o Teorema do Isomorfismo para espa¸cos de Banach:
Teorema 2.10. (do Isomorfismo para espa¸cos de Banach) Sejam X e Y espa¸cos de Banach e T ∈ L(X, Y). Suponha que a imagem de T seja fechada em Y. Ent˜ao X/Ker T ∼=T(X)
Demonstra¸c˜ao. Seja S : X/Ker T → T(X) a aplica¸c˜ao obtida pelo Teorema 1.50 com M =Ker T. Ent˜ao pelo referido teorema, S ´e uma bije¸c˜ao linear cont´ınua. Como T(X)
´e Banach pois ´e fechado em Y, segue que S ´e um isomorfismo.
Vejamos agora o Teorema do do Gr´afico Fechado. Lembramos que seAeB conjuntos n˜ao vazios e f : A → B uma fun¸c˜ao, ent˜ao o gr´afico de f ´e o subconjunto Graf(f) = {(x, y)∈A×B :y=f(x)} deA×B.
Se X e Y forem espa¸cos normados ent˜ao o gr´afico de uma aplica¸c˜ao f : X → Y cont´ınua ´e sempre fechado, pois ´e a imagem inversa do vetor nulo de Y pela aplica¸c˜ao cont´ınua (x, y) 7→ ky −f(x)k. Na verdade, ´e um exerc´ıcio simples de topologia que o gr´afico de uma aplica¸c˜ao cont´ınua entre dois espa¸cos topol´ogicos Hausdorff ´e sempre fechado. O teorema do Gr´afico Fechado ´e a rec´ıproca deste fato, por´em para espa¸cos de Banach.
Teorema 2.11. (do Gr´afico Fechado) Seja T uma transforma¸c˜ao linear definida num espa¸co de Banach X tomando valores num espa¸co de Banach Y. Se o gr´afico de T ´e um subconjunto fechado de X×Y, ent˜ao T ´e cont´ınua.
Demonstra¸c˜ao. Seja p(u) = kT(x)k, x ∈ X. ´E imediato que p ´e uma semi-norma em X. Provemos p que ´e enumeravelmente sub-aditiva. De fato, dada uma s´erie conver-gente P∞
n=1xn em X. Novamente, podemos supor, sem perda de generalidade, que
P∞
n=1kT(xn)k converge. Logo, como a s´erie absolutamente convergente P∞
n=1T(xn) est´a definida num espa¸co de Banach, converge. Note que Pm
n=1xn (m→∞)−→ P∞ n=1xn e que T Pm
n=1xn
= Pm
n=1T(xn) (m→∞)−→ P∞
n=1T(xn). Vemos ent˜ao que a sequˆencia Pm
n=1xn, T Pm
n=1xn
m pertence ao gr´afico de T e converge, na topologia produto de X×Y, para (P∞
n=1xn,P∞
n=1T(xn))m. Como o gr´afico deT ´e fechado em X×Y, segue que P∞
n=1T(xn) =T P∞
n=1xn
, o que implica que pX∞
n=1
xn
=
TX∞
n=1
xn =
∞
X
n=1
T(xn) ≤
∞
X
n=1
kT(xn)k=
∞
X
n=1
p(xn).
Ent˜ao p ´e uma semi-norma enumeravelmente sub-aditiva, sendo cont´ınua pelo Lema de Zabre˘ıko. Ent˜ao exite δ >0 tal que kxk ≤ δ ⇒p(x) =kT(x)k ≤1, o que mostra que T
´
e cont´ınua pois ´e limitada na bola B[0, δ].
Observa¸c˜ao 2.12. Para mostrar que uma aplica¸c˜aoT :X →Y entre espa¸cos normados
´
e cont´ınua, em princ´ıpio temos que mostrar que
xn→x =⇒ T(xn)→y ey=T(x).
O Teorema do Gr´afico fechado diz que se X e Y forem espa¸cos de Banach, ent˜ao basta mostrar que
xn→x e T(xn)→y =⇒ y=T(x).
O exemplo seguinte, apesar de artificial, mostra que n˜ao podemos tirar a hip´otese
“Banach”do contra-dom´ınio de T. Nos exec´ıcios h´a um exemplo que mostra o an´alogo para o dom´ınio.
Exemplo 2.13. Seja (X,k · k) um espa¸co de Banach separ´avel de dimens˜ao infinita. Por exemplo, X pode ser `1 ou c0. Tome uma base alg´ebrica {xi :i∈ I} normalizada de X.
Ent˜ao I ´e n˜ao enumer´avel (veja os exerc´ıcios). Cada x ∈X se escreve de maneira ´unica na formax=P
αixi (soma finita). Defina uma outra norma em X pondokxk0 =P
|αi|.
Temos que
kxk ≤X
|αi|kxik=X
|αi|=kxk0. Logo, a identidade Id : X,k · k0
→ X,k · k
´
e cont´ınua e portanto seu gr´afico ´e fechado, pela observa¸c˜ao feita pouco antes do teorema. Claro que o gr´afico de Id−1 tamb´em ´e fechado. Por´em, Id−1 n˜ao pode ser cont´ınua, pois se fosse, a identidade seria um isomorfismo e X,k · k0
seria tamb´em separ´avel, um absurdo, pois para i 6= j, kxi−xjk0 = 2 e h´a uma quantidade n˜ao enumer´avem de x0is.