Espa¸ cos de Banach

(1)

Parte 1

Espa¸ cos de Banach

1.1 Espa¸ cos Normados

Defini¸cão 1.1. Seja X um espa¸co vetorial sobreK(K=CouK=R). Uma semi-norma em X é uma aplica¸cão p:X →[0,+∞[ que satisfaz as seguintes propriedades:

(N1) p(λx) =|λ| ·p(x), ∀x∈X,∀λ∈K;

(N2) (Desigualdade triangular) p(x+y)≤p(x) +p(y), ∀x, y ∈X.

Se p satisfaz a propriedade adicional (N0) p(x) = 0 ⇒x= 0,

p ´e dita uma norma em X e neste caso ´e comum escrever kxk no lugar de p(x).

Observe que se p é uma semi-norma em X então segue imediatamente de (N1) que p(0) = 0. Assim,p será uma norma se o único vetor x∈X com p(x) = 0 é o vetor nulo.

Estaremos mais interessados nas normas, embora as semi-normas aparecer˜ao em alguns momentos.

Um espa¸co normado ´e um espa¸co vetorial sobre K munido de uma norma. Vejamos alguns exemplos.

Exemplo 1.2. O corpo K (visto como espa¸co vetorial sobre si próprio) é um espa¸co normado se o equiparmos com a normakλk=|λ|. Mais geralmente,K^pé um espa¸co normado, pois sabemos que kxk =p

|x⁽¹⁾|²+|x⁽²⁾|²+· · ·+|x^(p)|², onde x = (x⁽¹⁾, x⁽²⁾, . . . , x^(p)), ´e 1

(2)

uma norma em K^p. E f´´ acil verificar que kxk1 = |x⁽¹⁾| + |x⁽²⁾| + · · · + |x^(p)| e kxk∞ = max{|x⁽¹⁾|,|x⁽²⁾|, . . . ,|x^(p)|}também são normas emK^p. As duas últimas normas são mais fáceis de se trabalhar e equivalentes à primeira (num sentido que precisaremos mais adiante).

Para o próximo exemplo, lembramos que seAé um espa¸co topológico ef uma fun¸cão f : A →K, então f é cont´ınua em a∈ A se, para todo ε > 0, existir um aberto V de A contendo a tal que |f(x)−f(a)|< ε, se x∈V.

Exemplo 1.3. Seja A6=∅um espa¸co topológico, e consideremos agora o espa¸co vetorial C_b(A) constitu´ıdo de todas as fun¸cõesf :A→Kque são cont´ınuas e limitadas. Definimos para f ∈ C_b(A)

kfk= sup

x∈A

|f(x)|.

Observe que pelo fato de f ser limitada tal supremo ´e finito. Ent˜ao kfk ∈ [0,+∞[.

Afirmamos que k · k ´e uma norma em C_b(A). De fato, se kfk= sup_x∈A|f(x)|= 0, ent˜ao

|f(x)|= 0 para todox∈A. Logo,f é a fun¸cão nula e (N0) está mostrada. Para mostrar (N1) observe que para cada x∈A

|λf(x)|=|λ| |f(x)| ≤ |λ| sup

x∈A

|f(x)|=|λ| kfk.

Então|λ| kfké uma cota superior do conjunto{|λf(x)|:x∈A}. Então sup_x∈A|λf(x)| ≤

|λ| kfk, o que nos mostra que kλf(x)k ≤ |λ| kfk. Por outro lado, se λ 6= 0, temos que

|f(x)| = |λ| |λ⁻¹| |f(x)| = |λ⁻¹| |λf(x)| ≤ |λ⁻¹| kλfk, e portanto, tomando o supremo, kfk ≤ |λ⁻¹| kλfk, ou seja |λ| kfk ≤ kλfk. Assim |λ| kfk = kλfk, se λ 6= 0. Porém, se λ = 0 a igualdade é imediata e portanto ela é valida para qualquer λ ∈ K. Finalmente, se f, g∈ C_b(A) e x∈A,

|f(x) +g(x)| ≤ |f(x)|+|g(x)| ≤sup

x∈A

|f(x)|+ sup

x∈A

|g(x)|=||fk+kgk.

Portanto kf+gk ≤ ||fk+kgk, o que demonstra (N2).

1.2 A topologia da norma

SeX é um espa¸co normado, então X é também um espa¸co métrico, onde a métrica

´

e dada por d(x, y) =kx−yk. É quase que imediato qued é de fato uma métrica em X.

Dizemos que d ´e induzida pela norma de X.

(3)

1.2. A topologia da norma 3

A topologia de X é definida a partir desta métrica: A bola aberta centrada em x₀ de raio r > 0 é o conjunto B(x₀, r) ^def= {x ∈ X : kx−x₀k < r}. Um conjunto é aberto em X se é a reunião (finita ou não) de bolas abertas. Equivalentemente, um subconjunto V ⊂X será aberto se para todo x₀ ∈V existir um r >0 tal queB(x₀, r)⊂V.

Os outros conceitos topológicos são definidos a partir destes abertos. Um conjunto F será fechado em X se seu complementar X\F for aberto em X. Denotaremos a bola fechada centrada em x₀ de raio r > 0 por B[x₀, r] ^def= {x ∈ X :kx−x₀k ≤ r}. Verifique que de fato B[x₀, r] é um conjunto fechado.

Um ponto x₀ ∈X é chamado deaderente ao conjuntoZ ⊂X se toda bola centrada em x₀ interceptaZ. Isso significa que há pontos deZ arbitrariamente próximos de x₀. O fecho de um subconjunto Z de X é conjunto de seus pontos aderentes e é denotado por Z. É fácil ver que Z é o menor fechado que contém Z.

Uma sequência (x_n)_n∈_N⊂X converge para x∈ X se, para todo ε >0 existe n₀ ∈N tal quen > n₀ ⇒ kx_n−xk< ε.Neste caso, dizemos que (x_n)_né uma sequência convergente em X e quexé limite de (x_n)_n. Algumas propriedades das sequências convergentes estão destacadas nos exerc´ıcios.

Vejamos agora algumas propriedades da topologia da norma. Lembramos que se Y e Z são espa¸cos normados, estaremos considerando em Y ×Z a topologia produto. Um conjunto é aberto em tal topologia se é reunião de conjuntos da forma U ×V onde U é aberto emY e V é aberto em Z.

Proposi¸cão 1.4. Seja X um espa¸co normado. Então, são cont´ınuas as aplica¸cões

• S :X×X →X dada porS(x, y) = x+y;

• M :K×X →X dada porM(λ, y) = λy;

• N :X →X dada por N(x) = kxk.

Demonstra¸c˜ao. Mostraremos primeiramente que a soma ´e cont´ınua. Seja (x0, y0)∈X×X.

Dadoε >0, tomando o aberto W =B(x0,^ε₂)×B(y0,₂^ε), teremos que (u, v)∈W ⇒ ku−x₀k< ε

2 e kv−y₀k< ε 2

⇒ k(u+v)−(x₀+y₀)k ≤ ku−x₀k+kv−y₀k< ε

⇒ kS(u, v)−S(x₀, y₀)k< ε,

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o que mostra que S ´e cont´ınua em (x₀, y₀).

Deixaremos a multiplica¸c˜ao como exerc´ıcio. Para mostrar que a norma ´e cont´ınua, observe que para quaisquer vetores x, y ∈X vale a desigualdade |kxk − kyk| ≤ kx−yk.

De fato x, y ∈X, kxk= kx−y+yk ≤ kx−yk+kyk e portanto kxk − kyk ≤ kx−yk.

Trocando y por x, obtemos kyk − kxk ≤ kx−yk. Logo, |kxk − kyk| ≤ kx−yk. Isso mostra que |N(x)−N(y)| ≤ kx−yk, sendoN uma contra¸c˜ao e portanto (uniformemente) cont´ınua.

A proposi¸cão anterior mostra que as opera¸cões de espa¸co vetorial são compat´ıveis com a topologia da norma. Vejamos uma consequência. Antes, lembramos da seguinte caracteriza¸cão computacionalmente mais simples: O fecho de Z é o conjunto de todos elementos x∈X para os quais existe uma sequência contida em Z convergindo para x.

Proposi¸cão 1.5. Seja X um espa¸co normado e S um subespa¸co vetorial de X. Então o fecho que S também é um subespa¸co vetorial de X

Demonstra¸cão. Claro que 0 ∈ S, pois 0 ∈ S e S ⊂ S. Sejam x, y ∈ S e λ ∈ K. Então existem sequências (x_n)_n,(y_n)_n ⊂ S com x_n → x e y_n → y. Pela continuidade das opera¸côes em X segue que x_n +λy_n → x +λy e como S é um subespa¸co de X, (x_n+λy_n)_n ⊂S. Logox+λy∈S.

1.3 Normas Equivalentes

Dizemos que duas normask · k e k · k₀ definidas em um espa¸co vetorial X são equivalentes se geram a mesma topologia em X. Ou seja, se um subconjunto de X é aberto segundo k · k se, e somente o for segundo k · k. Assim, os valores kxk e kxk₀ podem ser distintos mas todos os conceitos topológicos permanecem invariantes se trocarmos a norma k · k pela norma k · k₀ em X.

E facil verificar que duas normas s˜´ ao equivalentes se, e somente se, toda bola aberta centrada em x₀ segundo uma norma cont´em uma bola aberta centrada em x₀ segundo a outra. Destacaremos o seguinte crit´erio:

(5)

1.4. Espa¸cos de Banach 5

Proposi¸c˜ao 1.6. Se existirem constantes positivas a e b tais que akxk₀ ≤ kxk ≤ bkxk₀,

∀x∈X, ent˜ao k · k e k · k₀ s˜ao equivalentes.

Demonstra¸cão. Considere uma bola abertaB_k·k(x₀, r) segundo a normak·k. Então, sex∈ B_k·k₀(x₀,^r_b) entãokx−x₀k₀ < ^r_b e portantokx−x₀k ≤bkx−x₀k₀ < r. LogoB_k·k₀(x₀,^r_b)⊂ B_k·k(x₀, r). De maneira análoga mostramos queB_k·k(x₀, r·a)⊂B_k·k₀(x₀, r).

Exemplo 1.7. As normas de K^p do exemplo 1.2 s˜ao equivalentes, pois kxk_∞ ≤ kxk ≤ kxk₁ ≤pkxk_∞.

A rec´ıproca da proposi¸cão anterior é verdadeira. Veremos a demostra¸cão mais adiante quando estudarmos as aplica¸cões lineares.

1.4 Espa¸ cos de Banach

Lembramos que uma sequência (x_n)n∈N em um espa¸co métrico M é dita de Cauchy se, para todo ε > 0, exitir um n₀ ∈ N tal que d(x_n, x_m) < ε, se n, m > n₀. É imediato que toda sequência convergente é de Cauchy. Porém, nem toda sequência de Cauchy é converge. Um espa¸co metrico é dito completose toda sequência de Cauchy converge (em M, claro).

Defini¸cão 1.8. Um espa¸co normadoX é chamado de Espa¸co de Banach se toda sequência de Cauchy em X converge.

Assim, um espa¸co normado é um espa¸co de Banach se é um espa¸co métrico completo em rela¸cão à metrica induzida por sua norma. Vejamos agora alguns exemplos.

Exemplo 1.9. O espa¸cos normado Ré um espa¸co de Banach, pois sabemos do curso de análise real que toda sequência de Cauchy de números reais converge.

Exemplo 1.10. Vamos mostrar que R^p é um espa¸co de Banach. Seja (x_n)_n∈_N uma sequência de Cauchy em R^p. Note que aqui cada x_n é uma p-upla de números reais:

x_n = (x⁽¹⁾n , x⁽²⁾n , . . . , x^(p)n ). Como (x_n)_n∈_N ´e uma sequˆencia de Cauchy, para todo ε > 0, existe algum n₀ ∈N tal que

n, m > n₀ ⇒ kx_n−x_mk= q

(x⁽¹⁾n −x⁽¹⁾m )²+ (x⁽²⁾n −x⁽²⁾m )²+· · ·+ (x^(p)n −x^(p)m )² < ε.

(6)

Em particular, para cada i = 1,2, . . . , p, se n, m > n0 então |x⁽ⁱ⁾n −x⁽ⁱ⁾m| < ε. Isso nos mostra que cada sequência (x⁽ⁱ⁾n )n é uma sequência de Cauchy emR e portanto converge, pelo exemplo anterior. Defina então x⁽ⁱ⁾ = limnx⁽ⁱ⁾n e considere x = (x⁽¹⁾, x⁽²⁾, . . . , x^(p)).

Claro que x ∈ R^p e vamos mostrar que este é o limite da sequência (xn)n. Seja então ε >0. Comox⁽ⁱ⁾= limnx⁽ⁱ⁾n , para cadai= 1,2, . . . , p, existenital que|x⁽ⁱ⁾n −x⁽ⁱ⁾|² < ε²/p, se n > ni. Se k0 = max{ni :i= 1,2, . . . , p}, então

n > k₀ ⇒ kx_n−xk= q

(x⁽¹⁾n −x⁽¹⁾)²+ (x⁽²⁾n −x⁽²⁾)²+· · ·+ (x^(p)n −x^(p))² < ε, o que mostra que (x_n)_n converge para x em R^p.

Observa¸cão 1.11. Como espa¸cos normados,Cé identico aR². Segue então pelo exemplo anterior que Cé um espa¸co de Banach. Consequentemente, C^p também é um espa¸co de Banach.

Exemplo 1.12. Consideremos agora o espa¸coCb(A). Seja (fn)numa sequˆencia de Cauchy em Cb(A). Ent˜ao para todo ε >0, existe algumn0 ∈Ntal que

n, m > n₀ ⇒ kf_n−f_mk= sup

x∈A

|f_n(x)−f_m(x)|< ε.

Como no exemplo anterior, vemos que para cada x ∈ A a sequência (fn(x))n uma sequência de Cauchy em K e portanto converge (pela observa¸cão anterior) para algum α(x)∈K. Defina f :A→Kpondo f(x) =α(x). Observe que, se x∈A e n, m > n0

< ε+|f_m(x)−f(x)|.

Fazendo m→ ∞, obtemos que |f_n(x)−f(x)| ≤ε para qualquer x∈A. Ent˜ao, sup

x∈X

|f_n(x)−f(x)| ≤ε, sen > n₀ (∗)

Devemos mostrar que f est´a em C_b(A):

Mostremos inicialmente quef ´e cont´ınua. Sejam x0 ∈Ae ε >0. Usando (∗) com ^ε₃, obtemos n fixo tal que |fn(x)−f(x)| ≤ ^ε₃, para qualquer x∈X. Ora, fn est´a em Cb(A).

Ent˜ao, existe um aberto Vε contendo x0 tal que |fn(x)−fn(x0)| < ^ε₃, se x ∈ Vε. Assim, para cada x∈Vε,

|f(x)−f(x₀)| ≤ |f(x)−f_n(x)|+|f_n(x)−f_n(x₀)|+|f_n(x₀)−f(x₀)| ≤ ε 3 +ε

3 +ε 3 =ε,

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o que mostra que f ´e cont´ınua. Claramente f ´e limitada, pois usando (∗) com ε = 1, obtemosn fixo tal que|f_n(x)−f(x)| ≤1, para qualquer x∈A, e portanto

|f(x)| ≤ |f(x)−f_n(x)|+|f_n(x)| ≤1 +kf_nk.

Finalmente, ´e imediato por (∗) que (f_n)_n converge para f em C_b(A). Isso completa a demonstra¸c˜ao.

O exemplo anterior ´e bem gen´erico. A seguir daremos dois exemplos particulares importantes baseados no anterior.

Exemplo 1.13. (O espa¸co `∞) O espa¸co `∞ ´e definido fazendo A = N no exemplo anterior. Assim, `∞

def= C_b(N). Note que como toda fun¸c˜ao f :N→K ´e cont´ınua (pois N

é discreto), segue que`∞é o espa¸co de Banach das sequências limitadas de escalares. Se x= (x_n)_n∈`∞, então kxk= sup_n∈_N|x_n|.

Exemplo 1.14. (Espa¸cos C(K)) Seja agora A = K um espa¸co topol´ogico compacto.

Então toda fun¸cão continua em K é limitada. Denotamos então o espa¸coCb(K) simplesmente por C(K), o espa¸co de Banach das fun¸cões cont´ınuas no compacto K.

Observa¸cão 1.15. Veremos adiante que `∞ pode ser visto como um espa¸co da forma C(K), onde K é a compactifica¸cão de Stone- ˘Cech de N (N não é compacto!!).

Vejamos agora um exemplo de espa¸co normado n˜ao completo.

Exemplo 1.16. (Um espa¸co normado que não é Banach) Seja X = c₀₀ o espa¸co das sequências quase nulas. Ou seja, uma sequência pertence a c₀₀ se possui apenas zeros a partir de um certo ´ındice. Mostraremos que c₀₀ não é um espa¸co de Banach. Para tanto, devemos exibir uma sequência de Cauchy em c₀₀ que não converge.

Considere a sequˆencia (de sequˆencias quase nulas) (x_n)_n definida por x₁ = (1,0,0. . . ,0,0, . . .),

x₂ = (1,1

2,0. . . ,0,0, . . .) ...

x_n = (1,1

2,0, . . . , 1

n,0, . . .) ...

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Note que (x_n)_n ´e de Cauchy, pois dado ε > 0, existe n₀ ∈ N, n₀ > ¹_ε. Assim, se n > m > n₀,

kx_n−x_mk=

(0,0. . . , 1

m+ 1, 1

m+ 2, . . . , 1

n,0,0, . . .)

= 1

m+ 1 < 1 n₀ < ε.

Porém, (x_n)_nnão converge emc₀₀. De fato, suponha por absurdo quex= (x⁽¹⁾, x⁽²⁾, . . . ,)∈ c₀₀ seja o limite de (x_n)_n. Então existe um k ∈ N tal que x⁽ⁱ⁾ = 0, se i ≥ k. Assim, se n ≥k,

kx_n−xk= sup

n∈N

|x_n−x| ≥ 1 k, contradizendo o fato de (x_n)_n convergir para x.

Note quec₀₀é um subespa¸co (vetorial e normado) de`_∞ que não é completo, apesar deste ser. A proposi¸cão seguinte nos dá um critério para decidir se um subrespa¸co S de X é Banach. Quando nos referirmos a subespa¸co significará sempre que a norma de S é a induzida por X.

Proposi¸cão 1.17. Todo subespa¸co fechado de um espa¸co de Banach é Banach. Recipro- camente, todo subespa¸co de Banach de um espa¸co normado é fechado.

Demonstra¸cão. Suponha que S seja fechado em X Banach. Tomamos um sequência de Cauchy (x_n)_n ⊂S. Mas (x_n)_ntambém é uma sequência de Cauchy emX que é completo.

Logo, (x_n)_n converge para algumx∈X. Isso implica que x∈S. Sendo¯ S fechado, temos quex∈S. Mostramos então que toda sequência de Cauchy em Sconverge (emS). Logo, S é completo.

Reciprocamente, sejaScompleto no normadoX. Considerex∈S. Ent˜¯ ao existe uma sequência (x_n)_n⊂S que converge para X. Ora, toda sequência convergente é de Cauchy.

Assim, (x_n)_n é uma sequência de Cauchy em S que é completo e portanto converge para algum y ∈ S ⊂ X. Pela unicidade do limite em X (todo espa¸co normado é Hausdorff), temos que x=y, e portantox∈S, sendo este fechado.

A proposi¸cão anterior é útil para mostrar que determinados espa¸cos normados são Banach. Vejamos alguns exemplos

Exemplo 1.18. SejaAum espa¸co topol´ogico Hausdorff e considere C₀(A) o subconjunto das fun¸c˜oes f ∈ C_b(A) tais que para cada ε >0, o conjuntoV_ε(f)^def={x∈A:|f(x)| ≥ε}

´

e compacto. Vamos mostrar que C₀(A) é um espa¸co de Banach. Como uma aplica¸cão da proposi¸cão anterior, mostraremos que é um subespa¸co fechado em C_b(A).

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Note que C₀(A) é um subespa¸co vetorial de C_b(A). De fato, a aplica¸cão nula está em C₀(A) pois V_ε(0) = {x ∈ A : 0 ≥ ε} = ∅. Além disso, se λ 6= 0 é um escalar e f ∈ C₀(A), então V_ε(λf) = {x ∈ A : |λf(x)| ≥ ε} = {x ∈ A : |f(x)| ≥ _|λ|^ε } = V ^ε

|λ|(f), sendo compacto. Finalmente, sejam f, g ∈ C₀(A). Como V_ε(f +g) ⊂ V_ε/2(f)∪V_ε/2(g) segue que V_ε(f +g) é compacto, pois é fechado (f e g são cont´ınuas) e está contido em um compacto. Logo f +g ∈ C₀(A).

Mostremos agora que C₀(A). Seja f ∈ C₀(A) e tome uma sequência f_n ⊂ C₀(A) convergindo para f. Temos que mostrar que para todo ε >0, V_ε(f) é compacto. Sejam então ε > 0 arbitrário e x ∈ V_ε(f). Então |f(x)| ≥ ε. Como f_n converge para f, existe N ∈N tal que kf_N −fk< ε/2. Assim

ε≤ |f(x)| ≤ |f(x)−f_N(x)|+|f_N(x)| ≤ kf_N −fk+|f_N(x)|< ε

2+|f_N(x)|, ou seja, |f_N(x)| ≥ ^ε₂, o que mostra que x∈ V^ε

2(f_N). Logo, V_ε(f)⊂V^ε

2(f_N) e este ´ultimo

é compacto. Isso mostra que V_ε(f) também é compacto (pois é um fechado contido em um compacto) e conclui a demonstra¸cão.

Vejamos agora um importante caso particular do exemplo anterior.

Exemplo 1.19. Suponha que A=Ne considere C₀(N). Note que

(x_n)∈ C₀(N) ⇔ {n ∈N:|x_n| ≥ε}´e compacto,∀ε >0

⇔ {n ∈N:|xn| ≥ε}´e finito,∀ε >0

⇔ x_n →0.

Logo

c₀ ^def= C₀(N) = {(x_n)∈`∞:x_n →0}.

Lembrando que a norma ´e a induzida por `∞.

Finalizamos esta parte com a generaliza¸c˜ao de um resultado conhecido deR. Dizemos que uma s´erie X

k∈N

x_k em um espa¸co normado X é absolutamente convergente se a série numérica X

k∈N

kx_kk for convergente.

Teorema 1.20. Seja X um espa¸co normado. Então X é Banach se, e somente se, toda série de elementos de X absolutamente convergente é convergente.

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Demonstra¸c˜ao. Seja X Banach. Tomamos uma s´erie X

k∈N

x_k absolutamente convergente.

Temos que mostrar que a sequˆencia de suas somas parciais (s_n)_nconverge. ComoX

k∈N

kx_kk converge ela é uma série de Cauchy. Então, dado ε >0 existe n₀ ∈ N tal que m > n ≥ n₀ ⇒

m

X

k=n+1

kx_kk. Assim, se m > n≥n₀,

ks_m−s_nk=k

m

X

k=n+1

x_kk ≤

m

X

k=n+1

kx_kk< ε.

Logo, (s_n)_n é uma sequência de Cauchy emX que é completo. Logo, (s_n)_n converge.

Reciprocamente, Considere uma sequência (x_n)_nde Cauchy emX. Então, paraj = 1, existe n₁ ∈N tal que kx_m−x_nk<2⁻¹, se m, n≥ n₁. Para j = 2 existen₂ > n₁ tal que kx_m −x_nk < 2⁻², se m, n ≥ n₂. Prossegindo desta forma, construimos uma sequência crescente de ´ındices (n_j) tal que kx_m −x_nk < 2^−j, se m, n ≥ n_j. Definimos y₀ = x_n₁ e y_j =x_n_j+1−x_n_j, para j ∈N. Vemos então que

∞

X

j=0

ky_jk<ky₀k+

∞

X

j=1

2^−j <∞,

o que mostra que

∞

X

j=0

y_j ´e absolutamente convergente em X e portanto converge, por hip´otese, para algumy ∈X. Mas lim

k x_n_k = lim

k k−1

X

j=0

y_j =y. Vemos então que a sequência de Cauchy (xn)n possui um subsequência convergente. Logo, (xn)n é convergente.

1.5 Os Espa¸ cos `

_p

e L

_p

Defini¸cão 1.21. O espa¸co vetorial das sequências de escalares absolutamentep-somáveis

´

e denotado por `_p. Ou seja,

`p = n

x= (xk)k∈N∈K^N :X

k∈N

|xk|^p <∞o .

Tal espa¸co ´e munido de uma norma natural, dada por kxk_p = P

k∈N|x_k|^p_p¹ .

(11)

1.5. Os Espa¸cos `_p e L_p 11

Primeiramente, temos que verificar que `_p ´e de fato um espa¸co vetorial e que k · k_p

é uma norma. Se λ é um escalar qualquer e x ∈ `_p, então kλxk_p = P

k∈N|λx_k|^p¹_p

=

|λ| P

k∈N|x_k|^p¹_p

=λkxk_p. Isso mostra que a opera¸cão de multiplica¸cão por escalar está bem definida em `_p e que kλxk₁ =λkxk₁. É imediato que a sequência nula pertence a `_p e que kxk_p = 0 ⇒x= 0.

Quandop= 1, é fácil ver que`₁ a soma em`₁é bem definida e que vale a desigualdade triangular: Sejam x, y ∈`₁. Então, para todo n∈N,

n

X

k=1

|x_k+y_k| ≤

n

X

k=1

|x_k|+|y_k| ≤

∞

X

k=1

|x_k|+

∞

X

k=1

|y_k|<∞.

Assim, P∞

k=1|xk + yk| ≤ P∞

k=1|xk| + P∞

k=1|yk|. Isso mostra que x + y ∈ `1 e que kx+yk1 ≤ kxk1+kyk1.

Por´em, para mostrar o mesmo quando 1 < p <∞, precisamos de alguns resultados preliminares.

Lema 1.22. Sejamp, q >1, tais que ¹_p+¹_q = 1 (dizemos queq ´e conjugado dep). Ent˜ao ab≤ a^p

p + b^q

q , ∀a, b≥0.

Demonstra¸cão. Fixe b e considere a fun¸cão ϕ(a) = â_p^p + ^b_q^q −ab. É um exerc´ıcio simples de Cálculo 1 verificar que o m´ınimo absoluto de ϕocorre ema=b^p−1¹ . Assim, para todo a≥0 (note que _p−1^p =q= ^q+p_p ),

ϕ(a)≥ϕ(b^p−1¹ ) = b^p−1^p p + b^q

q −b^p−1¹ b = b^q p + b^q

q −b^q+p^p = b^q p +b^q

q −b^q = 0, e portanto ^a_p^p +^b_q^q ≥ab.

Teorema 1.23. (Desigualdade de H¨older) Sejamp, q >1, tais que ¹_p+¹_q = 1. Ent˜ao para quaisquer a_k, b_k ∈K (k = 1, . . . , n), temos

n

X

k=1

|a_kb_k| ≤

n

X

k=1

|a_k|^p

!¹_p

·

n

X

k=1

|b_k|^q

!¹_q .

Demonstra¸cão. Se todos a_k’s ou todos b_k’s são nulos, então a desigualdade é trivial.

Suponha ent˜ao que nem todos a_k’s e nem todos b_k’s s˜ao nulos. Para k = 1, . . . , n de-

(12)

fina

A_k= a_k

n

X

k=1

|a_k|^p

!¹_p

e B_k = b_k

n

X

k=1

|b_k|^q

!¹_q .

Aplicando o lema anterior para cada A_k e B_k, obtemos

n

X

k=1

A_kB_k≤ 1 p

=1

z }| {

n

X

k=1

A^p_k+ 1 q

=1

z }| {

n

X

k=1

B^q_k= 1 p+ 1

q = 1, e portanto

n

X

k=1

|a_kb_k|=

n

X

k=1

A_kB_k

!

·

n

X

k=1

|a_k|^p

!¹_p

·

n

X

k=1

|b_k|^q

!¹_q

≤

n

X

k=1

|a_k|^p

!¹_p

·

n

X

k=1

|b_k|^q

!¹_q .

Teorema 1.24. (Desigualdade de Minkowski) Se p∈ [1,∞[ e a_k, b_k ∈K (k = 1, . . . , n), ent˜ao

n

X

k=1

|a_k+b_k|^p

!_p¹

≤

n

X

k=1

|a_k|^p

!¹_p

·

n

X

k=1

|b_k|^p

!¹_p .

Demonstra¸cão. A desigualdade para p= 1 já foi mostrada no in´ıcio desta se¸cão. Suponha então que p > 1 e seja q seu conjugado. Podemos assumir que ak, bk ≥ 0. Por Hölder obtemos que (Note que (p−1)q=p)

n

X

k=1

(a_k+b_k)^p

!

=

n

X

k=1

(a_k+b_k)^p−1(a_k+b_k)

=

n

X

k=1

(a_k+b_k)^p−1a_k+

n

X

k=1

(a_k+b_k)^p−1b_k

(H¨older)

≤

n

X

k=1

(ak+bk)^(p−1)q

!¹_q

·

n

X

k=1

|ak|^p

!¹_p

+

n

X

k=1

(a_k+b_k)^(p−1)q

!¹_q

·

n

X

k=1

|b_k|^p

!¹_p

=

n

X

k=1

(a_k+b_k)^p

!¹_q

·





n

X

k=1

|a_k|^p

!¹_p +

n

X

k=1

|b_k|^p

!¹_p

,

(13)

1.5. Os Espa¸cos `_p e L_p 13

e portanto

n

X

k=1

(a_k+b_k)^p

!^q−1_q

≤

n

X

k=1

|a_k|^p

!¹_p +

n

X

k=1

|b_k|^p

!¹_p

. Como ^q−1_q = ¹_p, obtemos a desigualdade.

Vamos mostrar agora que a soma em `_p ´e bem definida a desigualdade triangular.

Sejam ent˜aox, y ∈`_p. Ent˜ao, por Minkowski, para todon ∈N,

n

X

k=1

|x_k+y_k|^p

!¹_p

≤

n

X

k=1

|x_k|^p

!¹_p +

n

X

k=1

|y_k|^p

!¹_p

≤

∞

X

k=1

|x_k|^p

!¹_p +

∞

X

k=1

|y_k|^p

!_p¹

<∞.

Assim,

∞

X

k=1

|x_k+y_k|^p

!¹_p

≤ kxk_p+kyk_p, o que mostra que x+y∈`_p e que kx+yk_p ≤ kxk_p+kyk_p.

Se p = ∞, o espa¸co `∞ foi definido em 1.13 e é um espa¸co de Banach. O proximo teorema diz que os outros`p’s também são completos.

Teorema 1.25. Seja 1≤p≤ ∞, ent˜ao `_p ´e um espa¸co de Banach.

Demonstra¸cão. Se p = ∞ já sabemos. Suponha então que 1 ≤ p < ∞. Seja (xn)n∈N

uma sequência de Cauchy em `p. Note que aqui cada xn é uma sequência de escalares xn = (x⁽¹⁾n , x⁽²⁾n , . . .) ∈ `p. Como (xn)n∈N é uma sequência de Cauchy, para todo ε > 0, existe algum n0 ∈N tal que

n, m > n₀ ⇒ kx_n−x_mk_p =

∞

X

i=1

|x⁽ⁱ⁾_n −x⁽ⁱ⁾_m|^p

!¹_p

< ε. (∗)

Em particular, para cada i∈ N, sen, m > n0 então |x⁽ⁱ⁾n −x⁽ⁱ⁾m|< ε. Isso nos mostra que cada sequência (x⁽ⁱ⁾n )né uma sequência de Cauchy emKe portanto converge, por este ser completo.

Defina entãox⁽ⁱ⁾= lim_nx⁽ⁱ⁾n e considerex= (x⁽¹⁾, x⁽²⁾, . . .).Vamos mostrar quex∈`_p. Como a sequência (x_n)_n é de Cauchy, então é limitada (Exec´ıcio). Logo, existe M > 0 tal que

∞

X

i=1

|x⁽ⁱ⁾_n |^p

!¹_p

≤ M, para todo n ∈ N. Ent˜ao

k

X

i=1

|x⁽ⁱ⁾_n |^p

!¹_p

≤ M, para todo

n, k ∈ N. Fazendo n → ∞, obtemos que

k

X

i=1

|x⁽ⁱ⁾|^p

!¹_p

≤ M, para todo k ∈ N. Ent˜ao

∞

X

i=1

|x⁽ⁱ⁾|^p

!¹_p

≤M, o que mostra que x∈`_p.

(14)

Resta mostrar que (x_n)_n converge para x (na norma de `_p). Dado ε > 0, fazendo m → ∞ em (∗), obtemos que

k

X

i=1

|x⁽ⁱ⁾_n −x⁽ⁱ⁾|^p

!_p¹

≤ ε, para n > n₀ e k ∈ N. Ent˜ao,

kxn−xkp =

∞

X

i=1

|x⁽ⁱ⁾_n −x⁽ⁱ⁾|^p

!¹_p

≤ε, se n > n0.

Defini¸cão 1.26. • Seja 1 ≤ p < ∞. Denotamos por L_p[0,1] o espa¸co vetorial das classes de equivalências das fun¸cões escalares (Lesbesgue)-mensuráveis tais que R

[0,1]|f(t)|^pdt < ∞ (Aqui duas fun¸cões estão na mesma classe se são iguais quase sempre), munido de uma norma natural

kfk_p = Z

[0,1]

|f(t)|^pdt ¹_p

.

• Denotamos por L∞[0,1] o espa¸co vetorial das classes de equivalências das fun¸cões escalares (Lesbesgue)-mensuráveis que são limitadas quase sempre munido da norma

kfk∞= inf{α >0 :µ{t∈[0,1] :f(t)> α}= 0}, onde µ denota a medida de Lesbeguem em [0,1].

Os espa¸co acima definidos s˜ao espa¸cos de Banach. A demonstra¸c˜ao pode ser encon- trada em qualquer livro sobre a medida de Lesbegue.

1.6 Espa¸ cos Separ´ aveis

SejaX um espa¸co métrico e suponha queD⊂A⊂X. Dizemos queDédensoem A se toda bola aberta centrada em elementos de A contém algum elemento de D. Observe que isso significa que todo elemento de A é aderente a D. Então, D é denso em A se D ⊃ A. É fácil ver que se D é denso em A e A é denso em X, então D é denso em X.

Também é imediato queA é denso em ¯A. Verifique como exerc´ıcio.

Um subconjunto A ⊂ X é dito separável se possui um conjunto enumerável denso.

Por exemplo, sabemos que um intervalo da reta é separável, pois o conjunto dos racionais deste intervalo é enumerável e denso. Em particular a reta é um espa¸co separável.

Estaremos interessados em saber quando um espa¸co normado é separável. O seguinte critério é útil para decidir. Lembramos que seAé um subconjunto deX, então [A] denota o subespa¸co gerado por A (no sentido da Álgebra Linear).

(15)

1.6. Espa¸cos Separ´aveis 15

Proposi¸c˜ao 1.27. Seja X um espa¸co normado sobre K.

(a) SeX possui um subconjunto Aenumerável (podendo ser finito) tal queX = [A], então X é separável.

(b) SeX possui um subconjuntoB não enumerável tal que, para algumr >0, kx−yk ≥r, para qualquer par de elementos distintos x, y de B, então X não pode ser separável.

Demonstra¸cão. (a) Seja S = [A]. Um elemento de S é portanto uma combina¸cão linear (finita!!) de elementos deA. SejaDo subconjunto deSformado apenas pelas combina¸cões lineares com coeficientes racionais (Se K = C, coeficientes com parte real e imaginária racionais). Então D tem a cardinalinada das fun¸cões finitas de N em Q e portanto é enumerável (aqui é importante que seja combina¸cão finita). É fácil ver que Dé denso em em S. Claramente, S é denso em S= [A] =X. Logo,D é denso em X, sendo separável.

(b) Seja D um conjunto denso qualquer em X. As bolas centradas em elementos de B e raio r/2 são disjuntas. Cada uma dessas bolas deve conter pelo menos um elemento de D. Como há uma quantidade não enumerável dessas bolas, segue que D não pode ser enumerável. Logo, X não possui conjunto enumerável denso.

Vamos usar a proposi¸cão anterior para dar exemplo de espa¸cos separáveis e não separáveis.

Exemplo 1.28. c₀ é um espa¸co separável. De fato, considere a sequência unitária canônica e_n = (0, . . . ,0,

n−esima

z}|{1 ,0, . . .). Vamos mostrar que c₀ = [e_n :n∈N] e portanto c₀ será separável pela parte (a) da proposi¸cão anterior. Seja então x = (x_n) ∈ c₀ e ε > 0.

Então, existe n₀ tal que |x_n| < ε, se n > n₀. A sequência x_ε = (x₁, x₂, . . . , x_n₀,0,0, . . .) está em [e_n :n∈N] ekx−x_εk< ε.Como ε era arbitrário, segue que x∈[e_n:n ∈N].

Exemplo 1.29. `∞ não é separável. Considere, para cada subconjunto N ⊂ N a sequência caracter´ıstica de N. Ou seja, a sequência x = xN = (xn), onde xn = 1 se n ∈N exn = 0 se n /∈N. Claro que cada uma destas sequências está em `∞. Tomamos o conjunto B ={xN : N ⊂ N} ⊂ `∞. Então a cardinalidade de B é a das partes de N e portanto não enumerável. Além disso, kxN −xN⁰k= 1, seN⁰ 6=N. Então, pela parte (b) da proposi¸cão anterior, `∞ não é separável.

Exemplo 1.30. Qualquer espa¸co normado de dimensão finita é separável, pois é gerado por um conjunto finito. (Que conjunto é esse?)

Exemplo 1.31. Pelo Teorema de Aproxima¸cão de Weierstrass, os polinômios são densos emC[0,1] (Veja por exemplo o livro do Elon de Espa¸cos Métricos). Então, [tⁿ:n= 0,1, . . .] = C[0,1], o que mostra que C[0,1]é sepárável.

(16)

1.7 Aplica¸ c˜ oes Lineares

Estaremos agora tratando das aplica¸cões lineares entre espa¸cos normados. Os as- pectos algébricos destas aplica¸cões são estudados no curso de Álgebra Linear. Como um espa¸co normado também possui uma estrutura topológica, é natural estudá-las também no que diz respeito à continuidade.

SeX é um espa¸co normado denotaremos por B_X a bola fechada de raio 1 centrada na origem. Ou seja B_X = {x ∈ X : kxk ≤ 1}. A esfera unitária de X é o conjunto S_X ={x∈X :kxk= 1}. Come¸camos com o seguinte resultado.

Proposi¸cão 1.32. Sejam x e Y espa¸cos normados e T : X → Y linear. Então são equivalentes:

(a) T ´e cont´ınua;

(b) T ´e cont´ınua na origem;

(c) existe uma constante M > 0 tal que kT(x)k ≤M para qualquer x∈B_X. (d) existe uma constante M > 0 tal que kT(x)k ≤Mkxk para qualquer x∈X.

Demonstra¸c˜ao. (a) ⇒ (b): E evidente.´

(b) ⇒ (c): Como T ´e cont´ınua na origem, para ε = 1, existe δ > 0 tal que, para qualquer x∈X, com kxk< δ, temos que kT(x)k<1. Se x ∈B_X, temos que k^δx₂ k< δ e portanto kT ^δx₂

k<1. Ent˜ao, pela linearidade de T, kT(x)k< ²_δ.

(c) ⇒ (d): Se x ∈ X \ {0}, temos que _kxk^x tem norma 1 e portanto T

x kxk

≤ M. Então, kT(x)k ≤ Mkxk. Se x = 0, temos que T(x) = 0 e a desigualdade também é satisfeita.

(d) ⇒ (a): Se existe M > 0 tal que kT(x)k ≤ Mkxk para qualquer x ∈ X, ent˜ao dados u, v ∈ X temos que kT(u)−T(v)k=kT(u−v)k ≤ Mku−vk. Isso mostra que T

´

e lipschitziana e portanto (uniformemente) cont´ınua.

O item (c) nos mostra que aplica¸cões lineares cont´ınuas são limitadas sobre B_X. É por esse motivo que aplica¸cão lineares cont´ınuas são também chamadas de limitadas.

(17)

1.7. Aplica¸c˜oes Lineares 17

Antes do próximo exemplo, salientamos que se k · k e k · k₀ são normas equivalentes em X então uma fun¸cão f definida emX será cont´ınua segundok · k se, e somente se, o for segundo k · k₀.

Exemplo 1.33. Qualquer aplica¸cão linear definida em K^p é cont´ınua. Vamos demonstar este fato usando a norma da soma de K^p. Como sabemos, ela é equivalente à norma euclidiana e mais simples de se trabalhar. Seja {e₁, e₂, . . . , e_p} a base canônica de K^p e considere uma aplica¸cão linear T :K^p →Y linear. Então

kT(x₁, . . . , x_p)k = kx₁T(e₁) +· · ·+x_pT(e_p)k

≤ |x₁|kT(e₁)k+· · ·+|x_p|kT(e_p)k

≤ max

i=1,...,pkT(e_i)k ·(|x₁|+· · ·+|x_p|)

= Mk(x₁, . . . , x_p)k₁,

onde M = maxi=1,...,pkT(ei)k. Logo T ´e cont´ınua pela proposi¸c˜ao anterior.

Exemplo 1.34. Considere o espa¸co vetorial P(R) de todos os polinômios reais munido da norma kpk = sup_t∈[0,1]|p(x)|. Então o operador deriva¸cão D : P(R) → P(R) não é cont´ınuo, pois para cadan ∈No polinômio tⁿ está em BP(R) mas sua derivadantⁿ⁻¹ tem norma n. Como n pode ser suficientemente grande, segue que é imposs´ıvel encontrar M como na proposi¸cão anterior.

Umisomorfismo entre espa¸cos normados, ou simplesmente isomorfismo, é uma aplica¸cões linear cont´ınua invers´ıvel e com inversa cont´ınua. Ou seja, é um isomorfismo no sentido da Algebra Linear e um homeomorfismo. Se h´´ a um isomorfismo entre X eY, então diremos que X e Y sãoisomorfos e escreveremos X ∼=Y.

Lembramos que inversa de aplica¸cão linear é sempre linear, mas nem sempre é cont´ınua, como mostra o exemplo seguinte.

Exemplo 1.35. Considere X = c₀₀ e o operador linear T : c₀₀ → c₀₀ dado por T(x₁, x₂, x₃, . . .) = (x₁,^x₂²,^x₃³, . . .). Temos que, se x= (x₁, x₂, x₃, . . .)∈c₀₀,

kT(x)k=k(x₁,x₂ 2 ,x₃

3 , . . .)k= sup

n∈N

{|x₁|,|x₂ 2|,|x₃

3 |, . . .} ≤sup

n∈N

{|x₁|,|x₂|,|x₃|, . . .}=kxk.

Logo, T é cont´ınua pelo item (c) da proposi¸cão. Porém, a inversa de T é dada por T⁻¹(x₁, x₂, x₃, . . .) = (x₁,2x₂,3x₃, . . .). Para cada n ∈ N, os vetores e_n = (0, . . . ,0,

n−esima

z}|{1 ,0, . . . ,) têm norma 1 mas kT(e_n)k = n. Logo, T⁻¹ não satisfaz o item (c) da proposi¸cão.

(18)

Observe que no exemplo anterior o espa¸co normado em questão não era completo, como vimos em 1.16. Isso não foi por acaso. Veremos mais para frente que se os espa¸cos forem completos, então a inversa é sempre cont´ınua. Será uma consequência do Teorema da Aplica¸cão Aberta.

O seguinte critério é tão simples quanto útil.

Proposi¸cão 1.36. Uma bije¸cão linear T :X → Y é um isomorfismo, se, e somente se, existem constantes positivas a e b tais que akxk ≤ kT(x)k ≤bkxk, ∀x∈X.

Demonstra¸cão. De fato, a segunda desigualdade nos diz que T é cont´ınua. A primeira que T⁻¹ é cont´ınua, pois dado y ∈ Y, existe x ∈ X tal que T(x) = y e portando kT⁻¹(y)k=kxk ≤a⁻¹kT(x)k=a⁻¹kyk.

Corolário 1.37. Para que duas normas k · k e k · k₀ sejam equivalentes é necessário e suficiente que existam constantes positivas a e b tais que akxk₀ ≤ kxk ≤bkxk₀, ∀x∈X.

Demonstra¸cão. Que a condi¸cão acima é suficiente foi visto na proposi¸cão 1.6. Para mostrar que é necessária, basta observar que as normas serem equivalente significa que a identidade de X,k · k

em X,k · k₀

´e um isomorfismo.

Teorema 1.38. Seja T :X →Y um isomorfismo entre espa¸cos normados. Então, se X for de Banach, então Y também será.

Demonstra¸cão. Seja (y_n)_numa sequência de Cauchy emY. Temos que mostrar que (y_n)_n converge. Seja então ε >0. Para cada n, y_n =T(x_n), comx_n ∈X. Então,

kx_n−x_mk=kT⁻¹(y_n)−T⁻¹(y_m)k=kT⁻¹(y_n−y_m)k ≤Mky_n−y_mk,

poisT⁻¹ ´e cont´ınua. Logo, como (y_n)_n´e de Cauchy existen₀ ∈Ntal que ky_n−y_mk< _M^ε , se n, m > n₀. Assim, se n, m > n₀, temos que kx_n−x_mk ≤ Mky_n−y_mk < M_M^ε = ε.

Vemos que (x_n)_n é uma sequência de Cauchy em X e portanto converge para algum x∈ X, já queX é completo. Pela continuidade de T,y_n=T(x_n)→T(x), o que mostra que (y_n)_n converge.

Observa¸cão 1.39. O teorema anterior nos diz que ‘ser Banach’ é preservado por isomorfismos. Talvez seja interessante observar que em espa¸cos métrico em geral nem sempre ser completo é preservado por homeomorfismos. Por exemplo, Ne {1/n :n ∈N}são homeo- morfos pois ambos são enumeráveis e discretos. Porém, Né completo e{1/n:n ∈N}não (conven¸ca-se disso). O que acontece é que os isomorfismos são sempre homeomorfismos uniformes, pela proposi¸cão 1.32. Estes sempre preservam a completude.

(19)

1.7. Aplica¸c˜oes Lineares 19

Como uma aplica¸cão do teorema anterior, vamos mostrar que todo espa¸co de di- mensão finita é de Banach.

Proposi¸cão 1.40. Seja V um espa¸co normado sobre K de dimensão finita p. Então V é isomorfo aK^p. Consequentemente, todo espa¸co normado de dimensão finita é de Banach.

Demonstra¸cão. Tomamos uma base{v₁, v₂, . . . , v_p}deV. Definimos a aplica¸cãoT :K^p → V pondo T(x₁, . . . , x_p) = x₁v₁+· · ·+x_pv_p. Pela defini¸cão de base, T é um isomorfismo algébrico. Pelo exemplo 1.33, T é cont´ınua. Resta mostrar que T⁻¹ é cont´ınua. S_K^p é um subconjunto limitado e fechado de K^p e portanto compacto. Então a fun¸cão cont´ınua x7→ kT(u)kadmite m´ınimoM emS_K^p. Mas comoT é injetora, segue queT(u)6= 0, para todo u∈S_K^p e portanto kT(u)k ≥M >0. Assim, se x∈ K^p\ {0},kT(_kxk^x )k ≥ M >0 e portanto kT(x)k ≥Mkxk. Isso mostra que T é um isomorfismo, pela proposi¸cão 1.36.

Que V ´e um espa¸co de Banach segue imediatamente do teorema anterior.

Corolário 1.41. Se X é um espa¸co normado, então todo subespa¸co V ⊂X de dimensão finita é fechado.

Demonstra¸cão. SeV tem dimesão finita, V é Banach e portanto fechado pela proposi¸cão 1.17.

Corolário 1.42. Toda aplica¸cão linear definida em um espa¸co normado de dimensão finita é cont´ınua.

Demonstra¸cão. Seja T : V → Y, V de dimensão finita. Tomamos S : K^p → V isomorfismo. Então T ◦ S é cont´ınua pois está definida em K^p (exemplo 1.33). Mas T = (T ◦S)◦S⁻¹ e portanto é cont´ınua.

Corolário 1.43. Quaisquer duas normas definida em um espa¸co vetorial de dimensão finita são equivalentes.

Demonstra¸cão. Se V tem dimensão finita então a aplica¸cão identidade de V,k · k em V,k · k0

´e sempre isomorfismo. Logo V,k · k

e V,k · k0

tˆem a mesma topologia.

(20)

1.8 O espa¸ co L(X ; Y )

Sejam X e Y espa¸cos normados. Denotaremos por L(X;Y) o espa¸co vetorial das aplica¸cões lineares cont´ınuas(ou limitadas) de X em Y. As opera¸cões de espa¸co vetorial em L(X;Y) são as usuais.

Em particular, se Y = K denotaremos L(X;K) por X^∗. Ou seja, X^∗ é o espa¸co de todos os funcionais lineares cont´ınuos definidos em X. Note que X^∗ é sempre Banach, pois K é completo. Para evitar confusão, o espa¸co vetorial dos funcionais lineares em X será chamado de dual algébrico de X e o denotaremos por X^#. Como vimos, se V tem dimensão finita, então todo funcional linear é cont´ınuo e portanto V^∗ = V^#. Porém, se X tem dimensão infinita X^# sempre possui funcionais descont´ınuos. Veja os exerc´ıcios.

Considere a fun¸c˜ao T ∈ L(X;Y) 7→ kTk = sup_x∈B

XkT(x)k. Pela proposi¸c˜ao 1.32 temos que sup_x∈B

XkT(x)k é finito e portanto kTk está bem definida. Se kTk = 0, kT(x)k = 0 para todo x em B_X e portanto T é identicamente nula em B_X. Pela linearidade, T é a aplica¸cão nula. De maneira indêntica ao exemplo 1.3 mostramos que kλTk=|λ|kTk ekT +Sk ≤ kTk+kSk. Vemos então que kTk= sup_x∈B

XkT(x)k´e uma norma em L(X;Y).

Note que se T ∈ L(X;Y) então é imediato pela linearidade de T e pela defini¸cão de supremo que kT(x)k ≤ kTkkxk, para todo x ∈ X. O próximo teorema é sobre a completude de L(X;Y).

Teorema 1.44. O espa¸co normado L(X;Y) ´e um espa¸co de Banach, se Y o for.

Demonstra¸cão. Seja (T_n)_numa sequência de Cauchy emL(X;Y). Então para todoε >0, existe algum n₀ ∈N tal que

n, m > n₀ ⇒ kT_n−T_mk= sup

x∈B_X

k(T_n−T_m)(x)k< ε. (∗)

Assim, para cada x ∈ X, kT_n(x)−T_m(x)k = k(T_n−T_m)(x)k ≤ kT_n−T_mkkxk. Então, para cada x fixado temos por (∗) que a sequência (T_n(x))_n uma sequência de Cauchy em Y e portanto converge (pois Y é Banach). Defina T :X → Y pondo T(x) = lim

n→∞T_n(x).

Observe que, se x∈B_X e n, m > n₀

kT_n(x)−T(x)k ≤ kT_n(x)−T_m(x)k+kT_m(x)−T(x)k ≤ kT_n−T_mk+kT_m(x)−T(x)k

< ε+kT_m(x)−T(x)k.

(21)

1.8. O espa¸co L(X;Y) 21

Fazendom → ∞, obtemos quekT_n(x)−T(x)k ≤ε para qualquer x∈B_X. Ent˜ao, sup

x∈BX

kT_n(x)−T(x)k ≤ε, sen > n₀ (∗∗) Devemos mostrar que T ∈ L(X;Y). T ´e claramente linear, pois T(x+λy) = lim

n→∞T_n(x+λy) = lim

n→∞(T_n(x) +λT_n(y)) = lim

n→∞T_n(x) +λ lim

n→∞T_n(y)

= T(x) +λT(y), pela continuidade das opera¸c˜oes.

Mostremos agora que T ´e cont´ınua. Fazendo ε = 1 em (∗∗), encontramos n tal que kT_n(x)−T(x)k<1 para qualquer x∈B_X e portanto

kT(x)k ≤ kT(x)−T_n(x)|+kT_n(x)k ≤1 +kT_nk, ∀x∈B_X. Logo, T ´e limitada em B_X.

Finalmente, ´e imediato por (∗∗) que (T_n)_n converge para T.

SeY não é Banach não há motivo de L(X;Y) ser. Daremos exemplo nos exerc´ıcios.

O proximo resultado é sobre extensão de aplica¸cões lineares.

Teorema 1.45. Sejam X um espa¸co normado e Y um espa¸co de Banach. Se M um subespa¸co deX eT ∈ L(M;Y), entãoT admite uma única extensão cont´ınuaT :M →Y. Tal extensão é também linear e kTk=kTk.

Demonstra¸cão. Seja x ∈ M. Então existe uma sequência (x_n)_n convergindo para x. A sequência (x_n)_n, por ser convergente, é de Cauchy em M. Então T(x_n)_n também é de Cauchy emY e portanto converge, por Y ser completo. DefinimosT(x) = limn→∞T(x_n).

Note que se (y_n)_né outra sequência que converge parax, então, limn→∞T(x_n)−limn→∞T(y_n) = limn→∞T(x_n−y_n) = T(limn→∞(x_n−y_n)) = 0.Logo, T está bem definida.

E f´´ acil ver que T é linear. Se m ∈M, então tomando a sequência constante igual a m, vemos que T(m) = limn→∞T(m) =T(m). Logo, T estendeT.

Pela densidade deB_M emB_M e pelo modo queT foi definida, vemos que sup_x∈MkT(x)k= sup_x∈MkT(x)k=kTk, o que mostra que T ´e cont´ınua ekTk=kTk.

A unicidade segue do fato de que se duas fun¸c˜oes cont´ınuas coincidem em um conjunto denso do dom´ınio, ent˜ao coincidem em todo dom´ınio.

(22)

1.9 Isometrias

Uma aplica¸cão linearT :X →Y é umaimersão isométicasekT(x)k=kxk,∀x∈X.

As seguintes propriedades s˜ao imediatas.

Proposi¸cão 1.46. Seja T :X →Y uma imersão isomética. Então (a) T é cont´ınua;

(b) T ´e injetora;

(c) T é invers´ıvel sobre sua imagem e T⁻¹ : ImT → X também é uma imersão isométrica e portanto é cont´ınua.

Demonstra¸c˜ao. (a) Basta tomar M = 1 na proposi¸c˜ao 1.32.

(b) ´E injetora poisT(x) = 0⇒ kT(x)k= 0⇒ kxk= 0 ⇒KerT ={0}.

(c) Dado y∈ImT, seja x∈X tal que T(x) =y. Ent˜ao kT⁻¹(y)k=kT⁻¹ T(x)

k=kxk=kT(x)k=kyk.

Logo T⁻¹ : ImT →X é uma imersão isométrica e portanto cont´ınua pelo item (a).

Tendo em vista a proposi¸cão anterior, para uma imersão isométrica ser um isomorfismo basta que seja sobrejetora. Chameremos então uma imersão isométrica sobrejetora de isomorfismo isométrico ou simplesmente isometria. Se existir um isomorfismo isométrico entreX eY escreveremosX ≡Y. Quando dois espa¸cos são isométricos, existe uma correspondência entre seus elementos que preserva tanto a estrutura algébrica quanto a norma. Ou seja, podem ser diferentes como conjunto, mas são idênticos como espa¸cos normados.

Veremos um exemplo importante de imers˜ao isom´etrica quando estudarmos os espa¸cos duais.

1.10 O espa¸ co Quociente

Seja X um espa¸co vetorial e M um subespa¸co de X. Lembramos que o espa¸co quociente de X por M ´e o espa¸co vetorial X/M formado pelas classes de equivalˆencias