Ao considerarmos o histórico das Cônicas e as suas contribuições em termos de representação na Matemática, percebemos o quão nos distanciamos de suas origens. Como vimos, cada definição presente neste texto nos demandou um conjunto de operações e visualizações mentais e imagéticas dotadas de um vasto conjunto de signos e símbolos que nos foram agregados ao longo de mais de vinte quatro séculos de história. Tal multiplicidade tornou o processo de aprendizagem complexo e contribuiu para o surgimento de pequenas “ilhas de conhecimento”.
Cremos que é papel da escola acolher e garantir a oferta de conteúdos importantes para a sociedade. Mas, a sua função vai mais além, quando ao invés de somente ensinar, ajuda a refletir, relacionar e questionar. Neste sentido, percebemos no conteúdo das cônicas um amplo potencial interdisciplinar, capaz de fomentar habilidades visuais, algébricas e geométricas fundamentais na relação do homem com mundo.
Constatamos, que nem sempre as curvas cônicas são vistas em sua totalidade, e nem poderiam, pois não se caberia trabalhar todas as motivações que levaram a cada definição, aqui citada. Contudo, esperamos ter destacado a importância do seu estudo, considerando um conjunto de representações que torne o seu ensino mais atrativo, significativo e integrado. De modo que possibilite, ao aluno, refletir sobre outros moldes.
Os motivos aos quais nos levaram a esta pesquisa foram além das limitações e interesse pessoal, a busca por entender o que gerou a multiplicidade representativa das cônicas e a ausência de articulação entre as mesmas no ensino. Para tanto, buscamos na origem destas representações e na história do ensino das curvas cônicas, entender em que momento houve uma ruptura entre o gráfico e o algébrico, o plano e o espacial — como constatamos o seu reflexo na análise dos dados do nosso experimento.
Pudemos perceber essa ausência de sentido e relação entre as diferentes representações em alguns momentos durante o experimento:
Quando o aluno não percebe na distância focal relação com a excentricidade;
Quando o não relaciona o movimento do plano com deslocamento dos focos, como consequência – mais especificamente na obtenção de uma circunferência;
Quando se limita nas conclusões, apesar da liberdade de movimentos propiciada pela Geometria Dinâmica – no erro da compreensão de que hipérbole são duas parábolas;
Percebemos que há uma grave dificuldade na observação dos dados algébricos como parte de uma localização espacial de elementos, que pode ser compreendida por esquemas gráficos;
E do contrário, quando não se estabelece uma relação graficamente dos dados posicionais algébricos;
Quando os elementos não são relacionados ao contorno da forma, de modo que é esquecida a relação constituída pela posição dos focos e pontos da curva;
A ausência de relação com as diretrizes, vistas sem a devida importância e sentido, com foi percebido na maioria dos dados analisados onde não eram nem reconhecidas ou mencionadas;
Quando não se percebe que apesar de serem representações diferentes de um mesmo objeto matemático as suas propriedades permanecem intactas e invariantes, podendo ser expressas sob representações e pontos de vistas diferentes.
Podemos considerar que alguns fatos corroboram para este desfecho lacunoso, pois ao analisar o ensino, refletido nos livros didáticos atuais, vemos que apesar de um histórico rico em contribuições e aplicações, ele aparece reduzido a “ilhas”, ou seja, limitado a uma visão isolada sem relação com outras situações. Assim, outros “caminhos” são esquecidos, acarretando na anulação de propriedades e elementos fundamentais para dar sentido ao objeto matemático.
Assim, entendemos que as cônicas ficam restritas, apenas a compreensão superficial de sua formação tridimensional, como a uma história ou fábula, enquanto suas propriedades e relações métricas, quando ensinadas e não aplicadas, ficam sem significado e por consequência do desuso, são esquecidas.
Nas publicações mais recentes verificamos que Apolônio pouco é mencionado, apesar da origem das cônicas ser apresentada graficamente na maioria dos livros, na forma de uma perspectiva. Nestes casos, ao grafismo da forma, reserva-se apenas a função ilustrativa e não a geração de conhecimento e formação de conjecturas. As seções são vistas de modo isolado, fragmentando a ideia de procedência em comum. E, logo são substituídas por uma linguagem ainda mais abstrata: as equações.
Entendemos que um aspecto marcante, presente em todas as definições operacionais das cônicas é a compreensão por Lugar Geométrico dos seus elementos. Por consequência, se não houver domínio sobre as relações métricas entre as cônicas, provavelmente não haverá articulação entre as representações de modo pleno. Tal consideração merece ser estudada com mais profundidade em uma perspectiva futura, assim como a relação entre os seus enunciados.
Percebemos que a principal razão para o ensino das cônicas ser revisto e destacado no âmbito escolar é, além das suas aplicações que são inúmeras (nos fenômenos e no campo de tecnologia e ciência), a gama de propriedades matemáticas enredadas no seu desenvolvimento (estudo da álgebra, volume e forma, relações métricas). É um conteúdo que pode e deve ser destacado em várias etapas escolares, sob pontos de vistas adequados para cada nível. Esta pesquisa aponta apenas uma sugestão inicial sobre as implicações do seu estudo atual, sabemos que ela não se esgota em si mesma. É evidente que várias propostas podem surgir com visões semelhantes ou dispares, mas a intenção neste estudo é provocar inquietações e verificar como anda o ensino e, sendo assim, consideramos que cumprimos este objetivo.
Cada definição e representação possui suas peculiaridades e potencialidades. Sabemos que os vários movimentos educacionais, contribuíram para a ênfase de algumas abordagens, em detrimento a outras; e como resultado deste processo percebemos mais perdas, do que ganhos. Neste sentido, acreditamos que uma das maiores perdas se dá na ausência ou desconhecimento do teorema de Dandelin- Quetelet, que se demonstra como um importante elo entre a Geometria e a Álgebra, passível de tratamento analítico e sintético, e contribui com o teorema de Apolônio, numa versão operacional. Não é nosso objetivo criticar as abordagens, mas fica
evidente, diante de tudo que foi exposto, a importância do estudo e conhecimento da forma, assim como de uma abordagem multirrepresentacional e unificada.
Após conhecermos a importância das representações no ensino, por meio da TRRS, percebemos lacunas potenciais no ensino da Matemática, causadas pela ausência de articulação entre registros diferentes. Neste sentido, propomos e experimentamos uma abordagem múltipla das cônicas, para isso, contamos com as vantagens da simulação virtual e da Geometria Dinâmica, que nos possibilitou unir todos esses pensamentos num mesmo ambiente.
O experimento nos trouxe uma riqueza de contribuições e sinalizações significativas. Conseguimos perceber as dificuldades dos alunos em articular alguns conceitos prévios, a fragilidade na formação de outros e a ausência de sentido no acesso de algumas representações, características que confirmam a ideia central da Teoria dos Registros de Representação Semiótica. Notamos que, por mais que uma definição seja frequentemente utilizada no ensino, ainda assim, sua aquisição não estará garantida, podendo existir lacunas expressivas no processo cognitivo.
No decorrer do texto foram descritos mais questionamentos do que soluções, indício de que ainda há muito o que se caminhar enquanto pesquisa sobre o ensino das cônicas e, ainda, tecer propostas que possibilitem o aprimoramento desse estudo. Somos cientes de que o nosso papel enquanto pesquisador é desenhar o que achamos ser o ideal, mas na prática nem sempre conseguimos. O nosso caminho é dotado de experimentos e questionamentos e estas são características importantes da pesquisa.
Nessa perspectiva, esperamos ter contribuído, ao especificar requisitos, para ferramentas que ajudem a dirimir tais lacunas. Acreditamos que um artefato ad hoc desenvolvido a partir das necessidades apontadas nesta pesquisa contribuirá com a compreensão da simulação apresentada no Cabri mais efetivamente, tendo em vista a função para o qual ele poderá ser desenvolvido. Cremos que o conjunto das informações levantadas juntamente com a aplicação de uma interface que favoreça a compreensão das articulações entre as diversas representações das cônicas e entre as suas definições/caracterizações seja um caminho a seguir em pesquisas posteriores.
Outra possibilidade é promover, a partir de pesquisas que visem o estudo e aprofundamento das questões que envolvem as dificuldades dos alunos na compreensão das cônicas, o desenvolvimento de material didático para este ensino.
Logo, acreditamos ter atingido os objetivos propostos para este estudo e esperamos que as nossas reflexões possam contribuir, de algum modo, com ações que visem um ensino das cônicas mais integrado e não fragmentado como usualmente é feito. Do mesmo modo, esperamos despertar o interesse para que outros experimentos sejam realizados na tentativa de identificar lacunas, trabalhá-las e tornar o conteúdo mais significativo.