Teorema de Dandelin-Quetelet: articulação entre o espaço e o plano

Depois de Apolônio, uma grande contribuição no estudo das cônicas ocorreu em 1822, quando o matemático belga Germinal Pierre Dandelin (1794-1847) simplificou a visão das cônicas e justificou a importância de alguns dos elementos comuns às mesmas. Dedicou-se ao estudo da localização geométrica dos focos e diretrizes e as propriedades focais (antes tratadas bidimensionalmente), articulando- as à concepção espacial de Apolônio. Tais elementos, hoje conhecidos como focos e diretrizes, não se sabe ao certo se foram explorados por Apolônio, segundo Boyer (1996) o motivo da ausência também pode estar relacionado ao fato do desaparecimento de uma de suas obras. Os focos e as diretrizes estão cercados de propriedades, logo, percebe-se o quão importante é o reconhecimento desse teorema

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e das suas contribuições no campo matemático, como as novas definições das cônicas.

Para a elaboração desse estudo, Dandelin recebeu colaborações do também belga e matemático Adolphe Quetelet, daí a origem do nome do teorema. Desse modo, a partir da inserção de esferas no cone, Dandelin observa as relações entre elas e o plano secante ao cone, gerador da curva, assim como o plano formado pelo conjunto dos pontos tangentes a esfera e a superfície do cone. As esferas foram o caminho mais curto para provar, tridimensionalmente, que a soma dos raios vetores é constante. Logo, conforme Monteiro (2014):

O trabalho de Dandelin foi mostrar que dado um plano que secciona um cone, existe uma ou duas esferas que são tangentes ao plano e ao cone. Estas esferas são as esferas de Dandelin. Trabalhando com a propriedade das retas tangentes a uma esfera que dado um ponto externo a uma esfera é possível traçar duas retas que a tangenciam em pontos distintos, cujas distâncias ao ponto dado são iguais, Dandelin consegue encontrar os focos e verificar a propriedade focal de uma só vez. (MONTEIRO, 2014, p.11)

Assim, veremos a seguir as proposições e esquemas que ilustram o teorema, conforme estudos de Carvalho (1967), Monteiro (2014) e Correia (2013) sobre o tema.

1º caso: Dado um cone de revolução, seccionado por um plano α, secante e oblíquo a diretriz desse cone, obteremos uma elipse (figura 15).Duas esferas são geradas de modo que seus contornos tangenciem, simultaneamente, a superfície interna do cone e o plano α, logo, os pontos de tangência localizados sobre o plano α são 𝐹₁ e 𝐹₂, focos da elipse.

O ponto M, pertence a elipse, como também a uma reta tangente as esferas nos pontos R e S, consequentemente, por M também passam duas retas tangentes as esferas nos pontos 𝐹₁ e 𝐹₂. Logo, MR + MS é uma quantidade constante. Ora, se

M𝐹₁ é uma tangente a uma das esferas, visto que o plano secante é tangente em 𝐹₁ a esfera, MS é outra tangente. Assim, tem-se que M𝐹₁ = MS. Do mesmo modo, ocorre com M𝐹₂ e MR. Por conseguinte: M𝐹₁+ M𝐹₂ = MS + MR = RS.

Observemos, que a circunferência 𝑐₁ está contida no plano β, e que o plano γ contém a circunferência 𝑐2. Nota-se, portanto, que ambos os planos interceptarão o plano α, gerando as retas 𝑑₁ e 𝑑₂, ambas diretrizes da elipse.

Figura 15. Dandelin-Quetelet – Elipse

Fonte: Elaborada pela autora.

2º caso: Dado um cone de revolução, seccionado por um plano α, paralelo a uma posição da geratriz do cone, obteremos uma parábola (figura 16). Uma esfera é gerada de modo que seu contorno tangencie a superfície interna do cone e o plano α, logo, o ponto de tangência localizado sobre o plano α será 𝐹₁, foco da parábola. Assim, consideramos a existência de outro foco, sendo este infinitamente afastado. Chamemos de β o plano perpendicular a diretriz do cone, que contém a circunferência 𝑐₁. Nota-se que β intercepta α numa reta 𝑑₁, logo 𝑑₁ será a diretriz da curva.

Como no primeiro caso, M é um ponto qualquer da curva e M𝐹1e MR são tangentes à esfera e, portanto, são congruentes. Nota-se que α é paralelo à geratriz que contém o ponto S, também pertencente a 𝑐₁. Do mesmo modo, o ponto R pertence a 𝑐₁, e a geratriz que contém M. Portanto, VS = VR, assim como, M𝐹₁ = MR. Seja

ainda, M’a projeção ortogonal de M sobre 𝑑1, tem-se que o segmento de reta MM’ pertence a α, logo é paralelo a geratriz que contém VR. Desse modo, podemos observar a existência de dois triângulos isósceles semelhantes, o triângulo VSR e o

RMM’. Sendo assim, já vimos que RM = M𝐹₁, então RM = MM’, logo M𝐹₁=MM’. β

α

γ V

Concluímos, portanto, que a distância do ponto M ao foco é igual à distância do ponto M a diretriz da curva 𝑑1.

Essa demonstração sobre a propriedade focal da parábola, segundo Monteiro (2014), deve-se ao estudo de Pierce Morton que, em 1929, com base nas esferas de Dandelin, localizou geometricamente o foco e a diretriz, visto que o autor das relações nas demais curvas não chegou a demonstrar este caso.

Figura 16. Dandelin-Quetelet – Parábola

Fonte: Elaborada pela autora.

3º caso: Seja um cone de revolução, seccionado por um plano α, oblíquo ou paralelo a diretriz desse cone, de modo que sua interseção ocorra, apenas, em um lado do eixo de simetria desse cone, obteremos uma hipérbole (figura 17). Assim como na demonstração da elipse, duas esferas são geradas de modo que seus contornos tangenciem, simultaneamente, a superfície interna do cone e o plano α, dessa maneira, os pontos de tangência localizados sobre o plano α são 𝐹1 e 𝐹2, focos da parábola.

Assim, M é um ponto qualquer da parábola, por consequência, pertence a uma geratriz do cone. Essa geratriz tangencia as esferas em dois pontos R e S, também

β

α V

contidos nos planos gerados pelas circunferências de contato com o cone 𝑐1 e 𝑐2, respectivamente. Ao contrário do caso da elipse, M não se localiza entre o segmento

RS, mas podemos extrair a relação MS - MR = RS, considerando a propriedade das

tangentes às esferas tem-se MR=M𝐹₁ assim como, M𝐹₂=MS. Logo, concluímos que:

|𝑀𝐹1− 𝑀𝐹2| = |𝑀𝑅 − 𝑀𝑆| = RS, sendo assim uma diferença constante.

Figura 17. Dandelin-Quetelet – Hipérbole

Fonte: Elaborada pela autora.