Ao final da pesquisa consideramos que levantar as informações, na forma de um panorama, nos levou a atingir os objetivos que colocamos para esta pesquisa, melhor compreender dificuldades para a aprendizagem do Cálculo e a busca de propostas de abordagem de ensino que as levem em conta. Ou seja, pudemos com esse levantamento responder às nossas duas questões de pesquisa:
Quais são os elementos teóricos utilizados em artigos de autoria ou, com a colaboração de Tall na análise de dificuldades de aprendizagem do Cálculo Diferencial e Integral? Quais foram nesses artigos as abordagens desenvolvidas por Tall para o ensino dos tópicos: infinito, números reais, limite, derivada e integral?
No que segue passamos a justificar essas considerações.
Quanto aos elementos teóricos: na categoria concepções infinitesimais, destacamos situações em que foram utilizadas ideias da Análise Não-Standard para o desenvolvimento de alguns conceitos do Cálculo Diferencial e Integral; na categoria conflitos, destacamos a exploração pelo pesquisador de situações conflituosas ao sujeito, com vistas a propiciar ideias adequadas ao desenvolvimento de um conceito da Matemática; na categoria conceito imagem e o conceito definição, estão situações em que Tall utilizou esse elemento teórico nas abordagens de dificuldades relacionadas à aprendizagem do Cálculo Diferencial e Integral; na categoria proceito, estão situações em que os autores dos artigos se utilizaram dessa noção; na categoria utilização dos computadores trouxemos elementos teóricos, como os organizadores genéricos e a noção de raízes cognitivas, que fundamentam a utilização dos computadores no ensino de tópicos avançados da Matemática; na categoria desenvolvimento da Matemática Formal, abordamos construtos teóricos que buscaram analisar a forma como o sujeito desenvolve as teorias matemáticas formais e modelos, propostos por Tall e seus associados, para analisar desenvolvimento da matemática formal por parte do sujeito.
E quanto às abordagens de ensino indicamos: para o conceito de número real, Tall elaborou, pelo fato da representação de um segmento com medida irracional possuir uma precisão limitada, uma abordagem livre de conflito para esse conceito, na qual o sujeito pode desenvolver o conceito de número irracional com uma entidade que possui infinitas casas decimais, e também formulou um modelo, implementado no computador, para diferenciar números racionais e irracionais; para o conceito de infinito, o pesquisador destacou concepções do sujeito com relação a esse conceito, e desenvolveu uma abordagem, na qual o senso de medida é utilizado, para modelar um problema relacionado ao infinito; para o conceito de limite, Tall e seus associados desenvolveram abordagens que utilizam um ambiente de programação para o desenvolvimento desse conceito, e também utilizaram elementos da Análise Não-Standard, com o objetivo de propiciar uma base lógica adequada aos infinitesimais intuitivos que emergem a partir do conceito de limite; os conceitos de sequência e série foram abordados por meio de um ambiente computacional, que utiliza a programação. O intuito dessa abordagem era desenvolver a definição formal desses conceitos; para o conceito de continuidade, David Tall elaborou uma abordagem intuitiva, na qual uma porção do gráfico de uma função é “horizontalmente esticada”. Ela foi implementada, posteriormente, em um ambiente computacional; o conceito de derivada foi abordado por meio da raiz cognitiva retidão local e de exemplos de funções não usuais, como a função “manjar branco” e outras, que foram utilizadas para o aprofundamento desse conceito; o conceito de integral foi abordado pelo pesquisador por meio de softwares apropriados para o cálculo da área, de regiões planas localizada sob o gráfico de uma função; a equação diferencial foi tratada pelo significado corporificado, em que um software construía sua solução gráfica.
Esses elementos teóricos e essas abordagens de ensino estão expostos na 3ª seção do capítulo 4.
O estudo dos artigos da seção Limits, Infinity & Infinitesimals e das dissertações e teses, apresentadas no Capítulo 3, pontuaram a importância de Tall como teórico da Educação Matemática do Ensino Superior. Em relação ao cenário nacional, pelo banco de dissertações e teses da CAPES, percebemos, que em certo grau, os elementos teóricos desenvolvidos por Tall e seus
colaboradores são utilizados em pesquisas relacionadas à aprendizagem de Cálculo Diferencial e Integral.
No decorrer da construção deste panorama, algumas questões se apresentaram como possíveis propostas de trabalho relacionadas à temática abordada nesta pesquisa ou que de alguma forma fornecem indícios para continuidade dela. Uma delas seria a possibilidade de construir outros panoramas, que relacionem outros tópicos de interesse de Tall. Por exemplo, um tópico de interesse desse pesquisador, que não surgiu durante a realização do nosso levantamento, é relativo o papel das provas no desenvolvimento da Matemática. No sítio acadêmico do pesquisador existe uma seção intitulada
Proofs, na qual existem 22 artigos. Além desse, o quadro teórico dos Três
Mundos da Matemática poderia produzir outro panorama. Ele não emergiu explicitamente no corpus documental considerado neste trabalho, trata-se da contribuição mais recente de David Tall ao nosso campo de pesquisa.
Outra proposta de pesquisa é a elaboração de outros panoramas com o foco em outros pesquisadores do campo da Educação Matemática, como Ed Dubinsky, Anna Sfard, Anna Sierpinska, Michèle Artigue, Tommy Dreyfus, entre outros.
No Exame de Qualificação foram levantados questionamentos da seguinte forma: Como as ideias e elementos teóricos desenvolvidos por David Tall surgiram no cenário nacional? Quais foram os primeiros pesquisadores a utilizá- las?
Nesta pesquisa descrevemos relatos de visitas de Tall ao nosso país, deixando como suposição de que foi nessas visitas que os pesquisadores brasileiros tomaram conhecimento dos trabalhos de Tall, ou se foi por meio dos pesquisadores brasileiro, alistados no Capítulo 3 desta pesquisa, que estudaram diretamente com o pesquisador? Ou ainda, se o livro Advanced Mathematical
Thinking (1991a), editado por David Tall, publicado no ano de 1991, contribuiu
para a disseminação das ideias do pesquisador inglês.
Durante este estudo identificamos que as duas primeiras pesquisas, orientadas por Igliori, que utilizaram elementos teóricos de Tall, foram Dias (2002)
e Meyer (2003). Contudo, entendemos que existe a necessidade de um estudo aprofundado para detectar em que momento as ideias desse pesquisador surgiram no cenário nacional.
O último questionamentofoi motivado pela afirmação de Mamona–Downs e Downs, “[...] a teoria precisa ser mais fundamentada, se é para ser efetivamente empregada de forma eficaz para a análise de um campo específico” (MAMONA– DOWNS; DOWNS, 2008, p. 161, tradução nossa), relacionada à noção de proceito. Ou seja, a noção de proceito, carece de fundamentação, nesse sentido? E como as pesquisas nacionais têm utilizado essa noção?
É importante expressar aqui que o trabalho de Tall estudado traz à luz informações sobre origens de dificuldades para a aprendizagem das noções do Cálculo, e traz também contribuições valiosas para abordagens de ensino dessas noções com vistas a auxiliar a diminuir tais dificuldades.
E para finalizar esperamos, com este trabalho, ter contribuído com professores e interessados pelo campo da Educação Matemática Superior, mais especificamente pelo ensino e aprendizagem do Cálculo Diferencial e Integral. Isso porque as contribuições de Tall e colaboradores para essa área, compiladas e analisadas neste trabalho são destinadas tanto para a sala de aula, quanto para a pesquisa do campo da Educação Matemática.
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Anexo A
Lista dos eventos e publicações dos artigos da seção
Limits, Infinity & Infinitesimals
Eventos nos quais seis artigos da referida seção foram expostos.
1) Fourth International Congress on Mathematical Education, realizado na
University of Berkely, California, Estados Unidos, 1980.
2) 17th Conference of the International Group for the Psychology of
Mathematics Education (PME 17), Tsukuba, Japão, 1993.
3) 5th Annual International Conference on Technology in College
Mathematics Teaching.
4) 22th Conference of the International Group for the Psychology of
Mathematics Education (PME 22), Stellenbosch, África do Sul, 1998.
5) 5th Asian Technology Conference in Mathematics, Chiang Mai, Thailândia, 2000.
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5) Canadian Journal of Science, Mathematics and Technology Education. Sítio da publicação: <http://www.tandfonline.com/toc/ucjs20/current>. Acesso 14 fev. 2013.
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