Desenvolvimento da Matemática Formal

Com essa categoria expusemos construtos teóricos e abordagens desenvolvidas por Tall que analisaram a forma como o sujeito desenvolve as teorias matemáticas formais. Neste contexto, teorias matemáticas formais representam a maneira pela qual a Matemática do Ensino Superior é desenvolvida, ou seja, aquelas que introduzem os objetos a partir de definições formais e as propriedades deles são derivadas a partir de deduções lógicas. Além disso, nesta categoria destacamos dois construtos teóricos específicos na análise de como os sujeitos lidam com teoremas e exibimos um modelo proposto por Tall que auxilia a descrever a maneira que os sujeitos desenvolvem tais teorias.

Ideias relacionadas a essa categoria emergiram em quatro artigos do

corpus documental (TALL, 2001a, 2001c; TALL et. al., 2001; TALL; BILLS, 1998).

Um dos pontos considerados nessa categoria foi abordado no artigo Tall e Bills (1998). Por meio de um estudo longitudinal do desenvolvimento dos estudantes encontrando, pela primeira vez, como a Teoria Formal da Matemática, foi analisada, como eles desenvolviam o uso das definições na construção de conceito e provas de teorema. Para essa análise, os pesquisadores definiram quando uma definição, ou teorema, era formalmente operável:

Uma definição (matemática) ou teorema é dito formalmente operável para um determinado sujeito se ele é capaz de utilizá-lo na criação ou reproduzi-lo (significativamente) em um argumento formal (TALL;BILLS, 1998, p. 1, grifo dos autores).

A intenção dos pesquisadores com a definição acima era desenvolver um construto que permitisse analisar os casos em que a utilização das definições e

teoremas fosse bem sucedida no desenvolvimento da teoria na Matemática Formal.

No artigo (TALL et al., 2001), os pesquisadores propõem uma abordagem baseada em como a espécie humana desenvolve, a partir de interações com ambiente, conceitos abstratos altamente refinados. Isso ocorre do seguinte modo: “[...] começa com a habilidade de perceber as coisas, para agir nelas e refletir sobre essas ações para construir teorias” (TALL et al., 2001, p. 1, grifo dos autores). Pelas combinações diferentes dessas três ações, o tempo de cada uma delas e o foco em cada uma delas pode conduzir a diferentes tipos de Matemática. Na Figura 8, abaixo, reproduzimos os tipos que podem surgir.

Figura 8 – Vários tipos de Matemática. Fonte: TALL et al., 2001, p.2, tradução nossa.

Na transição da Matemática Elementar para a Matemática Avançada, os autores destacaram dois fatores: a mudança na forma como os objetos são tratados, pois as “novas teorias baseiam-se em propriedades específicas de uma estrutura matemática formalmente definida” (TALL et al., 2001, p. 18, grifo dos autores); a segunda é a introdução das definições formais e provas. Além disso, o desenvolvimento da teoria na Matemática Avançada ocorre de maneira distinta às experiências anteriores dos sujeitos com a Matemática Elementar.

Com o objetivo de verificar como os estudantes lidam com as definições e deduções na Matemática Avançada, foi citado no artigo o trabalho de Fusaro Pinto (1998 apud TALL et al., 2001). Nesse trabalho a pesquisadora encontrou

duas estratégias que os sujeitos utilizavam para lidar com as definições e deduções em um curso de Análise:

Atribuir significado a definição a partir uma gama de imagens

pessoais, preceitos, processos, exemplos, contraexemplos, etc...

Extrair significado de uma definição pela dedução formal na

prova de teoremas (TALL et al., 2001, p. 19, tradução nossa).

Para o desenvolvimento da Matemática Formal, Tall (2001a) salientou o papel dos os aspectos visuais e sensório motores do pensamento matemático. Esses dois sentidos fundamentais podem fornecer intuições necessárias ao desenvolvimento de ideias sofisticadas. Um exemplo dado pelo pesquisador foi que por meio dos fractais foram inspiradas e geradas novas teorias matemáticas (TALL, 2001a, p. 212).

Além disso, Tall apontou a necessidade de uma grande reconstrução34 cognitiva do sujeito no momento em que ele realiza a transição dos aspectos técnicos, que englobam a utilização dos símbolos e elementos visuais, para os aspectos formais da Matemática, que representam a construção de teorias utilizando axiomas como ponto de partida.

No artigo Tall (2001c), o pesquisador analisou outras maneiras pelas quais um sujeito pode desenvolver a Teoria Matemática Axiomática. Inicialmente, Tall utilizou as duas abordagens detectadas por Fusaro Pinto (1998) para explicar esse desenvolvimento: a abordagem natural “baseia-se em imagem do conceito para atribuir um significado pessoal à definição formal” (TALL, 2001c, p. 5, tradução nossa). Já a abordagem formal “foca essencialmente na definição, utilizando deduções formais para construir teoremas de uma maneira que evita qualquer apelação à intuição” (TALL, 2001c, p. 5, tradução nossa).

Outra característica do desenvolvimento de uma teoria formal na Matemática é o fato que determinados teoremas podem prover base para imagens mentais. Em virtude disso, Tall define esses como teoremas estruturais, que são

34 _{Esse termo foi utilizado no sentido de Skemp (1971 apud TALL, 2001a}

). Segundo esse autor, “a reconstrução de ideias antigas que tornam necessários ajustes as novas experiências que conflitam com experiência anterior” (TALL, 2001a, p. 223, tradução nossa).

[...] blocos de construção essenciais para o desenvolvimento de uma teoria, não só porque eles se apresentam como importantes “pontos de parada” no desenvolvimento formal, mas também porque eles podem permitir ao indivíduo mais uma vez atribuir ao um conceito formal algum tipo de representação corporificada subjacente (TALL, 2001c, p. 8 - 9, tradução nossa).

Nesse momento foram relacionados alguns desenvolvimentos da teoria da cognição corporificada, descrita por Lakoff e seus colaboradores, para descrever o desenvolvimento formal na Matemática. Segundo Tall, a posição teórica de Lakoff é adequada “para descrever “de onde a matemática vem” em vez “para onde a matemática vai””(TALL, 2001c, p. 10, tradução nossa).

Na figura 9, Tall exibiu a integração dos teoremas estruturais e das reflexões da teoria da cognição corporificada no desenvolvimento de uma teoria formal.

Figura 9 – A construção de novas corporificações formais a partir de uma teoria formal. Fonte: TALL et al., 2001c, p. 9, tradução nossa.