Se observarmos as enunciações transcritas (Cf. [E3 − 001] a [E3 − 97] e [E4 − 098] a
[E4 − 103]) é factível o quanto interferimos no processo, por ansiedade ou inexperiência. Assumimos que estávamos naquele momento – da aplicação das atividades – mais inclina- dos a falar, do que a ouvir. Por isso permitimos que o papel de professora se sobressaísse ao de pesquisadora. Queríamos ensinar, estávamos ávidos para que aceitassem nossa proposta e, tomados por este sentimento, tivemos muita dificuldade em diferenciar o que era “analisar uma proposta” e “defender uma proposta”. No afã de compartilharmos o mesmo espaço comunicativo preocupamo-nos em passar um conteúdo, mesmo sem nos afastarmos dos procedimentos da Resolução de Problemas. Não que tal intervenção seja contestável em um estudo de caso ou no MCS. Por não se tratar de uma pesquisa etnográfica as intervenções que realizamos não são condenáveis, pois:
•
Queríamos analisar os modos de produção de significado dos atores (por isso não poderíamos permitir que o lado de professora se sobressaísse ao de pesquisadora; isto é, precisávamos ouvir mais e falar menos) com a apresentação de uma proposta de inserção da Teoria dos Grafos a partir do Ensino Médio;
•
O MCS se dá na ação, daí as intervenções que praticamos não invalidaram a pes- quisa, elas tão-somente apontaram para caminhos que não esperávamos.
E é exatamente isso que Chaves (2000) aponta como um dos problemas ao mergulharmos na “síndrome da melhora” – sentirmo-nos incomodados quando deixamos de exercer o controle de um processo, principalmente quando se trata de um professor diante da turma.
Em uma proposta, como a que apresentamos no intervalo de tempo que dispusemos, a heterogeneidade em relação ao nível de conhecimento dos atores e as condições não favoráveis apontadas em parágrafos anteriores, neste capítulo, levaram-nos a novos de- lineamentos, por não exercermos o controle, nos graus de pertinência que estimávamos. Todavia, essa fuga, ou como Chaves (2004, p.76-83, 171, 183) delineia - “quebra da inércia mantenedora das certezas”- , nos permitiu outras análises à luz do alicerce epistemológico que tomamos como referencial. Onde o sujeito é cooptado para reproduzir, ipsis literis e ipsis verbis, as verdades de seus mestres, através do efeito Frankenstein, segundo Chaves (2004, p.187)
A partir daí, então, abandonamos a ideia de apresentar uma proposta e passamos a anali- sar os modos de produção de significado da proposta apresentada.
No capítulo anterior, a partir de Dantas e Cyrino (2012), apresentamos algumas reflexões a respeito de perspectivas de formação de professores de Matemática, discussões do GEPE-
FOPEM e, daí não mais nas plenárias da oficina de Teoria dos Grafos1, mas nas plenárias
(nas rodas de conversa) do GEPEMEM, passamos a compreender que poderíamos ter discutido por exemplo:
1. Há relevância da inserção da Teoria dos Grafos na formação matemática do professor de Matemática? Qual(is)?
2. Se há relevância, então que conhecimentos a respeito da Teoria dos Grafos devem ser apropriados pelo futuro professor durante seu processo de formação?
3. Caso configure-se tal situação, em que momento(s) (disciplinas ou atividades) do processo de formação do professor de Matemática, é possível tratar a questão? 4. Qual o papel dessas disciplinas ou atividades, que compõem o curso de licenciatura
em Matemática para formação inicial do professor de Matemática?
Como não foi possível efetuar esse tipo de debate na Oficina de Teoria dos Grafos e, por termos desenvolvido um estudo de caso onde oa atores são do LIMAT -IFES, tomamos para análise a grade curricular vigente deste curso (Cf. apêndice L), bem como as respec- tivas ementas das disciplinas em questão (Cf. apêndices M) em então, observamos que,
caso haja tal inserção, está pode ocorrer, por exemplo, no 1o período - na disciplina Re-
solução de Problemas (ORTE I) - e continuar nos períodos subsequentes nas disciplinas:
Fundamentos da Matemática Elementar II (2o período); Geometria Analítica (3o período);
Álgebra Linear (4o período); Análise Combinatória e Probabilidade (6o período); Tópicos
Especiais em Matemática I (8o período).
Como propusemos como pré-requisitos Análise Combinatória e Matrizes no nível do En-
sino Médio e esses conteúdos são trabalhados a partir do 20
período, é possível que se construa uma proposta como essa, no trânsito de diversas disciplinas ao longo do curso, mas, entendemos que, para proposta de nossa pesquisa não basta que analisemos docu- mentos (que são mutáveis); daí, caminhamos então para intersectarmos: (A) alguns princí- pios norteadores de uma PEI (CHAVES, 2004, p.172-174) com (B) o perfil de licenciando, pertinente à “liberdade” apontada e discutida em Souza; Baldino; Cabral e Teixeira (1995)
e em Dantas e Cyrino (2012, p.129-131) e (C) com as diretrizes à Resolução de Problemas apresentadas em Pólya (1995), Pozo (1998) e Dante (1989) nenhuma proposta, inclusive a que pretendíamos - de inserção de Teoria dos Grafos a partir do Ensino Médio - não
pode ocorrer de forma impositiva, como alertou o Professor participante (Cf. [E4 − 098]a
[E4 − 103]). É fundamental que não abandonemos as “características de liberdade, com- petência e compromisso constituintes da identidade profissional do professor.” (DANTAS; CYRINO. 2012, p.131).
Isso porque, a “Licenciatura em Matemática precisa ser articulada de modo que as disci- plinas tenham funções específicas, mas não estanques no processo de formação. ” (DAN- TAS, CYRINO, 2012, p.131).
Sorvendo ainda a mesma fonte e destacando a relevância da diversificação das meto- dologias empregadas quando se trata de ministrar as disciplinas predominantemente de conteúdo matemático, temos que o (futuro) professor saiba utilizar “ experiência de outras metodologias em disciplinas de conteúdo é a condição de possibilidade da futura liberdade metodológica (escolha, aperfeiçoamento e criação) do licenciando.” (SOUZA et al, 1991, p.93 apud DANTAS; CYRINO, 2012 p.131).
Isto é, Resolução de Problemas não pode ser entendida como o único procedimento meto- dológico de ensino quando se trabalha com Teoria dos Grafos em cursos de Licenciatura
em Matemática. Basta revisitarmos as enunciações [E3 − 078] a [E3 − 097], dos atores
desta pesquisa, para lembrarmos que o maior interesse (a ponto de irem além do horário estipulado para o desenvolvimento da oficina) dos mesmos tomou como ponto de partida um problema que pudesse efetuar uma transposição para uma situação pertinente à reali- dade deles (o problema do caminho mínimo - do metrô-Rio - transposto ao problema local - Transcol (Cf. nota de rodapé número 3).
Tal situação nos remete a dois princípios norteadores de uma PEI (o da “integração” e o da “intervenção”) onde Chaves (2004, p.173) destaca que trabalhar de forma integrada consiste em facultar que ocorra discussão conjunta com diversas áreas do conhecimento tirando a Matemática do “centro do processo” e utilizando-a como ferramenta da leitura dinâmica com a intenção de desestabilizar uma inércia.
Quanto ao princípio da “intervenção” é apontado como estratégico para desestabilizar a inércia supracitada e “consiste em implementar uma PEI voltada para situações locais que envolvam o aluno e o seu habitat (escola, comunidade, família etc.)” (CHAVES, 2004, p.173).
Não se trata, assim, de tomar a Teoria dos Grafos como um “recurso didático para dar uma nova roupagem a velhas práticas”. (CHAVES, 2004, p.174).
Foi preciso nos depararmos com os sobressaltos e as dificuldades que enfrentamos para entender o que o orientador desta pesquisa nos disse na nossa primeira reunião de orien- tação : “... o saber tem que morrer para renascer na forma de vontade. Portanto, matem suas certezas. Pesquisa e ciência se produz a partir de dúvidas e não de certezas...” (Cf. registrado neste texto em “Uma trajetória de luta”).
Desta forma entendemos que não basta propor um rol de conteúdos matemáticos; é fun- damental que as propostas (de conteúdos ou disciplinas) estejam comprometidas com os princípios da “integração” e da “intervenção” de uma PEI - discutir, por exemplo, o problema do trânsito com o olhar urbanístico, geográfico, topográfico, socioambiental etc., tomando a Teoria dos Grafos como conteúdo desestabilizador de verdades cristalizadas a respeito de tal problema e que tal proposta, trabalhada em sala de aula, como formas diversificadas de procedimentos metodológicos, possa facultar a reflexão sobre o problema local e também permita possíveis transformações (pelo menos desestabilizações) desse problema, pois dessa forma vamos ao encontro do que Chaves (2004, p.81-82) trata, e que apresentamos na introdução deste texto, de que um aluno em contado com a realidade do seu ambiente desenvolve atitudes criativas em relação ao mesmo, cabendo aos professores desempe- nhar o papel de executores de uma educação que incorpore uma análise da realidade socioambiental opondo-se àquela em que o aluno é levado a ignorar as consequências dos seus atos.
Assim, as perspectivas de formação de professores de Matemática adotadas por Dantas
e Cyrino (2012), de reflexões do GEPEFOPEM2, a partir de nossas leituras, exercem um
papel relevante para enterdermos que formação de professores e propostas de inserção de políticas e práticas pedagógicas são dinâmicas; portanto, não podem ser engessadas, mas flexibilizadas para que saberes venham a morrer para renascerem em forma de vontade.
2
• Qual deve ser a formação matemática do professor de Matemática?
• Que conhecimentos devem ser apropriados pelo futuro professor durante seu processso de formação?
• Que disciplinas, ou atividades, são importantes para a formação do professor de Matemática?
• Qual o papel das disciplinas que compõem o curso de licenciatura em Matemática para formação inicial do professor de Matemática?
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APÊNDICE A - Termo de Consentimento
TERMO DE CONSENTIMENTO LIVRE E ESCLARECIDO
Autorizo a utilização das informações fornecidas no mini-curso de grafos, análise com- binatória e álgebra linear por fazer parte da coleta de dados de pesquisa científica em andamento sob supervisão do Prof. Dr. Rodolfo Chaves, e desenvolvida por mim, pro-
fessora Profa. MSc. Bea Karla Flores Machado Teixeira. As informações por mim
fornecidas serão mantidas em sigilo e ficarão sob a responsabilidade dos pesquisa-
dores acima citados. Estou ciente ainda de que as mesmas serão utilizadas, exclu-
sivamente, na investigação em tela e que como voluntário(a), durante ou depois da pesquisa tenho a garantia do anonimato das informações que serão fornecidas, po-
dendo, unicamente, ser utilizado nomes fictícios. Ficam claros para mim quais são
as finalidades do estudo, a forma como a pesquisa será aplicada e a garantia de que as informações e o uso de imagens (caso necessário) desta pesquisa serão con- fidenciais, e serão divulgadas apenas em eventos ou publicações científicas, não ha- vendo identificação dos voluntários sendo assegurado o sigilo sobre sua participação.
Sendo assim, Eu, ,
RG CPF n.o de ma-
trícula , abaixo assinado, concordo em participar do es-
tudo e fui devidamente informado(a) e esclarecido(a) pelo pesquisador sobre a pesquisa, os procedimentos nela envolvidos, assim como os possíveis riscos e benefícios decor- rentes de minha participação. Foi-me garantido que posso retirar meu consentimento a qualquer momento, sem que isto leve a qualquer penalidade.
Vitória, 22 de agosto de 2014. Assinatura:
Email: Telefone(s):
APÊNDICE B - Questionário 1
Codinome: Curso: Período: Instituição:
1. O que você se lembra sobre Matrizes? 2. Já viu alguma aplicação de Matrizes?
3. O que você se lembra sobre Análise Combinatória? 4. Já viu alguma aplicação de Análise Combinatória?
5. Conhece algo sobre a Teoria dos Grafos? Se sim, o quê?
APÊNDICE C - Atividade 1
Leitura do texto: Criptografia: Uma aplicação de Álgebra Linear e elaborar uma mensagem para outro colega decifrar e verificar se está correto.
Mensagem: Sobre a atividade:
1. Conseguiu desenvolver sem recorrer a pesquisa? 2. Já tinha visto essa aplicação de Matrizes?
APÊNDICE D - Atividade 2
Leitura de um exercício de Análise Combinatória com resolução e apresentação de dois exercícios para serem resolvidos.
Exercícios resolvido:
1) Existem quatro estradas ligando duas cidades A e B, e três estradas ligando as cidades B e C. De quantos modos diferentes uma pessoa pode se deslocar da cidade A até a cidade C?
(Dica: faça um desenho da situação para ajudar na resolução) Solução: Uso do princípio multiplicativo
3 x 4 = 12 possibilidades Exercícios propostos:
2) De quantas maneiras podemos escolher um quadrado preto e um quadrado branco num tabuleiro de xadrez (o tabuleiro de xadrez é 8 x 8)?
3) De quantas maneiras podemos escolher um quadrado preto e um quadrado branco num tabuleiro de xadrez (8 x 8) se os dois quadrados não podem pertencer à mesma linha ou coluna?
APÊNDICE E - Atividade 3
Codinome: Atividade 3
APÊNDICE F - Definições Conhecidas
Um grafo simples, ou simplesmente grafo G é um conjunto V(G) não vazio finito de
elementos denominados vértices, e de um conjuntoE(G) finito (possivelmente vazio) de
pares de elementos distintos deV(G), denominados arestas. Diremos que|V (G)| = ne
que|E(G)| = m. Uma arestax∈ E(G)tal queuev são seus extremos, pode ser escrita como(u, v), (v, u), uv ouvu.
Dado um vértice v, o número de arestas incidentes em v determina o grau de v, que
denotamos pord(v)e o vértice que tiver o maior grau será o grau máximo do grafoG, e
denotado por∆(G)e o que tiver menor grau será o grau mínimo do grafoGdenotado por
δ(G).
Um grafo é denominado completo quando todo vértice for adjacente a todos os outros
vértices do grafo e será denotado porKn, onden é o número total de vértices do grafo.
Dado um grafoG, uma clique é um subgrafo completo deG.
Um caminho em um grafo é uma sequência de vértices onde, em cada um dos vértices, existe uma aresta para o próximo vértice da sequência.
Um grafo é dito conexo se, para quaisquer dois vértices, existe um caminho que começa num vértice e termina no outro.
Um grafo é denominado regular quando todos os seus vértices tiverem o mesmo grau e
será denotado pork-regular, ondek é o grau do vértice.
Um ciclo é um grafo regular conexo de grau 2. Um grafo que seja apenas um ciclo é
APÊNDICE G - Unidade 1 - Histórico e Definição
APÊNDICE G.1- Aula1: Oproblemadas7 pontesdeKöningsberg
Corria o ano de 1736, na Prússia, numa remota cidade chamada Königsberg (atualmente Kaliningrado na Rússia) existem sete pontes ligando duas ilhas sobre o Rio Pregel. No domingo os moradores juntamente com turistas curiosos tentavam passar por todas as pontes sem repetir nenhuma e fazer todo o percurso.
Figura28–As7pontesdasilhassobreoRioPregel.
Fonte: http://cognosco.blogs.sapo.pt/arquivo/639806.html
Tente “passar” pelas 7 pontes!! Basta você fazer o caminho sem tirar o lápis do papel!
Conseguiu? Futuramente voltaremos a esse desafio.
• A representação de grafos e sua definição
Suponhamos que queiramos representar uma competição de xadrez onde há cinco joga- dores (A, B, C, D e E) e cada jogador deva jogar com os demais dois a dois. Como você representaria essa situação?
Tabela2–Esquemadecombinaçãodejogadorestomadosdoisadois A B C D E A - AB AC AD AE B BA - BC BD BE C CA CB - CD CE D DA DB DC - DE E EA EB CE ED -
Fonte: Composição própria
Perceba que as “partidas” AB e BA têm os mesmos jogadores, isto é, a partida entre AB e BA é a mesma. Tal situação, em Análise Combinatória, denominmos Combinação, ou seja, a ordem (AB ou BA) não gera uma nova situação (no caso, uma nova partida). Mas poderíamos melhorar essa visualização?
E se fizermos um desenho?
Figura29–Esboçodepossíveispartidasentre5jogadores.
Fonte: Composição própria
Melhorou?
Observando a figura 29, quantas “linhas” saem de A? E de B?
E de C? E de D? E de E?
O que significa esses resultados?
Agora, conte quantas linhas existem na figura. O que elas representam?
Bom, vamos dar “nome aos bois”. Cada jogador será um vértice e cada ligação (partida) entre dois jogadores será chamada de aresta. Então na figura temos 5 vértices e 10 arestas. A partir daqui chamaremos essa figura de Grafo.
Segundo Jurkiewicz [1]: um grafo G consiste em um conjunto V(G) não vazio, finito de elementos denominados vértices e de um conjunto E(G) finito (possível vazio) de pares de elementos distintos de V(G) denominado arestas. Vamos representar os vértices por letras
minúsculas (a,b, cetc.) e as arestas [a,b] ou ab indicando que o vérticea está ligado ao
vérticebe os denominamos vértices adjacentes.
Exemplo:
Figura30–Exemplodegrafo(01)
Fonte: Composição própria
De acordo com a figura:
V(G) =a,b,c,de E(G) =ab,ac,ad,bc,cdO vérticea é adjacente aos vérticesb,ce d. O
vérticednão é adjacente ao vérticeb.
Veja que temos a partir do vérticea3arestas. Essas arestas são ditas incidentes:
Tabela3–Representaçãodeumgrafoobservandoosvérticesadjacentes Vértice d(v) a 3 b 2 c 3 d 2 Total de arestas 5
Fonte: Composição própria
acé incidente emae emc(os vérticesaecsão adjacentes)
adé incidente emae emd(os vérticesaedsão adjacentes)
Esse número também representa que o vérticeatem grau 3 e o representamos por d(v) =
3, logo, o grau de um vértice é dado pelo número total de arestas incidentes à ele. Mãos à obra!
• 1 - Agora pela tabela a seguir, desenhe o grafo correspondente:
• 2 - Observe os grafos da figura 31 e complete a tabela correspondente.
• Percepção:
Agora, veja dois resultados em cada grafo: a soma dos graus dos vértices e o número total de arestas!!! Encontrou alguma relação?
Para o grafo esboçado na tabela 03: soma dos graus:10
número total de arestas: 5 Viu a relação entre 5 e 10?
Figura31–Grafosetabelasparaserempreenchidas
Fonte: Composição própria
• Nosso primeiro resultado:
Teorema 1:
A soma dos graus dos vértices de um grafo é sempre o dobro do número total de arestas do grafo.
Vamos analisar por que isso acontece?
Ao contarmos os graus dos vértices estamos contando as extremidades das arestas uma vez. Sabemos que cada aresta tem duas extremidades, então, cada aresta foi contada duas vezes.
Escrevendo matematicamente:
Teorema 1: Para todo grafo GP
d(v) = 2.m
onde v∈V(G) emo número total de arestas.