Teoria dos grafos a partir do ensino médio : uma abordagem no espectro do modelo dos campos semânticos

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INSTITUTO FEDERAL DO ESPÍRITO SANTO

MESTRADO PROFISSIONAL EM EDUCAÇÃO EM CIÊNCIAS E MATEMÁTICA

BEA KARLA FLORES MACHADO TEIXEIRA

TEORIA DOS GRAFOS A PARTIR DO ENSINO MÉDIO:

UMA ABORDAGEM NO ESPECTRO DO MODELO DOS CAMPOS SEMÂNTICOS

Vitória 2015

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BEA KARLA FLORES MACHADO TEIXEIRA

TEORIA DOS GRAFOS A PARTIR DO ENSINO MÉDIO:

UMA ABORDAGEM NO ESPECTRO DO MODELO DOS CAMPOS SEMÂNTICOS

Dissertação apresentada ao Programa de Pós-Graduação em Educação em Ciências e Matemática do Instituto Federal do Espírito Santo, como requisito parcial para a obtenção do título de Mestre em Educação em Ciências e Matemática.

Orientador: Prof. Dr. Ed. Rodolfo Chaves.

Vitória 2015

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(Biblioteca Nilo Peçanha do Instituto Federal do Espírito Santo) T266t Teixeira, Bea Karla Flores Machado

Teoria dos grafos a partir do ensiQR médiouPDDERUGDJHP QRHVSHFWURGRPRGHORGRVFaPSRVVHPkQWLFRV / Bea Karla Flores Machado Teixeira. – 2015.

148 f. : il. ; 30 cm

Orientador: Rodolfo Chaves.

Dissertação (mestrado) – Instituto Federal do Espírito Santo, Programa de de Pós-graduação em Educação em Ciências e Matemática, 2015.

1. Matemática - Problemas, questões, exercícios. 2. Teoria dos grafos. 3. Matemática - Estudo e ensino. I. Chaves, Rodolfo. II. Instituto Federal do Espírito Santo. III. Título.

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Dedico À minha família. Aos meus professores que foram exemplo para manter a minha

paixão pelo magistério. Aos meus orientadores-amigos pela paciência e ensinamentos. A vocês meu carinho!

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À minha família, em especial, a grande matriarca (Josefina Flores Teixeira, carinhosamente "Zefinha" in memorian) que foi exemplo de luta, sabedoria, persistência e motivo de muitas alegrias.

Aos tios César (in memorian) que era um pai para mim, Zezo (in memorian) que tive o prazer de conviver por pouco tempo, mas que foi insequecível e Dudim que tenho recordações das brincadeiras de infância.

Aos meus dois amores: meu marido, que sempre me apoiou e esteve presente nas minha conquistas, _{sendo meu pilar mais importante e meu filho que} transformou um casal numa família_.

À minha mãe, que também sempre esteve presente e acompanhou minhas conquistas.

À amiga, ex-aluna e "irmãzinha acadêmica" Mariana dos Santos Cézar, que representa, e muito bem, os meus alunos que superam o mestre. Tenho muito orgulho de você.

Ao meu orientador pela dedicação e paciência na realização desse trabalho. À banca examinadora que gentilmente aceitou o convite.

A todos os alunos que contribuiram para a realização desta pesquisa. A todos vocês, meu muito obrigada.

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"Mesmo quando tudo parece desabar, cabe a mim decidir entre rir ou chorar, ir ou ficar, desistir ou lutar; porque descobrir, no caminho incerto da vida, que o mais importante é o decidir" Cora Coralina.

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Esta é uma pesquisa de natureza qualitativa, com enfoque no estudo de caso, que tomou a Resolução de Problema como procedimento metodológico de ação e como método de análise o Modelo dos Campos Semânticos, com o propósito de analisar o processo de produção de significado dos envolvidos, onde atores e cenário investigativo foram constituídos por alunos pibidianos (Programa Institucional de Bolsa de Iniciação à Docência) do curso de licenciatura em Matemática do Ifes, campus Vitória, participantes da oficina de Teoria dos Grafos, desenvolvida como atividade de campo no Laboratório de Práticas de Ensino Integradas (LPEI), do Programa de Apoio a Laboratórios Interdisciplinares de Formação de Educadores (LIFE), mantido pela Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior (CAPES). O objetivo geral do trabalho é analisar que significados são produzidos acerca da apresentação de uma possível proposta de inserção da Teoria dos Grafos. Tal objetivo gerou a seguinte pergunta-diretriz: Que significados são produzidos acerca da apresentação de uma possível proposta de inserção da Teoria dos Grafos em conteúdos matemáticos a partir do ensino médio utilizando a Resolução de problemas? Como resultado da pesquisa apresentamos um guia didático voltado a professores com uma possível proposta à inserção da Teoria dos Grafos a partir do ensino médio.

Esta pesquisa de mestrado tem como intuito a

Palavras-chave: Resolução de problemas. Teoria dos grafos. Modelo dos campos semânticos. Produção de significados.

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This is a qualitative research, focusing on the case study, which took the Problem Solving as a methodological procedure of action and method of analysis as the Model of Semantic Fields, in order to analyze the meaning of production of the involved where actors and investigative scenario consisted of pibidianos students (Institutional Program Initiation Grant to Teaching) the degree course in Mathematics of IFES, Victoria campus, workshop participants of Graph Theory, developed as a field of activity in Practice Laboratory Integrated Education (LPEI), the Support Program for Interdisciplinary Laboratory Educator Training (LIFE), maintained by the Higher Education Personnel Training Coordination (CAPES). The overall objective is to analyze which meanings are made on the presentation of a possible proposal for inclusion of Graph Theory. This goal led to the following question-guideline: What meanings are produced on the presentation of a possible proposal for inclusion of Graph Theory in mathematical content from the high school using the Troubleshooting? As a result of the research present a didactic guide aimed at teachers with a possible proposal to the insertion of Graph Theory from high school.

Keywords: _{Problem solving. Graph theory. Model of semantic fields. Production} of meanings.

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Figura 1 – Resposta do ator Lola . . . 47

Figura 2 – Resposta do ator Margarida . . . 47

Figura 3 – Grafo representando o campeonato de xadrez . . . 49

Figura 4 – Lola resolvendo atividade (01) . . . 50

Figura 7 – Estrela resolvendo atividade (01) . . . 52

Figura 8 – Grafos desenhado por Lola . . . 53

Figura 14 – C4 . . . 57

Figura 15 – C4 com coloração dos vértices usando 4 cores . . . 58

Figura 16 – Estrela com as canetas coloridas . . . 58

Figura 19 – C4 com coloração dos arestas usando 4 cores . . . 60

Figura 22 – C4 com coloração total incompleta . . . 62

Figura 23 – C4 com coloração total usando 4 cores . . . 63

Figura 24 – Malba Tahan resolvendo atividade (01) . . . 66

Figura 27 – Página do facebook do grupo de pesquisa . . . 70

Figura 28 – As 7 pontes das ilhas sobre o Rio Pregel. . . 90

Figura 29 – Esboço de possíveis partidas entre 5 jogadores. . . 91

Figura 30 – Exemplo de grafo (01) . . . 92

Figura 31 – Grafos e tabelas para serem preenchidas . . . 94

Figura 32 – Representação dos vértices . . . 96

Figura 33 – Representação da situação . . . 97

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Figura 36 – Grafo orientado . . . 100

Figura 37 – Grafo com laço e arestas múltiplas . . . 101

Figura 39 – Exemplo de subgrafo . . . 104

Figura 40 – Um grafo regular de grau 3 . . . 104

Figura 41 – Exemplos de ciclos . . . 105

Figura 42 – Exemplos de grafos completos . . . 105

Figura 43 – Exemplos de grafo nulo ou vazio . . . 105

Figura 44 – Dois grafos complementares . . . 106

Figura 45 – Grafo bipartido . . . 106

Figura 46 – Grafo bipartido completo K2,4 . . . 106

Figura 47 – Caminho num grafo orientado . . . 107

Figura 48 – Caminho . . . 107

Figura 49 – Circuito . . . 108

Figura 50 – Caminhos simples e composto . . . 108

Figura 51 – Exemplo de árvore . . . 109

Figura 53 – Exemplo de grafo(05) . . . 110

Figura 54 – Sete cidades representadas num grafo . . . 112

Figura 55 – Sete pontes representada por grafos . . . 113

Figura 56 – Situação para inserir arestas . . . 114

Figura 57 – Exemplo de grafo orientado euleriano . . . 115

Figura 58 – Representaçao de sete cidades . . . 116

Figura 59 – Dodecaedro . . . 117

Figura 60 – Ciclo hamiltoniano no dodecaedro . . . 117

Figura 61 – Movimento do cavalo no jogo de xadrez . . . 118

Figura 62 – Solução do jodo de xadrez . . . 119

Figura 63 – Mapa das estradas entre as cidades A e J . . . 120

Figura 64 – Algoritmo de Dijkstra (01) . . . 122

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Figura 76 – Grafo “eulerizado” . . . 132

Figura 77 – Grafos sem ciclo euleriano . . . 132

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Tabela 1 – Esquema de combinação de jogadores tomados dois a dois . . . 48 Tabela 2 – Esquema de combinação de jogadores tomados dois a dois . . . 91 Tabela 3 – Representação de um grafo observando os vértices adjacentes . . . 93

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APM Associação Portuguesa de Matemática.

CAPES Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior.

Cf. Conforme.

CNPq Conselho Nacional de Desenvolvimento Científic e Tecnológico.

COPPE Instituto Alberto Luiz Coimbra de Pós-Graduação e Pesquisa de Enge-nharia.

EDUCIMAT Programa de Pós-graduação em Educação em Ciências e Matemática. ENEM Exame Nacional do Ensino Médio.

ERMAC Encontro Regional da Matemática Aplicada à Computação.

GEPEFOPEM Grupo de Estudo e Pesquisas sobre a formação de Professores que Ensinam Matemática.

GEPEMEM Grupo de Estudos e Pesquisas em Matemática Pura, Matemática Apli-cada e Educação Matemática.

IFES Instituto Federal do Espírito Santo.

IMECC Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica

LIFE Programa de Apoio a Laboratórios Interdisciplinares de Formação de Professores.

LIMAT-Ifes Licenciatura em Matemática do Instituto Federal do Espírito Santo, cam-pus Vitória.

LPEI Laboratório de Práticas de Ensino Integradas. MCS Modelo dos Campos Semânticos.

MEC Ministério da Educação.

NCTM National Council of Teachers of Mathematics. OCNEM Orientações Curriculares para o Ensino Médio.

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PEI Práticas Educativas Investigativas.

PIBID Programa Institucional de Bolsa de Iniciação à Docência mantido pela CAPES.

UERJ Universidade Estadual do Rio de Janeiro. UFES Universidade Federal do Espírito Santo. UFRJ Universidade Federal do Rio de Janeiro. Unicamp Universidade Estadual de Campinas.

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1 INTRODUÇÃO ...18

1.1 UMA TRAJETÓRIA DE LUTA ...18

1.2 PROPOSTA METODOLÓGICA ...20

2 REVISÃO DE LITERATURA...25

2.1 RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS ...25

2.1.1 Resolução de Problemas segundo Pólya (1995) ...26

2.1.2 Resolução de Problemas segundo Pozo (1998) ...28

2.2 MODELO DOS CAMPOS SEMÂNTICOS (MCS)...30

3 APOIO METODOLÓGICO...38

3.1 CARACTERIZAÇÃO DA PESQUISA ...38

3.1.1 Estudo de caso...39

3.2 O LEVANTAMENTO E A ANÁLISE DE DADOS...40

3.3 PROCEDIMENTOS DA PESQUISA...42

3.4 DESCRIÇÃO DOS PROCEDIMENTOS...45

3.4.1 Questionário inicial: Conhecimentos prévios...45

3.4.2 Atividade 1: Álgebra Linear...46

3.4.3 Atividade 2: Análise Combinatória...47

3.4.4 Atividade 3: Teoria dos grafos: Unidade 1- Aulas 1 e 2...48

4 SIGNIFICADOS PRODUZIDOS A PARTIR DA INTERVENÇÃO ...70

5 CONSIDERAÇÕES FINAIS...77

REFERÊNCIAS...81

APÊNDICE A – Termo de Consentimento...84

APÊNDICE B – Questionário 1...85

APÊNDICE C – Atividade 1...86

APÊNDICE D – Atividade 2 ...87

APÊNDICE E – Atividade 3...88

APÊNDICE F – Definições Conhecidas...89

APÊNDICE G – Unidade 1 – Histórico e Definição...90

APÊNDICE G.1 – Aula 1: O problema das 7 pontes de Köningsberg...90

APÊNDICE G.2 – Aula 2: Teoria dos Grafos: Grafos Ordenados...96

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APÊNDICE H.2 – Caminhos, ciclos, circuitos...107

APÊNDICE H.3 – Mãos à obra!...109

APÊNDICE I – Unidade 3 – Teoria dos Grafos...112

APÊNDICE I.1– Aula 4: Grafos Eulerianos e Hamiltonianos...112

APÊNDICE I.2 – Aula 5: Problemas clássicos – 1ª parte...120

APÊNDICE I.3 – Aula 6: Problemas clássicos – 2ª parte...130

APÊNDICE J – Atividade Final...134

APÊNDICE K – Artigo utilizado para a atividade 1...135

APÊNDICE L – Grade curricular do LIMAT...139

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1INTRODUÇÃO

1.1UMA TRAJETÓRIA DE LUTA

Quando estava na sétima série do primeiro grau (atual sexto ano) decidi ser professora de Matemática. Como toda criança já havia pensado em ser aeromoça, astronauta, piloto... onde a imaginação levava. Recordo que sempre brincava de escolinha, muitas vezes sozinha. Eu tinha um quadro de giz e passava a tarde copiando o dever de casa no quadro e resolvendo, como se fosse aula. É bom recordar isso e pensar o quanto essa doce brincadeira de criança influenciou na minha vida profissional. Até tentei fugir um pouco do magistério, mas já estava implícito em mim, esse destino.

Ingressei no curso de Licenciatura em Matemática na UFES e foram longos, exaustivos, felizes e saudosos anos. Já no primeiro semestre de curso comecei a ministrar aulas de Matemática para o ensino fundamental, como designação temporária numa escola do estado. Estudava de manhã e à tarde e à noite trabalhava. Como morava em outra cidade perdia muito tempo em transporte público e durante grande parte do curso desenvolvi a

rotina de dormir apenas 4horas por noite. Quando percebi que tal rotina me atrasaria no

curso decidi rever sobre o trabalho. Peguei um trabalho à tarde e fiquei estudando só pela manhã. Tive o apoio incondicional da minha mãe para poder me dedicar ao meu curso, ficando alguns momentos apenas na universidade.

Após terminar a graduação, a vontade de continuar os estudos era latente. Nisso tive uma ajuda, pois, conheci o meu marido e fui para o Rio de Janeiro. Enquanto esperava abrir a prova do mestrado em Educação Matemática na Universidade Santa Úrsula fiz uma especialização em ensino de Matemática na UERJ e trabalhava com turma de ensino fun-damental e médio. O mestrado na Universidade Santa Úrsula não abriu edital e então fui procurar outra pós-graduação que pudesse juntar Educação e Matemática. Sempre trabalhando (teve época que em cinco escolas concomitantemente), fiz o mestrado em Educação, mas tive a oportunidade de desenvolver uma pesquisa envolvendo jogos mate-máticos. Ao terminar o mestrado, voltei ao Espírito Santo e comecei a trabalhar no ensino superior, em faculdades particulares e pública, mas já visando o doutorado. Fui professora substituta na UFES, campus São Mateus, e realizei um trabalho voluntário na organização da Primeira Semana de Matemática de São Mateus. Nesse congresso tive contato com vários professores de outras instituições.

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Num congresso posterior, o ERMAC, realizado na Univerisade Federal do Espírito Santo, campus Vitória, também trabalhei como voluntária e reencontrei alguns professores. No primeiro dia de congresso fiz questão de buscar a maioria dos professores convidados no aeroporto e levá-los ao hotel. Num desses percursos, a professora Nair Maria Maia de Abreu, da COPPE, me perguntou: “Bea, o que anda fazendo?”, respondi, “Estou pro-curando um doutorado, mas por enquanto estou fazendo uma disciplina como ouvinte na UFES, a disicplina na área de inteligência artificial.”.

Então, a professor Nair me disse que a COPPE estava com as inscrições abertas para o doutorado e para eu tentar a prova e me sugeriu o professor Samuel Jurkiewicz como orientador. Na semana do congresso foi muita correria, mas consegui acessar o site da COPPE, fazer o projeto e me inscrever. Passei nas etapas, e comemorei com vários gritos (PASSEI!!!!!!) quando recebi o resultado.

Iniciei o doutorado em Engenharia da Produção na COPPE/UFRJ, como bolsista do CNPq, onde conheci a Teoria dos Grafos. Minha vontade de pesquisar algo na área da Educação Matemática sempre me rondou.

Devido à cardiopatia de meu esposo, semanalmente, ficava no trecho Rio e Vitória. Já no período em que comecei a escrever minha tese, um temporal tomou conta de minha vida, pois além de complicações no parto, tive a notícia de que não poderia mais ter filhos. Tive que, pelo menos temporariamente, abandonar o doutorado e voltei a lecionar em faculdades particulares na região metropolitana da Grande Vitória. Emocionalmente não estava apta para voltar a escrever a tese, pelo menos naquele período.

Conheci o Prof. Rodolfo Chaves, por volta de 2008. Participamos juntos de banca de concurso público e em minhas turmas de Licenciatura ele esteve presente algumas vezes para proferir palestras relativas a assuntos relacionados às disciplinas que ministrava. Quando tive conhecimento do mestrado profissionalizante em Educação em Ciências e Matemática no IFES-ES vi finalmente a oportunidade de realizar a vontade de retomar mi-nhas pesquisas voltadas à área de Educação Matemática. Então, procurei o Prof. Rodolfo que me disse: “primeiro faça o concurso. Caso você passe então, terei o maior prazer em orientá-la.”. Muitos assuntos vieram à minha mente para a pesquisa, mas além da Educação Matemática, a Teoria dos Grafos já estava também no meu coração. Com isso decidi juntar um pouco da Teoria dos Grafos com ensino de Matemática, originando esse trabalho.

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que-brado, partido) – mas me lembro de algo que, ao encerrar a primeira reunião de orientação, com minha amiga e “irmãzinha acadêmica”, Mariana dos Santos Cezar, nosso orientador, parafraseando um de seus aportes teóricos, nos disse: “Meninas, como diria Max Stirner

1_{, o saber tem que morrer para renascer na forma de vontade. Portanto, matem suas}

cer-tezas. Pesquisa e ciência se produz a partir de dúvidas e não de certezas, mas matar as certezas em momento algum significa perder a vontade. O mais importante é que mante-nham sempre a vontade e o compromisso acessos em vocês.”. E foi assim que produzi essa pesquisa. Mantendo sempre acesso a possibilidade de transformar, de ir além das minhas certezas, mas sempre me questionando para que as dúvidas pudessem confrontar verdades cristalizadas, ou como diz meu orientador, para que meu lado de educadora não comprometa meu papel de pesquisadora no desenvolvimento deste trabalho.

1.2PROPOSTA METODOLÓGICA

A Matemática Discreta é um dos campos da Matemática onde se insere a Teoria dos Gra-fos. Neste trabalho discutiremos a partir da proposta metodológica da Resolução de Proble-mas alguns probleProble-mas clássicos, que são resolvidos com essa teoria, com vistas a analisar significados produzidos por professores e futuros professores face a uma proposta de in-serção da Teoria dos Grafos a partir do ensino médio. Lembremo-nos que a Teoria dos Grafos está presente em cursos de graduação de licenciatura e bacharelado em Matemá-tica. Tomemos a situação:

O ensino da Matemática, essa ciência exata, é (re) passado de forma pro-gressiva e organizada, apesar da disciplina ser considerada sempre difí-cil de aprender. No ensino da Matemática usamos conceitos, definições, teoremas, postulados, axiomas e muitos exercícios de fixação de aprendi-zagem. Um exemplo da progressão do ensino é sobre os conjuntos dos números que nas séries iniciais até a quinta série temos apenas os natu-rais e racionais positivos (subconjunto), nas séries seguintes, os inteiros,

1_{Max Stirner é o pseudônimo de Johann Kaspar Schmidt (1806-1856), filósofo alemão que fez parte da} esquerda hegeliana. Stirner foi aluno de Hegel na Universidade de Berlim, entre 1826 e 1828. Compôs os quadros dos ”jovens hegelianos“, formado em 1837, que agrupava jovens — muitos dos quais ainda estudan-tes — comprometidos com um espírito democrático que rompia com o modelo hegeliano oficial, formando assim à esquerda hegeliana e se autodenominavam jovens hegelianos. Stirner escreveu vários artigos na Gazeta Renana, da qual destaco um publicado em 1842: O falso princípio de nossa educação, publicado em abril, a pedido de Marx, por Stirner — um dos colaboradores mais frequentes desse periódico que de março a outubro publicou vinte e seis artigos. Nesse artigo Stirner externa sua opinião contrária à alfabetização pro-posta como combate contra o analfabetismo, por não acreditar que a alfabetização equivaleria à educação de homens livres. Stirner estabelece críticas à pedagogia humanista — preocupada com a formação clássica na qual predominam as humanidades greco-latinas — e à pedagogia realista que insiste na superioridade dos estudos científicos e na formação técnico-profissional — voltada para a produção de saberes cívicos e aptos para que o cidadão chegue ao mercado de trabalho — sendo que, em ambas, a educação, não era outra coisa senão a acumulação de conhecimentos que domesticam. Nesses dois modelos pedagógicos, Stirner identifica a intenção comum de negação do indivíduo.

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racionais, reais e irracionais; chegando ao ensino médio como os com-plexos. Logo, o aprendizado foi feito durante toda a vida escolar do aluno, lembrando que limitamos apenas num assunto como amostra.(MACHADO, 2004.p.01).

Quando ensinamos objetivando uma aprendizagem crítica é pertinente pautarmo-nos no cotidiano do aluno, principalmente se levarmos em consideração Chaves (2004, p. 81-82), que adota como princípio, para o desenvolvimento de PEI, a proposta de Patrick Geddes,

2 _{de que um aluno em contado com a realidade do seu ambiente desenvolve atitudes}

criativas em relação ao mesmo, cabendo aos professores desempenhar o papel de execu-tores de uma educação que incorpore uma análise da realidade socioambiental opondo-se àquela em que o aluno é levado a ignorar as consequências dos seus atos. Um exemplo disso é trabalhar com materiais e situações do seu dia a dia como quantificar, enumerar, associar, listar, relacionar, dividir, compartilhar, simular e comparar apropriando-se para tal de princípios e operações matemáticas nos vários conjuntos numéricos.

Não apenas na linha de Resolução de Problemas, mas em diversos setores do campo da Educação Matemática, debate-se e investiga-se a cultura da hegemonia dos exercícios de fixação e, ao se adotar como procedimento de ensino apenas a técnica de repetição, levamos o aluno a um “mecanicismo” que vai ao encontro do que Chaves (2014, p.81-82) exaltou como princípio a partir da proposta de Patrick Geddes, supracitada. Do ponto de vista prático e à luz da cognição, ao resolvermos um exercício, é usual levarmos os alunos a conceitos e definições; todavia, ficarmos presos somente a isso, abandonando quaisquer possibilidades de contextualização, é exatamente levar o aluno a ignorar as consequências dos seus atos.

Para nos contrapormos a tal situação, trabalharemos a partir da Resolução de Problemas por entendermos que “a Resolução de Problemas deve estar no centro do ensino e da aprendizagem da Matemática, em todos os níveis escolares”. (APM, 1988, p.30).

De acordo com Abrantes (1989) a Resolução de Problemas é reconhecida como o motor do desenvolvimento da Matemática e da atividade matemática e não como “uma actividade complementar, paralela, geralmente destinada a estimular ou detectar alunos particular-mente dotados.” (p.1).

Respaldamo-nos que

A resolução de problemas deve ser um processo que envolva activamente

2_{(1854-1923), biólogo e filósofo escocês, considerado o pai da Educação Ambiental, conhecido por seu} pensamento inovador nos campos do planejamento urbano e da educação.

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os alunos na formação de conjecturas, na investigação e exploração de ideias, que os leve a discutir e pôr em questão a sua própria maneira de pensar e também a dos outros, a validar resultados e a construir argumen-tos convincentes. Por isso mesmo, a resolução de problemas não acontece quando os alunos fazem uma página de cálculo, quando seguem o exem-plo do cimo da página ou quando todos os problemas se destinam à prática do algoritmo apresentado nas páginas precedentes. (NCTM, 1987).

No capítulo 2 descrevemos uma revisão de literatura dividida em dois itens:

1. A Resolução de Problemas de acordo com Pólya (1995) e Pozo (1998), por enten-dermos que a segunda obra vem a ser uma continuidade da primeira; isto é, Pozo (1998) toma como fonte primária Pólya (1995). Não podemos esquecer de Dante (1989) que também teve contribuições na Resolução de Problema e possui o mesmo viés de Pólya (1995) e Pozo(1998).

2. O Modelo dos Campos Semânticos para que possamos analisar a produção de sig-nificado e respaldamo-nos nos PCN’s (BRASIL, 1998), para propor a inserção da Teoria dos Grafos a partir do ensino médio usando como procedimento a Resolução de Problemas.

No capítulo 3 apresentamos uma o apoio metodológico com a caracterização da pesquisa, levantamento e análise dos dados, procedimentos e descrição dos mesmos onde temos a proposta de inserção da Teoria dos Grafos e os conteúdos tratados nas aulas que foram

divididos em três unidades e estão nos apêndicesB aJ.

No capítulo 4 descrevemos os significados produzidos a partir da intervenção e finalizamos, no capítulo 5, as considerações finais.

Em nosso grupo de pesquisa, o GEPEMEM, adotamos a ideia advinda de Chaves (2004) de que uma estratégia é algo similar a uma armadilha e as táticas são as ações que impulsionam à estratégia. Assim, entendemos objetivo geral como estratégia e objetivos específicos como táticas. Então, temos como objetivo geral ou estratégia de pesquisa: Analisar que significados são produzidos acerca da apresentação de uma proposta de in-serção da Teoria dos Grafos em conteúdos matemáticos a partir do ensino médio utilizando a Resolução de Problemas. Essa estratégia gerou a pergunta-diretriz:

Que significados são produzidos por futuros professores com a apresentação de uma pro-posta de inserção da Teoria dos Grafos em conteúdos matemáticos a partir do Ensino Médio utilizando a Resolução de Problemas?

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Logo, com o propósito de atingirmos a estratégia e de responder à pergunta-diretriz da pesquisa adotamos como táticas inserir a Teoria dos Grafos nas aulas de Matemática a aprtir do ensino médio usando a Resolução de Problemas e, para tal, nos propusemos a verificar:

1. Se há (e caso haja, quais) procedimentos adequados para o ensino da Teoria dos Grafos?

2. De que forma(s) é possível adotar a proposta apresentada em Pólya (1995) para atingir à tática supracitada?

3. De que forma(s) é possível adotar a proposta apresentada em Pozo (1998) para atingir à tática supracitada?

4. É possivel trabalhar concomitantemente Teoria dos Grafos e Resolução de Proble-mas em aulas de Matemática a partir do ensino médio? Como? Por que?

Optamos pelo ensino médio para ser a etapa inicial à abordagem da Teoria dos Grafos, pois segundo Brasil (1998) e as OCNEM (BRASIL, 2006), podemos incluir temas que auxiliam as necessidades da vida contemporânea.

Os objetivos do Ensino Médio em cada área do conhecimento devem en-volver, de forma combinada, o desenvolvimento de conhecimentos práti-cos, contextualizados, que respondam às necessidades da vida contem-porânea, e o desenvolvimento de conhecimentos mais amplos e abstratos, que correspondam a uma cultura geral e a uma visão de mundo. Para a área das Ciências da Natureza, Matemática e Tecnologias, isto é par-ticularmente verdadeiro, pois a crescente valorização do conhecimento e da capacidade de inovar demanda cidadãos capazes de aprender conti-nuamente, para o que é essencial uma formação geral e não apenas um treinamento específico. (BRASIL, 1998, p.6).

Essa proposta, apresentada em Brasil (1998), converge com os princípios suscitados por Chaves (2004, p.81-82) a partir de Patrick Geddes, que citamos na introdução desse texto. Brasil (1998) também cita que uma das suas competências é a contribuição da escola na formação de um indivíduo crítico e reflexivo, convergindo mais uma vez com Chaves (2004). Por isso, reiteramos o uso da Resolução de Problemas para que o indivíduo desenvolva a capacidade de aprender crítica e continuamente.

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Como resultado deste trabalho apresentamos um guia educacional como material de apoio para professores (não só de Matemática) auxiliando numa inserção da Teoria dos Grafos a partir do ensino médio.

Assim, tomamos como hipótese que nosso guia educacional possa auxiliar na formação e orientação de professores de Matemática, viabilizando a inserção da Teoria dos Grafos a partir do ensino médio, e para tal nos propusemos a:

1. Apresentar na linha de Resolução de Problemas situações que possam ser resolvi-das pela Teoria dos Grafos envolvendo Análise Combinatória e Álgebra Linear. 2. Investigar a proposta de Resolução de Problemas tendo como suporte teórico a

His-tória e o desenvolvimento da Teoria dos Grafos.

3. Apresentar uma proposta de introdução à Teoria dos Grafos problematizada para professores em processo de formação inicial.

4. Evidenciar os significados produzidos pelos atores da pesquisa face à apresentação da proposta.

5. Analisar e verificar possíveis transformações em relação a significados produzidos antes e depois da apresentação da proposta.

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2REVISÃODELITERATURA

2.1RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS

Existem várias definições para “ O que é um problema?”, escolhemos duas apenas pelo fato de que elas se adequam a nosso trabalho.

Segundo Kantowski (1981), um problema é uma situação que difere de um exercício pelo fato de o aluno não dispor de um procedimento ou algoritmo que conduzirá com certeza a uma solução que exija o pensar do indivíduo para solucioná-la.

Para Dante (1989), um problema é qualquer situação que exija o pensar do indivíduo para solucioná-la. Ele ainda afirma que, um problema de Matemática, é qualquer situação que exija a maneira matemática de pensar e conhecimentos matemáticos para solucioná-la e também que um bom problema suscita a curiosidade e desencadeia no aluno um compor-tamento de pesquisa, diminuindo sua passividade e conformismo.

Dante (1989, p.11-15) também sugere objetivos à Resolução de Problemas:

1. Levar o aluno a pensar produtivamente: para que o aluno pense produtivamente deve-se apresentar uma situação problema envolvente, que o desafie e o motive a solucioná-la.

2. Desenvolver o raciocínio do aluno: além de desenvolver o raciocínio, desenvolver a habilidade de elaborar um raciocínio lógico para que ela saiba quais recursos podem ser propostos para a solução do problema.

3. Apoiar e estimular o aluno a enfrentar situações novas: desenvolver no aluno inici-ativa, autonomia, criatividade para que ele esteja preparado ao se deparar com um novo problema e saber resolvê-lo.

4. Dar ao aluno a oportunidade de se envolver com as aplicações da Matemática: pre-parar o aluno para saber quando e como utilizar conhecimentos matemáticosna reso-lução de situações-problema. Não incentivar a “mecanização ” do uso das operações, por exemplo.

5. Tornar as aulas de Matemática mais interessantes e desafiadoras: incentivar e orien-tar o aluno para que trabalhe individualmente ou em grupo na “aventura” de buscar a

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solução de um problema. Sair do clássico esquema de explicar e repetir, a “mecani-zação” que já nos referimos anteriormente e que Chaves (2004) trata como homilia professoral , ou práticas homiléticas, que inviabiliza a contextualização, a criticidade, a possibilidade de transvalorização, como diz Chaves (2004) ao adotar Nietzsche para fundamentação de Práticas Educativas Investigativas (PEI) que são propostas a partir do princípio já exposto (de que um aluno em contado com a realidade do seu ambiente desenvolve atitudes criativas em relação ao mesmo, cabendo aos pro-fessores desempenhar o papel de executores de uma educação que incorpore uma análise da realidade socioambiental opondo-se àquela em que o aluno é levado a ignorar as consequências dos seus atos.).

6. Equipar o aluno com estratégias para resolver o problema: mostrar para o aluno que ele precisa traçar estratégias para resolver o problema auxiliando-o na análise e solução de situações onde elementos desconhecidos são procurados.

Assim, pensamos usar a Resolução de Problemas para termos, em acordo com Dante (1989) indivíduos “matematicamente” alfabetizados e críticos, que saibam resolver seus problemas de comércio, economia, administração, engenharia, medicina, previsão de tempo, e outros do cotidiano, ou como aponta Chaves (2004), levando-o a pensar global-mente, mas com possibilidades de agir localmente para transformar sua própria realidade ao invés de pôr-se utopicamente na tentativa de transformar o mundo, mas não a si mesmo.

2.1.1ResoluçãodeProblemassegundoPólya(1995)

Um dos precursores de Resolução de Problemas é George Pólya, com a primeira edição do seu livro, traduzido para a língua portuguesa, em 1977: A arte de resolver problemas. Ele destaca na sua obra a importância da heurística, que é a arte da descoberta. De acordo com Pólya (1995):

A Heurística moderna procura compreender o processo solucionador de problemas, particularmente as operações mentais, típicas desse processo, que tenham utilidade. Dispõe de várias fontes de informações, nenhuma das quais deve ser desprezada. Um estudo consciencioso da Heurística deve levar em conta, tanto as suas bases lógicas quanto as psicológicas. (...) O estudo da Heurística tem objetivos “práticos”: melhor conhecimento das típicas operações mentais que se aplicam à resolução de problemas pode exercer uma influência benéfica sobre o ensino, particularmente so-bre o ensino da Matemática. (p.86).

Essa obra destaca grandes matemáticos, filósofos, físicos e psicólogos (Euclides, Descar-tes, Leibnitz, Bernard Bolzano, Pappus, Ernst Mach, Jacques Hadamard, William James,

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Wolfgang Kohler, K. Duncker e F. Krauss) e apresenta a resolução de diversos problemas apenas pelo “prazer da descoberta”. Nela é sugerida uma rotina passo a passo de como se deve resolver um problema. Vejamos o que porpõe:

• Compreensão do problema

- É preciso compreender o problema. Qual é a incógnita? Quais são os dados? Qual é a condicionante? É possível satisfazer a condicionante? A condicionante é suficiente para determinar a incógnita? Ou é insuficiente? Ou redundante? Ou contraditória?

- Trace uma figura. Adote uma notação adequada. Separe as diversas partes da condicionante. É possível anotá-las?

Dante (1989), afirma que o professor deve fazer perguntas à classe para averiguar se os alunos compreenderam o que o problema está perguntando e para os encora-jarem a fazer pergunta.

• Estabelecimento de um plano

- Encontrar a conexão entre os dados e a incógnita.

- É possível que seja obrigado a considerar problemas auxiliares se não puder encon-trar uma conexão imediata.

- É fundamental que se estabeleça um plano para a resolução.

Nessa etapa, Pólya (1995) sugere que o professor averigue se os alunos conhecem estratégias para resolver o problema e os questionar se já resolveram algum pro-blema semelhante, como o resolveram e se podem usar essa resolução para auxiliar na solução desse problema.

No que se refere a esse quesito, Dante (1989) lembra a importância do diálogo do professor com a turma nessa estratégia de resolução: não é aconselhável que o professor apresente apenas a sua estratégia e resolva o problema através dela.

• Execução do plano

- Ao executar o seu plano de resolução, verifique cada passo.

- É possível verificar claramente que o passo está correto? É possível demonstrar que ele está correto?

- As estratégias estabelecidas no passo anterior são executadas aqui. Se uma não der certo, pode-se usar outra que foi apresentada. Nessa etapa é recomendável que se incentive, se trabalhe a habilidade do aluno em executar o plano estabelecido.

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• Retrospecto

- Examine a solução obtida.

- É possível verificar o resultado? É possível verificar o argumento?

- É possível chegar ao resultado por um caminho diferente? É possível perceber isto num relance?

- É possível utilizar o resultado, ou o método, em algum outro problema?

A verificação do resultado é muito importante para completar o processo da Resolu-ção de Problemas. Cabe então ao professor incentivar os alunos a defender por que a resposta está correta e fazer um retrospecto da resolução.

Para Pólya (1995), o estudante deve ser mais independente e cabe ao professor o papel de auxiliar o aluno, nem demais nem de menos: “se o aluno for deixado sozinho, ... é possível que não experimente nenhum progresso...Se o professor ajudar demais, nada restará para o aluno fazer.” (PÓLYA, 1995, p.1).

As atividades propostas aos alunos devem ser desafiadoras e interessantes para que os alunos se sintam motivados e curiosos na resolução de um determinado problema que, também quando possível, use seus conhecimentos para problemas do cotidiano.

2.1.2ResoluçãodeproblemassegundoPozo(1998)

Constatamos emPozo(1998) que o aluno sóaprende a aprender coma solução de

pro-blemas:

Ensinar a resolver problemas não consiste somente em dotar os alunos de habilidades e estratégias eficazes, mas também em criar neles o hábito e a atitude de enfrentar a aprendizagem como um problema para o qual deve ser encontrada uma resposta. Não é uma questão de somente en-sinar a resolver problemas, mas também de enen-sinar a propor problemas para si mesmo, a transformar a realidade em um problema que mereça ser questionado e estudado. (...) a aprendizagem da solução de problemas so-mente se transformará em autônoma e espontânea se transportada para o âmbito do cotidiano, se for gerada no aluno a atitude de procurar respostas para suas próprias perguntas/problemas, se ele se habituar a questionar ao invés de receber respostas já elaboradas por outros... (POZO, 1998, p.14).

Echeverría (1998) destaca a importância de “ resolver para aprender e aprender para resol-ver” na solução de problemas. Em especial, na solução de problemas matemáticos temos um método de aprendizagem e um objetivo do mesmo:

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É um método de aprendizagem na medida em que grande parte do con-teúdo da Matemática escolar trata de habilidades, técnicas, algoritmos ou procedimentos heurísticos que podem ser usados em diversos contextos (cotidiano, científico etc.). Para alcançar uma aprendizagem significativa desse tipo de técnicas é necessário aprender a usá-las no contexto de di-versos problemas. É um objetivo da aprendizagem na medida em que não é possível aprender a solucionar problemas independentemente da apren-dizagem de conceitos e conhecimentos de Matemática e que, ao mesmo tempo, como vimos, a solução de problemas exige o acionamento e a co-ordenação de muitos processos complexos. (ECHEVERRÍA, 1998, p.63).

A resolução de problemas não pode ser vista tão-somente como uma técnica a ser ensi-nada; Pozo (1998) propõe alguns critérios que permitem transformar as tarefas escolares em problemas, em vez de imples exercícios:

Na proposição do problema

• Propor tarefas abertas que admitam vários caminhos possíveis de resolução e,

inclu-sive, várias soluções possíveis, evitando assim as tarefas fechadas.

• Modificar o formato ou a definição dos problemas, evitando que o aluno identifique

uma forma de apresentação com um tipo de problema.

• Diversificar os contextos nos quais se propõe a aplicação de uma mesma estratégia,

fazendo com que o aluno trabalhe os mesmos tipos de problemas em diferentes momentos do currículo, diante de conteúdos conceituais diferentes.

• Propor tarefas não só com um formato acadêmico, mas também dentro de cenários

cotidianos e significativos ao aluno, procurando fazer com que o mesmo estabeleça conexões entre ambos os tipos de situações.

• Adequar a definição do problema, as perguntas e a informação proporcionada aos

objetivos da tarefa, usando, em diferentes momentos, formatos mais ou menos aber-tos, em função desses mesmos objetivos.

• Usar os problemas com fins diversos durante o desenvolvimento ou sequência

di-dática de um tema, evitando que as tarefas práticas apareçam como ilustração, de-monstração ou exemplificação de alguns conteúdos previamente apresentados ao aluno.

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• Habituar o aluno a adotar as suas próprias decisões sobre o processo de resolu-ção, assim como a refletir sobre esse processo, dando-lhe uma autonomia crescente nesse processo de tomada de decisões.

• Fomentar a cooperação entre os alunos na realização das tarefas, mas também

in-centivar a discussão e os pontos de vista diversos, que obriguem a explorar o espaço do problema para comparar as soluções ou caminhos de resolução alternativos.

• Proporcionar aos alunos a informação que precisarem durante o processo de

resolu-ção, realizando um trabalho de apoio, dirigido mais a fazer perguntas ou a fomentar nos alunos o hábito de perguntar-se do que a dar resposta às perguntas dos alunos.

Na avaliação do problema

• Avaliar mais os processos de resolução seguidos pelo aluno do que a correção final

da resposta obtida; ou seja, avaliar mais do que corrigir.

• Valorizar especialmente o grau em que esses processo de resolução envolve um

pla-nejamento prévio, uma reflexão durante a realização da tarefa e uma auto-avaliação pelo aluno do processo seguido.

• Valorizar a reflexão e a profundidade das soluções alcançadas pelos alunos e não a

rapidez com que são obtidas.

Esses critérios são importantes tanto na formulação do problema como durante o processo de sua resolução por parte dos alunos e também na própria avaliação do aluno.

2.2MODELO DOS CAMPOS SEMÂNTICOS (MCS)

Para discutirmos o MCS adotamos como referencial teórico Lins (1999 e 2004), Lins e Gimenez (1997), Chaves (2004).

Cezar (2014) destaca que o MCS foi concebido por Romulo Campos Lins, por volta de 1986, porém, 6 anos mais tarde, em 1992, que inicia sua escrita. A aludida obra, ao analisar Lins (2012, p.11), ainda destaca que foi a partir das inquietações relacionadas à sala de aula que Romulo Campos Lins objetivou caracterizar o que seus alunos pensavam quando “erravam”, mas sem com isso ter que recorrer à ideia de erro.

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O MCS se alicerça na dinâmica de produção de conhecimento e na produção de signifi-cado e, em nosso trabalho, o tomaremos como procedimento de análise a partir de Dantas e Cyrino (2012, p.129-138), para analisarmos os modos de produção de significado dos atores envolvidos, estabelecendo analogia entre as enunciações emitidas antes e depois da apresentação de uma proposta de inserção da Teoria dos Grafos, na oficina que de-senvolvemos no GEPEMEM. Para esse procedimento fomos a Cezar (2014) e tomamos características gerais do MCS: o espaço comunicativo estabelecido por autor-leitor-autor, a análise das enunciações na busca de significados produzidos (sem considerar a ideia de erro), a constituição de estipulações locais (sem evidenciá-las como únicas).

As análises advêm de respostas descritas em questionários, em gravações de áudio, a partir das falas, realizadas durante o processo de pesquisa (a oficina de Teoria dos Grafos que desenvolvemos a partir do GEPEMEM). Assim, a partir dessa perspectiva, buscamos estabelecer relações que sustentem a visão dos atores da pesquisa a partir de uma leitura plausível. Consideramos como leitura plausível

Toda tentativa de se entender um autor deve passar pelo esforço de olhar o mundo com os olhos do autor, de usar os termos que ele usa de uma forma que torne o todo de seu texto plausível. (LINS, 1999, p.93).

É importante destacarmos que não buscamos, com a produção de significado “avaliar” o que é certo ou o errado, até porque, segundo o MCS, uma noção básica de avaliação perpassa pelo seu propósito.

Com relação a este propósito podemos, por exemplo, pensar em: (A1) para saber o que está acontecendo; (A2) para saber se o que está acontecendo corresponde ao que queríamos; (A3) para selecionar as pessoas que se comportam, em algum sentido, de uma certa forma dominante e que é considerada correta. (LINS, 1999, p.76).

Em nossas análises, em um instante inicial consideramos (A1) para nos situarmos em re-lação aos atores participantes da nossa oficina (cenário onde se desenvolveu a pesquisa). Ao aplicarmos a oficina buscamos analisar os significados produzidos com vistas a focar-mos (A2) para verificar o quão nossa proposta pode ser exequível ou não.

O que nos motivou trilharmos esse caminho foi a possibilidades de efetuarmos leituras não mais do trabalho (de uma prova, um texto) de um aluno, mas dos significados por ele produzidos ao se deparar com um problema; isto é, vislumbramos então efetuar leituras do próprio aluno e do processo, não mais do produto, pois como atesta Lins (1999) “o aspecto

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central de toda aprendizagem – em verdade o aspecto central de toda a cognição humana – é a produção de significado.”. (LINS, 1999, p.86).

Logo, com o propósito de familiarizarmos os leitores deste texto, necessitamos elucidar alguns conceitos que dão suporte ao MCS, como, por exemplo, significado, produção de significado, enunciado, enunciação, leitor, texto, autor, crença-afirmação, resíduo de enun-ciação, espaço comunicativo, Campo Semântico etc.

Se acordo com Lins, 2012, p.11-30, temos que:

• significado: é tudo o que se pode e efetivamente se diz de um objeto numa certa

(dada) situação

• produção de significado: falar a respeito de um objeto

• leitor: produz significado para um resíduo de enunciação

• autor: produz a enunciação

• crença-afirmação: o sujeito enuncia algo em que acredita

• resíduo de enunciação: algo com que me deparo e que acredito ter sido dito por

alguém.

• espaço comunicativo: o autor produz uma enunciação, para cujo resíduo o leitor

produz significado através de uma outra enunciação, e assim segue. A convergência se estabelece apenas na medida em que compartilham interlocutores, na medida em que dizem coisas que o outro diria e com autoridade que o outro aceita. E isto que estabelece uma espaço comunicativo.

• Campo Semântico: é um processo de produção de significado ... é como sem fosse

um jogo no qual as regras (se existem) podem mudar o tmepo todo e mesmo serem diferentes para od vários jogadores dentro de limites; que limites são estes, só sabe-remos a posterior: enquanto a interação continua, tudo indica que as pessoas estão poerando em um mesmo campo semântico.

O lastro de nossas análises, neste trabalho, pauta-se pela perspectiva da produção de significado a partir de processos de ensino e de aprendizagem da inserção de Teoria dos Grafos para trabalharmos com alguns problemas básicos envolvendo Análise Combinatória e Álgebra Linear. Daí buscarmos um modelo de que nos possibilitasse analisar com mais propriedade o processo de produção de significado. No MCS significado de alguma coisa

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é o que é dito dessa coisa. Para Cézar (2014) o significado traduz a palavra, por ser um ato do pensamento, algo generalizado.

Grosso modo, significado, para mim é o que a coisa é.... quando falo de significados não estou me referindo a tudo que numa dada situação eu po-deria dizer de um objeto, e sim ao que efetivamente digo a respeito de um objeto dentro daquela atividade. (LINS, 1999, p.86-87). Significado de um objeto é aquilo que efetivamente se diz a respeito de um objeto, no interior de uma atividade... não existe o significado de um ‘objeto’ sem referência ao contexto em que se fala de um objeto (que se pensa com ele, que se pensa sobre ele). Talvez seja útil dizer que significado é sempre local. A noção de significado no MCS não é ambiciosa, ela é pragmática e pre-tende ser prática o bastante para tornar as leituras suficientemente finas. E assim ajuda a evitar que complicações se passem por complexidades. (LINS, 2012, p.28).

Cézar (2014) identifica que várias pesquisas na área (Lins e Gimenez (1997), Sad, (1999), Chaves (2001 e 2004), Silva (2003), Linardi (2006) etc.) adotam a produção de signifi-cado tal como concebida por Lins (1999 e 2012); isto é, defendem que toda produção de significado implica produção de conhecimento de maneira que passam a defender que “o aspecto central de toda aprendizagem – em verdade o aspecto central de toda a cognição humana – é a produção de significado” (LINS, 1999, p.86). A ideia de “erro” está rela-cionada a algum pensamento; assim, Lins propôs tratar essa possibilidade cognitiva do mesmo modo que as coisas “certas”.

É nessa perspectiva, segundo Cézar (2014, p.33), que o MCS direciona seu olhar “na busca da produção de significado; isto é, o que os alunos pensam e falam quando resolvem algum problema, seja ‘certo’ ou ‘errado’; qual a justificativa para esta resolução.”

Outro conceito basilar adotado pelo MCS é o de conhecimento, que, para Lins (2012, p.12), “um conhecimento consiste em uma crença-afirmação (o sujeito enuncia algo em que acredita) junto com uma justificação (aquilo que o sujeito entende como lhe autorizado a dizer o que diz)”.

Um conhecimento não é nem mais, nem menos, que isto. Existe em sua enunciação e deixa de existir quando ela termina. A justificação é parte constitutiva de um conhecimento, assim como aquilo que é afirmado e a crença no que é afirmado; isto quer dizer que o que constitui um conhe-cimento são estes três elementos. Nisso o MCS se diferencia de outras teorizações sobre conhecimento. (LINS, 2012, p.12).

A partir de tais teorizações Cezar (2014, p.33) toma como pressuposto que a produção de significado é necessária à produção de conhecimento. Em seu entendimento produzimos

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conhecimento por intermédio dos processos de enunciação.

Já Chaves (2004) defende que o conhecimento só existe à medida em que, entre o indiví-duo e o que ele conhece, se estabelece algo como uma luta; ou seja, o conhecimento se produz na ordem da batalha. Isso porque se configura sempre como uma relação estraté-gica em que o homem se encontra situado. Com isso, Chaves (2004, p.71) descreve:

Tal como Nietzsche, acreditamos que um conhecimento não se constrói a partir da aceitação de nossas verdades, mas a partir do questionamento das mesmas com respeito de algo a ser conhecido. Desta forma, enten-demos que o erro, a dúvida, a incerteza são pontos importantes para que possamos construir um conhecimento.

Tal concepção não se contrapõe, mas complementa a ideia de que o “conhecimento é uma crença-afirmação com uma justificação que me autoriza a produzir aquela enunciação.” (LINS, 1999, p.88). O que pode ser constatado em Silva (2003) ao comentar a noção de conhecimento apresentada por Lins (1999):

O sujeito acredita naquilo que está afirmando, o que implica que ele acredita estar autorizado a ter aquela crença. Mas não é suficiente que aquela pessoa acredite e afirme; é preciso também que ela justifique suas crenças-afirmações para que a produção de conhecimento ocorra. Porém, o papel da justificação não é explicar a crença-afirmação, mas tornar sua enunciação legítima, o que faz com que as justificações tenham um papel central no estabelecimento do conhecimento do sujeito. (SILVA, 2003, p.6).

Lins (1999) aborda o processo comunicativo e para tal expõe seu entendimento de au-tor, texto e leitor. Para o MCS o autor é aquele que, no processo produz a enunciação. “Quando o autor fala, ele sempre fala para alguém. Porém, por mais que um autor esteja

diante de uma plateia, este alguém não corresponde a indivíduos, pessoas nessa plateia e, sim, ao leitor que o autor constitui: é para este ‘um leitor’ que ‘o autor’ fala...” (LINS, 1999, p.81).

Silva (2003, p.50) para exemplificar tal concepção nos lembra que um professor em uma aula expositivo-explicativa, um artista plástico expondo seus trabalhos ou um escritor apre-sentando sua obra são exemplos de o autor. Ainda em Silva (2003) vimos que, dessa forma o leitor é aquele que, no processo, produz significados para o resíduo das enuncia-ções e cita como exemplo de o leitor, o aluno que, assistindo a uma aula, busca entender o que o professor diz. O mesmo vale para o crítico de arte ou o leitor de um livro.

O outro processo, aquele no qual o leitor lê, é semelhante, mas não idên-tico. O leitor constitui sempre um autor, e é em relação ao que este ‘um

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autor’ diria que o leitor produz significado para o texto (que assim se trans-forma em texto). Outra vez, o um autor é sempre cognitivo e não biológico e, não precisa corresponder de fato a nenhum outro real. ... E vale a pena enfatizar que é apenas na medida em que o leitor fala, isto é, produz signi-ficado para o texto, colocando-se na posição de autor, que ele se constitui como o leitor. (LINS, 1999, p.81).

Na leitura de Chaves (2004, p.10) a tal respeito, “quando o autor fala, o faz em uma dada direção com o propósito de que sua enunciação se transforme em texto para um possível leitor (um leitor ).”.

Ao revés do um leitor, o leitor é o sujeito que produz significados para o resíduo das enunciações supostamente produzidas por um autor. As-sim sendo, o leitor se constitui enquanto tal na medida em que fala, i. e., tão somente na medida em que, colocando-se na posição de autor, pro-duz significados para supostos resíduos de enunciação. Nestes termos, o leitor constitui sempre um autor como seu interlocutor, e é nesta relação dialógica, na condição de um autor, que o leitor produz significado para o resíduo da enunciação que, a partir daí, através da interlocução, se põe em texto. (CHAVES, 2004, p.10).

Já Silva (2003) designa esse um leitor de interlocutor e defende que o interlocutor “deve ser identificado como sendo uma direção na qual o autor fala e não com pessoas, com ‘rostos’ com quem falamos; mas com modos de produzir significados.”.

Outro conceito relevante à nossa pesquisa é o de texto (segundo o referencial do MCS). Logo, tomaremos texto não apenas com a classificação usual (de texto escrito), mas qual-quer resíduo de enunciação para o qual o leitor produza algum significado.

Mas quem pode dizer se algo é um texto ou não é apenas o leitor, e apenas no instante em que este leitor produz significado para o texto. Tanto quanto não há leitor sem texto, não há texto sem leitor. Então: o autor produz uma enunciação, para cujo resíduo o leitor produz significado através de uma outra enunciação, e assim, segue. A convergência se estabelece apenas na medida em que compartilham interlocutores, na medida em que dizem coisas que o outro diria e com autoridade que o outro aceita. É isto que estabelece um espaço comunicativo: não é necessária a transmissão para que se evite a divergência. (LINS, 1999, p.82).

Lins (2001) exemplifica dizendo que os sons (resíduos de elocução), bem como desenhos e diagramas, gestos e todos os sinais do corpo, enquanto resíduos de enunciação, também se constituem como texto.

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O que faz do texto o que ele é, é a crença do leitor que ele é, de fato, resíduo de uma enunciação, ou seja, um texto é delimitado pelo leitor; além disso, ele é sempre delimitado no contexto de uma demanda de que algum significado seja produzido para ele. (LINS, 2001, p.59).

Assim, Chaves (2004, p.11) defende que “um texto deve ser entendido como os significados produzidos pelo o leitor, a partir do que ele acredita ser o resíduo de uma enunciação.”. No MCS o texto é o resíduo de uma enunciação, todavia, este texto só existirá apenas no instante em que o leitor produzir significado para ele. (Lins, 1999).

A respeito de objetos, Lins (1999) apresenta:

Os objetos são constituídos enquanto tal precisamente pela produção de significado para eles. Não se trata de ali estão os objetos e aqui estou eu, para a partir daí eu descobrir seus significados; ao contrário, eu me consti-tuo enquanto ser cognitivo através da produção de significado que realizo, ao mesmo tempo em que constituo objetos através destas enunciações. (LINS, 1999, p.86).

Uma premissa relevante ao MCS – e por consequência ao nosso trabalho – é de que quem produz significado não é o emissor, mas o receptor da enunciação. Dessa forma, para que emissor e receptor de uma enunciação possam compartilhar o mesmo espaço comunicativo, ou seja, produzam uma efetiva comunicação e daí que ocorra entre eles uma interlocução, devemos entender que o interlocutor

é uma direção na qual se fala. Quando falo na direção de um interlocutor é porque acredito que este interlocutor diria o que estou dizendo e aceita-ria/adotaria a justificação que me autoriza a dizer o que estou dizendo. O interlocutor é um ser cognitivo, não um ser biológico. (LINS, 2012, p.19).

Em Lins (2012, p. 17) campo semântico é um processo de produção de significado, em relação a um núcleo, no interior de uma atividade e, justamente por ser processo, admite que se associe dinâmicas de tal processo. Um campo semântico não é uma categoria exa-tamente pelo seu caráter dinâmico, processual, no entanto ao analisarmos os significados produzidos e a dinâmica dessa produção de significado acabamos que por analisando que objetos são constituídos o que em momento algum implica que se esteja caracterizando os mesmos com o propósito de se estabelecer como que as regras de um jogo.

Um campo semântico, de modo geral, é como se fosse um jogo no qual as regras (se existem) podem mudar o tempo todo e mesmo serem dife-rentes para os vários jogadores dentro de limites; que limites são estes, só

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sabemos a posteriori: enquanto a interação continua, tudo indica que as pessoas estão operando em um mesmo campo semântico. (LINS, 2012, p.17).

Há de se esclarecer que mesmo que haja tal flexibilidade é perigoso efetuarmos uma leitura pela falta, ou seja, de se pensar que um campo semântico é o mesmo que campo conceitual. Pois não o é! Isto porque um campo semântico indica em modo legítimo de produção de significado. Legítimo porque está acontecendo. É dinâmico!

É no interior dos campos semânticos que se produz conhecimento e sig-nificado, que objetos são constituídos. Do ponto de vista da produção do conhecimento e significado, e da constituição de objetos, campo semântico é, como a atividade de Leontiev (no caso da análise da atividade humana). Do ponto de vista da teorização, “campo semântico” serve para articular “produção de conhecimento”, “significado”, “produção de significado”e

“ob-jeto”. (LINS, 2012, p.18).

Lins (2012, p. 29) chama atenção para o fato de que falar modos de produção de sig-nificado não implica em falar especificamente de campos semânticos, mas de campos semânticos idealizados que “existem na forma de repertórios”. Tal ressalva nos cai bem para que possamos então justificar que em nosso trabalho ao analisarmos a produção de significado, advindas da apresentação de uma proposta, desenvolvida a partir de uma ofi-cina em que trabalhamos com Teoria dos Grafos, estaremos elencando, a partir da análise modos da produção de significado de uma proposta de inserção da Teoria dos Grafos em conteúdos matemáticos a partir do ensino médio utilizando a Resolução de Problemas.

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3 APOIOMETODOLÓGICO

Para esta pesquisa escolhemos uma abordagem qualitativa, nos moldes do estudo de caso, conforme dito anteriormente, para analisar quais significados que foram produzidos a partir da intervenção realizada.

3.1CARACTERIZAÇÃO DA PESQUISA

De acordo com Gil (2008), como em qualquer pesquisa, um estudo de caso inicia-se com a formulação de um problema. Escolhemos o estudo de caso único e nossos atores da pesquisa são alunos pibidianos e concluintes do curso de Licenciatura em Matemática do Ifes (Campus Vitória), participantes do GEPEMEM (inicialmente 15 alunos). Escolhemos esse perfil para os atores por dois motivos: (i) queríamos nos deparar com licenciandos que já estudaram, ou estão estudando Álgebra Linear e Análise Combinatória; (ii) por terem cursado a disciplina Estágio Supervisionado IV ou estarem em sala através do PIBID, nos garantindo assim a regência em sala de aula.

Em consonância com Gil (2008) utilizamos a parte documental (no aporte teórico), as entre-vistas (as atividades da oficina foram expositivas-dialogadas com vários questionamentos em plenárias - roda de conversa) e observações (ocorridas durante a execução das ativi-dades da oficina).

Optamos pela observação sistemática, pois, nessa modalidade, o pesquisador sabe quais os aspectos da comunidade, da organização ou do grupo são significativos para alcançar os objetivos pretendidos. (Gil, 2008, p.121).

Para trabalharmos no viés da Resolução de Problemas tomaremos como suporte a meto-dologia apresentada em Pólya (1995) juntamente com a apresentada em Pozo (1998); para os conceitos da Teoria dos Grafos usaremos as obras de Boaventura (2006) e Jurkiewicz (2009) e, para a produção de significado, o MCS de acordo com Lins (1999 e 2012). Para o desenvolvimento das atividades de campo relativas a este trabalho temos como atores da pesquisa os alunos do curso de Licenciatura em Matemática do Ifes (campus Vitória) Pibidianos do GEPEMEM. A maioria desses alunos possui Regência em Classe, seja nas atividades do PIBID (mantido pela CAPES/MEC), seja na disciplina eletiva Estágio Supervisionado IV.

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Adotamos a pesquisa de natureza qualitativa com enfoque no estudo de caso para anali-sarmos o processo de produção de significado produzido pelos atores envolvidos.

Nas atividades de campo, no primeiro contato, os atores da pesquisa foram questionados a respeito dos seus conhecimentos prévios de Análise Combinatória e Álgebra Linear e o uso dos mesmos a partir da Resolução de Problemas. Após esse questionamento iniciamos a

apresentação de uma proposta de ensino, tendo como material didático os apêndices (Ba

J) apresentados neste texto e, para investigação desse processo analisamos a produção

dos significados a cerca do conhecimento produzido na inserção da Teoria dos Grafos usando a Resolução de Problemas a partir do ensino médio.

3.1.1Estudodecaso

Yin (1994) define “estudo de caso” com base nas características do fenômeno em estudo e com base num conjunto de características associadas ao processo de recolha de dados e às estratégias de análise dos mesmos. Ele afirma que

esta abordagem se adapta à investigação em educação, quando o investi-gador é confrontado com situações complexas, de tal forma que dificulta a identificação das variáveis consideradas importantes, quando o investiga-dor procura respostas para o “como?” e o “porquê?”, quando o investigainvestiga-dor procura encontrar interacções entre fatores relevantes próprios dessa en-tidade, quando o objectivo é descrever ou analisar o fenômeno, a que se acede diretamente, de uma forma profunda e global, e quando o investi-gador pretende apreender a dinâmica do fenômeno, do programa ou do processo. (YIN, 1994, p.13).

Então, o estudo de caso, de acordo com Yin (1994) é uma abordagem metodológica de investigação especialmente adequada quando procuramos compreender, explorar ou des-crever acontecimentos e contextos complexos, nos quais estão simultaneamente envolvi-dos diversos fatores.

Gil (2008) argumenta que o estudo de caso consiste no estudo profundo e exaustivo de um ou poucos objetos, de maneira que permita seu amplo e detalhado conhecimento. Ele pro-põe um conjunto de etapas que, não necessariamente nesta ordem, são seguidas nesse tipo de pesquisa:

• formulação do problema ou das questões de pesquisa

• definição das unidades-caso

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• elaboração do protocolo

• coleta de dados

• análise e interpretação dos dados

• redação do relatório

Nesta pesquisa utilizaremos o estudo de caso único pois analisaremos a produção de significado por um grupo específico e, portanto, bem definido de atores. Nossas fontes da coleta de dados foram: documentais (em aulas), entrevistas (a partir de análises da aplicação dos exercícios e tarefas propostas) e observações (para análise dos significados produzidos a partir da aplicação da proposta de inserção da Teoria dos Grafos no ensino

médio). (Cf. apêndicesB a J).

3.2OLEVANTAMENTO E A ANÁLISE DOS DADOS

No estudo de caso a análise e a interpretação de dados ocorrem simultaneamente à sua coleta. Gil (2008) afirma que a análise se inicia com a primeira entrevista, a primeira observação e a primeira leitura de um documento.

Entendemos que dados “são observações documentadas ou resultados da medição. A disponibilidade dos dados oferece oportunidades para a obtenção de informações. Os dados podem ser obtidos pela percepção através dos sentidos (por exemplo observação) ou pela execução de um processo de medição.” (PINHEIRO, 2008,p.01).

Como as atividades da oficina foram expositivas-dialogadas, os atores também tiveram liberdade de relatar suas dificuldades (ou não) na realização das mesmas e discutir com o grupo e os pesquisadores. Opinaram a respeito da escrita do material que foi proposto com o intuito de rever alguma interpretação sugerindo alterações.

Os dados foram coletados do material que foi entregue e depois devolvido pelos atores e anotações das falas dos atores feita pela pesquisadora. Além dos dados escritos nos materiais, também coletamos, nas rodas de conversa (plenárias ao término de cada en-contro), por sistema de áudio, alguns resíduos de enunciação falas, transcritas a seguir, nos capítulos posteriores deste texto.

As falas e transcrições são enunciações que, aqui, transformam-se em texto e

representa-remos por: colcheteE capítulo−número colchete. Por exemplo, a enunciação[E3 − 001]

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O cenário da pesquisa deu-se a partir de uma oficina de Teoria dos Grafos com foco de base à Álgebra Linear e à Análise Combinatória. A partir dos grupos (de alunos do LIMAT) presentes nas redes sociais dirigimos o convite para participarem de uma oficina de Teoria dos Grafos: abordagens conceituais e discussões de possibilidades didático-pedagógicas. Inscreveram-se para essa oficina 15 licenciandos (mas somente 8 compareceram em to-dos os encontros), 1 professor; 2 pesquisadores envolvito-dos no programa EDUCIMAT. Fo-ram 6 reuniões, de aproximadamente 2 horas e 30 minutos (cada), no LPEI do ProgFo-rama LIFE/CAPES. O período de desenvolvimento desta oficina foi entre outubro e novembro de 2014. Os atores apresentaram codinomes e estes codinomes que utilizaremos para preservar os mesmos.

Vários imprevistos dificultaram nossa coleta de dados. No período em que decorreu a oficina nos deparamos com fortes chuvas e alagamentos, greve do transporte coletivo, via-gens dos atores para participarem de congressos, regional e nacional, do PIBID e término de semestre letivo. Assim, trabalhamos com os dados que nos foram disponiblizados e não com os que prevíamos ou idealizamos.

No desenvolvimento de uma pesquisa nos deparamos com muitas dificuldades, das mais diversas naturezas:

• encontrar fontes adequadas e acessíveis;

• dispor de tempo para efetuar todas as leituras que nos propõem;

• cumprir todas as etapas acadêmicas em tempo recorde para dedicar-se tão-somente

à dissertação;

• concatenar as ideias com a fluidez do texto. Estes são alguns exemplos.

Tais dificuldades ampliam-se quando desenvolvemos atividades de campo:

• concatenar as relações espaço-temporais para o desenvolvimento de atividades,

apli-cações / análises / transcrições / devolutivas / (re)transcrições / novas análises de entrevistas;

• adequar seu horário aos respectivos horários dos atores;