6.3
Considera¸c˜ao das perdas de transmiss˜ao
O modelo CC ´e aproximado e n˜ao considera perdas de transmiss˜ao. Para melhorar a sua representa¸c˜ao da realidade ´e usual considerar de forma apro- ximada as perdas de transmiss˜ao atrav´es de um processo iterativo.
A id´eia ´e resolver o modelo inicialmente sem considerar as perdas. Ob- tidos os fluxos de potˆencia nos ramos ou os ˆangulos nas barras, as perdas s˜ao estimadas e os parˆametros do modelo inicial s˜ao alterados de modo a incorporar as perdas estimadas. Repetir o procedimento at´e os valores das perdas n˜ao se alterarem.
Usualmente, a altera¸c˜ao de parˆametros para incorpora¸c˜ao das perdas con- siste no aumento do carregamento das barras no valor de metade das perdas dos ramos aos quais est˜ao interligadas.
Em [7], entretanto, a contabiliza¸c˜ao das perdas, ´e feita atrav´es da al- tera¸c˜ao de outros parˆametros, no caso os coeficientes da matriz de incidˆencia, resultando num grafo generalizado.
Neste trabalho a representa¸c˜ao das perdas de transmiss˜ao foi estendida, resultando em duas express˜oes para o c´alculo das perdas e duas abordagens para contabilizar os efeitos das perdas na rede, conforme descrito a seguir:
1. C´alculo das Perdas:
(a) A perda em um ramo k − m pode ser calculada em fun¸c˜ao da potˆencia ativa transmitida pelo mesmo [7]:
Pkmperda = rkmfkm2 , (6.19)
onde: rkm´e o valor da resistˆencia em s´erie, em p.u., do ramo k−m,
fkm ´e o fluxo de potˆencia ativa, em p.u., no ramo k− m.
(b) Essa perda tamb´em pode ser calculada a partir de aproxima¸c˜oes, das fun¸c˜oes seno e co-seno, estabelecidas por meio da expans˜ao em s´erie de Taylor [71]: Pkmperda= gkmθkm2 = rkm rkm2 +x2km θkm2 , (6.20) onde: gkm ´e a condutˆancia do ramo k− m, xkm ´e a reatˆancia do
160
Cap´ıtulo 6. Modelo do Fluxo de Potˆencia ´Otimo Corrente
Cont´ınua
Contabiliza¸c˜ao
A d
C´alculo Equa¸c˜ao (6.19) Perda 1 Perda 3 Equa¸c˜ao (6.20) Perda 2 Perda 4
Tabela 6.5: Combina¸c˜oes poss´ıveis de considera¸c˜oes das perdas.
2. Contabiliza¸c˜ao das Perdas:
(a) Modifica¸c˜ao da matriz A: A perda j´a calculada no ramo k− m pode ser contabilizada como uma perda do fluxo pkm, o que torna
a potˆencia recebida na barra de destino menor que a potˆencia enviada pela barra de origem. Essa perda pode ser representada a partir de um fator akm onde akm = 1−P
perda km
fkm . Portanto, se a
potˆencia ativa enviada pela barra k ´e dada por fkm, a potˆencia
que chega na barra m ser´a dada por akmfkm. Esta contabiliza¸c˜ao
de perdas implica na modifica¸c˜ao dos elementos da matriz de in- cidˆencia n´o-ramo A.
(b) Modifica¸c˜ao do vetor d: A perda tamb´em pode ser contabilizada como uma carga incremental Pkmperda, igualmente distribu´ıda entre suas barras terminais, sendo necess´ario alterar o vetor de demanda ativa d, da formula¸c˜ao (6.10).
Assim, s˜ao poss´ıveis quatro op¸c˜oes de considera¸c˜ao das perdas, conforme apresentado na Tabela 6.5.
Ao observar as equa¸c˜oes (6.19) e (6.20), ´e poss´ıvel verificar que as perdas s˜ao calculadas a partir dos valores dos fluxos nos ramos ou dos ˆangulos das barras que dependem, por sua vez, das perdas. Isto requer um procedimento iterativo independente da forma adotada de considera¸c˜ao das perdas.
• Passo 1: Obtenha os fluxos nos ramos k − m por meio da formula¸c˜ao
(6.10).
• Passo 2: Calcule os valores das perdas associadas aos fluxos utilizando
(6.19) ou (6.20).
• Passo 3: Contabilize as perdas modificando ou a matriz A (usando
6.3. Considera¸c˜ao das perdas de transmiss˜ao 161
• Passo 4: Obtenha novos fluxos que contabilizem as perdas obtidas no
Passo 2.
• Passo 5: Se a diferen¸ca entre os novos fluxos obtidos no Passo 3 e os
anteriores for menor que uma tolerˆancia pr´e-especificada, pare. Sen˜ao volte para o Passo 2.
Para o caso em que as perdas s˜ao contabilizadas modificando a matriz A, o procedimento iterativo P I ´e como ilustrado na Figura 6.6.
Figura 6.6: Representa¸c˜ao esquem´atica da considera¸c˜ao da Perda 1 ou 2.
O c´alculo da Perda 1 pode ser simplificado. Esta perda est´a associada ao fluxo de potˆencia fkm que passa pela linha k− m, como descrito por (6.19).
Portanto, a potˆencia que chegar´a no final da linha de transmiss˜ao i ser´a dada pela equa¸c˜ao (6.21).
162
Cap´ıtulo 6. Modelo do Fluxo de Potˆencia ´Otimo Corrente
Cont´ınua
onde: Pm ´e a potˆencia que chega no final da linha de transmiss˜ao k− m.
A perda em uma linha de transmiss˜ao pode ser definida como sendo a raz˜ao entre a potˆencia do final da linha de transmiss˜ao sobre a potˆencia do in´ıcio da linha de transmiss˜ao. Com esta defini¸c˜ao, a perda na linha de transmiss˜ao k− m ser´a dada pela equa¸c˜ao (6.22).
akm = fPm
km =
(fkm−rkmfkm2 )
fkm = (1− rkmfkm) (6.22)
Ent˜ao, o c´alculo da Perda 1 dos fluxos nas linhas de transmiss˜ao, como descrito na equa¸c˜ao (6.22), s´o depende dos valores de resistˆencia rkm e fluxo
Pkm. Para ilustrar a utiliza¸c˜ao da Perda 1, segue o Exemplo 1:
Exemplo 1: Seja uma rede el´etrica qualquer tal que sua topologia produz
a matriz A dada por (6.23). Ent˜ao o procedimento de contabiliza¸c˜ao para as Perdas 1 ou 2 ser´a como segue.
1. Considerar um FPO CC sem perdas. A solu¸c˜ao deste problema ´e o vetor de gera¸c˜ao p0 e o vetor de fluxos nos ramos f0. Neste problema a matriz A ´e tal que tem apenas elementos 0,1 e -1, ou seja, ´e da forma de (6.23). A = 1 1 0 0 0 −1 −1 0 1 1 0 0 0 0 0 −1 −1 1 (6.23)
2. Para cada elemento fkm0 do vetor dos fluxos nas linhas de transmiss˜ao
f0, calcule o coeficiente akm relativo `a perda, utilizando a equa¸c˜ao
(6.24).
a0km = 1− rkmfkm0 , (6.24)
onde: a0km fornece os valores das perdas associadas ao fluxo fkm0 na linha k− m e rkm representa o valor da resistˆencia da linha k− m.
3. De posse dos valores das perdas em cada linha de transmiss˜ao, ´e for- mulado um novo problema, tal que a nova matriz A do problema com grafo generalizado tem a forma dada por (6.25).
6.3. Considera¸c˜ao das perdas de transmiss˜ao 163 A = 1 1 0 0 0 −a31 −a12 0 1 1 0 0 0 0 0 −a23 −a43 1 0 −a14 −a24 0 1 0 , (6.25)
onde: akm representa as perdas para cada linha de transmiss˜ao k− m
calculadas de acordo com a equa¸c˜ao (6.25).
4. Com a nova matriz A, ´e resolvido um novo FPO CC, determinando novas solu¸c˜oes p1 e f1.
5. A diferen¸ca das solu¸c˜oes (p0, f0) e (p1, f1) ´e calculada. Se esta diferen¸ca estiver abaixo de uma certa tolerˆancia, o procedimento para. Sen˜ao, a partir da solu¸c˜ao (p1, f1), ´e calculada uma nova matriz A de modo a gerar um novo problema que contabilize as perdas nas restri¸c˜oes e obter a solu¸c˜ao (p2, f2) do FPO CC. A diferen¸ca entre (p1, f1) e (p2, f2) ´e calculada e o procedimento p´ara ou continua de acordo esse valor.
Embora n˜ao haja prova matem´atica de convergˆencia do procedimento anterior, o trabalho desenvolvido em [7] mostra que n˜ao ´e necess´ario um n´umero grande de resolu¸c˜oes de problemas com matrizes A diferentes. Em geral duas ou trˆes itera¸c˜oes s˜ao suficientes.
A mesma afirma¸c˜ao ´e v´alida para as Perdas 3 ou 4, cujo esquema repre- sentativo consta na Figura 6.7.
O esquema ilustrado na Figura 6.7 ´e o que ´e usualmente utilizado, ou seja, contabilizar as perdas de transmiss˜ao atrav´es da inje¸c˜ao de potˆencia nas barras.
Este esquema ser´a empregado na obten¸c˜ao dos resultados descritos no Cap´ıtulo 8.
164
Cap´ıtulo 6. Modelo do Fluxo de Potˆencia ´Otimo Corrente
Cont´ınua
Cap´ıtulo 7
M´etodo de Pontos Interiores
para o Fluxo de Potˆencia
´
Otimo CC
7.1
Introdu¸c˜ao
As t´ecnicas existentes para se resolver um fluxo de potˆencia ´otimo podem ser classificadas em [69, 70]:
• Programa¸c˜ao n˜ao-linear, • Programa¸c˜ao quadr´atica,
• Resolu¸c˜ao das condi¸c˜oes de otimalidade via algoritmos baseados no
m´etodo de Newton,
• Programa¸c˜ao linear,
• Vers˜oes h´ıbridas de programa¸c˜ao linear e programa¸c˜ao inteira, e • M´etodos de pontos interiores.
Um hist´orico dos trabalhos em fluxo de potˆencia ´otimo pode ser encon- trado em artigos de revis˜ao bibliogr´afica [53, 56, 69, 70, 86].
Estas referˆencias s˜ao indicadas, pois o foco deste trabalho n˜ao ´e detalhar as possibilidades de modelagem ou resolu¸c˜ao do FPO CA ou CC, mas sim
166
Cap´ıtulo 7. M´etodo de Pontos Interiores para o Fluxo de
Potˆencia ´Otimo CC
desenvolver um m´etodo de pontos interiores para a formula¸c˜ao de FPO CC obtida no Cap´ıtulo 6.
A motiva¸c˜ao para tal ´e que, de modo geral, os m´etodos de pontos interi- ores tˆem sido aplicados com sucesso na ´area de estudo de an´alise de fluxo de carga para problemas de grande porte.
Estas iniciativas abrangem:
• Estudo da flexibilidade de pontos interiores em problemas de gera¸c˜ao
e transmiss˜ao de energia el´etrica [41, 61].
• Discuss˜ao sobre os m´etodos utilizados em fluxo de potˆencia, abordando
inclusive a utiliza¸c˜ao de MPI [70, 86], e o aproveitamento da estrutura do problema por MPI [99].
• Uso de pontos interiores em sistemas de potˆencia [87, 93, 95, 98]. • Despacho de potˆencia ´otimo ativo e reativo [40, 50, 57, 58, 100].
De modo geral, todos os artigos argumentam que a escolha pela utiliza¸c˜ao do MPI em problemas de sistemas de potˆencia se deve a sua eficiˆencia [41, 50, 87, 99] e a sua capacidade de lidar com problemas de grande porte [40, 41, 86, 87].
Motivados pelos resultados com MPI na literatura, utilizamos o mesmo no problema do FPO CC como descrito em [79]. Portanto, a proposta deste Cap´ıtulo ´e desenvolver um MPI que seja adequado ao problema do FPO CC. Ou seja, assim como o Cap´ıtulo 4 forneceu dedu¸c˜oes para um MPI de prop´osito geral, e que depois foi adaptado para aproveitar as especificidades do problema do MOUI, nesta se¸c˜ao ser´a desenvolvido um MPI eficiente para o FPO CC.