Ci =−Bi+1(D1(i)Bi+ (D4(i) + D6(i))Mt),∀i = 1, · · · , n
Φi = BiD1(i−1)Bi + Bi(D1(i)Bi+ (D4(i)+ D6(i))Mt)+
M (D4(i)Bi+ (D2(i)+ D5(i))Mt) + M (D6(i)Bi + (D5(i)+ D3(i))Mt),
∀i = 2, · · · , T
Φ1 = B1(D1(1)B1+ (D4(1) + D6(1))Mt) + M (D
4(1)B1 + (D2(1)+ D5(1))Mt)+
M (D6(1)B1+ (D5(1) + D3(1))Mt)
´
E importante destacar que as f´ormulas obtidas para Ci e Φi foram gene-
ralizadas para um modelo (x, q, v) com T intervalos de tempo. Detalhes da obten¸c˜ao das f´ormulas de Ci e Φi est˜ao no Apˆendice D.
Al´em disso, Φ possui a mesma estrutura esparsa que foi obtida na re- solu¸c˜ao de Φx = b para o modelo (x, u).
Portanto, todas as dedu¸c˜oes de utiliza¸c˜ao de fatora¸c˜ao por blocos associ- adas a matriz L, aplicadas para o modelo (x, u), podem ser utilizadas para o modelo (x, q, v).
Ou seja, ap´os os c´alculos de Φi e Ci, espec´ıficos do modelo (x, q, v), basta
utilizar o sistema (4.26) para resolver Φx = b do modelo (x, q, v).
4.4
Resumo dos MPIs
Segue um resumo das op¸c˜oes de implementa¸c˜ao dos m´etodos de pontos inte- riores para o MOUI:
1. Modelagem Matem´atica: Existem 4 modelos poss´ıveis que podem ser
adotados: (x, u), (x, u)m, (x, q, v) e (x, q, v)m.
• Modelo (x, u): Considera como vari´aveis de decis˜ao o volume xi,t,
e a defluˆencia ui,t. O m´etodo de pontos interiores implementado
para este modelo n˜ao oferece nenhum tratamento especial para a quina, usando a express˜ao (4.27).
qi,t= M in{ui,t, qi,t} (4.27)
• Modelo (x, u)m: Considera como vari´aveis de decis˜ao o volume xi,t, e a defluˆencia ui,t. Para calcular o valor da derivada primeira
108
Cap´ıtulo 4. M´etodos de Pontos Interiores para o Modelo de
Otimiza¸c˜ao a Usinas Individualizadas
e segunda da fun¸c˜ao objetivo ´e utilizada a express˜ao qi,t= ui,t, no
lugar da express˜ao (4.27). A motiva¸c˜ao para esta substitui¸c˜ao ´e a de se verificar o quanto a solu¸c˜ao obtida ser´a diferente para uma solu¸c˜ao cujo modelo matem´atico trata adequadamente a express˜ao (4.27) (como os modelos (x, q, v) e (x, q, v)m).
• Modelo (x, q, v): As vari´aveis consideradas s˜ao a decis˜ao de vo-
lume xi,t, a turbinagem qi,t e o vertimento vi,t.
• Modelo (x, q, v)m: Este modelo difere do modelo (x, q, v) ao as-
sumir que a vari´avel qi,t n˜ao pode exceder seu valor qi,t. Portanto,
para uma dada itera¸c˜ao, ´e efetuada a atribui¸c˜ao dada por (4.28):
qi,t> qi,t⇒
vi,t= qi,t− qi,t
qi,t = qi,t
(4.28)
2. Estrutura esparsa: Considerando um modelo em que as vari´aveis de decis˜ao s˜ao o volume xi,t, e a defluˆencia ui,t, podem ser considerados
trˆes estruturas esparsas poss´ıveis:
• Estrutura Esparsa A: N˜ao considera nenhuma estrutura esparsa
particular, sendo que a formula¸c˜ao MOUI ser´a dada pelo sistema (4.24).
• Estrutura Esparsa ˜A e S: Considera que A = A S˜ ,
tal que a estrutura esparsa considera uma matriz para as vari´aveis de volume xi,t e outra matriz para a defluˆencia ui,t.
• Estrutura Esparsa Ai e Si: S˜ao detalhados os blocos matriciais
que existem nas matrizes ˜A e S de acordo com as caracter´ısticas
do MOUI (descritas na se¸c˜ao 4.3).
Para o caso em que as vari´aveis de decis˜ao s˜ao xi,t, qi,t e vi,t, a con-
sidera¸c˜ao de estrutura esparsa ´e an´aloga. S´o deve ser observado que o sistema (4.24) ser´a modificado atrav´es de ui,t = qi,t+ vi,t, tal que a
4.4. Resumo dos MPIs 109 M in f (x, q, v) S.a. : Ax + Sq + Sv = b˜ x≤ x ≤ x q≤ q ≤ q 0≤ v. (4.29)
Assim, podem ser consideradas 3 tipos de estruturas esparsas ao se redefinir as opera¸c˜oes matriciais para o m´etodo de pontos interiores.
3. Matriz Hessiana2: Para o caso em que as vari´aveis de decis˜ao s˜ao xi,te
ui,t, a matriz Hessiana possui a seguinte estrutura:
H = ! Hxx Hxu Hxu Huu " .
Onde: Hxx, Hxu e Huu s˜ao matrizes diagonais associadas aos valores
da derivada segunda da fun¸c˜ao objetivo.
Uma op¸c˜ao, estudada neste trabalho, ´e considerar apenas as matrizes
Hxx e Huu associadas `a diagonal principal de H e verificar o desempe-
nho dos m´etodos de pontos interiores ao utilizar esta aproxima¸c˜ao da Hessiana. Esta abordagem ser´a denominada matriz Hessiana diagonal, ao passo que a considera¸c˜ao completa da Hessiana ser´a denominada matriz Hessiana Tridiagonal (devido `a sua estrutura esparsa).
Para as formula¸c˜oes em que as vari´aveis de decis˜ao s˜ao xi,t, qi,t e vi,t, a
matriz H ser´a dada por:
H = Hxx Hxq 0 Hxq Hqq Hvq 0 Hvq Hvv .
Onde: Hxx, Hqq, Hvv, Hxq, Hvq s˜ao matrizes diagonais associadas aos
valores da derivada segunda da fun¸c˜ao objetivo.
2Mais detalhes sobre as dedu¸c˜oes das derivadas parciais e a estrutura esparsa da matriz
110
Cap´ıtulo 4. M´etodos de Pontos Interiores para o Modelo de
Otimiza¸c˜ao a Usinas Individualizadas
Para os modelos (x, q, v) e (x, q, v)m, a considera¸c˜ao apenas das sub- matrizes Hxx, Hqq e Hvv para o c´alculo da Hessiana ser´a denominada
Hessiana Diagonal. Se toda matriz Hessiana H for considerada, ent˜ao ser´a dito que a Hessiana Tridiagonal ´e que est´a sendo utilizada.
Assim, existem duas possibilidades de considera¸c˜ao de matriz Hessiana.
4. M´etodo de pontos interiores: O MPI a ser implementado pode utili- zar uma dire¸c˜ao preditora e outra corretora (preditor-corretor) ou n˜ao (primal-dual). Isto resulta em duas possibilidades de implementa¸c˜ao de MPI. Detalhes na se¸c˜ao 4.2.2.
5. Busca Unidimensional: A busca unidimensional descrita em [34] pode ser utilizada para fornecer um ´unico passo para as dire¸c˜oes primais e duais, ou ainda, pode ser adotado um tamanho fixo para o passo primal e outro para o dual (o tamanho do passo est´a relacionado com o parˆametro τ ).
6. Ponto inicial: Podem ser considerados quatro tipos de ponto inicial (como descritos na se¸c˜ao 4.2.2).
7. Parˆametro de centragem σ do MPI pode assumir os valores 1/n, 1/#(n) e 0.
8. Parˆametro τ que garante que o MPI permane¸ca interior pode assumir os valores 0, 995 ou 0, 99995.
O total de MPIs poss´ıveis ´e igual `a: 4× 3 × 2 × 2 × 2 × 4 × 3 × 2 = 2304. Todas as combina¸c˜oes foram implementadas e seu funcionamento verificado. Para testar e verificar qual a melhor combina¸c˜ao ´e necess´ario estabelecer dois crit´erios: Robustez e Velocidade.
Obviamente n˜ao ´e inten¸c˜ao deste trabalho expor testes exaustivos com todas as combina¸c˜oes de parˆametros. Isto, al´em de resultar em uma tarefa demorada, implicaria em dificuldades para se analisar qual combina¸c˜ao ´e melhor que as demais.
Por exemplo, se fossem considerados 10 casos testes, ent˜ao, armazenando a an´alise de desempenho e valor da fun¸c˜ao objetivo para cada op¸c˜ao de implementa¸c˜ao do MPI resultaria em um tabela 2304× 20 (valor da fun¸c˜ao objetivo e tempo computacional para cada um dos 10 casos). A solu¸c˜ao
4.4. Resumo dos MPIs 111
adotada para este problema ´e separar a obten¸c˜ao de resultados em duas fases.
Na primeira fase ser˜ao feitos testes verificando como cada op¸c˜ao de cada parˆametro se comporta em rela¸c˜ao aos demais, observando robustez e velo- cidade do MPI.
Em uma segunda fase, as melhores op¸c˜oes de cada parˆametro ser˜ao tes- tadas para problemas de grande porte.
Cap´ıtulo 5
Resultados para o Modelo de
Otimiza¸c˜ao a Usinas
Individualizadas
5.1
Introdu¸c˜ao
A id´eia fundamental deste Cap´ıtulo ´e selecionar uma configura¸c˜ao de m´etodo de pontos interiores, dentre as 2304 op¸c˜oes existentes, que ´e robusta e eficiente para a resolu¸c˜ao de MOUI’s com grande n´umero de usinas e intervalos de tempo considerados.
Para tanto, ser˜ao realizadas duas fases de testes. Em uma primeira fase ser˜ao selecionadas op¸c˜oes de MPI considerando apenas estudos de caso com poucas usinas e per´ıodos e comparando as op¸c˜oes de MPI observando dois crit´erios: robustez e eficiˆencia.
Na segunda fase, o MPI, com as op¸c˜oes de parˆametros selecionadas na pri- meira fase, ser´a aplicado em problemas de grande porte, como, por exemplo, as usinas hidrel´etricas do Sistema Interligado Nacional (SIN) despachadas pelo ONS (vide Figura 3.8).