Decomposi¸c˜ao interessa a economistas, uma vez que representa claramente um sis- tema descentralizado de planejamento. A existˆencia de algoritmos tais como o da decomposi¸c˜ao de Dantzig-Wolfe demonstra que ´e poss´ıvel desenvolver um m´etodo de planejamento descentralizado, que encontra uma solu¸c˜ao ´otima para uma organiza¸c˜ao considerada como um todo. Isso ´e feito ao permitir que as sub-organiza¸c˜oes, a fim de decidir as suas pr´oprias pol´ıticas ´otimas, levem em conta os dados limitados pela central.
Algoritmos computacionais de decomposi¸c˜ao s˜ao tamb´em de grande interesse, uma vez que oferecem uma possibilidade de evitar a grande quantidade de tempo necess´ario para resolver grandes modelos. Esses modelos devem ser estruturados. Infelizmente, a decomposi¸c˜ao s´o tem cumprido com sucesso computacional modelos limitados. O mais utilizado ´e o algoritmo de Dantzig-Wolfe, que se aplica ao modelo com estrutura bloco angular.
´
E mais eficiente construir o chamado problema mestre restrito, ao inv´es do problema mestre que mostramos. O problema mestre restrito ´e formado por tantas colunas quan- tas s˜ao as colunas candidatas a entrar na base (no m´aximo p). Ao inv´es de se fazer somente uma entrada e uma sa´ıda de base (como fizemos), resolve-se um problema de PL a cada itera¸c˜ao do algoritmo. Assim, a mesma rotina que ´e usada para resolver os subproblemas pode tamb´em ser usada para resolver o problema mestre restrito.
A decomposi¸c˜ao de Dantzig-Wolfe ´e uma t´ecnica de decomposi¸c˜ao direcionada para pre¸cos. Existe tamb´em a decomposi¸c˜ao direcionada para recursos onde, em cada itera¸c˜ao, ´e feita uma aloca¸c˜ao dos recursos dispon´ıveis e tamb´em s˜ao resolvidos subpro- blemas.
Al´em das t´ecnicas de decomposi¸c˜ao, as chamadas t´ecnicas de parti¸c˜ao tamb´em s˜ao usadas na resolu¸c˜ao de problemas com estrutura bloco angular. Elas geralmente utili- zam o m´etodo Simplex, mas a base corrente ´e particionada e sua estrutura especial ´e explorada. Dentre estas t´ecnicas, uma bastante conhecida ´e o m´etodo de Rosen [14], que gera uma sequˆencia de solu¸c˜oes b´asicas invi´aveis para o problema original, corres- pondendo a uma sequˆencia de solu¸c˜oes b´asicas vi´aveis para o dual do problema. Nesta t´ecnica a viabilidade somente ´e alcan¸cada na solu¸c˜ao ´otima.
A ideia inicial era produzir um texto introdut´orio e did´atico relacionado a “uma aplica¸c˜ao de ´Algebra Linear”. Contudo, ao verificar que a PL estava bem longe de ser apenas uma aplicac˜ao da ´Algebra Linear, decidiu-se estudar algo espec´ıfico de PL: no caso, o princ´ıpio da decomposi¸c˜ao de Dantzig-Wolfe e uma aplica¸c˜ao relacionada.
No entanto, para se chegar a este assunto, havia que se ter um bom conhecimento do m´etodo Simplex, uma vez que os subproblemas envolvidos s˜ao problemas de PL, al´em da gera¸c˜ao de colunas, que n˜ao deixa de ser o crit´erio de entrada na base do pr´oprio m´etodo Simplex. E mais ainda, para entender o m´etodo Simplex, houve a necessidade de estudar todo o seu embasamento te´orico. Al´em disso, como o princ´ıpio da decomposi¸c˜ao utiliza as vari´aveis duais, foi necess´ario tamb´em algum estudo sobre a dualidade, ao menos o suficiente para se poder entender este princ´ıpio.
O estudo (ou este trabalho) foi se desenvolvendo nessa ordem, e o texto foi surgindo naturalmente. Assim, at´e se chegar ao princ´ıpio da decomposi¸c˜ao, muita coisa j´a havia sido estudada, de modo que o projeto original foi transformado nesta disserta¸c˜ao.
A produ¸c˜ao deste texto trouxe um aprendizado muito grande ao autor, visto que este se deparou com temas e softwares que at´e ent˜ao lhe eram totalmente desconhecidos, tais como os softwares TeXniCenter, MatLab e Geogebra e os temas M´etodo Simplex, Dualidade e Princ´ıpio da Decomposi¸c˜ao.
Ap´os esbo¸cado o texto, at´e ent˜ao escrito no software Word, veio a necessidade de fazˆe-lo no Latex. O estudo dos softwares TeXniCenter, MatLab e Geogebra foi si- multˆaneo, sendo que os dois primeiros resultaram na escrita do presente texto e o terceiro foi utilizado para comparar os resultados dos v´arios problemas e exemplos que foram resolvidos quando foram estudados o m´etodo Simplex e o princ´ıpio da decom- posi¸c˜ao.
Sobre o princ´ıpio da decomposi¸c˜ao, pode-se constatar que n˜ao s˜ao muitos os textos
escritos em l´ıngua portuguesa, o que gerou um novo e importante aprendizado: o de ler e traduzir textos em inglˆes, usando como principais fontes de referˆencias [18] e [25]. O texto permite mostrar que a PL n˜ao ´e um assunto dissociado de outros t´opicos matem´aticos. Por exemplo, as equa¸c˜oes e inequa¸c˜oes lineares podem ser facilmente representadas graficamente, ilustrando as regi˜oes vi´aveis. Enquanto professores preci- samos estar atentos para promover um intercˆambio entre os assuntos, entrela¸cando-os sempre que for necess´ario e conveniente. Por isso ´e vi´avel o estudo da PL ainda na educa¸c˜ao b´asica, mais especificamente no ensino m´edio, pois assuntos como resolu¸c˜ao gr´afica de equa¸c˜oes e inequa¸c˜oes lineares, sistemas lineares e matrizes, s˜ao conte´udos que fazem parte do “curr´ıculo” estudado neste n´ıvel.
Ao estudar a fundamenta¸c˜ao matem´atica da PL alguns conte´udos elementares de Matem´atica ganharam significa¸c˜ao maior para o autor, como ´e o caso, entre outros, de posto de uma matriz, conjuntos convexos e n˜ao convexos, independˆencia linear, combina¸c˜ao linear, raios, dire¸c˜oes e dire¸c˜oes extremas.
Constatou-se tamb´em que, para efeito did´atico, o conhecimento b´asico da dualidade se torna importante pois a partir do par primal-dual v´arios problemas de PL podem ser resolvidos com o aux´ılio da representa¸c˜ao gr´afica, quando um dos problemas apresenta duas vari´aveis.
O teorema geral da representa¸c˜ao ´e fundamental para o entendimento do m´etodo Simplex, visto que ele caracteriza a forma de representar qualquer ponto de uma regi˜ao vi´avel como combina¸c˜ao linear dos pontos extremos e das dire¸c˜oes extremas.
Decomposi¸c˜ao interessa a economistas, uma vez que representa um sistema des- centralizado de planejamento. Algoritmos como o da decomposi¸c˜ao de Dantzig-Wolfe mostram que ´e poss´ıvel desenvolver um m´etodo de planejamento descentralizado, que encontra uma solu¸c˜ao ´otima para uma organiza¸c˜ao considerada como um todo. Isso ´e feito ao permitir que as sub-organiza¸c˜oes, a fim de decidir as suas pr´oprias pol´ıticas ´otimas, levem em conta os dados limitados pela central. A estrutura bloco-angular do problema ´e bastante explorada, e esta estrutura aparece em outras aplica¸c˜oes da PL.
Algoritmos computacionais de decomposi¸c˜ao oferecem uma possibilidade de evitar a grande quantidade de tempo necess´ario para resolver grandes modelos. Infelizmente,
a decomposi¸c˜ao s´o tem cumprido com sucesso computacional modelos limitados. O mais utilizado ´e o algoritmo de Dantzig-Wolfe, embora outras decomposi¸c˜oes possam ser mais eficientes.
[1] A. Howard e C. Rorres, ´Algebra Linear com aplica¸c˜oes, Bookman, 2001.
[2] A. F. Coxford e A. P. Shulte As id´eias da ´algebra, Atual Editora, 1995.
[3] B. Kolman, Introdu¸c˜ao `a ´Algebra Linear com aplica¸c˜oes, Prentice Hall do Brasil,
1998.
[4] C. Loesch e N. Hein, Pesquisa Operacional: fundamentos e modelos, FURB, 1999.
[5] C. Perin, Introdu¸c˜ao `a Programa¸c˜ao Linear, Imecc, 2001.
[6] F. S. Costa: ´Areas e Contornos. Disserta¸c˜ao de mestrado, IMECC-Unicamp, 2008.
[7] G. ´Avila: Limites e derivadas no ensino m´edio?, RPM 60, p´agina 38-42, 2006.
[8] GeoGebra. Dispon´ıvel em http://www.geogebra.org/cms/, acesso em janeiro/2009.
[9] H. P. Williams, Model Building in Mathematical Programming, John Wiley e Sons, 1975.
[10] J. G. S. Silva: Uma Aplica¸c˜ao da Teoria Linear de Otimiza¸c˜ao. Monografia, UFMA, 1987.
[11] J. L. Boldrini, S. I. R. Costa, V. L. Figueredo e H. G. Wetzler, ´Algebra Linear,
HARBRA, 1980.
[12] L. K. Yoshida, Programa¸c˜ao Linear: m´etodos quantitativos, Atual, 1987.
[13] L. N. de Andrade, Breve Introdu¸c˜ao ao Latex 2ǫ- dispon´ıvel em ftp://mat.ufpb.br/pub/textos/tex/brece21.zip., 2000.
[15] M. C. Goldbarg e H. P. L. Luna, Otimiza¸c˜ao Combinat´oria e Programa¸c˜ao Linear:
modelos e algoritmos, Campus, 2000.
[16] M. P. E. Lins e G. M. Calˆoba, Programa¸c˜ao Linear: com aplica¸c˜ao em teoria dos
jogos e avalia¸c˜ao de desempenho, Interciˆencia, 2006.
[17] M. Ramalhete, J. Guerreiro e A. Magalh˜aes Programa¸c˜ao Linear, vol. 1, McGraw- Hill de Portugal, 1984.
[18] M. S. Bazaraa, J. J. Jarvis e H. D. Sherali, Linear Programming and Network
Flows, Wiley, 1990.
[19] M. S. Biembengut e N. Hein, Modelagem Matem´atica no Ensino, Contexto, 2007.
[20] N. Maculan Filho e M. V. F. Pereira, Programa¸c˜ao Linear, Atlas, 1980.
[21] P. F. Bregalda, A. A. F. de Oliveira e C. T. Bornstein, Introdu¸c˜ao `a Programa¸c˜ao
Linear, Campus, 1988.
[22] P. Venkataraman, Applied optimization with Matlab Programming, John Wiley e Sons, 2002.
[23] S. J. Chapman, Programa¸c˜ao em Matlab para Engenheiros, Thompson, 2006.
[24] V. A. de Podest´a: Decomposi¸c˜ao em Programa¸c˜ao Linear com Vari´aveis Canaliza-
das: Aplica¸c˜ao `a Otimiza¸c˜ao Global de Ra¸c˜oes. Disserta¸c˜ao de mestrado, IMECC-
Unicamp, 1982.
[25] V. Chv´atal, Linear Programming, Freeman, New York, 1983.