Estudos em programação linear

(1)

Instituto de Matem´atica, Estat´ıstica e Computa¸c˜ao Cient´ıfica

Disserta¸c˜ao de Mestrado

Estudos em Programa¸c˜

ao Linear

por

Ad˜

ao Nascimento dos Passos

Mestrado Profissional em Matem´atica - Campinas - SP

Orientadora:

Prof

a

. Dr

a

(2)

Este exemplar corresponde à reda¸cão final da disserta¸cão devidamente cor-rigida e defendida por Adão Nasci-mento dos Passos e aprovada pela Comissão Julgadora.

Campinas, 16 de outubro de 2009.

Banca Examinadora:

Profa_{. Dr}a_{. Valéria Abrão de Podestá} Prof. Dr. Aurélio Ribeiro Leite de Oliveira Prof. Dr. Anibal Tavares de Azevedo

Disserta¸cão apresentada ao Instituto de Matemática, Estat´ıstica e Computa¸cão Cient´ıfica, UNICAMP, como requisito parcial para a obten¸cão do t´ıtulo de Mestre em Matemática.

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(4)

(5)

A Deus, em primeiro lugar, por tudo, especialmente por nunca ter fechado uma porta, sem antes, ter aberto outra.

`

A minha amada esposa Neurene e minhas adoradas filhas Amanda, Fernanda e Anna Beatriz, pelo apoio, carinho, incentivo e acompanhamento.

Aos meus pais e meus irm˜aos, por acreditarem em mim e me incentivarem. `

A Profa_{. Dr}a_{. Valéria Podestá, pela orienta¸cão, cujas idéias, na sua maioria simples} e bem didáticas, deram o caráter elegante e didático a esse texto.

`

A Profa_{. Dr}a_{. Sueli Costa, pelo incentivo e por coordenar de forma t˜ao brilhante} esse mestrado.

A todos os professores do Mestrado Profissional em Matemática, que com seus conhecimentos e dedica¸cão levaram ao Maranhão a possibilidade de melhor qualificar seus profissionais.

`

As Universidades Estaduais de Campinas e do Maranhão, conjuntamente com a Capes por propiciarem a realiza¸cão do Mestrado Profissional em Matemática.

Aos meus colegas do grupo de estudos de Imperatriz, Bosco, Gilson, Heron, Ociran e Remi, que de forma direta foram indispens´aveis para a conclus˜ao desse curso.

Ao amigo Sergiomar de Assis pela ajuda e incentivo. Ao colega Felix pela ajuda, principalmente com o Latex.

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Neste trabalho é feito um estudo sobre Programa¸cão Linear e um texto sobre alguns de seus assuntos básicos, constru´ıdo com uma linguagem didática, visando sua uti-liza¸cão em sala de aula. São apresentados alguns problemas lineares, os fundamentos matemáticos da Programa¸cão Linear e o método Simplex, finalizando com um estudo do princ´ıpio da decomposi¸cão de Dantzig-Wolfe, que é um procedimento para a resolu¸cão de problemas lineares de grande porte e com estrutura especial.

Palavras-chave: Problemas Lineares, M´etodo Simplex, Decomposi¸c˜ao de Dantzig-Wolfe.

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In this work we have done a study on Linear Programming and a text with some basic issues, using a didactic language, and aiming its utilization in the classroom. Some linear problems are shown here, the mathematical background of Linear Programming and the Simplex method. Finaly, we have also presented a study on the principle of Dantzig-Wolfe’s decomposition, which is a procedure for solving large linear problems with special structure.

keywords: Linear Problems, Simplex Method, Dantzig-Wolfe’s Decomposition.

(8)

Agradecimentos v

Resumo vii

Abstract ix

Introdu¸c˜ao 1

1 Problemas de Programa¸c˜ao Linear 5

1.1 Preliminares e hist´orico da Pesquisa Operacional . . . 5

1.2 Modelos de Programa¸c˜ao Linear . . . 10

1.2.1 Defini¸c˜ao do problema . . . 11

1.2.2 Exemplos de modelos de Programa¸c˜ao Linear . . . 11

1.2.3 Formula¸cão matemática do problema geral de Programa¸cão Linear 18 1.2.4 Formas de apresenta¸cão do modelo de Programa¸cão Linear . . . 20

1.2.5 Hipóteses básicas da Programa¸cão Linear . . . 23

1.3 Solu¸cão gráfica de problemas de Programa¸cão Linear . . . 24

1.3.1 Tipos de solu¸c˜oes de um problema de Programa¸c˜ao Linear . . . 27

2 Fundamentos Matemáticos da Programa¸cão Linear 31 2.1 Caracteriza¸cão do conjunto solu¸cão . . . 31

2.1.1 Retas, hiperplanos e semiespa¸cos . . . 32

2.2 Conjuntos convexos . . . 33

2.2.1 Raio e dire¸c˜oes . . . 37

2.3 Solu¸c˜oes b´asicas de um sistema linear . . . 45

2.3.1 Discuss˜ao das solu¸c˜oes de um sistema linear . . . 45

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2.3.2 Solu¸c˜oes b´asicas de um sistema linear . . . 46

2.4 Correspondˆencia entre SBV e pontos extremos . . . 55

3 O Método Simplex 61 3.1 Introdu¸cão . . . 61 3.2 Parti¸cão e prepara¸cão . . . 62 3.2.1 Parti¸cão . . . 63 3.2.2 Equa¸cões básicas . . . 63 3.2.3 A fun¸cão objetivo . . . 64

3.2.4 Teste de otimalidade - entrada na base . . . 66

3.2.5 Teste da raz˜ao - sa´ıda da base . . . 67

3.2.6 Atualiza¸c˜ao - c´alculo da nova SBV . . . 69

3.2.7 O algoritmo Simplex . . . 69

3.3 Problemas de PL com diferentes tipos de solu¸c˜oes . . . 75

3.4 O M´etodo das Duas Fases . . . 77

3.5 M´etodo Simplex na Forma Tableau . . . 86

3.5.1 Algoritmo do m´etodo Simplex tabular . . . 91

3.6 Convergˆencia e degenera¸c˜ao . . . 95

3.7 Dualidade . . . 103

4 O Princ´ıpio da Decomposi¸c˜ao 121 4.1 Um estudo de caso . . . 121

4.2 O princ´ıpio da Decomposi¸c˜ao de Dantzig-Wolfe . . . 136

4.2.1 A gera¸c˜ao de colunas . . . 137

4.2.2 Desenvolvimento do princ´ıpio da decomposi¸c˜ao . . . 138

4.2.3 Algoritmo simplificado do m´etodo da decomposi¸c˜ao . . . 144

4.3 Considera¸c˜oes finais . . . 155

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No estado do Maranhão, em particular na micro região de Imperatriz, atual polo universitário do interior do estado, o estudo e o uso da Programa¸cão Matemática não despertou, ainda, o necessário e devido interesse para a sistematiza¸cão dessa área do conhecimento.

O presente texto é destinado aos estudantes dos cursos de licenciatura em ma-temática, administra¸cão de empresas, economia, engenharia de produ¸cão, ciência da computa¸cão, entre outros que são praticados nessa região, visto que o autor tem como meta apresentar e disseminar a Programa¸cão Linear, bem como demonstrar a importância que tem esse tema, em especial, para as áreas de produ¸cão e gestão.

A idéia de escrever esse texto surgiu porque o autor fez um curso de licenciatura em matemática onde sequer ouviu falar de Programa¸cão Matemática, Programa¸cão Linear ou Pesquisa Operacional, tendo tido seu primeiro contato com essa área ao fazer um curso de especializa¸cão na PUC/MG, e numa disciplina de Álgebra Linear lhe foi apresentado, como uma aplica¸cão, alguns problemas de Programa¸cão Linear e a solu¸cão geométrica para os mesmos. Foi nesse per´ıodo que o autor se familiarizou com essa área do conhecimento.

O professor Geraldo ´Avila, num artigo intitulado Limites e derivadas no ensino

médio [7] trata como estão sendo e como devem ser abordados esses tópicos, colocando

que (pg 38) “... no contexto dos sistemas de equa¸cões lineares é interessante desenvolver a equa¸cão da reta. Essa equa¸cão na forma normal já é suficiente para interpretar geometricamente o significado da solu¸cão, das solu¸cões ou não solu¸cões dos sistemas lineares. E serve também para tratar de problemas simples de programa¸cão linear. Com esse procedimento, tem-se a intera¸cão de diferentes tópicos da Matemática ...” Portanto observe que, em sua opinião, a Programa¸cão Linear não só deve ser tratada nos cursos

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superiores citados acima, como também já pode ser introduzida no ensino médio. Apesar de introdutório, o texto traz diversos exemplos de aplica¸cão de Programa¸cão Linear que são comuns em quase todos os setores de nosso quotidiano, como por exem-plo, na indústria, nos transportes, na saúde, na educa¸cão, na agricultura, na admi-nistra¸cão, na alimenta¸cão, bem como alguns métodos de resolu¸cão. Ao longo de todo o texto, a preocupa¸cão com a didática e a precisão está presente e se faz necessária, visando cobrir um aspecto desse programa de mestrado, que é o estudo e detalhamento de temas de interesse que tenham conexão com as disciplinas de matemática do ensino superior.

A Programa¸cão Linear surgiu na década de 40, gra¸cas, sobretudo, aos estudos de L. V. Kantoróvitch (prêmio Nobel de economia) e permitiu abordar numerosos pro-blemas relativos à otimiza¸cão da gestão industrial e da planifica¸cão econômica, entre outros [10]. Inúmeros trabalhos posteriores, especialmente os de George Dantzig, leva-ram a elabora¸cão de métodos distintos, em particular, o método Simplex (Dantzig) e o princ´ıpio da decomposi¸cão (Dantzig-Wolfe).

Quando se procura refletir sobre uma situa¸cão real, na tentativa de explicar, de entender ou de agir sobre ela, um modelo matemático pode surgir. Este modelo em geral traz simplifica¸cões que nem sempre condizem com a realidade. Assim, de modo geral um modelo matemático retrata uma situa¸cão idealizada da realidade, simplificada o bastante para permitir cálculos matemáticos, e tem como objetivo o entendimento do fenômeno e poss´ıveis previsões de seu comportamento futuro [19].

Alguns conceitos são fundamentais para o entendimento desse texto, dentre eles os conceitos de modelo, sistema, modelo matemático e itera¸cão. Faremos um parêntesis, colocando uma breve defini¸cão deles.

Modelo: conjunto de hip´oteses sobre a estrutura ou o comportamento de um sistema

f´ısico pelo qual se procura explicar ou prever, dentro de uma teoria cient´ıfica, as pro-priedades do sistema.

Sistema: reunião coordenada e lógica de princ´ıpios ou idéias relacionadas, de modo que

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Modelo Matemático: conjunto de s´ımbolos e rela¸cões matemáticas que representam de

alguma forma o objeto estudado.

Itera¸cão: processo de resolu¸cão de uma equa¸cão mediante uma sequência de opera¸cões

em que o objeto de cada uma ´e o resultado da que a precede.

O trabalho está dividido em quatro cap´ıtulos, onde é apresentado inicialmente no Cap´ıtulo 1 um contexto histórico, os principais modelos de Programa¸cão Linear e suas hipóteses básicas. Finalizamos este cap´ıtulo com a solu¸cão gráfica de vários modelos apresentados.

No Cap´ıtulo 2 são discutidos os principais fundamentos matemáticos e resultados existentes na literatura necessários para a fundamenta¸cão do método Simplex. São definidas e estudadas com mais detalhes as rela¸cões entre solu¸cões básicas e pontos extremos, bem como o teorema geral da representa¸cão. Supõe-se que o leitor tenha conhecimentos básicos de Álgebra Linear, de forma que os mesmos não são detalhados nesse texto.

No Cap´ıtulo 3, a fundamenta¸cão matemática do Cap´ıtulo 2 é utilizada para justificar o método Simplex, o qual é apresentado juntamente com duas técnicas: método das duas fases e forma Tableau. Encerra-se esse cap´ıtulo com uma introdu¸cão ao estudo da Dualidade.

Finalmente, no Cap´ıtulo 4, apresenta-se o princ´ıpio da decomposi¸cão de Dantzig-Wolge, princ´ıpio aplicado a problemas de grande porte, juntamente com o algoritmo, utilizando a técnica de gera¸cão de colunas.

Para cálculos simbólicos e numéricos foi utilizado o software MatLab, bem como as referências [22] e [23] que foram utilizadas como fontes de pesquisa e estudos. Também utilizamos o software Geogebra [8] (que é livre) para o tra¸cado de gráficos no plano. Assim, alguns procedimentos como os que utilizamos aqui, podem ser usados livremente, novamente dentro dos objetivos deste trabalho e do programa de pós-gradua¸cão.

Para aprendizado do Latex utilizamos uma apostila, que funcionou como um guia para principiantes nessa linguagem [13].

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Problemas de Programa¸c˜

ao Linear

1.1 Preliminares e hist´

orico da Pesquisa

Operacio-nal

Tomar decisões constitui uma tarefa básica de gestão. Decidir é escolher ou optar entre alternativas viáveis, também designadas por cursos de a¸cão. Estes processos ocorrem sempre que o responsável por elas enfrenta problemas, problemas esses que podem ser rotineiros ou excepcionais.

Formaliza-se os processos de decisão numa abordagem qualitativa ou quantitativa, através, principalmente, da modelagem matemática, que expressa por intermédio da linguagem matemática situa¸cões-problemas do nosso meio. No entanto, a complexidade crescente dos problemas de gestão, associada ao crescimento das unidades econômicas, faz surgir a necessidade de uma abordagem segundo uma ótica cient´ıfica, o que exige recorrer aos métodos quantitativos.

Nesta linha de evolu¸cão se enquadra a Pesquisa Operacional, que, como ciência, estrutura processos, propondo um conjunto de alternativas de a¸cão, fazendo a previsão e compara¸cão de valores, de eficiência e de custos.

A Pesquisa Operacional consolidou-se durante a 2a _{Guerra, devido à necessidade} de adequar as opera¸cões executáveis aos novos armamentos desenvolvidos. As palavras “Pesquisa” e “Operacional” refletem a idéia de integrar, respectivamente, o caráter teórico e aplicado dos métodos de Pesquisa Operacional, entre os quais a Programa¸cão Linear [16].

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A maioria de suas aplica¸cões abrange as áreas de administra¸cão, produ¸cão, plane-jamento e organiza¸cão.

Seus fundamentos encontram-se na matemática, na análise de sistemas e na es-tat´ıstica. A ferramenta de resolu¸cão, por excelência, é o computador, dado que os problemas reais aos quais as técnicas normalmente se aplicam conduzem à constru¸cão de modelos matemáticos de porte médio ou grande, de solu¸cão manual muito dif´ıcil ou mesmo impraticável.

O objeto deste trabalho é a Programa¸cão Linear que, mesmo sendo um dos ramos mais desenvolvidos e utilizados da Pesquisa Operacional, era até então desconhecida ou pouco difundida na região de onde provem o autor desse trabalho, e por que não dizer, pelo próprio autor, que se interessou pelo tema, basicamente, “por se tratar de uma aplica¸cão da Álgebra Linear”. Interesse esse proveniente da leitura de textos de Álgebra Linear nos livros de Bernard Kolman [3] e Boldrini e outros [11] quando o mesmo estava cursando a disciplina de Álgebra Linear nesse mestrado. Mas como veremos no decorrer desse trabalho, não se trata “apenas de uma aplica¸cão à Álgebra Linear”: na verdade a Programa¸cão Linear (que chamaremos simplesmente de PL) caracteriza-se por utilizar métodos de cálculo baseados na execu¸cão repetida de opera¸cões relativamente simples, beneficiando-se do advento do computador.

As ra´ızes da Programa¸cão Matemática vem desde a antiguidade, visto que Euclides (século III a.C.), por exemplo no seu livro III, procurava encontrar a maior e a me-nor distância de um ponto a uma circunferência, e no livro IV descreveu uma forma de encontrar um paralelogramo de área máxima com um per´ımetro conhecido. Ele támbem propunha outros problemas, que foram elucidados nos séculos XVII e XVIII, quando desenvolveram-se métodos de cálculo que permitiram resolver esses problemas de maximar ou de minimizar áreas [16].

Considera-se Cournot como um dos precursores da Programa¸cão Matemática, de-vido ao seu estudo sobre a igualdade entre receita marginal e custo marginal, logo, implicitamente a determina¸cão do ponto de equil´ıbrio que origina o lucro máximo.

Em 1759, Quesnay publica o Tableau Economique, que pode ser considerada a pri-meira grande tentativa de modelar a economia - ´e assim o primeiro marco no caminho

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dos modelos de programa¸c˜ao ao n´ıvel macroeconˆomico.

Dois desenvolvimentos concomitantes, no in´ıcio deste s´eculo, estimularam o desen-volvimento da PL.

O primeiro iniciou-se em 1928, quando John von Neuman publicou o teorema central da Teoria dos Jogos, que mais tarde foi formulada atrav´es da PL e interpretada `a luz da teoria da dualidade. Em 1944, von Neuman publicou “Theory of Games and Economic

Behaviour”. A intera¸c˜ao entre jogos e a economia encorajou um interesse maior na PL.

O segundo desenvolvimento foi a an´alise insumo-produto (input-output) proposta por Leontief em 1936: em seu artigo “Quantitative input and output Relations in the

Economic Systems of the United States”, ele apresentou um modelo matricial linear que

posteriormente veio a ser utilizado sob a forma de um problema de PL.

Em 1937, von Newman publica “A Model of General Economic Equilibrium”, onde formula um modelo de Programa¸cão Linear dinâmica, em que admite métodos alterna-tivos de produ¸cão simples, ou então, de produ¸cão conjunta.

Em 1939, Kantorovich formulou de forma rigorosa um problema de PL no traba-lho “Métodos Matemáticos de Organiza¸cão e Planejamento da Produ¸cão”, mas não apresentou um algoritmo de resolu¸cão. Todavia, este trabalho não teve então o reco-nhecimento merecido e só muitos anos mais tarde foi efetivamente apreciado.

Porém, ligado à log´ıstica militar em tempos de guerra, é que vai ocorrer o grande salto da Pesquisa Operacional, visto que foi durante a segunda Guerra Mundial que a for¸ca áerea americana organizou um grupo de pesquisadores de nome SCOOP (Scientific

Computation of Optimum Program,) sob a dire¸c˜ao de Marshall K. Wood, para tentar

solucionar o problema de aloca¸cão de recursos limitados, de modo a otimizar certos objetivos. George B. Dantzig era um dos membros deste grupo, e embora nenhum método de expressivo sucesso fosse descoberto durante a guerra, ele formulou o problema de PL geral e inventou o método Simplex em 1947. A partir deste trabalho, a PL tornou-se uma realidade. Com a apretornou-senta¸cão do método Simplex, a Programa¸cão Matemática em geral sofreu uma expansão quase inacreditável.

Antes de apresentar algumas contribui¸cões mais importantes no campo da teoria econômica, convém real¸car que a PL beneficiou-se também das valiosas contribui¸cões

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de muitos matem´aticos, quer sob o ponto de vista te´orico, quer computacional.

Em 1949, Koopmans organizou a c´elebre conferˆencia Cowles Commission for

Re-search in Economics sobre PL, onde a numerosa participa¸c˜ao de economistas e

ma-temáticos de grande valor foi sem dúvida a melhor forma de reconhecimento das po-tencialidades de PL e também a sua divulga¸cão. As comunica¸cões apresentadas nesta conferência foram publicadas no livro Activity Analysis of Production and Allocation.

A partir desta conferˆencia surgiram publica¸c˜oes com o nome de Cowles Commission

Monograph e, no volume 13, foi publicado o trabalho de Dantzig, que foi amplamente

avaliado em 1951 e que se revelou duma eficácia extraordinária. A partir de então as aplica¸cões da PL à economia não cessaram.

Em 1951, H. W. Khun e A. W. Tucker estendem os resultados de Lagrange aos sistemas de inequa¸c˜oes e apresentam o trabalho “Non Linear Programming” no

Se-cond Berkeley Symposium on Mathematical Statistics and Probability, que constitui um

marco fundamental na Programa¸c˜ao Matem´atica.

Ainda em 1951, Dorfman publicou o seu livro “Theory of The Firm” onde expressou em termos de PL a teoria econômica da empresa em condi¸cões de concorrência perfeita e em monopólio.

Tamb´em em 1951, Tucker obteve os primeiros resultados no desenvolvimento da teoria da dualidade.

A primeira solu¸cão bem sucedida de um problema de PL de grande porte ocorreu em janeiro de 1952 no computador do National Bureau of Standards. Para que se tenha uma idéia da situa¸cão, em 1952 havia dúvidas se uma matriz quadrada de ordem 100 poderia ser invertida ou não. Nos dias de hoje, um problema de 100 variáveis e/ou 100 restri¸cões, é considerado pequeno.

Quatro grandes obst´aculos para resolver problemas de PL foram enfrentados em 1952 e durante os dois ou trˆes anos posteriores. Foram eles:

a) encontrar uma solu¸cão básica inicial, ponto de partida do algoritmo; b) resolver problemas que envolviam degenera¸cão;

c) reduzir a área de memória e o número de opera¸cões aritméticas requeridas sem causar limita¸cões de uso;

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d) manter precisão numérica suficiente para a obten¸cão de resultados significativos. Foi reconhecido que encontrar uma solu¸cão básica viável inicial era o mesmo pro-blema que achar uma solu¸cão ótima de um propro-blema de PL auxiliar. Propro-blemas de de-genera¸cão foram amplamente discutidos em vários trabalhos publicados na época, e di-ficuldades ocasionais foram resolvidas. Com rela¸cão à redu¸cão de opera¸cões aritméticas e espa¸co de armazenagem, a forma produto da inversa foi desenvolvida em 1953 e bem aceita, exceto em algumas circunstâncias muito especiais. Ainda em 1953, Dantzig e Orchard-Hays desenvolveram o método Simplex Revisado, importante para a imple-menta¸cão computacional do método Simplex.

Em 1954, o uso da dupla precisão numérica veio resolver o último dos obstáculos mencionados, embora seu uso aumentasse o tempo de opera¸cão aritmética, suscitando muita controvérsia sobre o dilema da precisão numérica versus tempo computacional.

A parametriza¸cão do vetor de recursos (lado direito) de um problema de PL, bem como dos coeficientes da fun¸cão objetivo, são extensões importantes do problema, e estas técnicas foram inicialmente usadas em 1954 e 1955, tornando-se de amplo uso em 1957.

A partir de 1957, outros aperfei¸coamentos ocorreram: nas técnicas de inversão de matrizes, na considera¸cão de variáveis canalizadas e na introdu¸cão do algoritmo dual, cuja teoria já havia sido lan¸cada em 1953. Por volta de 1963, os desenvolvimentos se voltaram para programas computacionais. Todos estes aperfei¸coamentos, especial-mente as técnicas algébricas, foram cada vez mais consideradas, e novas versões foram melhoradas sucessivamente, fazendo parte de programas computacionais de PL.

Técnicas de decomposi¸cão foram estudadas desde 1953, porém, tais técnicas eram na época impraticáveis ou ineficientes. No entanto, com a publica¸cão em 1959, do algoritmo Dantzig-Wolfe, o interesse por estas técnicas cresceu muito.

Em 1958, Dorfman, Samuelson e Solow publicaram “Linear Programming and

Eco-nomic Analysis”, onde foi feita uma aplica¸cão sistemática da PL à economia. E as aplica¸cões da PL à economia tornaram-se parte da própria evolu¸cão da ciência econômica.

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algorit-mos para resolver problemas de PL, um trabalho de Klee e Minty ilustrou, através de um exemplo patológico, que o Simplex pode apresentar um crescimento exponencial no tempo de computa¸cão (quando todos os vértices são pesquisados antes que se encontre a solu¸cão ótima). Despertou-se, então, um grande interesse pela busca de um provável algoritmo com tempo polinomial.

Em 1979, atrav´es do trabalho de Khachian e em 1984, com o algoritmo de Kar-markar, os algoritmos de pontos interiores mostraram-se de complexidade polinomial. Entretanto, para problemas de grande porte, utilizam-se algoritmos de pontos interio-res.

O desenvolvimento de computadores pessoais potentes no in´ıcio da década de 80 foi essencial para uma dissemina¸cão ainda maior da Programa¸cão Linear e da Pesquisa Operacional.

Uma boa forma de se avaliar o potencial da Pesquisa Operacional e da Programa¸cão Linear é através de aplica¸cões que resultam em substanciais economias de divisas. A associa¸cão norte-americana de Pesquisa Operacional, Institute for Operations Research

and Management Science (INFORMS) promove anualmente um concurso para

selecio-nar as melhores aplica¸cões (Franz Edelmn prize), as quais são publicadas no periódico

Interfaces.

O leitor interessado em maiores informa¸cões a respeito desse histórico aqui levan-tado, poderá procurá-las nas referências bibliográficas [3], [4], [10], [11], [15], [16], [17] e [21].

1.2 Modelos de Programa¸c˜

ao Linear

Para os problemas de otimiza¸cão, principalmente os encontrados em administra¸cão, economia e na indústria, estamos interessados em tomar decisões que irão maximizar ou minimizar algumas quantidades. São de particular importância os problemas de Programa¸cão Matemática que dizem respeito ao aproveitamento de recursos escassos e usos alternativos, de forma a satisfazer determinado(s) objetivo(s). Tais problemas são caracterizados pela infinidade de solu¸cões (programas), processando-se a escolha

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da “melhor” solu¸cão em fun¸cão do objetivo pré-estabelecido. A solu¸cão que satisfaz simultaneamente as condi¸cões do problema e o objetivo é chamada de solu¸cão ótima.

Das classes de problemas de Programa¸cão Matemática, veremos aqui, em particular, a designada por Programa¸cão Linear. O termo linear advém do fato de que tanto as restri¸cões (condi¸cões) quanto o objetivo desse tipo de problema podem ser descritos através de rela¸cões lineares (equa¸cões e inequa¸cões lineares).

Nesta se¸cão vamos dar diversos exemplos de problemas de PL e mostrar como mo-delá-los matematicamente. Vamos também mostrar uma solu¸cão geométrica para al-guns deles.

1.2.1 Defini¸c˜

ao do problema

Matematicamente, um problema de PL consiste em determinar os valores de n variáveis, x1, x2, ..., xn, que tornam máximo ou m´ınimo o valor de uma fun¸cão linear

z = f (x1, x2, ..., xn),

sujeito a m restri¸c˜oes ou condi¸c˜oes lineares,

gi(x1, x2, ..., xn) {≥, =, ≤} bi, i = 1, 2, ..., m,

além da condi¸cão de não negatividade das variáveis, xj≥ 0, j = 1, 2, ..., n. A fun¸cão z a ser otimizada, é chamada de fun¸cão objetivo (f.o.).

1.2.2 Exemplos de modelos de Programa¸c˜

ao Linear

Exemplo 1 - Problema da an´alise das atividades

Este modelo pode ser associado a uma empresa que tem recursos dispon´ıveis para a realiza¸cão de n atividades. O problema consiste em determinar as variáveis x1, x2, ..., xn que maximizam a fun¸cão objetivo:

z = n X

j=1 cjxj

(20)

sujeito `as restri¸c˜oes n X j=1 aijxj≤ bi, i = 1, 2, ..., m (1.1) xj ≥ 0, j = 1, 2, ..., n. (1.2)

Supondo que as atividades representam a fabrica¸c˜ao de produtos, temos ent˜ao para todo j = 1, 2, ..., n e para todo i = 1, 2, ..., m:

bi : quantidade do recurso i dispon´ıvel para as n atividades, com bi≥ 0, ∀i; xj : n´ıvel de produ¸c˜ao da atividade j;

cj : lucro na produ¸c˜ao da atividade j;

aij : quantidade de recurso i necessário à produ¸cão de uma unidade do produto j. NOTAS:

1. A fun¸c˜ao objetivo z a ser maximizada representa o lucro total da empresa nessas n atividades.

2. As restri¸cões em (1.1) indicam que o total gasto de recurso i nas atividades, deve ser menor ou no máximo igual à quantidade bi dispon´ıvel destes recursos.

3. As restri¸c˜oes em (1.2) eliminam a possibilidade de n´ıveis negativos.

Exemplo 2 - Problema de Transporte

O modelo dos transportes tem por objetivo minimizar o custo total do transporte necessário para atender n centros distribuidores (destinos) a partir de m centros forne-cedores (origens). Vamos definir xij com (xij ≥ 0) como o número de unidades enviadas da origem i para o destino j. Se ai representa o número de unidades do produto dis-pon´ıveis na origem i, e bj o número de unidades requeridas no destino j, então:

n X

j=1

xij = xi1+ xi2+ ... + xin≤ ai, i = 1, 2, ..., m,

o que implica que n˜ao se pode enviar mais mercadorias de qualquer uma origem do que as dispon´ıveis nesta origem.

(21)

´

E preciso suprir cada destino com o n´umero de unidades desejadas, ou seja, m

X i=1

xij = x1j+ x2j+ ... + xmj ≥ bj, j = 1, 2, ..., n.

Isso implica que a quantidade total recebida em qualquer destino ´e a soma das quanti-dades recebidas de cada origem. Evidentemente, deve-se ter

m X i=1 ai ≥ n X j=1 bj

a fim de que as necessidades dos mercados possam ser satisfeitas.

Se cij ´e o custo de envio de uma unidade da origem i para o destino j, ent˜ao o modelo tem a seguinte forma:

minimizar z = n X j=1 m X i=1 cijxij sujeito a                  n X j=1 xij ≤ ai, i = 1, 2, ..., m m X i=1 xij ≥ bj, j = 1, 2, ..., n xij ≥ 0, ∀i, ∀j

Observa¸c˜ao: conforme nota¸c˜ao usual da literatura de PL, abreviaremos os termos “sujeito a, maximizar e minimizar” por “s.a., max e min”, respectivamente.

Exemplo 3 - Problema de multiper´ıodo

Este ´e um problema que envolve a estocagem de uma quantidade de produto de um per´ıodo para o seguinte.

Considere uma fábrica de suco de laranja com capacidade de moer 4.000 caixas de laranjas por mês. A fábrica dispõe de diversos pomares, atualmente totalizando 10.000 caixas de laranjas para serem colhidas e mo´ıdas nos próximos três meses. A produtividade esperada nos próximos três meses é de 2.6, 2.9 e 2.8 toneladas de suco por mil caixas de laranja. Deseja-se determinar um esquema de funcionamento/colheita da fábrica que maximize a quantidade de suco produzida [5].

(22)

O problema consiste em determinar a quantidade (em mil caixas) de laranjas a ser processada em cada um dos três meses. Denote por xj as variáveis que vão indicar o n´ıvel de produ¸cão da fábrica no mês j: é claro que 0 ≤ xj ≤ 4. Deve-se observar que os valores a serem atribu´ıdos a estas variáveis estão relacionados entre si através da quantidade de laranjas que permanece no pé no final do mês.

Seja sj a quantidade (em mil caixas) de laranjas que estão no pé ao final de cada mês. Observe que estas variáveis de n´ıvel de estoque estão associadas à atividade de armazenagem de um per´ıodo para outro e servem de acoplamento entre os per´ıodos do horizonte de planejamento:

s1= 10 − x1 ≥ 0 s2= s1− x2 ≥ 0 s3= s2− x3 ≥ 0.

Assim, o problema pode ser formulado por:

max 2.6x1+ 2.9x2+ 2.8x3 s.a.                    x1 + s1 = 10 x2 − s1+ s2 = 0 x3 − s2+ s3= 0 xj ≤ 4, j = 1, 2, 3 x1, x2, x3, s1, s2, s3≥ 0

De um modo geral, problemas de estoque s˜ao modelados na forma

min X k ck_xk₊X k dk_xk s.a.    Axk_{− s}k−1_{+ s}k _{= b}k_{, ∀k} xk _{, s}k _{≥ 0, ∀k}

onde os vetores de variáveis xk _{e s}k _{denotam os vetores de produ¸cão do per´ıodo k e de} estoque do per´ıodo k − 1 para o per´ıodo k. Os vetores ck_{, d}k _{e b}k _{representam os vetores} de custos de produ¸cão, de custos de estoque e de reposi¸cão de recursos do per´ıodo k, e a matriz A é matriz de produ¸cão supostamente comum a todos os per´ıodos. Note que, para cada per´ıodo e para cada recurso, a quantidade estocada no per´ıodo anterior

(23)

mais a quantidade produzida menos a quantidade estocada para o per´ıodo seguinte é igual à demanda do per´ıodo. A matriz de restri¸cões do problema é esparsa e pode ser visualizada como uma matriz bloco angular:

        I A −I I A −I . .. ... ... I A −I        

No caso espec´ıfico da laranja é poss´ıvel considerar uma perda de estoque causada por frutas que caem do pé antes de serem colhidas. Supondo que isto ocorre a uma taxa ak no per´ıodo k, então as equa¸cões de cada per´ıodo passam a ser expressas na forma:

Axk− ak−1sk−1+ sk = 0, ∀k.

Exemplo 4 - Problema de multiproduto

Considere uma empresa com diversas f´abricas que produzem diferentes produtos a partir de um conjunto de recursos. Seja ck

j o custo de produ¸c˜ao do produto j na f´abrica k; bk

i a disponibilidade do recurso i na fábrica k; dj a quantidade total a ser produzida do produto j (demanda) e aij o coeficiente de produ¸cão do recurso i para o produto j supostamente comum a todas as fábricas.

O problema de multiproduto consiste em determinar vari´aveis xk

j que minimizam o custo total de produ¸c˜ao satisfazendo as demandas e utilizando os recursos dispon´ıveis em cada f´abrica: min X k ck_xk s.a.          Axk _{= b}k_{, ∀k} P xk _{= d} xk _{≥ 0, ∀k}

Note que a matriz de restri¸c˜oes do problema ´e esparsa e pode ser visualizada como uma matriz bloco angular com acoplamento:

(24)

          A A . .. A I I · · · I          

Exemplo 5 - Problema da dieta mais econˆomica

O modelo da dieta pode ser associado a uma pessoa que deseja minimizar o custo da sua dieta diária. As atividades representam o consumo dos alimentos que entram na dieta, e os recursos são os nutrientes que não podem deixar de ser supridos na dieta. O problema consiste em encontrar x1, x2, ..., xn que minimizem o custo da dieta, onde são dados os custos unitários de cada alimento j, as quantidades m´ınimas exigidas dos nutrientes e a quantidade de nutrientes em cada alimento.

Definindo:

xj : quantidade (a ser determinada) do alimento j na dieta; cj : custo unit´ario do alimento j;

bi : quantidade m´ınima do nutriente i que deve ser obtida dos alimentos; aij: quantidade do nutriente i fornecida por uma unidade do alimento j, podemos formular o problema como se segue:

min z = c1x1+ c2x2+ ... + cnxn s.a.                    a11x1+ a12x2+ ... + a1nxn ≥ b1 a21x1+ a22x2+ ... + a2nxn ≥ b2 ... am1x1+ am2x2+ ... + amnxn≥ bm xj ≥ 0, j = 1, 2, ..., n

(25)

De maneira mais compacta, temos: min z = n X j=1 cjxj s.a.        n X j=1 aijxj ≥ bi, i = 1, 2, ..., m xj ≥ 0, j = 1, 2, ..., n (1.3) NOTAS:

1. A fun¸c˜ao objetivo z a ser minimizada, representa o custo total da dieta a ser realizada com os n alimentos.

2. A primeira restri¸c˜ao em (1.3) indica que o total do nutriente i obtido dos m alimentos deve ser maior ou igual `a quantidade m´ınima bi deste nutriente.

Exemplo 6 - Um exemplo particular do problema da dieta

Uma mãe deseja que seu filho pequeno obtenha no m´ınimo 1 mg de Tiamina, 5 mg de Niacina e 400 calorias a partir de sua refei¸cão matinal, que pode consistir de farinha láctea, ou de leite em pó, ou de uma mistura dos dois.

Supondo que 100 g de farinha láctea contém 0,3 mg de Tiamina, 3,0 mg de Niacina e 330 calorias, enquanto 100 g de leite em pó contém 0,75 mg de Tiamina, 0,75 mg de Niacina e 360 calorias; e que 100 g de farinha láctea e 100 g de leite em pó custam R$ 1,20 e R$ 1,50 respectivamente, qual é o PL que minimiza o custo dessa refei¸cão? [10]

Como no Exemplo 5, sejam x1 e x2 as quantidades (em 100 g) de farinha l´actea e leite em p´o, respectivamente, que devem ser consumidas diariamente pela crian¸ca.

O custo total, em reais, com a alimenta¸c˜ao da crian¸ca ´e dada por:

z = f (x1, x2) = 1, 2x1+ 1, 5x2

O objetivo da mãe é minimizar o custo total, sendo suas possibilidades limitadas pelas seguintes restri¸cões relativas ao regime alimentar (diário) da crian¸ca:

(26)

isto é, a quantidade (em mg) de Tiamina a ser consumida diariamente, deve ser maior ou igual à quantidade (em mg) m´ınima necessária de Tiamina por dia.

Analogamente para a Niacina,

3, 00x1+ 0, 75x2 ≥ 5

e para as calorias

330x1+ 360x2≥ 400

Sabendo-se que as quantidades de farinha láctea e leite em pó a serem fornecidas dia-riamente são não negativas, isto é, x1 ≥ 0 e x2 ≥ 0, temos então, o modelo de PL que permite estabelecer a “dieta” da crian¸ca:

min z = 1, 2x1+ 1, 5x2 s.a.              0, 30x1+ 0, 75x2 ≥ 1 3, 00x1+ 0, 75x2 ≥ 5 330 x1+ 360 x2≥ 400 x1, x2≥ 0

Observa¸cão: existem na realidade algumas restri¸cões impl´ıcitas no modelo, que após uma análise mais detalhada do problema podem se tornar importantes. Além disso, os parâmetros do modelo podem envolver algumas incertezas ou não serem conhecidos. Por exemplo, existem restri¸cões impl´ıcitas que limitam a quantidade máxima de leite em pó e ou de farinha láctea, que não foram consideradas porque se espera a priori, que não sejam ultrapassados esses limites.

Apesar das limita¸cões e de simplifica¸cões introduzidas nos modelos, a experiência tem revelado que a PL é uma das ferramentas mais utilizadas na resolu¸cão de problemas reais que envolvem formula¸cões de modelos matemáticos.

1.2.3 Formula¸c˜

ao matem´

atica do problema geral de Programa¸c˜

ao

Linear

Veremos agora os conceitos da Programa¸cão Linear em que se asseguram a cons-tru¸cão de modelos que descrevem as inter-rela¸cões entre as componentes de um sistema.

(27)

De forma geral, a preocupa¸cão fundamental da PL é o estudo do comportamento de um conjunto complexo ou sistema, onde se pressupõe que este sistema é decomposto em fun¸cões elementares que chamaremos de atividades.

Uma atividade consiste em produzir certo conjunto de produtos a partir de um determinado conjunto de fatores; ela é caracterizada por ser as propor¸cões entre seus “bens”(fatores e produtos) fixas e bem determinadas. A medida quantitativa de cada atividade é chamada “n´ıvel da atividade”. Como é sempre poss´ıvel associar à cada ati-vidade unitária um certo lucro (custo), o problema de PL, do ponto de vista econômico, é o de determinar os n´ıveis das diversas atividades que maximizam o lucro total (mi-nimizam o custo total), respeitando as limita¸cões impostas pela disponibilidade dos recursos, quantidade e qualidade dos produtos.

Os exemplos anteriores têm em comum o fato de poderem ser formulados de acordo com um modelo matemático bastante geral, que consiste em determinar os valores não negativos das variáveis xj, j = 1, 2, ..., n, que satisfazem um sistema de m equa¸cões e/ou inequa¸cões lineares, e que minimizam (maximizam), uma fun¸cão (real)z = z(x) linear dessas variáveis, isto é,

min z = c1x1+ c2x2+ ... + cnxn (1.3) s.a.                                a11x1+ a12x2+ ... + a1jxj+ ... + a1nxn ≤, =, ≥ b1 a21x1+ a22x2+ ... + a2jxj+ ... + a2nxn ≤, =, ≥ b2 ... ai1x1+ ai2x2+ ... + aijxj+ ... + ainxn ≤, =, ≥ bi (1.4) ... am1x1+ am2x2+ ... + amjxj+ ... + amnxn ≤, =, ≥ bm x1, x2, ..., xj, ..., xn ≥ 0, (1.5) onde:

i) As variáveis xjsão chamadas variáveis principais ou de decisão (variáveis do modelo). ii) A fun¸cão dada por (1.3) é chamada fun¸cão objetivo (f.o.), ou fun¸cão critério. iii) As equa¸cões e inequa¸cões (1.4) são chamadas restri¸cões e as desigualdades xj ≥ 0 em (1.5) são chamadas de condi¸cões de não negatividade.

(28)

iv) As constantes aij, bi e cj (parâmetros fornecidos pelo modelo) são chamadas res-pectivamente, de coeficientes técnicos, termos independentes (constantes de restri¸cão) e coeficientes da fun¸cão objetivo.

v) Em cada restri¸cão se verifica uma e só uma das rela¸cões ≤, = ou ≥.

1.2.4 Formas de apresenta¸c˜

ao do modelo de Programa¸c˜

ao

Li-near

Devido `a utilidade de se considerar certos aspectos da PL, em especial o problema da dualidade, o modelo ´e normalmente apresentado em uma das seguintes formas t´ıpicas:

max z = cT_x s.a.    Ax ≤ b x ≥ 0 ou min z = cT_x s.a.    Ax ≥ b x ≥ 0

As duas formas acima são chamadas de forma canônica e são tão gerais quanto a forma definida em (1.3), (1.4) e (1.5), pois é sempre poss´ıvel dar a qualquer problema uma dessas formas. Para isso, basta observar o seguinte:

a) Para passar o valor da fun¸cão objetivo de máximo (max) para m´ınimo (min), ou vice-versa, basta multiplicar os coeficientes cj por (−1) e trocar ainda o sinal da f.o., isto é, min n X j=1 cjxj = −max n X j=1 (−cj)xj

b) Para inverter o sentido de desigualdades nas restri¸c˜oes, basta, tamb´em, multiplicar por (−1) ambos os membros das desigualdades:

n X j=1 aijxj ≥ bi⇒ n X j=1 (−aij)xj≤ −bi

(29)

c) Uma restri¸cão com igualdade é equivalente a duas desigualdades simultâneas: n X j=1 aijxj = bi⇔            n X j=1 aijxj ≤ bi n X j=1 aijxj ≥ bi

d) Qualquer vari´avel xj livre (vari´avel irrestrita em sinal) pode, sempre, ser substitu´ıda por xj = x ′ j− x ′′ j, com x ′ j , x ′′

j ≥ 0 e qualquer vari´avel xj ≤ 0 pode ser substitu´ıda por xj= −x

′

j, com x

′

j ≥ 0. e) Uma restri¸c˜ao do tipo

am1x1+ am2x2+ ... + amnxn ≥ bm

pode ser transformada numa restri¸c˜ao de igualdade subtraindo uma nova vari´avel de excesso, sm≥ 0:

am1x1+ am2x2+ ... + amnxn− sm= bm.

Por outro lado, para as restri¸c˜oes do tipo

am1x1+ am2x2+ ... + amnxn ≤ bm

basta acrescentar uma nova variável de folga sm≥ 0, o que corresponde a transformar a restri¸cão dada na equa¸cão

am1x1+ am2x2+ ... + amnxn+ sm= bm.

Com base nessas observa¸cões, podemos efetuar a mudan¸ca da forma de apresenta¸cão de qualquer modelo de PL para a chamada forma padrão que é:

max z = cT_x s.a.    Ax = b x ≥ 0 ou min z = cT_x s.a.    Ax = b x ≥ 0

(30)

onde A ´e uma matriz de ordem m × n, geralmente com m < n.

Observa¸cão: a forma padrão é particularmente importante porque nos permite re-solver sistemas de equa¸cões lineares (ao invés de inequa¸cões) e é a forma utilizada pelo método Simplex.

A forma canônica é uma forma que aparece naturalmente em duas situa¸cões. Por exemplo, os problemas da dieta e o da análise de atividades, se apresentam na forma canônica, com fun¸cão objetivo de m´ınimo e de máximo respectivamente. Observe nos exemplos a seguir que é poss´ıvel transformar um problema qualquer de PL em um problema de PL na forma padrão:

Exemplo 7 - Problema com vari´avel n˜ao-positiva

min z = x1− 3x2 s.a.          3x1+ x2 ≤ 5 2x1− x2 ≤ 3 x1≥ 0, x2≤ 0

Para colocar na forma padr˜ao como um problema de m´ınimo basta fazer a seguinte mudan¸ca de vari´avel: x′

2= −x2, x

′

2≥ 0 e acrescentar as vari´aveis de folga x3 e x4, de modo que teremos:

min z = x1+ 3x ′ 2 s.a.          3x1− x ′ 2+ x3 = 5 2x1+ x ′ 2 + x4 = 3 x1, x ′ 2, x3, x4≥ 0

Exemplo 8 - Problema com variável não-positiva e com variável livre

O problema a seguir pode ser colocado como um problema na forma padrão com fun¸cão objetivo de máximo: min z = x1− 2x2+ x3 s.a.          2x1+ x2− 3x3 ≤ 9 −x1+ 5x2+ x3≥ 5 x1 ≥ 0, x2≤ 0, x3 livre

(31)

Para isto, procedemos como a seguir:

1. multiplicamos os coeficientes das variáveis na fun¸cão objetivo por (−1) e trocamos o sinal da fun¸cão objetivo, ou seja, min z = x1−2x2+x3 = −max (−z) = −x1+2x2−x3; 2. mudan¸ca de variável: x′ 2= −x2, x ′ 2≥ 0; 3. mudan¸ca de variável: x3= x′3− x ′′ 3, x ′ 3≥ 0 e x ′′ 3 ≥ 0;

4. acrescentamos a variável de folga x4 na restri¸cão (1) e a variável de excesso x5 na restri¸cão (2).

Deste modo, teremos:

max −z = −x1− 2x ′ 2− x ′ 3+ x ′′ 3 s.a.          2x1− x ′ 2− 3x ′ 3+ 3x ′′ 3+ x4 = 9 −x1− 5x ′ 2+ x ′ 3− x ′′ 3 − x5 = 5 x1, x ′ 2, x ′ 3, x ′′ 3, x4, x5 ≥ 0

1.2.5 Hip´

oteses b´

asicas da Programa¸c˜

ao Linear

As hipóteses seguintes já foram utilizadas nas formula¸cões anteriores: (1) Proporcionalidade (propriedade multiplicativa)

Dada a vari´avel xj, ent˜ao:

(i) sua contribui¸cão na restri¸cão i é aijxj; (ii) sua contribui¸cão na fun¸cão objetivo é cjxj.

O item (i) é bem razoável: se 100g de farinha láctea contém 330 calorias, então 200g de farinha láctea conterão 660 calorias.

O item (ii) não é tão razoável: se o custo de produ¸cão de uma unidade de certo produto é R$ 10,00, então o custo de produ¸cão de 100 unidades deste produto pode ser menor do que R$ 1000,00, pois este custo (por unidade) tende a cair com o aumento do número de unidades produzidas.

(2) Aditividade

(i) o consumo total de um determinado recurso ´e a soma dos consumos de cada atividade indiviual;

(32)

(ii) o custo total ´e a soma dos custos individuais.

O item (i) parece ser bem colocado. Tomando ainda o problema da dieta, a quantidade total de calorias exigida na refei¸cão é a soma das quantidades de calorias existentes na farinha láctea e no leite em pó: 300x1+ 360x2.

O item (ii) nem sempre é válido. Por exemplo, se misturarmos vários metais para fazer uma liga, não é verdade que o peso da liga é igual à soma dos pesos dos metais em separado.

(3) Divisibilidade (continuidade das vari´aveis)

Esta hipótese assegura que as variáveis podem assumir qualquer valor real, em geral, em um certo intervalo (por exemplo, x ≥ 0). Se as variáveis assumem apenas valores inteiros, temos a Programa¸cão Linear Inteira em vez de Programa¸cão Linear.

(4) Hip´otese Determin´ıstica

Todos os coeficientes de custos, recursos e produ¸cão, são conhecidos com exatidão. Não pode haver incerteza ou aleatoriedade.

1.3 Solu¸c˜

ao gr´

afica de problemas de Programa¸c˜

ao

Linear

Problemas de PL envolvendo duas variáveis podem ser resolvidos graficamente de maneira bastante simples; sendo os problemas de três variáveis de dif´ıcil solu¸cão gráfica e os que apresentam mais de três variáveis, imposs´ıveis de serem resolvidos graficamente [12].

A interpreta¸cão geométrica dos problemas de PL permite pôr em evidência propri-edades importante de tais problemas, bem como a natureza das suas solu¸cões [12].

(33)

Vamos considerar o seguinte problema de PL: max z = 6x1+ 3x2 s.a.              x1+ x2 ≤ 220 (a) x1+ 2x2 ≤ 360 (b) x1 ≤ 160 (c) x1, x2≥ 0

Constru´ımos um sistema de eixos cartesianos x10x2, e identificamos os valores de x1 e x2 que satisfa¸cam todas as restri¸cões. As condi¸cões de não negatividade x1, x2 ≥ 0, indicam que todos os pontos (x1, x2) admiss´ıveis do problema, encontram-se no primeiro quadrante. As restri¸cões x1+2x2 ≤ 360 e x1+x2 ≤ 220 impõem que (x1, x2) encontram-se abaixo ou sob as retas x1+ 2x2= 360 e x1+ x2= 220, e a restri¸cão x1 ≤ 160 significa que (x1, x2) está a esquerda da reta x1 = 160.

A Figura 1.1 ilustra o gráfico, onde a região sombreada indica o conjunto dos pontos que satisfazem todas as restri¸cões (conjunto das solu¸cões viáveis).

Figura 1.1: regi˜ao vi´avel

Para determinar um ponto ótimo (ponto que maximiza o valor de z = 6x1+ 3x2) situado na região das solu¸cões admiss´ıveis, procedemos como se segue:

1. determinamos o gradiente de z, ∇z, dado por (∂z ∂x1,

∂z

(34)

2. deslocamos no sentido do gradiente a reta de n´ıvel, dada por

{(x1, x2) ∈ R2/ 6x1+ 3x2= z0}, perpendicular ao gradiente de z, at´e encontrar o(s) ´

ultimo(s) ponto(s) de contato com a região admiss´ıvel. A Figura 1.2 a seguir, ilustra esse procedimento. Note que o último ponto encontrado é o ponto F = (160, 60), interseçcão das retas x1+ x2 = 220 e x2 = 160. O valor da f.o. neste ponto é dado por z = 6 × 160 + 3 × 60 = 960 + 180 = 1140.

Figura 1.2: solu¸c˜ao ´otima (max)

Neste caso dizemos que problema tem solu¸cão ótima única x∗ _{= (160 , 60) e valor} ótimo da f.o. z∗ _{= 1140.}

Exemplo 10 - Problema de minimiza¸c˜ao

Vamos considerar agora o seguinte problema de PL: min z = 2x1+ 3x2 s.a.              x1+ x2≤ 10 (a) 5x1+ x2≥ 10 (b) x1+ 2x2≥ 4 (c) x1, x2≥ 0

Procedendo de maneira semelhante `a anterior, observando que para determinar o(s) ponto(s) que minimiza(m) o valor de z = 2x1+ 3x2 , devemos deslocar a reta de n´ıvel

(35)

(dentro da região admiss´ıvel) no sentido contrário ao sentido de gradiente de z, como ilustrado na Figura 1.3. Neste caso, o ponto ótimo é dado por F = (16

9, 10

9), interseçcão das retas (b) e (c). Em F o valor da f.o. é dado por z = 2 ×16₉ + 3 ×10₉ = 32₉ +30₉ = 62₉.

Figura 1.3: região viável e solu¸cão ótima (min)

O problema possui solu¸cão ótima única x∗ _{= (}16 6,

10

9) e valor ´otimo da f.o. z ∗₌ 62

9.

1.3.1 Tipos de solu¸c˜

oes de um problema de Programa¸c˜

ao

Li-near

Nos exemplos anteriores, as solu¸cões ótimas dos problemas dados eram únicas. En-tretanto, há casos excepcionais onde os problemas apresentam múltiplas solu¸cões, ou não apresentam solu¸cão.

Exemplo 11 - Solu¸c˜oes ´otimas alternativas

max z = 2x1+ x2 s.a.          3x1+ 4x2 ≤ 12 (a) 2x1+ x2≤ 5 (b) x1, x2 ≥ 0

(36)

A resolu¸cão gráfica deste problema está representada na Figura 1.4, de onde podemos concluir que, tanto o ponto A quanto o ponto B conduzem ao mesmo valor máximo da f.o., z = 5, porque a f.o. é paralela à segunda restri¸cão. Portanto, qualquer ponto pertencente à aresta AB é também solu¸cão ótima. Neste caso existe uma infinidade de solu¸cões ótimas, chamadas de solu¸cões ótimas alternativas.

Figura 1.4: solu¸c˜oes ´otimas alternativas

Exemplo 12 - Solu¸c˜ao n˜ao-limitada

max z = 2x1+ 3x2 s.a.              3x1+ 2x2≥ 6 (a) −x1+ x2≤ 1 (b) x2≤ 4 (c) x1, x2 ≥ 0

A Figura 1.5 mostra a região viável e a solu¸cão ótima deste problema.

Nesse caso, a fun¸cão objetivo pode assumir qualquer valor arbitrariamente grande. Portanto, não existe um valor máximo finito para z. Note que o conjunto solu¸cão é ilimitado. Neste caso dizemos que o problema é ilimitado, ou que z → ∞.

(37)

Figura 1.5: regi˜ao vi´avel ilimitada

limitada (dada pelo ponto B = (2, 0)), apesar do conjunto das solu¸c˜oes admiss´ıveis ser n˜ao limitado.

Exemplo 13 - Valor ´otimo da f.o. finito num conjunto de solu¸c˜ao ilimitado

max z = −2x1+ 4x2 s.a.          − x1+ x2≤ 1 (a) −2x1+ 4x2≤ 8 (b) x1, x2≥ 0

O conjunto das solu¸cões viáveis desses problema está mostrado na Figura 1.6.

Neste caso, z = 8 é o máximo valor da fun¸cão objetivo. Entretanto, todo ponto (x1, x2) pertencente à semi-reta −2x1+ 4x2 = 8 com extremidade inicial no ponto G = (2, 3) conduz a z = 8 e, portanto, é uma solu¸cão ótima do problema.

Exemplo 14 - Restri¸c˜oes incompat´ıveis

No exemplo que segue, ilustrado pela Figura 1.7, vemos que o problema não possui solu¸cão viável. Suas restri¸cões são incompat´ıveis ou, seu conjunto de solu¸cões viáveis é

(38)

Figura 1.6: solu¸cões ótimas alternativas vázio. max z = x1+ 2x2 s.a.          x1+ x2 ≥ 3 (a) 2x1+ x2≤ 2 (b) x1, x2 ≥ 0

Figura 1.7: restri¸c˜oes incompat´ıveis

Observa¸cão: um fato importante que notamos em todos estes exemplos é que a solu¸cão ótima, quando existe, ocorre sempre em pelo menos um vértice do conjunto de solu¸cões admiss´ıveis ou região viável.

(39)

Fundamentos Matem´

aticos da

Programa¸c˜

ao Linear

Serão apresentados neste cap´ıtulo alguns dos aspectos matemáticos fundamentais da teoria da Programa¸cão Linear referentes às condi¸cões para existência de solu¸cões do problema, visto que, para compreender os principais aspectos teóricos da Programa¸cão Linear, é indispensável conhecer um conjunto de conceitos e elementos matemáticos, principalmente no campo da álgebra linear, dos quais podemos destacar: combina¸cão linear convexa, conjuntos convexos, solu¸cões básicas de sistemas lineares, além de re-sultados importantes nos quais se fundamentam a teoria da PL e do método Simplex.

2.1 Caracteriza¸c˜

ao do conjunto solu¸c˜

ao

Nesta se¸cão vamos come¸car a analisar a estrutura algébrica da solu¸cão de um pro-blema de Programa¸cão Linear, que denotaremos apenas por propro-blema de PL.

Defini¸cão 2.1.1. Um vetor b ∈ Rn _{é uma combina¸cão linear dos vetores} a1_{, a}2_{, ..., a}r ∈ Rn _{se b = λ} 1a1+ λ2a2+ ... + λrar = r X i=1

λiai, onde λi s˜ao n´umeros reais quaisquer, i = 1, 2, ..., r [1].

(40)

Defini¸cão 2.1.2. Um vetor b ∈ Rn _{é uma combina¸cão linear convexa dos vetores} a1_{, a}2_{, ..., a}r _{∈ R}n _{se b =} r X i=1 λiai, onde λi≥ 0, i = 1, 2, ..., r e r X i=1 λi= 1.

Defini¸cão 2.1.3. Um vetor b ∈ Rn _{é uma combina¸cão linear não negativa dos vetores} a1_{, a}2_{, ..., a}r _{∈ R}n _{se for combina¸cão linear e tiver todos os valores de λ}

i n˜ao negativos [2].

Na figura abaixo cada um dos vetores x3_{, x}4 _{e x}5_{´e uma combina¸c˜ao linear convexa} de x1 _{e x}2_{, para α ∈ R, 0 ≤ α ≤ 1.}

Figura 2.1: combina¸c˜ao linear convexa de dois vetores

2.1.1 Retas, hiperplanos e semiespa¸cos

Veremos agora uma generaliza¸cão do conceito de reta e plano (no R2 _{e R}3_{) num} espa¸co de dimensão n maior que três.

Defini¸c˜ao 2.1.4. No R2 _{(plano) uma reta} 2 X

i=1

aixi = b com ai, b ∈ R, separa o plano em duas regi˜oes chamadas semiplanos. As inequa¸c˜oes

2 X i=1 aixi ≥ b e 2 X i=1 aixi ≤ b repre-sentam esses dois semiplanos [21].

(41)

No R3 _{(espa¸co) um plano} 3 X

i=1

aixi= b, ai, b ∈ R, separa o R3 em duas regi˜oes chamadas semiespa¸cos. As inequa¸c˜oes

3 X i=1 aixi ≥ b e 3 X i=1 aixi≤ b representam esses dois semiespa¸cos [2].

e ´e n˜ao nulo e b ∈ R.

O hiperplano separa o Rn_{em duas regiões que também são chamadas de semiespa¸cos.} As inequa¸cões n X i=1 aixi≥ b e n X i=1

aixi ≤ b representam esses dois semiespa¸cos.

, onde p ∈ Rn

é um vetor não nulo, x ∈ Rn _{e k é um} escalar.

NOTA:

Em problemas de PL, a fun¸c˜ao objetivo (a ser maximizada ou minimizada) z =X i

cixi, é um hiperplano para um dado valor de z. Como os valores ci são constantes, os hiperplanos que correspondem aos diferentes valores de z são paralelos, pois têm o mesmo vetor normal. Portanto, para maximizar (minimizar) z, o hiperplano deve ser deslocado paralelo a si mesmo através da região das solu¸cões admiss´ıveis até que o valor de z seja o maior (menor) poss´ıvel.

2.2 Conjuntos convexos

A convexidade do conjunto de solu¸cões viáveis de um problema de PL é importante para garantir que uma solu¸cão ótima do problema é atingida quando nenhum vértice adjacente for melhor do que o atual. Explicaremos estes conceitos no Cap´ıtulo 3.

Defini¸c˜ao 2.2.1. X é um conjunto convexo se para quaisquer pontos x1_{, x}2 _{∈ X, o} segmento de reta unindo estes pontos encontra-se também em X. Em outras palavras, se x1_{, x}2 _{∈ X, então todo ponto x = λx}1_{+ (1 − λ)x}2_{, com λ ∈ [0 , 1] também pertence} a X.

(42)

As Figuras 2.2.a e 2.2.b representam um conjunto convexo e um n˜ao convexo.

Figura 2.2: Conjuntos convexo e n˜ao convexo

Proposi¸cão 2.2.1. O conjunto de todas as combina¸cões convexas de um número finito de pontos x1_{, x}2_{, ...x}m_{é um conjunto convexo. Isto é, o conjunto definido por}

X = ( x/x = m X i=1 λixi, ∀λi≥ 0, i = 1, 2, ..., m, e m X i=1 λi= 1 )

´e um conjunto convexo.

DEMONSTRAC¸ ˜AO:

Sejam u e v dois pontos quaisquer de X, tais que u = m X i=1 λ′ix i ; λ′i ≥ 0, e m X i=1 λ′i = 1 e v = m X i=1 λ′′ix i ; λ′′i ≥ 0, e m X i=1

λ′′i = 1. X ser´a convexo se αv + (1 − α)u ∈ X, ∀α ∈ [0 , 1]. Substituindo as express˜oes de u e v, teremos

αv + (1 − α)u = α m X i=1 λ′′ix i + (1 − α) m X i=1 λ′ix i = m X i=1 [αλ′′i + (1 − α)λ ′ i]x i = m X i=1 µixi onde µi = αλ ′′ i + (1 − α)λ ′

i ≥ 0 uma vez que os escalares α, λ

′

i e λ

′′

i pertencem ao intervalo fechado [0 , 1]. Como

m X i=1 µi = α m X i=1 λ′′i + (1 − α) m X i=1 λ′i = α + (1 − α) = 1,

conclu´ımos que αv + (1 − α)u também é uma combina¸cão convexa dos pontos xi _e portanto, X é convexo.

(43)

Teorema 2.2.1. A interseçcão finita de conjuntos convexos é ainda um conjunto

con-vexo. Em outras palavras: Se Xi (i = 1, 2, ..., n) são conjuntos convexos, então X = n \ i=1 Xi é convexo. DEMONSTRAÇ ÃO: Se x1_{, x}2 _{∈ X então x}1_{, x}2 _{∈ X} i (i = 1, ..., n) e o segmento x = λx1+ (1 − λ)x2 ∈ Xi, i = 1, 2, ..., n, λ ∈ [0 , 1], pois todos os Xi são convexos. Em outras palavras, x ∈ X. Logo X =

n \ i=1

Xi ´e convexo.

Proposi¸c˜ao 2.2.2. Um hiperplano H ´e um conjunto convexo.

DEMONSTRAC¸ ˜AO:

c ∈ Rn_,

z ∈ R. Se x1_{, x}2_{∈ H, isto ´e, c}T_x1_{= z e c}T_x2_{= z ent˜ao x = λx}1_{+ (1 − λ)x}2_{∈ H, pois}

cTx = cT[λx1+ (1 − λ)x2] = λcTx1+ (1 − λ)cTx2 = λz + (1 − λ)z = z.

Proposi¸c˜ao 2.2.3. Um semiespa¸co ´e um conjunto convexo.

DEMONSTRAC¸ ˜AO:

, c ∈ Rn

, b ∈ R. Sejam x1_{, x}2 _{∈ H. Ent˜ao c}T_x1_{≤ b e c}T_x2_{≤ b.}

Seja x a combina¸cão linear convexa de x1 _{e x}2_{, isto é, x = λx}1_{+ (1 − λ)x}2_{, λ ∈ [0 , 1].} cT_{x = c}T_(λx1 _{+ (1 − λ)x}2_{) = λc}T_x1_{+ (1 − λ)c}T_x2 _{≤ λb + (1 − λ)b = b. Portanto,} cT_{x ≤ b ⇒ x ∈ H ⇒ H é convexo.}

Teorema 2.2.2. O conjunto de solu¸c˜oes de um problema de PL ´e um conjunto convexo.

DEMONSTRAC¸ ˜AO:

Segue dos resultados anteriores. Vamos supor o problema na forma padrão, isto é, o conjunto de solu¸cões é da forma:

(44)

Seja ai _{a linha i da matriz A, i = 1, 2, ..., m.} Ent˜ao

Ax = b ⇔ aix = bi (∗), i = 1, 2, ..., m,

ou seja, cada equa¸cão de (∗) (hiperplano) é um conjunto convexo. Além disso, x ≥ 0 ⇔ xj≥ 0, j = 1, 2, ..., n, isto é, cada inequa¸cão destas é um conjunto convexo (semiespa¸co fechado).

Finalmente, o conjunto de solu¸cões de um problema de PL é a interseçcão de hiperpla-nos e semiespa¸cos e o teorema 2.2.1 garante que a interseçcão de conjuntos convexos é convexo.

Defini¸c˜ao 2.2.2. Definimos um politopo como a intersec¸c˜ao de um n´umero finito de semiespa¸cos fechados. Pode ser vazio, ilimitado ou limitado.

O exemplo da Figura 2.3 ´e de um politopo ilimitado.

Figura 2.3: Politopo

Defini¸c˜ao 2.2.3. Um ponto de um conjunto convexo X ´e um ponto extremo de X, ou

vértice de X se, e somente se, não existem pontos x1_{, x}2_{, x}1_{-= x}2 _{no conjunto, tais que} x = λx1_{+ (1 − λ)x}2_{, ∀λ ∈ [0 , 1], ou seja, x não pode ser escrito como combina¸cão} linear convexa de dois pontos distintos de X.

(45)

No exemplo seguinte, B e C são pontos extremos do conjunto convexo, ao passo que F não é.

Figura 2.4: Exemplo de ponto extremo e n˜ao extremo

Defini¸cão 2.2.4. O conjunto de todas as combina¸cões convexas de um número finito de pontos é chamado de poliedro convexo gerado por esses pontos.

NOTA: alternativamente, podemos definir um poliedro como a interse¸cão de um número finito de semiespa¸cos fechados. Dessa forma, todo poliedro convexo é um conjunto fechado. Quando a interse¸cão de um número finito de semiespa¸cos fechados não é limitada, é chamada de região poliédrica ilimitada.

2.2.1 Raio e dire¸c˜

oes

Defini¸c˜ao 2.2.5. Raio é uma cole¸cão de pontos da forma {x0+ λd, λ ≥ 0} onde d é um vetor não nulo que representa a dire¸cão e x0 é o vértice do raio.

A Figura 2.5 ilustra um conjunto de raios, com origem no ponto extremo x0.

Defini¸c˜ao 2.2.6. Dado um conjunto convexo, um vetor não nulo d é chamado dire¸cão

do conjunto se, para cada x0desse conjunto, o raio {x0+ λd, λ ≥ 0} tamb´em pertence ao conjunto [15].

(46)

Figura 2.5: Conjunto de raios Figura 2.6: Dire¸c˜oes de um conjunto

Uma ilustra¸c˜ao pode ser vista na Figura 2.6.

Em outras palavras, partindo de algum ponto no conjunto, existe a possibilidade de se mover na dire¸c˜ao d para alguma medida de comprimento λ ≥ 0 e permanecer dentro do conjunto.

´

E claro que neste caso, se o conjunto é limitado, ele não tem dire¸cão.

Considere o conjunto poliédrico não vazio X = {x/Ax ≤ b, x ≥ 0}. Então um vetor d não nulo é uma dire¸cão de X se, e somente se,

         A(x + λd) ≤ b e x + λd ≥ 0

para cada λ ≥ 0 e cada x ∈ X. Como x ∈ X, isto é, Ax ≤ b, então, a primeira ine-qua¸cão (Ax + λAd ≤ b) se mantém satisfeita com λ ≥ 0 podendo ser arbitrariamente grande se, e somente se Ad ≤ 0. Similarmente x + λd é não negativo para valores de λ que podem ser arbitrariamente grandes, se, e somente se d ≥ 0. Para resumir, d é uma dire¸cão de X se, e somente se d ≥ 0, d -= 0 e Ad ≤ 0.

O conjunto das dire¸c˜oes em qualquer caso forma um conjunto convexo.

Defini¸c˜ao 2.2.7. Uma dire¸cão extrema de um conjunto convexo é uma dire¸cão do conjunto que não pode ser representada como uma combina¸cão linear positiva de duas

(47)

dire¸c˜oes distintas do conjunto.

Dois vetores, d1_{e d}2_{, são distintos ou não equivalentes, se d}1 _{não pode ser representado} como um múltiplo de d2_.

A Figura 2.7, ilustra as dire¸cões extremas d1 _{e d}2 _{de um conjunto convexo. As} outras dire¸cões do conjunto (combina¸cão linear positiva de d1 _{e d}2_{) estão dentro do} cone gerado por d1 _{e d}2_.

Figura 2.7: Dire¸c˜oes extremas de um conjunto

NOTA: qualquer raio contido no conjunto convexo cuja dire¸cão é uma dire¸cão extrema é chamado de raio extremo.

Exemplo 15 - Dire¸c˜oes extremas de um conjunto convexo Considere o conjunto X =              x1− 2x2≥ −6 (a) x1− x2≥ −2 (b) x2≥ 1 (c) x1 , x2 ≥ 0

ilustrado na Figura 2.8. Seja x0 =   x1

x2 

 um ponto vi´avel desse conjunto e d = 

 d1 d2



(48)

Figura 2.8: Dire¸c˜oes extremas de um conjunto

Para acompanhar a defini¸c˜ao, vamos colocar as inequa¸c˜oes de X com desigualdades do tipo ≤: X =              −x1+ 2x2≤ 6 −x1+ x2 ≤ 2 − x2≤ −1 x1 , x2 ≥ 0 com A =      −1 2 −1 1 0 −1     .

Temos que d ´e uma dire¸c˜ao de X se e somente se d ≥ 0, d -= 0 e Ad ≤ 0.

Ad ≤ 0 ⇒          −d1+ 2d2≤ 0 −d1+ d2≤ 0 −d2≤ 0 ⇒          d1≥ 2d2 d1≥ d2 d2≥ 0

(49)

Como d1≥ 2d2 e d1 ≥ d2, ent˜ao d1≥ 2d2. Al´em disso, d1≥ 0 e d2 ≥ 0. Portanto   d1 d2 

 ´e uma dire¸c˜ao de X se e somente se   d1 d2   -=   0 0   d1≥ 0, d2≥ 0 e d1≥ 2d2.

Neste exemplo, podemos representar graficamente o sistema 

 

Ad ≤ 0 d ≥ 0

como na Figura 2.9 abaixo, onde inclu´ımos a restri¸c˜ao d1+ d2 = 1 para que a dire¸c˜ao fique normalizada:                    −d1+ 2d2≤ 0 (1) −d1+ d2≤ 0 (2) − d2 ≤ 0 d1+ d2= 1 (3) d1, d2≥ 0

A solu¸cão deste sistema de inequa¸cões é o segmento de reta AB.

Em A temos que d1= 1, d2= 0 ⇒ d1=   1 0  .

O ponto B resulta de d1+ d2= 1 e d1 = 2d2 ⇒ 2d2+ d2= 1 ⇒ d2= 1₃ e d1 = 2₃. Logo

d2₌   2 3 1 3  .

Assim, o conjunto X dado pelo Exemplo 15 possui duas dire¸c˜oes extremas: d1 ₌   1 0   e d2₌   2 3 1 3 

(50)

Figura 2.9: Dire¸c˜oes extremas do conjunto de restri¸c˜oes

Qualquer dire¸cão d ≥ 0 de X pode ser expressa por combina¸cão linear positiva de d1 _e d2_{, isto é,} d = λ   1 0   + µ   2 3 1 3   , λ ≥ 0, µ ≥ 0.

(51)

O próximo teorema mostra como um ponto que está no conjunto das solu¸cões viáveis de um problema de PL pode ser escrito em fun¸cão de seus pontos extremos e suas dire¸cões extremas:

Teorema 2.2.3. Teorema Geral da Representa¸c˜ao

Seja X = {x/Ax ≤ b, x ≥ 0} um conjunto (poliédrico) não vazio. Então seu con-junto de pontos extremos é não vazio e possui um número finito de pontos extremos

x1_{, x}2_{, ..., x}k_{. Além disso, o conjunto de dire¸cões extremas é vazio se, e somente se X}

é limitado. Se X é ilimitado, então o conjunto de dire¸cões extremas é não vazio e possui um número finito de vetores d1_{, d}2_{, ..., d}l_{. E mais: x ∈ X se, e somente se x}

pode ser representado como uma combina¸c˜ao linear convexa de x1_{, x}2_{, ..., x}k _{mais uma}

combina¸cão linear não negativa de d1_{, d}2_{, ..., d}l_{, isto é,}

x = k X j=1 λjxj+ l X j=1 µjdj (2.1) com Pk_j=1λj = 1, λj ≥ 0, j = 1, 2, ..., k e µj ≥ 0, j = 1, 2, ..., l.

NOTA: uma prova para o teorema pode ser encontrado em Bazaraa e outros [18].

Exemplo 16 - Teorema geral da representa¸c˜ao Vamos considerar o conjunto X dado no Exemplo 15:

X =              x1− 2x2≥ −6 (a) x1− x2 ≥ −2 (b) − x2≥ 1 (c) x1 , x2≥ 0

A Figura 2.11 mostra os pontos extremos e as dire¸c˜oes extremas de X (que j´a calcula-mos): x1₌   0 1   , x2 ₌   0 2   , x3₌   2 4   ; d1 ₌   1 0   e d2₌   2 3 1 3   .

(52)

Assim, qualquer ponto x de X pode ser expresso por meio dos pontos extremos e das dire¸c˜oes extremas de X, isto ´e,

x = 3 X j=1 λjxj+ 2 X j=1 µjdj = λ1   0 1   + λ2   0 2   + λ3   2 4   + µ1   1 0   + µ2   2 3 1 3   . Vamos colocar algumas situa¸c˜oes como exemplo:

Figura 2.11: Pontos extremos e dire¸c˜oes extremas de X

i) O ponto x =   1

3 

 pode ser representado por uma combina¸c˜ao linear convexa de

x2 _{e x}3_{, pois x =}   1 3   = 1 2   0 2   + 1 2   2 4   isto ´e, λ2 = λ3= 1₂. ii) O ponto y =   1, 5 3, 25 

 pode ser representado por uma combina¸c˜ao linear convexa de x1 _{e x}3_{, pois est´a no segmento de reta que une x}1 _{a x}3_:

y =   1, 5 3, 25   = 0, 25   0 1   + 0, 75   2 4  , isto ´e, λ1 = 0, 25 e λ3= 0, 75.

iii) A representa¸c˜ao do ponto z =   3

4 

 j´a envolve a dire¸c˜ao d2 _{e os pontos extremos} x1 _{e x}3_: