Durante o estudo de simula¸c˜ao para a distribui¸c˜ao Binomial, viu-se que 400 mil simula¸c˜oes era um n´umero suficiente para se ter converg^encia em parte razo´avel dos bancos de dados gerados sob diferentes configura¸c˜oes de par^ametros. Entretanto, para o caso Beta-Binomial, este n´umero cresce consideravelmente, impossibilitando a replica¸c˜ao de modelos e ajustes diversas vezes. Sendo as-
sim, mostra-se nesta se¸c˜ao apenas um ajuste obtido com resultados satisfat´orios e discutem-se as difereren¸cas das duas abordagens.
Considere as mesmas formula¸c˜oes em (4.1.1) e (4.1.2). Agora, as vari´aveis s˜ao simuladas de acordo com 𝑌𝑖𝑗| 𝑏𝑖, 𝜏𝑎,𝑖, 𝑆𝑖
𝑖𝑛𝑑
∼ Beta-Binomial(𝐾, 𝜑 𝜇𝑖𝑗, 𝜑 (1 − 𝜇𝑖𝑗)) no lugar de (4.1.3), ∀(𝑖, 𝑗) ∈ {1, . . . , 𝑁 } ×
{1, . . . , 𝐽}. Os par^ametros recebem valores 𝜎2𝑏 = 1, 5, 𝜇𝜏 = −5, 𝜎2𝜏 = 1, 𝛽1 = 2, 5, 𝛽2 = −0, 2,
𝛽4 = −1 e 𝜑 = 10. A quantidade 𝜑 = 10 foi escolhida de modo que a distribui¸c˜ao Beta-Binomial fosse
unimodal, e consideravelmente mais dispersa do que a Binomial (valores 𝜑 ≥ 50 tornam as fun¸c˜oes de probabilidade bastante semelhantes). Al´em disso, fixaram-se as caracter´ısticas de interesse em 𝐽 = 5, 𝛽3 = −1, 5 e 𝜆 = (0, 0)′.
Esta configura¸c˜ao ´e considerada um dos casos mais f´aceis (dentro do grupo 𝐽 = 5) de se atingir a converg^encia dos par^ametros, segundo resultados da distribui¸c˜ao Binomial. Processado no mesmo computador Intel Xeon 2,40GHz com 251Gb RAM, este ajuste contou com 1 milh˜ao de itera¸c˜oes (burn-in de 900 mil seguido de 100 mil com espa¸camento de 100 ´ındices) para convergir e demorou 98,84 horas de processamento (o ajuste Binomial com mesmas configura¸c˜oes levou cerca de 8 horas). Esta gritante diferen¸ca n˜ao ´e atribu´ıda ao fato de ter que simular o novo par^ametro 𝜑 | · · · , mas se deve `a perda do vantajoso amostrador de Gibbs com vari´aveis auxiliares para a regress˜ao Binomial log´ıstica descrito na Se¸c˜ao 3.1.1.
Apesar disso, a recupera¸c˜ao das quantidades simuladas do modelo Beta-Binomial ´e correta. As densidades a posteriori, bem como as s´eries temporais das cadeias s˜ao mostradas nas figuras 4.5 e 4.6: φ 9 10 11 12 13 0.0 0.4 στ 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6 0 1 2 3 4 σb 1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 0 2 4 6 µτ −5.6 −5.4 −5.2 −5.0 −4.8 −4.6 0.0 1.5 3.0 λ1 −0.6 −0.4 −0.2 0.0 0.2 0.4 0.0 1.0 2.0 3.0 λ2 0.0 0.5 1.0 0.0 1.0 2.0 β1 2.4 2.6 2.8 3.0 3.2 0.0 1.5 3.0 β2 −0.24 −0.22 −0.20 −0.18 −0.16 0 10 30 β3 −1.65 −1.60 −1.55 −1.50 −1.45 −1.40 0 4 8 12 βdem −1.8 −1.6 −1.4 −1.2 −1.0 −0.8 0.0 1.5 3.0
Figura 4.5: Densidades a posteriori para simula¸c˜ao do modelo Beta-Binomial com 𝐽 = 5, 𝐺2 m´edio
φ 900000 940000 980000 9 11 13 στ 900000 940000 980000 1.0 1.4 σb 900000 940000 980000 1.05 1.20 1.35 µτ 900000 940000 980000 −5.4 −5.0 λ1 900000 940000 980000 −0.6 −0.2 0.2 λ2 900000 940000 980000 −0.2 0.4 1.0 β1 900000 940000 980000 2.6 3.0 β2 900000−0.24 940000 980000 −0.18 β3 900000 940000 980000 −1.60 −1.45 βdem 900000 940000 980000 −1.6 −1.2 −0.8
Figura 4.6: Hist´orico das cadeias a posteriori para simula¸c˜ao do modelo Beta-Binomial com 𝐽 = 5, 𝐺2 m´edio e 𝛽3 = −1, 5.
Cap´ıtulo 5
Aplica¸c˜ao do Modelo em Dados Reais
Nesta se¸c˜ao aplica-se o modelo proposto em (2.3) a um dos estudos prospectivos que motiva a an´alise da habilidade cognitiva em idosos: o Rush Memory and Aging Project. Todas as informa¸c˜oes por vir acerca deste projeto, quando n˜ao indicadas por outras refer^encias, s˜ao baseadas nos artigos
Bennett et al. (2005a, 2012). Antes do ajuste propriamente dito na Se¸c˜ao 5.3, apresentaremos a
descri¸c˜ao desta coorte e uma an´alise descritiva das vari´aveis utilizadas em 5.1 e 5.2, respectivamente.
Comumente, ´e de interesse avaliar e quantificar rela¸c˜oes entre o diagn´ostico de dem^encias e fatores de risco, tanto gen´eticos como comportamentais. Em espec´ıfico, entende-se por dem^encias as doen¸cas neurol´ogicas que afetam a mem´oria e habilidades cognitivas em diversos n´ıveis. Um frequente objeto de estudo, por exemplo, ´e a Doen¸ca de Alzheimer: um caso particular de dem^encia que acontece majoritariamente em idosos e deteriora progressivamente a mem´oria de curto e m´edio prazos. Al´em desta, diagn´ostico de outras doen¸cas como a Dem^encia com Corpos de LewySchneider et al. (2004) e acontecimentos como o Acidente Vascular Cerebral (AVC) s˜ao levados em conta para estudar os cen´arios cl´ınicos de uma maneira mais geral.
Os fatores de risco mencionados diferem amplamente em escala. Alguns deles s˜ao facilitadores anat^omicos para o surgimento das doen¸cas, como o ac´umulo (ou forma¸c˜ao) de prote´ınas com fun¸c˜oes degeneradas em locais do c´erebro Bennett et al. (2005b), ao passo que outros s˜ao caracter´ısticas comportamentais dos indiv´ıduos, tais como depress˜ao, desordens psicol´ogicas e at´e o seu n´ıvel de educa¸c˜ao Bennett et al. (2003, 2004). Num cen´ario plat^onico, seria desej´avel encontrar rela¸c˜oes causais entre fatores de risco e doen¸cas. Entretanto, considerando que atualmente ´e imposs´ıvel descobrir tais efeitos determin´ısticos, por conta da variabilidade intr´ınseca dos atributos, o interesse ´e voltado para o estudo de associa¸c˜oes entre eles. Aliado a isso, surge um conceito heur´ıstico bastante destacado na ´area em quest˜ao: a reserva neural ou reserva cognitiva. Esta ´e entendida como a justificativa para quando dem^encias n˜ao se manifestam, mesmo com quadros cl´ınicos graves (como o ac´umulo das prote´ınas degeneradas no c´erebro). Assim, acredita-se que atividades f´ısicas, cerebrais (por meio de leitura e n˜ao sedentarismo da mente) e estudos constantes atrasem algumas patologias neurol´ogicasKatzman et al. (1988), Scarmeas and Stern (2004),Staff et al. (2004).
Nos Estados Unidos, os gastos anuais inerentes aos cuidados dos pacientes com algum tipo de dem^encia podem exceder 100 bilh˜oes de d´olares, dentre enfermeiros, terapias e rem´edios. Al´em disso, de acordo com Hebert et al. (2003), espera-se que o n´umero de indiv´ıduos com Doen¸ca de Alzheimer no mesmo pa´ıs triplique at´e meados dos anos 2050. H´a um consenso, ent˜ao, assim como com qualquer outra patologia, de que se deve tomar medidas preventivas eficazes para retardar ou eliminar o surgimento destas desordens cognitivas. Para satisfazer esta pol´ıtica, se faz necess´ario o entendimento quantitativo da rela¸c˜ao entre os fatores de risco e as dem^encias.
5.1
Rush Memory and Aging Project
O objetivo a longo prazo dos pesquisadores respons´aveis ao iniciar o Rush Memory and Aging Project (em 1997) era identificar, ap´os a morte dos indiv´ıduos, os ´ındices gen´eticos e fatores com- portamentais que influenciavam o desenvolvimento da Doen¸ca de Alzheimer. Para tal, a coorte foi delineada de maneira que cada idoso participante nunca fora diagnosticado com qualquer tipo de dem^encia, al´em de passar por avalia¸c˜oes cl´ınicas (no m´ınimo anuais) e permitir a doa¸c˜ao dos seus ´
org˜aos para pesquisas. Com estas garantias, ao final do estudo, os autores pretendiam ter em m˜aos as seguintes informa¸c˜oes: (i) - fatores de risco comportamentais obtidos antes do diagn´ostico de dem^encias (quando presente); (ii) - DNA para documentar fatores de risco gen´eticos; (iii) - acom- panhamento cl´ınico regular dos idosos, de forma que a habilidade cognitiva pudesse ser avaliada at´e a morte; (iv) - aut´opsia dos c´erebros daqueles que faleceram, para mensurar ´ındices patol´ogicos das doen¸cas.
Localizada em Chicago, nos Estados Unidos, a Universidade Rush contou, ent˜ao, com parti- cipa¸c˜ao dos idosos da regi˜ao metropolitana desta cidade, sem dem^encias pr´evias e que aceitassem as condi¸c˜oes acerca da doa¸c˜ao de ´org˜aos ap´os ´obito. Os dados foram obtidos longitudinalmente (sem uma frequ^encia regular dos participantes), e possuem registros desde Setembro de 1997. A obten¸c˜ao dos dados era feita com visitas regulares a lares de idosos aposentados, por uma equipe composta de enfermeiros treinados, t´ecnicos de testes neuropsicol´ogicos, assistentes de pesquisa e um flebotomista (pessoa encarregada por coletar sangue dos indiv´ıduos).
Como produto da coleta, h´a uma s´erie de informa¸c˜oes que podem ser separadas em demogr´aficas; m´edicas; testes de performance cognitiva; testes de performance motora; atividades di´arias; fatores de risco por experi^encias vividas e comportamentais; ´ındices gen´eticos pr´e falecimento e ´ındices p´os falecimento. Contudo, nem todas as vertentes s˜ao disponibilizadas livremente para pesquisadores. Ent˜ao, aqui, o estudo ser´a restrito ao uso das caracter´ısticas demogr´aficas - idade ao entrar no estudo, idade ao falecimento (quando dispon´ıvel), sexo, educa¸c˜ao durante a vida (em anos), etnia (branco, negro/afro-descendente, ´ındio/americano nativo, asi´atico/das ilhas do pac´ıfico) -, m´edicas (diagn´osticos cl´ınicos) e dos testes de performance cognitiva.
Cockrell and Folstein (2002) (escore de 0 a 30 que avalia mem´oria, l´ogica, pron´uncia e linguagem). Separadamente, aplicaram-se diversos testes para os construtos de mem´oria, habilidade visual e velocidade de percep¸c˜ao, culminando com ´ındices ponderados para cada um destes, como em Wilson
et al. (2005),Fleischman et al. (2005).
Os diagn´osticos cl´ınicos sobre a presen¸ca ou n˜ao de dem^encias foram feitos a cada visita dos grupos de coleta aos lares de idosos. Al´em da avalia¸c˜ao cl´ınica por m´edicos, era aplicada uma bateria de testes neuropsicol´ogicos por t´ecnicos treinados, com gera¸c˜ao de um escore final relativizado pela educa¸c˜ao do idoso. Esta medida, que era uma pondera¸c˜ao dos testes com informa¸c˜oes sobre as suas ocupa¸c˜oes, d´eficits sensoriais e motores, formava a base da classifica¸c˜ao ou n˜ao no grupo com danos cognitivos. Assim, para o 𝑖-´esimo indiv´ıduo, a cada 𝑗-´esima visita, a vari´avel explicativa do diagn´ostico de dem^encias ´e dada por:
∙ 1 - sem danos cognitivos;
∙ 2 - dano cognitivo moderado. Esta classifica¸c˜ao era atribu´ıda `aqueles cujos resultados da bateria de testes indicavam preju´ızo cognitivo, mas que n˜ao houve diagn´ostico cl´ınico de dem^encia pelo m´edico respons´avel;
∙ 3 - dano cognitivo moderado e outro tipo de dem^encia;
∙ 4 - Doen¸ca de Alzheimer, classificado de acordo com crit´erios conjuntos das ag^encias NINCDS (National Institute of Neurological and Communicative Disorders and Stroke) e ADRDA (Alzhei- mer’s Disease and Related Disorders Association), em McKhann et al. (1984);
∙ 5 - Doen¸ca de Alzheimer e outro tipo de dem^encia;
∙ 6 - outro tipo de dem^encia. Por outros tipos, entende-se a ocorr^encia de dem^encia vascular (com Acidente Vascular Cerebral), dem^encia com corpos de Lewy, entre outros.
5.2
An´alise descritiva
De 1997 at´e 2016, o estudo contou com 3295 participantes no total. Deste n´umero, selecionaram- se aqueles que faleceram e tiveram pelo menos dois acompanhamentos da equipe de coleta no per´ıodo mencionado, resultando em 1163 indiv´ıduos (aproximadamente 36% do total). Com base nas vari´aveis originais do banco de dados, algumas transforma¸c˜oes foram feitas para poder proceder com a an´alise descritiva e modelagem.
Primeiramente, com a idade de entrada no estudo e idade ao falecimento, criou-se a vari´avel arredondada tempo at´e a morte, isto ´e, se um indiv´ıduo em 1997 entrou no estudo com 80 anos e foi acompanhado por mais 5 anos consecutivos at´e sua morte, ent˜ao os seus tempos em anos at´e a morte observados s˜ao 𝑡1 = −5, 𝑡2 = −4, . . . , 𝑡6 = 0. Quando presente, o tempo 𝑡 = 0 representa
a ´ultima coleta do participante, e indica os dados a 6 ou menos meses da sua morte. Al´em desta, para a vari´avel educa¸c˜ao, criaram-se categorias de acordo com os anos estudados e os n´ıveis escolares comumente atribu´ıdos a eles: ensino fundamental, ensino m´edio, gradua¸c˜ao e p´os gradua¸c˜ao.
Como citado na Se¸c˜ao 5.1, a avalia¸c˜ao acerca dos tipos de dem^encia era feita a cada visita e possi- velmente por profissionais diferentes. Esta quest˜ao resultou numa incompatibilidade de diagn´osticos cl´ınicos para mesmos indiv´ıduos em tempos diferentes, isto ´e, para o 𝑖-´esimo participante, pode ser que ele tenha sido diagnosticado com doen¸ca de Alzheimer em 𝑡𝑖1 = −5, enquanto em 𝑡𝑖3 = −2
com dano cognitivo moderado. Entretanto, nem toda responsabilidade deve ser atribu´ıda `a rota- tividade das equipes m´edicas. A severidade dos sintomas associados `as dem^encias pode variar de acordo com o n´ıvel de estresse ou desgaste dos indiv´ıduos num determinado dia. Para contornar esta disparidade, criaram-se vari´aveis indicadoras (0 ou 1) para cada pessoa com a presen¸ca de pelo menos um diagn´ostico de dano cognitivo moderado (itens 2 ou 3 da lista na Se¸c˜ao 5.1) e pelo menos um diagn´ostico de doen¸ca de Alzheimer (itens 4 ou 5 da mesma lista). Assim, t^em-se as vari´aveis utilizadas e suas respectivas descri¸c˜oes na Tabela 5.1:
Tabela 5.1: Vari´aveis retiradas e/ou modificadas do banco de dados Rush Memory and Ageing Project.
Vari´avel Descri¸c˜ao Suporte ou Categorias
projid Identifica¸c˜ao do indiv´ıduo
tempo Tempo at´e a morte {−19, −18, . . . , 0}
mmse Escore do teste MMSE Cockrell and Folstein (2002) {0, 1, . . . , 30} ad Doen¸ca de Alzheimer e/ou outra dem^encia 0 - N˜ao; 1 - Sim mci Dano cognitivo moderado e/ou outra dem^encia 0 - N˜ao; 1 - Sim
sexo G^enero do indiv´ıduo 0 - Feminino; 1 - Masculino
etnia Etnia do indiv´ıduo
1 - Branco 2 - Negro
3 - Americano Nativo 4 - Asi´atico
educ N´ıvel de instru¸c˜ao do indiv´ıduo
1 - Ensino Fundamental 2 - Ensino M´edio
3 - Gradua¸c˜ao 4 - P´os Gradua¸c˜ao
De acordo com os objetivos tra¸cados com a coleta do banco de dados, salienta-se que mmse ´e a vari´avel resposta do estudo. Na Figura C.1, Ap^endice C, apresentam-se cruzamentos desta caracter´ıstica com as outras vari´aveis explicativas, demogr´aficas e cl´ınicas, por meio de boxplots. V^e-se que as ´unicas diferen¸cas sobressalentes nos valores m´edios de mmse se d˜ao (i) - com a presen¸ca ou n˜ao de pelo menos um diagn´ostico da doen¸ca de Alzheimer (gr´afico (a) da referida figura) e (ii) - tendo pelo menos escolaridade de ensino m´edio (gr´afico (c)). Estas apar^encias refor¸cam a ideia dos
artigosBennett et al. (2003,2005a). As demais mudan¸cas no n´ıvel dos escores mmse para diferentes atributos de mci, sexo e etnia ser˜ao avaliadas pelos resultados dos modelos de regress˜ao da Se¸c˜ao 5.3. Sob a perspectiva Bayesiana, uma maneira de avaliar a relev^ancia de vari´aveis explicativas em modelos de regress˜ao ´e verificar se o intervalo de credibilidade associado ao determinado coeficiente inclui o valor 0. Caso inclua, ent˜ao diz-se (ou pode-se assumir, para o n´ıvel de confian¸ca escolhido) que a covari´avel em quest˜ao n˜ao traz ganhos significativos para o entendimento da variabilidade da vari´avel resposta, sob a rela¸c˜ao postulada (linear, n˜ao-linear, etc).
Sobre os escores mmse observados, trazem-se medidas resumos na Figura 5.1. Fica evidente que h´a um grupo com preval^encia de boas performances nas respostas ao question´ario padr˜ao MMSE ao longo do tempo. Contudo, a partir do tempo 𝑡 = −9 os escores m´ınimos passam a ser menores do que um ter¸co da nota m´axima e dispers˜ao entre eles aumenta consideravelmente. Isto indica que, al´em da clara mudan¸ca de comportamento, o question´ario MMSE acaba sendo muito f´acil para os idosos que n˜ao est˜ao em fase terminal. Esta peculiaridade ´e conhecida na literatura como ceiling effect, e ´e citada em van den Hout et al. (2013).
0 5 10 15 20 25 30 −19 −18 −17 −16 −15 −14 −13 −12 −11 −10 −9 −8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 0
Tempo até a morte
Escore MMSE
Figura 5.1: Box-plots dos escores mmse dos invid´ıduos do estudo RUSH, estratificados para cada tempo at´e a morte, de 19 a 0 anos at´e o falecimento.
As figuras C.2 e C.3, Ap^endice C, mostram as dispers˜oes dos valores de mmse entre tempos diferen- tes. Por elas, nota-se que as associa¸c˜oes entre escores de tempos que se distanciam v˜ao enfraquecendo (veja, por exemplo, a primeira coluna de gr´aficos da Figura C.3); ao passo que para tempos conse- cutivos a correla¸c˜ao positiva ´e aparentemente prevalente (gr´aficos imediatamente abaixo da diagonal principal nas referidas figuras). Estas caracter´ısticas ajudam na especifica¸c˜ao da estrutura da matriz de covari^ancia em modelos lineares mistos. Aqui, servir˜ao de base para a determina¸c˜ao dos efeitos aleat´orios na propor¸c˜ao de acertos dentro do question´ario padr˜ao.
A quantidade de observa¸c˜oes longitudinais ´e apresentada na Figura 5.2. V^e-se tamb´em, pelo mesmo gr´afico, que a distribui¸c˜ao da idade em que os indiv´ıduos entraram no estudo ´e razoavelmente homog^enea intra quantidade de medidas repetidas. Um aspecto dos dados que pode interferir no desempenho da estima¸c˜ao Bayesiana de par^ametros ´e a n˜ao liquidez das vari´aveis respostas, isto ´e, mesmo que um indiv´ıduo tenha participado de 15 coletas, por exemplo, n˜ao implica que todas elas foram em anos consecutivos.
0 50 100
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18
Quantidade de observações longitudinais
Frequência absoluta 60 70 80 90 100 Idade de entrada
Figura 5.2: Frequ^encias de indiv´ıduos para cada quantidade de acompanhamentos feitos. Na paleta de cores, a idade de entrada dos indiv´ıduos no estudo.
Os gr´aficos longitudinais (ou spaghetti) dos escores mmse observados s˜ao apresentados na Figura 5.3. Claramente, vai se tornando dif´ıcil analisar as trajet´orias individuais conforme a quantidade de unidades experimentais cresce. Ainda assim, ´e poss´ıvel ver que h´a uma discrep^ancia na tend^encia geral dos caminhos que os escores tomam para aqueles que foram diagnosticados com doen¸ca de Alzheimer. Neste sentido, os dados corroboram as suspeitas associa¸c˜oes entre esta dem^encia e a habilidade cognitiva, como mostrado na Se¸c˜ao 5.1. Por´em, ainda assim, ´e arriscado tentar ser assertivo sobre o que acontece detalhadamente nos gr´aficos longitudinais com muitas observa¸c˜oes sobrepostas.
A escolha por postular um modelo de misturas com pontos de quebra aleat´orios ´e embasada por uma avalia¸c˜ao detalhada dos escores e seus estratos de acordo com covari´aveis. Uma solu¸c˜ao para o problema da superposi¸c˜ao entre trajet´orias longitudinais de vari´aveis ´e analisar estas com suas intensidades traduzidas em cores gradativas dispostas numa matriz (𝑁 ×𝐽 ), em que 𝑁 ´e a quantidade de unidades experimentais e 𝐽 o valor m´aximo de medidas repetidas. Assim, observa¸c˜oes de distintos indiv´ıduos s˜ao expressas sem sobreposi¸c˜ao. Esta ferramenta gr´afica ´e comumente conhecida como mapa de calor (heat map), e em an´alises de dados longitudinais, tamb´em ´e tida como gr´afico lasagna (em refer^encia aos tradicionais gr´aficos spaghetti) Swihart et al. (2010).
AD = 0 AD = 1 MCI = 0 MCI = 1 −19 −17 −15 −13 −11 −9 −7 −5 −3 −1 −19 −17 −15 −13 −11 −9 −7 −5 −3 −1 0 10 20 30 0 10 20 30
Tempo até a morte
Escore MMSE
Figura 5.3: Gr´afico longitudinal dos escores individuais ao longo do tempo at´e a morte. A estra- tifica¸c˜ao ´e feita com base nas vari´aveis indicadoras AD - pelo menos um diagn´ostico da doen¸ca de Alzheimer e MCI - pelo menos um diagn´ostico de dano cognitivo moderado.
que as linhas (isto ´e, as trajet´orias) sejam ordenadas sucessivamente pelas intensidades da vari´avel resposta, a cada tempo observado; (ii) - estratifica¸c˜ao por outras vari´aveis categ´oricas e (iii) - no nosso contexto, ter uma melhor ideia sobre o momento em que os decaimentos abruptos acontecem. O ´
ultimo caso ´e importante para ter impress˜oes acerca da relev^ancia em propor um modelo de mistura. Em contrapartida, a an´alise dos mapas de calor pode ser complicada caso haja demasiados valores faltantes, e/ou com n´umero de unidades experimentais que torne dif´ıcil distinguir as evolu¸c˜oes nas trajet´orias.
Especificamente, as figuras 5.4 e 5.5 mostram os mapas de calor para o banco de dados processado a partir do Rush Memory and Aging Project descrito na Se¸c˜ao 5.1. Considerando que, de acordo com a Figura 5.3, os decaimentos acontecem razoavelmente `a taxa constante at´e o tempo 𝑡 = −10, os gr´aficos de calor s˜ao constru´ıdos com 𝑡 ∈ {−10, . . . , 0}, para melhor visualiza¸c˜ao. Do primeiro deles, v^e-se que h´a uma clara distin¸c˜ao entre padr˜oes de decaimento para aqueles que foram diagnosticados pelo menos uma vez com doen¸ca de Alzheimer e os que n˜ao foram. Este quesito mostra que pode ser interessante introduzir a vari´avel ad no preditor da probabilidade de aloca¸c˜ao nos grupos 𝐺1 e 𝐺2,
na express˜ao (2.3.3). A discrimina¸c˜ao pela vari´avel indicadora de danos cognitivos moderados n˜ao parece trazer uma informa¸c˜ao t˜ao relevante acerca do decaimento acelerado, diferente da intui¸c˜ao colocada anteriormente. Na Figura 5.5, v^e-se um comportamento menos discrepante entre aqueles com educa¸c˜ao b´asica e superior, em compara¸c˜ao com o diagn´ostico de Alzheimer.
Tempo até a morte −10 −9 −8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 0 MMSE 0 10 20 30 AD Não Sim MCI Não Sim
Figura 5.4: Mapa de calor dos escores individuais ao longo do tempo at´e a morte. A estratifica¸c˜ao ´e feita com base nas vari´aveis indicadoras AD - pelo menos um diagn´ostico da doen¸ca de Alzheimer e MCI - pelo menos um diagn´ostico de dano cognitivo moderado. Truncou-se a disposi¸c˜ao do gr´afico para 𝑡 ∈ {−10, . . . , 0} para melhor visualiza¸c˜ao, visto que entre 𝑡 ∈ {−19, . . . , −11} os escores s˜ao majoritariamente altos (vide 5.1).
Tempo até a morte
−10 −9 −8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 0 MMSE 0 10 20 30 EDUC Básica Superior
Figura 5.5: Mapa de calor dos escores individuais ao longo do tempo at´e a morte. A estratifica¸c˜ao ´e feita com base na vari´avel indicadora de educa¸c˜ao superior EDUC: B´asica caso ≤ 12 anos de estudo ou Superior, caso contr´ario. Truncou-se a disposi¸c˜ao do gr´afico para 𝑡 ∈ {−10, . . . , 0} para melhor visualiza¸c˜ao, visto que entre 𝑡 ∈ {−19, . . . , −11} os escores s˜ao majoritariamente altos (vide 5.1).
5.3
Ajuste do modelo proposto
Como visto no estudo de simula¸c˜ao da Se¸c˜ao 4, a introdu¸c˜ao de pontos de quebra aleat´orios no modelo demanda uma quantidade alta de itera¸c˜oes para a converg^encia do m´etodo MCMC. Al´em disso, a postula¸c˜ao da distribui¸c˜ao Beta-Binomial para a vari´avel resposta traz um amostrador de Gibbs (Algritmo 3.1) que pode ser muito lento conforme o n´umero de efeitos aleat´orios aumenta, por n˜ao ter a estrutura de atualiza¸c˜ao por blocos, como na Binomial.
Sendo assim, a modelagem dos dados Rush Memory and Aging Project ser´a feita em duas eta- pas. Primeiramente, a signific^ancia de todas as vari´aveis explicativas descritas na Tabela 5.1 ser´a avaliada por meio de modelos Binomiais com preditor Broken-Stick (2.2.1), fun¸c˜oes de liga¸c˜ao logito