Modelos de mistura para dados longitudinais de habilidade cognitiva em idosos

(1)

Instituto de Matem´

atica, Estat´ıstica

e Computa¸c˜

ao Cient´ıfica

Eric Krishna Peres Barbosa

Modelos de mistura para dados longitudinais de habilidade

cognitiva em idosos

CAMPINAS 2018

(2)

Modelos de mistura para dados longitudinais de habilidade

cognitiva em idosos

Disserta¸cão apresentada ao Instituto de Ma-temática, Estat´ıstica e Computa¸cão Cient´ıfica da Universidade Estadual de Campinas como parte dos requisitos exigidos para a obten¸cão do t´ıtulo de Mestre em estat´ıstica.

Orientadora: Hildete Prisco Pinheiro

Este exemplar corresponde `a vers˜ao final da

dissertac¸˜ao defendida pelo aluno Eric Krishna

Peres Barbosa, e orientada pela Profa. Dra. Hil-dete Prisco Pinheiro.

Assinatura da Orientadora

Campinas 2018

(3)

Ficha catalográfica

Universidade Estadual de Campinas

Biblioteca do Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica Ana Regina Machado - CRB 8/5467

Barbosa, Eric Krishna Peres,

B234m BarModelos de mistura para dados longitudinais de habilidade cognitiva em idosos / Eric Krishna Peres Barbosa. – Campinas, SP : [s.n.], 2018.

BarOrientador: Hildete Prisco Pinheiro.

BarDissertação (mestrado) – Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica.

Bar1. Misturas finitas. 2. Problemas de ponto de mudança. 3. Análise de regressão. 4. Distribuição binomial. 5. Cognição. I. Pinheiro, Hildete Prisco, 1966-. II. Universidade Estadual de Campinas. Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica. III. Título.

Informações para Biblioteca Digital

Título em outro idioma: Longitudinal mixture models for the analysis of elderly people's

cognition Palavras-chave em inglês: Finite mixtures Change-point problems Regression analysis Binomial distribution Cognition

Área de concentração: Estatística Titulação: Mestre em Estatística Banca examinadora:

Hildete Prisco Pinheiro [Orientador] Mariana Rodrigues Motta

Clarice Garcia Borges Demétrio

Data de defesa: 23-03-2018

Programa de Pós-Graduação: Estatística

(4)

pela banca examinadora composta pelos Profs. Drs.

Prof(a). Dr(a). HILDETE PRISCO PINHEIRO

Prof(a). Dr(a). MARIANA RODRIGUES MOTTA

Prof(a). Dr(a). CLARICE GARCIA BORGES DEMÉTRIO

(5)

Agrade¸co às agências CAPES e CNPq pelo apoio financeiro e à agência FAPESP por ter usufruido do projeto temático 2013/09357-9.

Ao IMECC pela infraestrutura que me ofereceu durante estes anos. Em particular, ao Celso e Quintino da inform´atica, aos professores Alberto Saa e Benilton S´a pelo suporte dado.

`

As professoras Clarice Garcia Borges Dem´etrio e Mariana Rodrigues Motta, por terem participado da banca examinadora e contribu´ıdo com importantes levantamentos acerca do meu trabalho.

`

As professoras Tatiana Andrea Benaglia e Graciela Muniz-Terrera pela oportunidade de trabalho, orienta¸cão e companheirismo. Aos professores Hildete Prisco Pinheiro, Luiz Koodi Hotta, Nancy Lopes Garcia e Victor Hugo Lachos Dávila, pessoas que admiro e fizeram enorme contribui¸cão para minha forma¸cão como estat´ıstico. Em especial, ainda à professora Hildete pelo “apadrinhamento”, orienta¸cão e ajuda imprescind´ıvel pra resolver os problemas inerentes ao projeto de mestrado.

Aos meus amigos, aos que me ajudaram e `aqueles os quais tive a oportunidade de ajudar.

Obrigado república XIII de Jaú. À todos que tive o prazer de conviver neste lugar e às incontáveis reflexões feitas nos finais de tarde vistos da minha querida varanda.

Por ´ultimo e mais importante, aos meus pais e fam´ılia. Pelo exemplo das suas trajet´orias, pelo respeito e apoio incondicionais aos meus planos.

(6)

Se eu não sei tudo que sou Então eu não sou tudo que sei? Tudo que penso que sei? Sou humano ou sou um mosquito? Sou parte do universo, sou parte do infinito Sou humano ou sou um produto? Produto do que querem que eu seja Produto do que me é permitido ser

Será que sou tudo que sou? Será que sei tudo que sei? Não, não sou nada disso Ou será que sou tudo isso? [...]

Pois essa busca parece incessante Hist´oria sem fim, inferno de Dante [...]”

Pedro Augusto de Almeida Rosa, amigo e poeta.

(7)

Neste trabalho, propõe-se um modelo de mistura de regressões para lidar com dados de habilidade cognitiva em idosos até seu falecimento. A cogni¸cão é mensurada longitudinalmente por questionários padrão em geriatria, com perguntas que avaliam a memória, linguagem, racioc´ınio lógico, dentre outros, e compõem um escore enumerável e finito dos acertos. Diferente de grande parte da literatura na área, em que aplicam modelos lineares mistos clássicos com ou sem transforma¸cões logar´ıtmicas, são ajustados modelos para variáveis resposta Binomial e Beta-Binomial. A especifica¸cão de mistura de regressões é feita para discriminar dois comportamentos prevalentes encontrados nos dados: um grupo de idosos apresenta decl´ınio cognitivo à taxa constante no tempo; enquanto outro grupo passa, a partir de um momento, a ter um decl´ınio acelerado. Para o último comportamento, preditores não lineares com pontos de quebra aleatórios são propostos. Um estudo de simula¸cão é conduzido para avaliar a qualidade da estima¸cão Bayesiana dos efeitos fixos e aleatórios sob diferentes configura¸cões amostrais e emp´ıricas do modelo proposto: quantidade de observa¸cões longitudinais, propor¸cão de indiv´ıduos em cada componente da mistura e abruptude da acelera¸cão do decl´ınio. Na prática, o intuito é estudar e quantificar associa¸cões entre a perda da capacidade cognitiva e o diagnóstico de demências como a doen¸ca de Alzheimer, além de fatores sociodemográficos. Por fim, uma aplica¸cão dos modelos descritos é feita ao banco de dados produzido pelo Rush Memory and Aging Project da Universidade Rush – Chicago, Estados Unidos, entre os anos de 1997 e 2016.

Palavras-chave: modelos de mistura, modelos longitudinais, modelos de efeitos mistos, pontos de quebra aleatórios, habilidade cognitiva em idosos, distribui¸cão beta-binomial, distribui¸cão binomial.

(8)

A regression mixture model to handle elderly’s cognitive ability up to their death is presen-ted. Cognition is measured across time with standard questionnaires from geriatrics which involve, amongst others, memory, language and reasoning issues. The output of such questionnaires is recor-ded with a countable and finite score. Many authors in the literature apply classical linear mixed models for the raw scores or use some logarithmic transformation. Differently, models for Binomial and Beta-Binomial response variables are discussed here. The mixture specification rises to discri-minate two prevalent behaviors in the data: one group of elderly people presents cognition decline at constant rate; whilst the other experiences a spontaneous accelerated decline at some time. The latter aspect is dealt with random change points nonlinear predictors. To assess the Bayesian esti-mation performance of fixed and random effects, a simulation study is conducted under the following sampling and empirical different aspects: number of repeated measures across time, individuals pro-portion in each mixture component and the decline’s acceleration abruptness. Finally, the study’s goal is to quantify associations amidst cognition loss and the diagnostics of dementias like Alzhei-mer’s disease, besides sociodemographic factors. The proposed model is evaluated in the database provided by the Rush University – Chicago, United States, through the Rush Memory and Aging Project from 1997 to 2016.

Keywords: mixture models, longitudinal models, mixed effects models, random change points, elderly people cognition, beta-binomial distribution, binomial distribution.

(9)

2.1 Fun¸cões de probabilidade da variável aleatória 𝑌 ∼ Beta-Binomial(10, 𝜑𝜇, 𝜑(1 − 𝜇)) para diferentes valores de 𝜇 e 𝜑. . . 20 2.2 Limite inferior do espa¸co paramétrico da correla¸cão intraclasse 𝜌 = (𝜑+1)−1, de acordo

com diferentes valores de 𝜇 = 𝛼1/(𝛼1 + 𝛼2) e quantidade de ensaios 𝑛. . . 21

2.3 Preditor Broken-Stick com 𝛽2 ∈ (−7, −1). Al´em disso, 𝜏 = 5, 𝛽0 = 40 e 𝛽1 = 0, 5. . . . 23

2.4 Preditor em (2.2.2) com 𝐾1 = 1 e 𝐾2 = 2. Em todos os casos, 𝜏 = 5, 𝛽0 = 40 e

𝛽1 = 0, 5. Al´em disso, todos os grids de 𝛽2ou 𝛽3possuem 14 valores. Especificamente,

(a)𝛽3 = −0, 8 e 𝛽2 ∈ (−7, −1); (b)𝛽2 = −4 e 𝛽3 ∈ (−4; −0, 05); (c)𝛽2 ∈ (−7, −1),

enquanto 𝛽3 ∈ (−4; −0, 05). . . 23

4.1 Exemplo de dados fict´ıcios gerados pela estrutura (4.1.3). Em todos os casos, a pro-por¸c˜ao de indiv´ıduos em cada grupo foi gerada com 𝜆 = (0, 0)′ na express˜ao (4.1.2) e os efeitos do preditor (4.1.1) iguais a 𝛽 = (1, 5; −0, 2; 𝛽3; −1)′. Na primeira linha,

𝛽3 = −2, 5; na linha central, 𝛽3 = −1, 5; e na ´ultima linha, 𝛽3 = −0, 5. . . 54

4.2 Gráficos dos erros quadráticos médios (4.2.1), estratificados pelas caracter´ısticas de in-teresse: magnitude do efeito após o ponto de quebra (𝛽3 ∈ {−2, 5; −1, 5; −0, 5}),

pro-por¸c˜ao de indiv´ıduos no grupo de mistura com decaimento acelerado (𝐺2 ∈ {Pequeno,

M´edio, Grande} ≈ {14%, 50%, 92%}) e quantidade de medidas repetidas ao longo do tempo simulado (𝐽 ∈ {5, 10}). . . 59 4.3 Gr´aficos das probabilidades de cobertura (4.2.2) com 95% de confian¸ca,

estratifica-dos pelas caracter´ısticas de interesse: magnitude do efeito ap´os o ponto de quebra (𝛽3 ∈ {−2, 5; −1, 5; −0, 5}), propor¸c˜ao de indiv´ıduos no grupo de mistura com

decai-mento acelerado (𝐺2 ∈ {Pequeno, M´edio, Grande} ≈ {14%, 50%, 92%}) e quantidade

de medidas repetidas ao longo do tempo simulado (𝐽 ∈ {5, 10}). . . 60 4.4 Gr´aficos de dispers˜ao entre a Taxa de Verdadeiros Positivos (4.2.3) vs Taxa de

Fal-sos Positivos (4.2.4), estratificados pelas caracter´ısticas de interesse: magnitude do efeito ap´os o ponto de quebra (𝛽3 ∈ {−2, 5; −1, 5; −0, 5}), propor¸c˜ao de indiv´ıduos

no grupo de mistura com decaimento acelerado (𝐺2 ∈ {Pequeno, M´edio, Grande} ≈

{14%, 50%, 92%}) e quantidade de medidas repetidas ao longo do tempo simulado (𝐽 ∈ {5, 10}). Adicionalmente, apresenta-se a Acurácia Média - ACM (4.2.6) para cada configura¸cão. . . 61

(10)

4.6 Histórico das cadeias a posteriori para simula¸cão do modelo Beta-Binomial com 𝐽 = 5, 𝐺2 médio e 𝛽3 = −1, 5. . . 63

5.1 Box-plots dos escores mmse dos invid´ıduos do estudo RUSH, estratificados para cada tempo até a morte, de 19 a 0 anos até o falecimento. . . 68 5.2 Frequências de indiv´ıduos para cada quantidade de acompanhamentos feitos. Na

pa-leta de cores, a idade de entrada dos indiv´ıduos no estudo. . . 69 5.3 Gr´afico longitudinal dos escores individuais ao longo do tempo at´e a morte. A

estra-tifica¸cão é feita com base nas variáveis indicadoras AD - pelo menos um diagnóstico da doen¸ca de Alzheimer e MCI - pelo menos um diagnóstico de dano cognitivo moderado. 70 5.4 Mapa de calor dos escores individuais ao longo do tempo até a morte. A estratifica¸cão

é feita com base nas variáveis indicadoras AD - pelo menos um diagnóstico da doen¸ca de Alzheimer e MCI - pelo menos um diagnóstico de dano cognitivo moderado. Truncou-se a disposi¸cão do gráfico para 𝑡 ∈ {−10, . . . , 0} para melhor visualiza¸cão, visto que entre 𝑡 ∈ {−19, . . . , −11} os escores são majoritariamente altos (vide 5.1). . . 71 5.5 Mapa de calor dos escores individuais ao longo do tempo até a morte. A estratifica¸cão

é feita com base na variável indicadora de educa¸cão superior EDUC: Básica caso ≤ 12 anos de estudo ou Superior, caso contrário. Truncou-se a disposi¸cão do gráfico para 𝑡 ∈ {−10, . . . , 0} para melhor visualiza¸cão, visto que entre 𝑡 ∈ {−19, . . . , −11} os escores são majoritariamente altos (vide 5.1). . . 71 5.6 Medianas e intervalos de credibilidade 95% para cadeias finais do modelo com

dis-tribui¸cão Binomial, preditores dados por (5.3.2) e (5.3.3). Em (a), tem-se a es-pecifica¸c˜_{ao com ℳlogito : ℎ(𝑥) = log(𝑥/(1 − 𝑥)), enquanto em (b) ℳcloglog :} ℎ(𝑥) = log(−log(1 − 𝑥)). . . 74 5.7 Gráficos de res´ıduos quant´ılicos aleatorizados para o modelo ℳ𝑏𝑖𝑛. No gráfico (a),

calculam-se 30 conjuntos de res´ıduos. A curva é uma referência para o caso ideal. Nos gráficos (b)-(d), por outro lado, apenas um conjunto é utilizado para avaliar, respectivamente, a rela¸cão com os valores ajustados ^𝑦𝑖𝑗, tempo até a morte e covariável

que d´a o efeito ap´os os pontos de quebra estimados: [𝑡𝑖𝑗− ^𝜏𝑖]+ = max(0, 𝑡𝑖𝑗− ^𝜏𝑖). Nestes,

as curvas são suaviza¸cões dos dados via modelos aditivos genealizados (GAM). . . 76 5.8 Histórico de cadeias a posteriori do parâmetro 𝜑 da distribui¸cão Beta-Binomial como

resultado de ajuste do modelo ℳ𝑏𝑏. `A esquerda, ajuste com burn-in de 1,1 milh˜ao de

(11)

é uma referência para o caso ideal. Nos gráficos (b) e (c), por outro lado, apenas um conjunto é utilizado para avaliar, respectivamente, a rela¸cão com os valores ajustados ^

𝑦𝑖𝑗 e tempo até a morte. Nestes, as curvas são suaviza¸cões dos dados via modelos

aditivos generalizados (GAM). . . 78 5.10 Gr´afico longitudinal dos escores individuais observados e ajustados ao longo do tempo

até a morte. A estratifica¸cão é feita com base nas variáveis indicadoras AD - pelo menos um diagnóstico da doen¸ca de Alzheimer e MCI - pelo menos um diagnóstico de dano cognitivo moderado. Linhas tracejadas no modelo com mistura indicam indiv´ıduos classificados no grupo com decaimento acelerado (𝐺2). . . 79

5.11 Histograma dos pontos de quebra estimados para o grupo com decaimento acelerado (𝐺2), segundo modelo final ℳ𝑏𝑖𝑛. . . 81

5.12 Histograma das idades estimadas em que os pontos de quebra aconteceram para o grupo com decaimento acelerado (𝐺2), segundo modelo final ℳ𝑏𝑖𝑛. . . 81

C.1 Box-plots da variável resposta escore mmse de acordo com as covariáveis categóricas. Segundo legenda da Tabela 5.1, (a) - ad; (b) - mci; (c) - educ; (d) - sexo; (e) - etnia. 96 C.2 Diagonal principal: densidades suavizadas dos escores mmse para tempos até a morte

diferentes, 𝑡 ∈ {−19, . . . , −10}. Gráficos da parte triangular inferior: dispersão entre escores para tempos cruzados. Informa¸cões da parte triangular superior: correla¸cões entre escores para tempos cruzados. . . 97 C.3 Diagonal principal: densidades suavizadas dos escores mmse para tempos até a morte

diferentes, 𝑡 ∈ {−9, . . . , −0}. Gráficos da parte triangular inferior: dispersão entre escores para tempos cruzados. Informa¸cões da parte triangular superior: correla¸cões entre escores para tempos cruzados. . . 98 C.4 Nas primeiras 4 linhas de gráficos, densidades a posteriori e nas últimas 4 linhas,

(12)

2.1 Fun¸cões de liga¸cão comuns para regressão com dados binários. . . 26

3.1 Fun¸cões de perdas usuais e os respectivos estimadores Bayesianos encontrados pela minimiza¸cão em (3.1.1). . . 31 3.2 Fun¸cões de discrepância comuns para avaliar reproducibilidade dos dados originais sob

modelos Bayesianos. . . 40

5.1 Vari´aveis retiradas e/ou modificadas do banco de dados Rush Memory and Ageing Project. . . 67 5.2 Tempo de ajuste, medidas de diagn´ostico (valores-p Bayesianos amostrados 𝑠𝑝𝑏(𝑦)) e

compara¸c˜ao de modelos (DIC7 e LMPL) para modelos com distribui¸c˜ao Binomial dos

escores mmse condicionais, preditores dados por (5.3.2) e (5.3.3). Valores em negrito por coluna indicam melhores indicadores. Para os valores-p Bayesianos amostrados em (3.1.11), tomou-se a moda das cadeias finais como quantidades 𝜃𝑓 𝑖𝑥𝑜_. _{. . . .} ₇₄

5.3 Tempo de ajuste, número de itera¸cões (burn-in + rodadas finais), medidas de di-agnóstico (valores-p Bayesianos anostrados 𝑠𝑝𝑏(𝑦)) e compara¸cão de modelos (DIC7 e

LMPL) para modelo com distribui¸c˜ao Binomial dos escores mmse condicionais e predi-tor dado por (5.3.5). Para os valores-p Bayesianos amostrados em (3.1.11), tomou-se a moda das cadeias finais como quantidades 𝜃𝑓 𝑖𝑥𝑜_{. . . .} ₇₆

5.4 Estat´ıstica ^R, mediana, bandas inferior (Inf) e superior (Sup) de credibilidade 95% para cadeias finais do modelo com distribui¸c˜ao Binomial, preditores dados por (5.3.5) e (5.3.3). . . 80

C.1 Mediana, bandas inferior (Inf) e superior (Sup) de credibilidade 95% para cadeias finais do modelo com distribui¸c˜ao Binomial, preditores dados por (5.3.2) e (5.3.3). Os ajustes s˜_{ao feitos com ℳlogito : ℎ(𝑥) = log(𝑥/(1 − 𝑥)), enquanto ℳcloglog :} ℎ(𝑥) = log(−log(1 − 𝑥)). . . 99

(13)

Lista de Figuras ix

Lista de Tabelas xii

1 Introdu¸c˜ao 15

1.1 Nota¸c˜ao utilizada . . . 17

1.2 Organiza¸c˜ao do trabalho . . . 17

2 Modelo de Mistura de Regressões Com Componente de Decl´ınio Acelerado 18 2.1 Variáveis aleatórias de ensaios com respostas dicotômicas . . . 18

2.2 Preditores para dados longitudinais com ponto de quebra . . . 21

2.3 O modelo de mistura de regress˜oes com componente de decl´ınio acelerado . . . 24

2.3.1 Verossimilhan¸ca para o modelo proposto . . . 26

3 Método de Estima¸cão 29 3.1 Inferência Bayesiana . . . 30

3.1.1 Algoritmos de simula¸c˜ao . . . 32

3.1.2 Softwares para infer^encia Bayesiana . . . 38

3.1.3 Diagn´ostico dos modelos . . . 39

3.1.4 Compara¸c˜ao dos modelos . . . 41

3.2 Estima¸c˜ao Bayesiana para o modelo proposto de mistura de regress˜oes . . . 43

3.2.1 Amostrador de Gibbs para o caso Beta-Binomial . . . 44

3.2.2 Amostrador de Gibbs para o caso Binomial . . . 47

4 Estudo de Simula¸cão 52 4.1 Configura¸cões de parâmetros e exemplos de dados simulados . . . 53

4.2 Medidas para avalia¸c˜ao das cadeias geradas e suas estimativas . . . 54

4.3 Resultados das simula¸c˜oes . . . 56

4.4 Considera¸c˜oes sobre o caso Beta-Binomial . . . 61

5 Aplica¸c˜ao do Modelo em Dados Reais 64 5.1 Rush Memory and Aging Project . . . 65

(14)

6 Considera¸c˜oes Finais 83

Bibliografia 85

A Exemplo question´ario MMSE 92

B Algoritmos de simula¸c˜ao 93

C Rush Memory and Aging Project 96

C.1 Gr´aficos an´alise descritiva . . . 96 C.2 Material suplementar dos ajustes . . . 99

(15)

Cap´ıtulo 1

Introdu¸

c˜

ao

A tendência de crescimento da expectativa de vida mundial é evidenciada desde meados da década de 1840, de acordo com Oeppen and Vaupel (2002). Com isso, estudos relacionados aos idosos têm sido uma área de grande interesse em medicina quantitativa e bioestat´ıstica nos últimos anos. Capacidade motora e aspectos neurológicos do envelhecimento são caracter´ısticas que podem estar associadas a doen¸cas cognitivas comuns da idade avan¸cada (como a demência e, em particular, a doen¸ca de Alzheimer). Alguns estudos se baseiam no acompanhamento prospectivo de coortes, tais como o OCTO - Twin (Origins of Variance in the Old-old: Octagenarian Twins) McClearn

et al.(1997), pelo Departamento de Epidemiologia M´edica e Bioestat´ıstica do Karolinska Institutet ;

o Bronx aging study Katzman et al. (1989) e o Honolulu Asia Aging Study, Launer et al. (1995). Para medir a capacidade neurológica dos participantes, são aplicados periodicamente questionários padrão de habilidade cognitiva e memória, por exemplo, o Mini Mental Status Examination (MMSE)

Cockrell and Folstein (2002), o Selective Reminding Test Hannay and Levin (1985) e o Cognitive

Abilities Screening Instrument Teng et al. (1994). Estes são formulados por questões relacionadas à pronúncia, dom´ınio de linguagem, memória, lógica e até a habilidades motoras. Apresenta-se como resultado um escore ordinal de acertos cuja amplitude varia de teste para teste.

An´alises de dados longitudinais relacionados `a habilidade cognitiva (como Hall et al. (2007)

e van den Hout et al. (2013)) evidenciam dois tipos prevalentes de comportamento dos idosos,

separando-os essencialmente em dois grupos. Um deles apresenta trajetória dos escores com perda da capacidade neurológica a uma taxa que pode ser considerada constante com o passar dos anos; enquanto no outro grupo, a partir de um determinado momento aleatório (que pode, inclusive, ser diferente entre indiv´ıduos), o escore de habilidade cognitiva passa a decair mais rapidamente até a morte ou censura. Essa caracter´ıstica é referenciada na literatura como ponto de quebra ou ponto de mudan¸ca. Ela aparece em outros tipos de dados, como em séries temporais com quebras estruturais

-Bauwens and Rombouts (2012) - e em modelos log´ısticos para epidemiologia - Muggeo (2003), por

exemplo.

(16)

são introduzidos em Hall et al. (2000), em que propõem modelos lineares de efeitos mistos com o parâmetro ponto de quebra comum a todos os indiv´ıduos. Artigos posteriores utilizam técnicas completa ou parcialmente Bayesianas com o objetivo de estimar pontos de quebra como efeitos aleatórios dos indiv´ıduos. Alguns exemplos destes estão emDominicus et al.(2008) com o amostrador de Gibbs (Casella and George(1992)) ou emvan den Hout et al. (2013), com uma estima¸cão clássica seguida da técnica de máximo a posteriori MAP (DeGroot(2005)) para o vetor de pontos de quebra. Ainda assim, dado que não se pode falar que todos os participantes apresentam o ponto de mudan¸ca, modelos com tal suposi¸cão podem sub ou superestimar esta caracter´ıstica. Além disso, não há garantia de que os efeitos estimados das variáveis explicativas representem adequadamente o conjunto de dados.

Uma recorrência notada na literatura é a utiliza¸cão de modelos de efeitos mistos com a distribui¸cão gaussiana para as perturba¸cões aleatórias. Dessa maneira, alguns autores Hall et al. (2001), Yu and

Ghosh (2010) propõem especifica¸cões para transforma¸cões logar´ıtmicas dos escores, como tentativa

de eliminar a assimetria emp´ırica do desempenho dos participantes. Com tal conduta, os autores também evitam lidar com modelos para variáveis respostas discretas, o que pode enfraquecer a qualidade do ajuste e/ou previsão.

Outros aspectos que têm sido estudados para obten¸cão de modelos mais fidedignos e informativos são: (i) a inclusão dos pontos de quebra com transi¸cões suaves, como propostos emBacon and Watts

(1971),Tishler and Zang(1981),van den Hout et al.(2011); (ii) tratar o problema como um modelo

de mistura, no qual especifica¸cões de regressão para grupos subjacentes de indiv´ıduos são feitas

-veja McLachlan and Peel (2004), Benaglia et al. (2009). Neste caso, a distin¸c˜ao entre os grupos ´e a

presen¸ca ou n˜ao do ponto de quebra. An´alises que englobam os quesitos (i) e (ii) encontram-se em

Yu and Ghosh (2010), van den Hout et al. (2013).

O objetivo deste trabalho é propor um modelo de mistura para discriminar entre o grupo de idosos que possuem decaimento da cogni¸cão à taxa constante e o grupo que apresenta um ponto de quebra ao longo da trajetória. A formula¸cão é feita supondo que a variável resposta tem distribui¸cão condicional Binomial ou Beta-Binomial. Ambas as escolhas levam a uma distribui¸cão marginal dos escores mais versátil do que a Binomial. Além disso, essas escolhas não negligenciam a natureza dos escores, diferentemente de grande parte da literatura no assunto, como Hall et al. (2001),

Jacqmin-Gadda et al. (2006), Yu and Ghosh (2010). Alguns aspectos t´ecnicos como situa¸c˜oes em que vale a

pena tal postula¸cão e custo versus benef´ıcio computacional serão avaliados por meio de simula¸cões.

Assim, um estudo de simula¸cão é conduzido para avaliar a qualidade da estima¸cão Bayesiana dos efeitos fixos e aleatórios sob diferentes configura¸cões amostrais e emp´ıricas do modelo proposto: quantidade de observa¸cões longitudinais, propor¸cão de indiv´ıduos em cada componente da mistura e abruptude da acelera¸cão do decl´ınio.

De uma maneira geral, pesquisadores desta área buscam rela¸cões entre o ponto de quebra e o surgimento de algum tipo de demência, como a doen¸ca de Alzheimer. Há também interesse em

(17)

verificar o efeito no ponto de quebra de covari´aveis como sexo e n´ıvel de instru¸c˜ao do participante

Hall et al. (2007), bem como fatores que atrasem o decl´ınio cognitivo acelerado, como a pr´atica de

esportes. Em primeira instância, é de interesse saber o que pode estar associado à presen¸ca de tal caracter´ıstica, isto é, ser classificado no grupo com mudan¸ca no decaimento da cogni¸cão. Em seguida, caso perten¸ca a este grupo, saber que covariáveis podem melhorar o ajuste e/ou previsão da mudan¸ca na acelera¸cão da taxa de decaimento.

Uma aplica¸cão do modelo proposto será feita usando o banco de dados gerado pelo Rush Memory and Aging Project, disponibilizado pelo Centro Médico da Universidade RUSH,Bennett et al.(2005a). Este conjunto contém informa¸cões longitudinais de uma coorte da região metropolitana de Chicago, nos Estados Unidos, de Setembro/1997 até Abril/2005. Além da habilidade cognitiva medida uti-lizando o Mini Mental Status Examination (MMSE), coletaram-se variáveis dos indiv´ıduos como gênero, etnia, anos de educa¸cão, bem como diagnósticos cl´ınicos da presen¸ca ou não de demências.

1.1 Nota¸

c˜

ao utilizada

Fun¸cões de probabilidade ou fun¸cões densidade serão representadas por 𝑓 ou 𝜋. Parâmetros conhecidos e fixos serão, por simplicidade, suprimidos da escrita em 𝑓 . Assim, uma variável aleatória pode ser definida pelo seu nome, como em 𝑋 ∼ Normal(𝜇, 𝜎2_{), por 𝑋 ∼ 𝑓 (𝑥; 𝛼) = 𝑓 (𝑥) ou 𝑋 ∼ 𝜋(𝑥).}

Distribui¸cões condicionais serão representadas por 𝑋|𝑌 ∼ 𝑓 (𝑥|𝑦) ou 𝑋|𝑌 ∼ 𝜋(𝑥|𝑦). Densidades de variáveis truncadas no conjunto A por 𝑋 ∼ 𝑓 (𝑥)1{𝑥 ∈ A}, em que 1{𝑥 ∈ 𝐴} = 1, se 𝑥 ∈ A, e 1{𝑥 ∈ 𝐴} = 0, caso contrário.

A nota¸cão 𝑋 −→ 𝑌 indica convergência quase certa da vari´𝑞.𝑐. avel aleatória 𝑋 para a variável 𝑌 , que pode também ser degenerada. 𝑎𝑝𝑟∼ indica distribui¸cão aproximada,𝑖𝑛𝑑∼ e 𝑖𝑛𝑑= indicam, respectivamente, com distribui¸cões independentes e por independência. Por último, 𝑖𝑖𝑑∼ representa variáveis aleatórias independentes e identicamente distribu´ıdas.

1.2 Organiza¸

c˜

ao do trabalho

No próximo cap´ıtulo, discutem-se algumas caracter´ısticas técnicas para constru¸cão do modelo, e a apresenta¸cão deste na Se¸cão 2.3. Em seguida, apresentam-se a metodologia de estima¸cão e os algoritmos necessários para tal no Cap´ıtulo 3. Os estudos de simula¸cão e análise do banco de dados encontram-se, respectivamente, nos cap´ıtulos 4 e 5. Finalmente, uma discussão sobre os resultados das metodologias é feita no Cap´ıtulo 6.

(18)

Cap´ıtulo 2

Modelo de Mistura de Regress˜

oes Com

Componente de Decl´ınio Acelerado

A natureza dos escores que medem a habilidade cognitiva é discreta e com suporte finito. É adequado, portanto, que esses sejam modelados por meio de variáveis aleatórias que contam a quan-tidade de sucessos dentre um número de ensaios. Sob esta perspectiva, dentro de um questionário padrão de mensura¸cão cognitiva em idosos (conjunto de perguntas que medem memória, racioc´ınio lógito, linguagem etc), cada pergunta representa um ensaio e cada resposta correta um sucesso.

As variáveis aleatórias Binomial e Beta-Binomial são utilizadas como postula¸cões às quantidades de sucessos (ou fracassos) em um conjunto de ensaios Feller (1968). Para modelar o número de acertos dos questionários padrão aqui tratados, entretanto, a suposi¸cão de ensaios independentes (que é amplamente empregada) pode não ser adequada. Isto se dá porque as perguntas aplicadas compartilham caracter´ısticas e áreas de enfoque, tais como memória e linguagem. Por exemplo, o Mini Mental Status Examination (MMSE) Cockrell and Folstein (2002) é composto por quatro questões que avaliam pronúncia/linguagem, duas que demandam reflexos motores, entre outros, vide exemplo no Apêndice A. Logo, se indiv´ıduos têm dificuldade em algum construto do questionário, é esperado que as respostas para perguntas relacionadas também o sejam. Ainda assim, neste trabalho, não se explorarão alternativas a essa questão.

2.1 Vari´

aveis aleat´

orias de ensaios com respostas dicot^

omicas

Defini¸cão 2.1.1. Uma variável aleatória 𝑌 ∈ {0, . . . , 𝑛} tem distribui¸c˜_{ao 𝑌 ∼ Binomial(𝑛, 𝑝), 𝑛 ∈ N} sendo a quantidade de ensaios independentes com probabilidade de sucesso 𝑝 ∈ (0, 1), se sua fun¸cão de probabilidade for da forma

𝑓 (𝑦) =(︂𝑛 𝑦

)︂

(19)

Tendo em vista que 𝑌 ∼ Binomial(𝑛, 𝑝) ⇔ 𝑌 = ∑︀𝑛 𝑖=1𝑋𝑖, 𝑋𝑖 𝑖𝑖𝑑 ∼ Bernoulli(𝑝), as caracter´ısticas de 𝑌 s˜ao obtidas por: E[𝑌 ] = E[︁ 𝑛 ∑︁ 𝑖=1 𝑋𝑖 ]︁ = 𝑛 ∑︁ 𝑖=1 E[𝑋𝑖] = 𝑛𝑝, (2.1.2) Var[𝑌 ] = Var[︁ 𝑛 ∑︁ 𝑖=1 𝑋𝑖 ]︁ = 𝑛 ∑︁ 𝑖=1 Var[𝑋𝑖] = 𝑛𝑝(1 − 𝑝). (2.1.3)

Defini¸cão 2.1.2. Sejam 𝑌 e 𝑝 variáveis aleat´_{orias tais que 𝑌 ∈ {0, ..., 𝑛}, 𝑛 ∈ N fixo e conhecido, e} 𝑝 ∈ (0, 1). Considere 𝑌 |𝑝 ∼ Binomial(𝑛, 𝑝) e 𝑝 ∼ Beta(𝛼1, 𝛼2), em que 𝛼1, 𝛼2 > 0 são parâmetros fixos

e desconhecidos. Com esta estrutura, 𝑌 tem distribui¸c˜ao marginal 𝑌 ∼ Beta-Binomial(𝑛, 𝛼1, 𝛼2),

com fun¸c˜ao densidade dada por:

𝑓 (𝑦) = ∫︁ 1 0 𝑓 (𝑦|𝑝)𝑓 (𝑝) d𝑝 = ∫︁ 1 0 (︂𝑛 𝑦 )︂ 𝑝𝑦(1 − 𝑝)𝑛−𝑦 1 B(𝛼1, 𝛼2) 𝑝𝛼1−1_{(1 − 𝑝)}𝛼2−1_d𝑝 =(︂𝑛 𝑦 )︂ 1 B(𝛼1, 𝛼2) ∫︁ 1 0 𝑝𝑦+𝛼1−1_{(1 − 𝑝)}𝑛−𝑦+𝛼2−1_d𝑝 =(︂𝑛 𝑦 )︂ B(𝑦 + 𝛼1, 𝑛 − 𝑦 + 𝛼2) B(𝛼1, 𝛼2) , 𝑦 ∈ {0, . . . , 𝑛}, (2.1.4)

sendo B(𝑎, 𝑏) = Γ(𝑎)Γ(𝑏)_{Γ(𝑎+𝑏)} a fun¸c˜ao Beta, e Γ(𝑎) = ∫︀₀∞𝑥𝑎−1𝑒−𝑥d𝑥 a fun¸c˜ao Gamma.

Uma parametriza¸cão importante para o contexto de regressão considera a transforma¸cão un´ıvoca (𝛼1, 𝛼2) ↦→ (𝜑𝜇, 𝜑(1 − 𝜇)), em que 𝜇 = 𝛼1/(𝛼1+ 𝛼2) e 𝜑 = 𝛼1 + 𝛼2. As caracter´ısticas da variável

𝑌 ∼ Beta-Binomial(𝑛, 𝛼1, 𝛼2) = Beta-Binomial(𝑛, 𝜑𝜇, 𝜑(1 − 𝜇)) s˜ao dadas por:

E[𝑌 ] = E[E[𝑌 |𝑝]] = 𝑛E[𝑝] = 𝑛𝜇, (2.1.5)

Var[𝑌 ] = E[Var[𝑌 |𝑝]] + Var[E[𝑌 |𝑝]] = E[𝑛𝑝(1 − 𝑝)] + Var[𝑛𝑝]

= 𝑛(︁E[𝑝] − E[𝑝2])︁+ 𝑛2Var[𝑝]

= 𝑛 (︁

E[𝑝] −(︀Var[𝑝] + E2[𝑝])︀ )︁

+ 𝑛2Var[𝑝]

= 𝑛E[𝑝] − 𝑛Var[𝑝] − 𝑛E2[𝑝] + 𝑛2Var[𝑝]

= 𝑛(︁E[𝑝](1 − E[𝑝]) + (𝑛 − 1)Var[𝑝])︁

= 𝑛(︁𝜇(1 − 𝜇) + (𝑛 − 1)𝜇(1 − 𝜇)(𝜑 + 1)−1)︁ = 𝑛𝜇(1 − 𝜇) [︃ 1 + 𝑛 − 1 𝜑 + 1 ]︃ , (2.1.6)

(20)

Vê-se pela expressão da variância (2.1.6) um aspecto essencial que difere a Beta-Binomial da Binomial: a sobredispersão dos valores gerados pela primeira, em compara¸cão com a segunda. Num contexto de regressão para variáveis dicotômicas, a utiliza¸cão da distribui¸cão Beta-Binomial para os dados é uma alternativa relevante quando o modelo Binomial não se faz adequado Williams (1982).

A parametriza¸cão 𝑌 ∼ Beta-Binomial(𝑛, 𝜑𝜇, 𝜑(1 − 𝜇)) é mais conveniente para desenvolver os modelos de regressão e, em conformidade com os propósitos deste trabalho, adotaremos esta estrutura de agora em diante. O parâmetro 𝜇 pode ser interpretado como a probabilidade de sucesso num ensaio, enquanto 𝜌 = (𝜑 + 1)−1 é visto como o parâmetro de correla¸cão intraclasse, e está relacionado `

a sobredispersão que os dados podem apresentar. Considerando que 𝜑 > 0, 𝜌 é necessariamente não negativo. Porém,Prentice(1986) mostra que (2.1.4) é uma fun¸cão de probabilidade válida para certos valores negativos da correla¸cão intraclasse, expandindo o espa¸co paramétrico dessa caracter´ıstica a 𝜌 > −min(︀_{𝑛−𝜇−1}𝜇 ,_{𝑛+𝜇−2}1−𝜇 )︀,Ridout et al.(1999). Nas figuras 2.1 e 2.2, são mostrados alguns exemplos da versatilidade da distribui¸cão Beta-Binomial e os valores m´ınimos que o parâmetro 𝜌 pode assumir.

µ =0,25 µ =0,50 µ =0,70 φ = 0 ,5 φ = 5 φ = 10 φ = 100 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0.0 0.2 0.4 0.0 0.2 0.4 0.0 0.2 0.4 0.0 0.2 0.4 k P(Y=k)

Figura 2.1: Fun¸cões de probabilidade da variável aleatória 𝑌 ∼ Beta-Binomial(10, 𝜑𝜇, 𝜑(1 − 𝜇)) para diferentes valores de 𝜇 e 𝜑.

(21)

−0.06 −0.04 −0.02 0.00 0.00 0.25 0.50 0.75 1.00 µ V alor mínimo ρ n 10 20 30 40 50 60

Figura 2.2: Limite inferior do espa¸co param´etrico da correla¸c˜ao intraclasse 𝜌 = (𝜑 + 1)−1, de acordo com diferentes valores de 𝜇 = 𝛼1/(𝛼1+ 𝛼2) e quantidade de ensaios 𝑛.

2.2 Preditores para dados longitudinais com ponto de

que-bra

Sob a perspectiva dos Modelos Lineares Generalizados Nelder and Wedderburn (1972), tem-se o intuito de modelar a m´edia condicional da propor¸c˜ao de sucessos, E[𝑌*] = E[𝑌 /𝑛] = 𝜇, equivalente `

a probabilidade de acerto ao responder um questionário. Isto é feito por meio das chamadas fun¸cões de liga¸cão, que relacionam a probabilidade de sucesso a efeitos das variáveis explicativas utilizadas no estudo.

Segundo Paula (2004), o modelo de regress˜ao para respostas independentes Binomiais 𝑌1, . . . , 𝑌𝑛

com 𝑌𝑖 ∼ Binomial(𝐾, 𝜇𝑖) é dado pela expressão 𝑔(𝜇𝑖) = 𝜂𝑖, em que 𝜂𝑖 é o preditor do 𝑖-ésimo

indiv´ıduo. 𝑔 : (0, 1) ↦→ R é uma fun¸cão de liga¸cão, e pode ser da forma 𝑔(𝑥) = log(𝑥/(1 − 𝑥)), por exemplo. Em geral, avalia-se a rela¸cão de uma variável explicativa, 𝑥𝑖, com o preditor 𝜂𝑖 de uma

maneira linear no vetor de par^ametros 𝛽 = (𝛽0, 𝛽1)′, ou seja, 𝑔(𝜇𝑖) = log(𝜇𝑖/(1−𝜇𝑖)) = 𝜂𝑖 = 𝛽0+𝛽1𝑥𝑖.

Adicionalmente, a postula¸cão de modelos com ponto de quebra para indiv´ıduos é feita por meio de preditores 𝜂𝑖 não lineares nos parâmetros Muggeo (2003). Nesses casos, a dimensão do vetor 𝛽

aumenta para contemplar os efeitos das variáveis explicativas após a ocorrência do ponto de mudan¸ca. Veja a seguinte ilustra¸cão desta nova perspectiva:

Exemplo 2.2.1. Seja 𝑌1, . . . , 𝑌𝑛 com 𝑌𝑖 ∼ Binomial(𝐾, 𝜇𝑖). 𝛽 = (𝛽0, 𝛽1, 𝛽2)′ e 𝜏 s˜ao par^ametros

e 𝑥𝑖 o valor de uma covariável cont´ınua para o 𝑖-ésimo indiv´ıduo. Uma poss´ıvel rela¸cão entre as

quantidades 𝜇𝑖 e as vari´aveis explicativas 𝑥𝑖 ´e dada por:

log (︂ 𝜇𝑖 1 − 𝜇𝑖 )︂ = 𝛽0+ 𝛽1𝑥𝑖+ 𝛽2(𝑥𝑖− 𝜏 )+,

(22)

∀𝑖 ∈ {1, . . . , 𝑛}, em que (𝑎)+ _{= max(𝑎, 0). O interesse neste modelo reside majoritariamente na}

estima¸c˜ao das quantidades 𝛽2 e 𝜏 , sendo os par^ametros que refletem o surgimento do ponto de

quebra e a magnitude do seu efeito, respectivamente.

Considere agora que cada unidade experimental possui mensura¸c˜oes longitudinais em 𝑡𝑖 = (𝑡𝑖1, . . . ,

𝑡𝑖𝑛𝑖)

′_{, ∀𝑖 ∈ {1, . . . , 𝑁 } com T sendo a amplitude dos tempos observados. Por simplicidade, suponha}

que todos os indiv´ıduos tenham um ponto de quebra desconhecido, denotado por 𝜏𝑖 ∈ T. Neste

contexto, os preditores n˜ao lineares mais comuns s˜ao listados abaixo:

1. O chamado Broken-Stick Toms and Lesperance (2003):

𝜂1,𝑖𝑗 =

{︃

𝛽0+ 𝛽1𝑡𝑖𝑗 𝑡𝑖𝑗 < 𝜏𝑖,

𝛽0+ 𝛽1𝜏𝑖+ 𝛽2(𝑡𝑖𝑗− 𝜏𝑖) 𝑡𝑖𝑗 ≥ 𝜏𝑖,

(2.2.1)

∀(𝑗, 𝑖) ∈ {1, . . . , 𝑛𝑖} × {1, . . . , 𝑁 }. Se o ponto de quebra 𝜏𝑖 fosse conhecido, ter-se-ia um

preditor linear em 𝛽. Apesar de não o ser, preservaremos a nota¸cão tradicional, com sub´ındice representando que as covariáveis podem depender de 𝜏𝑖. 𝜂1,𝑖𝑗 pode ser escrito, então, da forma:

𝜂1,𝑖𝑗 = 𝛽0+ 𝛽1min(𝑡𝑖𝑗, 𝜏𝑖) + 𝛽2(𝑡𝑖𝑗 − 𝜏𝑖)+ = 𝑥′𝑖𝑗,𝜏𝑖𝛽,

com 𝑥𝑖𝑗,𝜏𝑖 = (1, min(𝑡𝑖𝑗, 𝜏𝑖), (𝑡𝑖𝑗− 𝜏𝑖)

+₎′ _{e 𝛽 = (𝛽}

0, 𝛽1, 𝛽2)′.

Claramente, as desvantagens de utilizar o modelo Broken-Stick são pela sua não diferenciabi-lidade em 𝑡𝑖𝑗 = 𝜏𝑖, ∀𝑗 ∈ {1, . . . , 𝑛𝑖}. Em abordagens de otimiza¸cão clássica é uma especifica¸cão

que deve ser evitada.

2. Um conjunto de preditores cont´ınuos, utilizados em diversas aplica¸c˜oes Hall et al. (2001),

Jacqmin-Gadda et al.(2006), Yu and Ghosh (2010):

𝜂2,𝑖𝑗 = ⎧ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎩ 𝛽0+ 𝐾1 ∑︀ 𝑘=1 𝛽𝑘𝑡𝑘𝑖𝑗, 𝑡𝑖𝑗 < 𝜏𝑖, 𝛽0+ 𝐾1 ∑︀ 𝑘=1 𝛽𝑘𝑡𝑘𝑖𝑗 + 𝐾2 ∑︀ 𝑘=1 𝛽𝑘+𝐾1(𝑡𝑖𝑗 − 𝜏𝑖) 𝑘_, _𝑡 𝑖𝑗 ≥ 𝜏𝑖. (2.2.2)

Podemos escrever 𝜂2,𝑖𝑗 como:

𝜂2,𝑖𝑗 = 𝛽0+ 𝐾1 ∑︁ 𝑘=1 𝛽𝑘𝑡𝑘𝑖𝑗+ 𝐾2 ∑︁ 𝑘=1 𝛽𝑘+𝐾1[(𝑡𝑖𝑗 − 𝜏𝑖) + ]𝑘 = 𝑥′_{𝑖𝑗,𝜏}_𝑖𝛽, em que 𝑥𝑖𝑗,𝜏𝑖 =(︀1, 𝑡 1 𝑖𝑗, . . . , 𝑡 𝐾1 𝑖𝑗 , [(𝑡𝑖𝑗− 𝜏𝑖)+]1, . . . , [(𝑡𝑖𝑗 − 𝜏𝑖)+]𝐾2 )︀′ e 𝛽 = (𝛽0, 𝛽1, . . . , 𝛽𝐾1+𝐾2) ′_.

O problema da falta de suavidade do preditor com respeito ao tempo 𝑡𝑖𝑗 = 𝜏𝑖 ´e contornado no

preditor dado em (2.2.2) desde que 𝐾2 ≥ 2 Seber and Wild (1989). Sua desvantagem, por outro

lado, é o acréscimo na dimensão do vetor de efeitos fixos para estima¸cão, com rela¸cão à especifica¸cão (2.2.1). O comportamento das duas fun¸cões é mostrado nas figuras 2.3 e 2.4.

(23)

10 20 30 40 2.5 5.0 7.5 10.0 Tempo Preditor

Figura 2.3: Preditor Broken-Stick com 𝛽2 ∈ (−7, −1). Al´em disso, 𝜏 = 5, 𝛽0 = 40 e 𝛽1 = 0, 5.

−20 0 20 40 2.5 5.0 7.5 10.0 Tempo Preditor (a) −80 −40 0 40 2.5 5.0 7.5 10.0 Tempo Preditor (b) −50 0 2.5 5.0 7.5 10.0 Tempo Preditor (c)

Figura 2.4: Preditor em (2.2.2) com 𝐾1 = 1 e 𝐾2 = 2. Em todos os casos, 𝜏 = 5, 𝛽0 = 40 e 𝛽1 = 0, 5.

Al´em disso, todos os grids de 𝛽2 ou 𝛽3 possuem 14 valores. Especificamente, (a)𝛽3 = −0, 8 e

𝛽2 ∈ (−7, −1); (b)𝛽2 = −4 e 𝛽3 ∈ (−4; −0, 05); (c)𝛽2 ∈ (−7, −1), enquanto 𝛽3 ∈ (−4; −0, 05).

A cria¸cão de preditores com pontos de quebra com transi¸cões suaves é um tema ativo de pesquisa nessa área. Tem-se, por exemplo, as especifica¸cões com a fun¸cão tangente hiperbólica de Bacon and

Watts(1971), o Bent-Cable Tishler and Zang (1981),Chiu et al.(2006) e a polinomialvan den Hout

et al.(2011). Elas possuem vantagens para o contexto de estima¸c˜ao cl´assica dos pontos de mudan¸ca,

assim como uma maior flexibilidade de din^amica, considerando que trazem par^ametros de suavidade adicionais.

(24)

2.3 O modelo de mistura de regress˜

oes com componente de

decl´ınio acelerado

Suponha que 𝑌1(𝑡1), . . . , 𝑌𝑁(𝑡𝑁) sejam vetores aleat´orios independentes. Cada componente 𝑌𝑖(𝑡𝑖) =

𝑌𝑖 = (𝑌 (𝑡𝑖1), . . . , 𝑌 (𝑡𝑖𝑛𝑖))

′ _{= (𝑌}

𝑖1, . . . , 𝑌𝑖𝑛𝑖)

′_{, representa o escore no tempo 𝑡}

𝑖𝑗 do 𝑖-´esimo indiv´ıduo,

𝑗 ∈ {1, . . . , 𝑛𝑖}, 𝑖 ∈ {1, . . . , 𝑁 }. 𝑌𝑖𝑗 ∈ {0, . . . , 𝐾}, ∀(𝑖, 𝑗), em que 𝐾 é o número de questões do

questionário padrão aplicado longitudinalmente. Além disso, considere os seguintes agrupamentos:

∙ 𝐺1 - indiv´ıduos com decl´ınio dos escores `a taxa constante;

∙ 𝐺2- indiv´ıduos com ponto de quebra na trajet´oria dos escores (total de acertos do question´ario).

Sabendo que as especifica¸cões de preditores em (2.2.1) e (2.2.2) trazem parâmetros adicionais por conta do ponto de quebra, deve-se ter cautela ao postular o modelo para os diferentes grupos. Em outras palavras, é interessante que a proposta garanta a mesma dimensão do espa¸co gerado pelas covariáveis entre os grupos 𝐺1 e 𝐺2, como nas especifica¸cões tradicionais de misturaMcLachlan and Peel (2004). A solu¸cão para a questão da dimensionalidade é dada propondo um ponto de quebra para cada indiv´ıduo, como um efeito aleatório, mas que assume a seguinte forma Yu and Ghosh

(2010): 𝜏𝑖 = {︃ 𝜏∞,𝑖, com probabilidade (1 − 𝑝𝑖) 𝜏𝑎,𝑖, com probabilidade 𝑝𝑖, em que 𝜏∞,𝑖 𝑞.𝑐.

−→ +∞ , 𝜏𝑎,𝑖 ∼ Normal(𝜇𝜏, 𝜎2𝜏)1{𝜏𝑖 ∈ T} e T ´e a amplitude dos tempos observados.

Assim, se o indiv´ıduo não apresenta um decl´ınio acelerado na sua trajetória, então a variável assume algum valor 𝜏𝑖

𝑞.𝑐.

−→ +∞ e a contribui¸cão das covariáveis [(𝑡𝑖𝑗 − 𝜏𝑖)+]𝑘 é nula para todo 𝑘. Pode-se

determinar, ainda, os pontos de quebra com aux´ılio de vari´aveis latentes 𝑆1, . . . , 𝑆𝑁 𝑖𝑛𝑑

∼ Bernoulli(𝑝𝑖)

que indicam a aloca¸cão do 𝑖-ésimo indiv´ıduo: caso 𝑆𝑖 = 0, então, 𝑖 ∈ 𝐺1, e se 𝑆𝑖 = 1, então, 𝑖 ∈ 𝐺2,

isto ´e, 𝜏𝑖 =(︀𝜏∞,𝑖 )︀1{𝑆𝑖=0} (︀𝜏𝑎,𝑖 )︀1{𝑆𝑖=1} ,

com 𝜏∞,𝑖 e 𝜏𝑎,𝑖 j´a definidos anteriormente.

Assim como na extens˜ao dos Modelos Lineares Generalizados de Efeitos Mistos McCulloch and

Neuhaus (2001), outro conjunto de efeitos aleat´orios ser˜ao introduzidos no estudo. Considere a

amostra independente 𝑏1, . . . , 𝑏𝑁 ∼ Normal𝑞𝑏(0, D), e componentes 𝑏𝑖 = (𝑏𝑖1, . . . , 𝑏𝑖𝑞𝑏)

′_{. Com estes,}

o objetivo é de capturar particularidades dos indiv´ıduos nas trajetórias de escore médio obtidas. A representa¸cão hierárquica do modelo é, então, dada por:

𝑌𝑖𝑗|𝑏𝑖, 𝜏𝑎,𝑖, 𝑆𝑖 𝑖𝑛𝑑 ∼ 𝑓 (𝑦𝑖𝑗|𝑏𝑖, 𝜏𝑎,𝑖, 𝑆𝑖) (2.3.1) 𝑏𝑖 𝑖𝑖𝑑 ∼ Normal𝑞𝑏(0, D) 𝜏𝑎,𝑖 𝑖𝑖𝑑 ∼ Normal(𝜇𝜏, 𝜎𝜏2)1{𝜏𝑎,𝑖∈ T}

(25)

𝑆𝑖 𝑖𝑛𝑑 ∼ Bernoulli(𝑝𝑖), 𝜏𝑖 =(︀𝜏∞,𝑖 )︀1{𝑆𝑖=0} (︀𝜏𝑎,𝑖 )︀1{𝑆𝑖=1} 𝜇𝑖𝑗 = 𝑔−1(𝑥′𝑖𝑗,𝜏𝑖𝛽 + 𝑧 ′ 𝑖𝑗,𝜏𝑖𝑏𝑖) (2.3.2) 𝑝𝑖 = ℎ−1(𝑤′𝑖𝜆), (2.3.3)

∀(𝑖, 𝑗) ∈ {1, . . . , 𝑁 } × {1, . . . , 𝑛𝑖}. 𝑓 (𝑦𝑖𝑗|𝑏𝑖, 𝜏𝑎,𝑖, 𝑆𝑖) assume as formas (2.1.1) ou (2.1.4), isto ´e, pode-se

ter em (2.3.1) que[︀𝑌𝑖𝑗|𝑏𝑖, 𝜏𝑎,𝑖, 𝑆𝑖

]︀ 𝑖𝑛𝑑

∼ Binomial(𝐾, 𝜇𝑖𝑗) ou[︀𝑌𝑖𝑗|𝑏𝑖, 𝜏𝑎,𝑖, 𝑆𝑖

]︀𝑖𝑛𝑑

∼ Beta-Binomial(𝐾, 𝜑𝜇𝑖𝑗, 𝜑(1−

𝜇𝑖𝑗)). Além disso, 𝑔, ℎ : (0, 1) ↦→ R são fun¸cões de liga¸cão, 𝛽 e 𝜆 vetores de efeitos fixos com

di-mens˜oes 𝑞𝛽 × 1 e 𝑞𝜆 × 1, respectivamente. 𝑤𝑖 = (𝑤𝑖1, . . . , 𝑤𝑖𝑞𝜆)

′ _s˜_{ao as covari´}_{aveis para modelar a}

probabilidade de classifica¸c˜ao no grupo com ponto de quebra, como em Yu and Ghosh (2010).

De acordo com as expressões dos preditores não lineares (2.2.1) e (2.2.2), os vetores de co-variáveis para os efeitos fixos e aleatórios das médias 𝜇𝑖𝑗 dependem dos valores 𝜏1, . . . , 𝜏𝑁 e dos vetores

𝑡1, . . . , 𝑡𝑁. Ent˜ao, intrinsecamente, 𝑥𝑖𝑗,𝜏𝑖 = (𝑥𝑖𝑗1(𝜏𝑖), . . . , 𝑥𝑖𝑗𝑞𝛽(𝜏𝑖))

′ _{e 𝑧}

𝑖𝑗,𝜏𝑖 = (𝑧𝑖𝑗1(𝜏𝑖), . . . , 𝑧𝑖𝑗𝑞𝑏(𝜏𝑖))

′_.

Tenha em vista, entretanto, que para ´ındices arbitr´arios 𝑘1 e 𝑘2, 𝑥𝑖𝑗𝑘1(𝜏𝑖) e 𝑧𝑖𝑗𝑘2(𝜏𝑖) podem tanto

depender do tempo ou ponto de quebra como ser uma caracter´ıstica fixa, por exemplo, o g^enero do indiv´ıduo.

Segundo as f´ormulas (2.1.2), (2.1.3), (2.1.5) e (2.1.6), as caracter´ısticas para as vari´aveis resposta 𝑌𝑖𝑗, ∀(𝑖, 𝑗) ∈ {1, . . . , 𝑁 } × {1, . . . , 𝑛𝑖} sob os modelos Binomial e Beta-Binomial se tornam:

∙ Caso 𝑌𝑖𝑗|𝑏𝑖, 𝜏𝑎,𝑖, 𝑆𝑖 𝑖𝑛𝑑 ∼ Binomial(𝐾, 𝜇𝑖𝑗) : E[𝑌𝑖𝑗] = E𝑏𝑖,𝑆𝑖,𝜏𝑎,𝑖[E[𝑌𝑖𝑗|𝑏𝑖, 𝑆𝑖, 𝜏𝑎,𝑖]] = 𝐾 E𝑏𝑖,𝑆𝑖,𝜏𝑎,𝑖[𝜇𝑖𝑗] = 𝐾 E𝑏𝑖,𝑆𝑖,𝜏𝑎,𝑖[𝑔 −1 (𝑥′_{𝑖𝑗,𝜏} 𝑖𝛽 + 𝑧 ′ 𝑖𝑗,𝜏𝑖𝑏𝑖)],

Var[𝑌𝑖𝑗] = E𝑏𝑖,𝑆𝑖,𝜏𝑎,𝑖[Var[𝑌𝑖𝑗|𝑏𝑖, 𝑆𝑖, 𝜏𝑎,𝑖]] + Var𝑏𝑖,𝑆𝑖,𝜏𝑎,𝑖[E[𝑌𝑖𝑗|𝑏𝑖, 𝑆𝑖, 𝜏𝑎,𝑖]]

= 𝐾 E𝑏𝑖,𝑆𝑖,𝜏𝑎,𝑖 [︁ 𝑔−1(𝑥′_{𝑖𝑗,𝜏} 𝑖𝛽 + 𝑧 ′ 𝑖𝑗,𝜏𝑖𝑏𝑖)(1 − 𝑔 −1 (𝑥′_{𝑖𝑗,𝜏} 𝑖𝛽 + 𝑧 ′ 𝑖𝑗,𝜏𝑖𝑏𝑖)) ]︁ + 𝐾2Var𝑏𝑖,𝑆𝑖,𝜏𝑎,𝑖[𝑔 −1 (𝑥′_{𝑖𝑗,𝜏}_𝑖𝛽 + 𝑧_{𝑖𝑗,𝜏}′ _𝑖𝑏𝑖)], Cov[𝑌𝑖𝑗, 𝑌𝑖𝑘] = E𝑏𝑖,𝑆𝑖,𝜏𝑎,𝑖[Cov[(𝑌𝑖𝑗, 𝑌𝑖𝑘)|𝑏𝑖, 𝑆𝑖, 𝜏𝑎,𝑖]]

+ Cov𝑏𝑖,𝑆𝑖,𝜏𝑎,𝑖[E[𝑌𝑖𝑗|𝑏𝑖, 𝑆𝑖, 𝜏𝑎,𝑖], E[𝑌𝑖𝑘|𝑏𝑖, 𝑆𝑖, 𝜏𝑎,𝑖]]

= E[0] + Cov𝑏𝑖,𝑆𝑖,𝜏𝑎,𝑖[𝐾𝜇𝑖𝑗, 𝐾𝜇𝑖𝑘] = 𝐾2Cov𝑏𝑖,𝑆𝑖,𝜏𝑎,𝑖[𝑔 −1 (𝑥′_{𝑖𝑗,𝜏} 𝑖𝛽 + 𝑧 ′ 𝑖𝑗,𝜏𝑖𝑏𝑖), 𝑔 −1 (𝑥′_{𝑖𝑘,𝜏} 𝑖𝛽 + 𝑧 ′ 𝑖𝑘,𝜏𝑖𝑏𝑖)], ∀𝑗 ̸= 𝑘; ∙ Caso 𝑌𝑖𝑗|𝑏𝑖, 𝜏𝑎,𝑖, 𝑆𝑖 𝑖𝑛𝑑 ∼ Beta-Binomial(𝐾, 𝜑𝜇𝑖𝑗, 𝜑(1 − 𝜇𝑖𝑗)) : E[𝑌𝑖𝑗] = E𝑏𝑖,𝑆𝑖,𝜏𝑎,𝑖[E[𝑌𝑖𝑗|𝑏𝑖, 𝑆𝑖, 𝜏𝑎,𝑖]]

(26)

= 𝐾 E𝑏𝑖,𝑆𝑖,𝜏𝑎,𝑖[𝜇𝑖𝑗]

= 𝐾 E𝑏𝑖,𝑆𝑖,𝜏𝑎,𝑖[𝑔

−1

(𝑥′_{𝑖𝑗,𝜏}_𝑖𝛽 + 𝑧′_{𝑖𝑗,𝜏}_𝑖𝑏𝑖)],

Var[𝑌𝑖𝑗] = E𝑏𝑖,𝑆𝑖,𝜏𝑎,𝑖[Var[𝑌𝑖𝑗|𝑏𝑖, 𝑆𝑖, 𝜏𝑎,𝑖]] + Var𝑏𝑖,𝑆𝑖,𝜏𝑎,𝑖[E[𝑌𝑖𝑗|𝑏𝑖, 𝑆𝑖, 𝜏𝑎,𝑖]]

= 𝐾 [︃ 1 + 𝐾 − 1 𝜑 + 1 ]︃ E𝑏𝑖,𝑆𝑖,𝜏𝑎,𝑖 [︁ 𝑔−1(𝑥′_{𝑖𝑗,𝜏}_𝑖𝛽 + 𝑧_{𝑖𝑗,𝜏}′ _𝑖𝑏𝑖)(1 − 𝑔−1(𝑥′𝑖𝑗,𝜏𝑖𝛽 + 𝑧 ′ 𝑖𝑗,𝜏𝑖𝑏𝑖)) ]︁ + 𝐾2Var𝑏𝑖,𝑆𝑖,𝜏𝑎,𝑖[𝑔 −1 (𝑥′_{𝑖𝑗,𝜏}_𝑖𝛽 + 𝑧_{𝑖𝑗,𝜏}′ _𝑖𝑏𝑖)], Cov[𝑌𝑖𝑗, 𝑌𝑖𝑘] = E𝑏𝑖,𝑆𝑖,𝜏𝑎,𝑖[Cov[(𝑌𝑖𝑗, 𝑌𝑖𝑘)|𝑏𝑖, 𝑆𝑖, 𝜏𝑎,𝑖]]

+ Cov𝑏𝑖,𝑆𝑖,𝜏𝑎,𝑖[E[𝑌𝑖𝑗|𝑏𝑖, 𝑆𝑖, 𝜏𝑎,𝑖], E[𝑌𝑖𝑘|𝑏𝑖, 𝑆𝑖, 𝜏𝑎,𝑖]]

= E[0] + Cov𝑏𝑖,𝑆𝑖,𝜏𝑎,𝑖[𝐾𝜇𝑖𝑗, 𝐾𝜇𝑖𝑘] = 𝐾2Cov𝑏𝑖,𝑆𝑖,𝜏𝑎,𝑖[𝑔 −1 (𝑥′_{𝑖𝑗,𝜏} 𝑖𝛽 + 𝑧 ′ 𝑖𝑗,𝜏𝑖𝑏𝑖), 𝑔 −1 (𝑥′_{𝑖𝑘,𝜏} 𝑖𝛽 + 𝑧 ′ 𝑖𝑘,𝜏𝑖𝑏𝑖)], ∀𝑗 ̸= 𝑘.

A associa¸cão entre escores em diferentes tempos será uma decorrência da distribui¸cão dos efeitos aleatórios 𝑏𝑖, 𝜏𝑎,𝑖, 𝑆𝑖, ∀𝑖, e das fun¸cões de liga¸cão 𝑔, ℎ escolhidas. Nos casos em que o método de

es-tima¸cão se der sob a perspectiva Bayesiana, as caracter´ısticas numéricas calculadas ainda dependerão da distribui¸cão a priori dos parâmetros envolvidos.

As fun¸cões de liga¸cão mais difundidas são a logito, logito(𝑝) = log(𝑝/(1 − 𝑝)) e a probito, probito(𝑝) = Φ−1(𝑝), em que Φ(·) denota a fun¸cão de distribui¸cão acumulada de uma variável aleatória Normal padrão. A primeira possui uma interpreta¸cão conveniente, pois a razão de chances entre as probabilidades 𝑝 e (1 − 𝑝) é facilmente derivada da expressão. Por outro lado, estas formas são pouco flex´ıveis caso os preditores [𝑥′_{𝑖𝑗,𝜏}

𝑖𝛽 + 𝑧

′

𝑖𝑗,𝜏𝑖𝑏𝑖] em (2.3.2) e [𝑤

′

𝑖𝜆] em (2.3.3) apresentem

assi-metria em termos de alguma covariável em 𝑥𝑖𝑗,𝜏𝑖 ou 𝑧𝑖𝑗,𝜏𝑖. Fun¸cões de liga¸cão simétricas e assimétricas

tradicionais s˜ao apresentadas na Tabela 2.1.

Tabela 2.1: Fun¸cões de liga¸cão comuns para regressão com dados binários.

Nome Express˜ao 1o _Quartil _Mediana ₃o _Quartil

Logito 𝑔(𝑥) = log(︀𝑥/(1 − 𝑥))︀ -1,099 0,000 1,099

Probito 𝑔(𝑥) = Φ−1(𝑥) -0,674 0,000 0,674

Log-Log complementar 𝑔(𝑥) = log(−log(1 − 𝑥)) -1,246 -0,367 0,327 Reversa Log-Log complementar 𝑔(𝑥) = −log(−log(𝑥)) -0,327 0,367 1,246

2.3.1 Verossimilhan¸

ca para o modelo proposto

De acordo com a representa¸cão hierárquica em (2.3.1)-(2.3.3) e as suposi¸cões delineadas na Se¸cão 2.3, a fun¸cão densidade conjunta das variáveis respostas 𝑦𝑖 = (𝑦𝑖1, . . . , 𝑦𝑖𝑛𝑖) de um indiv´ıduo é obtida

(27)

com base na aplica¸c˜ao sucessiva do Teorema da Multiplica¸c˜ao: 𝑓 (𝑦𝑖, 𝑏𝑖, 𝜏𝑎,𝑖, 𝑆𝑖) = 𝑓 (𝑦𝑖|𝑏𝑖, 𝜏𝑎,𝑖, 𝑆𝑖)𝑓 (𝑏𝑖|𝜏𝑎,𝑖, 𝑆𝑖)𝑓 (𝜏𝑎,𝑖|𝑆𝑖)𝑓 (𝑆𝑖) 𝑖𝑛𝑑 = [︂ 𝑛𝑖 ∏︁ 𝑗=1 𝑓 (𝑦𝑖𝑗|𝑏𝑖, 𝜏𝑎,𝑖, 𝑆𝑖) ]︂ 𝑓 (𝑏𝑖)𝑓 (𝜏𝑎,𝑖)𝑓 (𝑆𝑖). Seja 𝜃 = (𝛽′, 𝜆′, vec(D)′, 𝜇𝜏, 𝜎𝜏2, 𝜑)

′ _{o vetor de par^}_{ametros associados ao modelo. Assim, a fun¸c˜}_ao

densidade marginal dos escores alcan¸cados por um indiv´ıduo e a verossimilhan¸ca s˜ao dados por:

𝑓 (𝑦𝑖) = ∫︁ ∫︁ 𝐴 1 ∑︁ 𝑆𝑖=0 [︂ 𝑛𝑖 ∏︁ 𝑗=1 𝑓 (𝑦𝑖𝑗|𝑏𝑖, 𝜏𝑎,𝑖, 𝑆𝑖) ]︂ 𝑓 (𝑏𝑖)𝑓 (𝜏𝑎,𝑖)𝑓 (𝑆𝑖) d𝑏𝑖d𝜏𝑎,𝑖, 𝐿(𝜃|𝑦) = 𝑁 ∏︁ 𝑖=1 [︃ ∫︁ ∫︁ 𝐴 1 ∑︁ 𝑆𝑖=0 [︂ 𝑛𝑖 ∏︁ 𝑗=1 𝑓 (𝑦𝑖𝑗|𝑏𝑖, 𝜏𝑎,𝑖, 𝑆𝑖) ]︂ 𝑓 (𝑏𝑖)𝑓 (𝜏𝑎,𝑖)𝑓 (𝑆𝑖) d𝑏𝑖d𝜏𝑎,𝑖 ]︃ , (2.3.4) ∀𝑖 ∈ {1, . . . , 𝑁 }, em que 𝐴 = T × R𝑞𝑏_.

Em modelos de regressão com efeitos aleatórios, é recorrente a dificuldade de se trabalhar com a distribui¸cão marginal das variáveis resposta, visto que necessitam do cálculo de integrais para sua obten¸cão Pinheiro and Bates (1995). Portanto, é conveniente calcular a chamada verossimilhan¸ca completa (ou aumentada), como em Little and Rubin (1983), Tan et al. (2009). Métodos de es-tima¸cão como o Algoritmo EM (Expectation-Maximization) e suas varia¸cões Dempster et al.(1977),

Delyon et al. (1999) ou em infer^encia Bayesiana Gelman et al. (2014) se utilizam fortemente da

verossimilhan¸ca completa.

Considere Ω = (𝑦′, 𝑏′, 𝜏_𝑎′, 𝑆′)′ o vetor de observa¸cões aumentado. As verossimilhan¸cas completas para as duas postula¸cões da variável resposta condicional 𝑌𝑖𝑗|𝑏𝑖, 𝜏𝑎,𝑖, 𝑆𝑖 são como se segue:

Caso 𝑌𝑖𝑗|𝑏𝑖, 𝜏𝑎,𝑖, 𝑆𝑖 𝑖𝑛𝑑

∼ Binomial(𝐾, 𝜇𝑖𝑗), o vetor de par^ametros ´e reduzido a 𝜃 = (𝛽′, 𝜆′, vec(D)′, 𝜇𝜏, 𝜎𝜏2) ′

e tem-se a seguinte verossimilhan¸ca completa:

𝐿𝑐(𝜃|Ω) = 𝑁 ∏︁ 𝑖=1 [︃ [︂ 𝑛𝑖 ∏︁ 𝑗=1 𝑓 (𝑦𝑖𝑗|𝑏𝑖, 𝜏𝑎,𝑖, 𝑆𝑖) ]︂ 𝑓 (𝑏𝑖)𝑓 (𝜏𝑎,𝑖)𝑓 (𝑆𝑖) ]︃ = 𝑁 ∏︁ 𝑖=1 [︃ [︂ 𝑛𝑖 ∏︁ 𝑗=1 (︂ 𝐾 𝑦𝑖𝑗 )︂ 𝜇𝑦𝑖𝑗 𝑖𝑗 (1 − 𝜇𝑖𝑗)𝐾−𝑦𝑖𝑗 ]︂ × (2𝜋)−𝑞𝑏/2_|D|−1/2_exp {︂ − 1 2𝑏 ′ 𝑖D −1 𝑏𝑖 }︂ × 𝑝𝑆𝑖 𝑖 (1 − 𝑝𝑖)1−𝑆𝑖 × (2𝜋𝜎2 𝜏) −1/2 exp{︁− 1 2𝜎2 𝜏 (𝜏𝑎,𝑖− 𝜇𝜏)2 }︁ [P(𝜏𝑎,𝑖 ∈ T)]−1 ]︃ = 𝑁 ∏︁ 𝑖=1 [︃ [︂ 𝑛𝑖 ∏︁ 𝑗=1 (︂ 𝐾 𝑦𝑖𝑗 )︂(︂ 𝑔−1(𝑥′_{𝑖𝑗,𝜏}_𝑖𝛽 + 𝑧_{𝑖𝑗,𝜏}′ _𝑖𝑏𝑖) )︂𝑦𝑖𝑗(︂ 1 − 𝑔−1(𝑥′_{𝑖𝑗,𝜏}_𝑖𝛽 + 𝑧_{𝑖𝑗,𝜏}′ _𝑖𝑏𝑖) )︂𝐾−𝑦𝑖𝑗]︂ × (2𝜋)−𝑞𝑏/2_|D|−1/2_exp {︂ − 1 2𝑏 ′ 𝑖D −1 𝑏𝑖 }︂ ×[︀ℎ−1 (𝑤_𝑖′𝜆)]︀𝑆𝑖[︀1 − ℎ−1(𝑤′_𝑖𝜆)]︀1−𝑆𝑖

(28)

× (2𝜋𝜎2 𝜏) −1/2 exp{︁− 1 2𝜎2 𝜏 (𝜏𝑎,𝑖− 𝜇𝜏)2 }︁ [P(𝜏𝑎,𝑖 ∈ T)]−1 ]︃ . Caso 𝑌𝑖𝑗|𝑏𝑖, 𝜏𝑎,𝑖, 𝑆𝑖 𝑖𝑛𝑑 ∼ Beta-Binomial(𝐾, 𝜑𝜇𝑖𝑗, 𝜑(1 − 𝜇𝑖𝑗)), 𝜃 = (𝛽′, 𝜆′, vec(D)′, 𝜇𝜏, 𝜎𝜏2, 𝜑) ′ _{e tem-se} 𝐿𝑐(𝜃|Ω) = 𝑁 ∏︁ 𝑖=1 [︃ [︂ 𝑛𝑖 ∏︁ 𝑗=1 𝑓 (𝑦𝑖𝑗|𝑏𝑖, 𝜏𝑎,𝑖, 𝑆𝑖) ]︂ 𝑓 (𝑏𝑖)𝑓 (𝜏𝑎,𝑖)𝑓 (𝑆𝑖) ]︃ = 𝑁 ∏︁ 𝑖=1 [︃ [︂ 𝑛𝑖 ∏︁ 𝑗=1 (︂ 𝐾 𝑦𝑖𝑗 )︂ B[︀𝑦𝑖𝑗 + 𝜑𝜇𝑖𝑗, 𝐾 − 𝑦𝑖𝑗 + 𝜑(1 − 𝜇𝑖𝑗) ]︀ B[︀𝜑𝜇𝑖𝑗, 𝜑(1 − 𝜇𝑖𝑗) ]︀ ]︂ × (2𝜋)−𝑞𝑏/2_|D|−1/2_exp {︂ −1 2𝑏 ′ 𝑖D −1 𝑏𝑖 }︂ × 𝑝𝑆𝑖 𝑖 (1 − 𝑝𝑖)1−𝑆𝑖× (2𝜋𝜎2𝜏) −1/2 exp {︁ − 1 2𝜎2 𝜏 (𝜏𝑎,𝑖− 𝜇𝜏)2 }︁ [P(𝜏𝑎,𝑖∈ T)]−1 ]︃ = 𝑁 ∏︁ 𝑖=1 [︃ [︂ 𝑛𝑖 ∏︁ 𝑗=1 (︂ 𝐾 𝑦𝑖𝑗 )︂B[︀𝑦 𝑖𝑗 + 𝜑𝑔−1(𝑥′𝑖𝑗,𝜏𝑖𝛽 + 𝑧 ′ 𝑖𝑗,𝜏𝑖𝑏𝑖), 𝐾 − 𝑦𝑖𝑗 + 𝜑(1 − 𝑔 −1_(𝑥′ 𝑖𝑗,𝜏𝑖𝛽 + 𝑧 ′ 𝑖𝑗,𝜏𝑖𝑏𝑖)) ]︀ B[︀𝜑𝑔−1_(𝑥′ 𝑖𝑗,𝜏𝑖𝛽 + 𝑧 ′ 𝑖𝑗,𝜏𝑖𝑏𝑖), 𝜑(1 − 𝑔 −1_(𝑥′ 𝑖𝑗,𝜏𝑖𝛽 + 𝑧 ′ 𝑖𝑗,𝜏𝑖𝑏𝑖)) ]︀ ]︂ × (2𝜋)−𝑞𝑏/2_|D|−1/2_exp {︂ − 1 2𝑏 ′ 𝑖D −1 𝑏𝑖 }︂ ×[︀ℎ−1 (𝑤_𝑖′𝜆)]︀𝑆𝑖_{[︀1 − ℎ}−1 (𝑤′_𝑖𝜆)]︀1−𝑆𝑖 × (2𝜋𝜎_𝜏2)−1/2exp {︁ − 1 2𝜎2 𝜏 (𝜏𝑎,𝑖− 𝜇𝜏)2 }︁ [P(𝜏𝑎,𝑖 ∈ T)]−1 ]︃ . (2.3.5)

(29)

Cap´ıtulo 3

M´

etodo de Estima¸

c˜

ao

No presente trabalho, as escolhas por delinear o modelo para análise dos escores de habilidade cognitiva com grupos latentes, efeitos aleatórios tanto para a média como para os pontos de quebra tornam a verossimilhan¸ca em (2.3.4) de dif´ıcil manuseio. Isto se dá pelas integrais e somatório inerentes ao cálculo das densidades marginais 𝑓 (𝑦1), . . . , 𝑓 (𝑦𝑁). Optou-se, portanto, pelos métodos

Bayesianos de estima¸c˜ao dos par^ametros, os quais carregam vantagens explicadas no decorrer deste cap´ıtulo.

A inferência Bayesiana tem como princ´ıpio uma formula¸cão inteiramente probabil´ıstica para a variável resposta e os parâmetros de interesseBox and Tiao(2011). As vantagens destes procedimen-tos de estima¸cão vêm tanto de um ponto de vista prático como teórico. Os algoritmos de estima¸cão são baseados na combina¸cão de informa¸cão do pesquisador/usuário (com as distribui¸cões a priori dos parâmetros, 𝜋(𝜃)), e a informa¸cão vinda dos dados coletados, pela fun¸cão de verossimilhan¸ca. Com isso, o objetivo é encontrar a forma da distribui¸cão a posteriori, 𝜋(𝜃|𝑦) Gilks et al. (1995).

No que diz respeito à especifica¸cão do fenômeno, a inferência Bayesiana permite que parâmetros de modelos complexos e com representa¸cões hierárquicas extensas sejam convenientemente estimados. Isto é feito ao transformar o paradigma de maximiza¸cão da fun¸cão de verossimilhan¸ca, em inferência clássica, para um de gera¸cão de (pseudo-) variáveis aleatórias Robert (2007). Assim, algoritmos de simula¸cão se fazem necessários para encontrar amostras da distribui¸cão a posteriori e extrair informa¸cão da estrutura delineada. Uma vez que amostras da distribui¸cão a posteriori dos parâmetros são obtidas, tanto as inferências como ferramentas de diagnóstico e medidas para compara¸cão de modelos Bayesianos são calculadas sem maiores problemas.

Além disso, para problemas que incluem efeitos aleatórios, o procedimento Bayesiano é bastante conveniente, pois evita o cálculo de integrais para a obten¸cão da distribui¸cão marginal dos dados. Nestes casos, trabalha-se com a estrutura de dados aumentados, como nos algoritmos EMDempster

et al. (1977) e suas extens˜oes.

(30)

Assim como suposi¸cões acerca das distribui¸cões a priori podem enriquecer as análises, elas também podem levar a conclusões errôneas: veja Alvarez et al. (2014), por exemplo, sobre a estima¸cão Bayesiana de matrizes de covariância. É sempre válido, também, checar a sensibilidade do modelo para diferentes postula¸cões da estrutura a priori dos parâmetrosBerger (1990).

3.1 Infer^

encia Bayesiana

Suponha que 𝑦 é um vetor de dados observados da distribui¸cão condicional 𝑌 |𝜃 ∼ 𝑓 (·|𝜃), e 𝜃 ∈ Θ ⊆ R𝑑é um vetor aleatório com distribui¸cão a priori 𝜃 ∼ 𝜋(·). Pelo Teorema de Bayes, temos que a distribui¸cão a posteriori de 𝜃 condicionada aos dados 𝑦, 𝜋(𝜃|𝑦), será resumida por

𝜋(𝜃|𝑦) = 𝑓 (𝜃, 𝑦) 𝑓 (𝑦) =

𝑓 (𝑦|𝜃)𝜋(𝜃)

𝑓 (𝑦) ∝ 𝑓 (𝑦|𝜃)𝜋(𝜃). (3.1.1)

O lado direito da rela¸cão (3.1.1) é o núcleo da distribui¸cão a posteriori 𝜋(𝜃|𝑦), e determina comple-tamente sua forma, visto que o denominador 𝑓 (𝑦) independe de 𝜃 (é, portanto, somente a constante de proporcionalidade da densidade).

Toda inferência sobre o parâmetro 𝜃 é feita com base na densidade 𝜋(𝜃|𝑦), agora que também considera informa¸cão baseada na amostra obtida. Em problemas de estima¸cão pontual, opta-se por encontrar um valor que represente melhor determinado parâmetro. Note que “representar melhor” aqui é um conceito subjetivo, e sempre deve ser entendido como um critério (com ou sem restri¸cões) sob o qual a estima¸cão das quantidades de interesse é feita. Por exemplo, no conhecido método de M´ınimos Quadrados para regressão linear simples homocedástica, o objetivo é encontrar os valores (𝛽0, 𝛽1)′ tais que a fun¸cão 𝑄(𝛽0, 𝛽1) =

∑︀

𝑖(𝑦𝑖− 𝛽0− 𝛽1𝑥𝑖)2 seja m´ınima.

Sem perda de generalidade, seja 𝜃 o par^ametro unidimensional com espa¸co param´_{etrico Θ ⊆ R,} 𝒟 ⊆ R𝑛 _{o suporte do vetor aleat´}_{orio 𝑌 e 𝛿}𝜋_{(𝑌 ) uma decis˜}_{ao para 𝜃, isto ´}_{e, um estimador desta}

quantidade. Todo procedimento de inferência Bayesiana deve ser embasado pela determina¸cão de três fatores:

1. a distribui¸c˜ao das observa¸c˜oes, 𝑓 (𝑦|𝜃);

2. a distribui¸c˜ao a priori do par^ametro, 𝜋(𝜃);

3. a fun¸cão de perda ℒ : Θ × 𝒟 ↦→ [0, +∞) associada à decisão 𝛿𝜋_.

Defini¸cão 3.1.1. O risco integrado é a fun¸cão 𝑟(𝜋, 𝛿) dada por

𝑟(𝜋, 𝛿) = ∫︁ Θ (︃ ∫︁ 𝒟 ℒ(𝜃, 𝛿(𝑦))𝑓 (𝑦|𝜃) d𝑦 )︃ 𝜋(𝜃) d𝜃.

(31)

Teorema 3.1.1 (Robert(2007)). Um estimador 𝛿𝜋 que minimiza a fun¸c˜ao de risco integrado pode ser obtido ao minimizar a perda esperada a posteriori ,

𝑔(𝜋, 𝛿𝜋(𝑦)|𝑦) = ∫︁

Θ

ℒ(𝜃, 𝛿𝜋_{(𝑦)) 𝜋(𝜃|𝑦) d𝜃,}

para cada 𝑦 ∈ 𝒟.

Prova do Teorema 3.1.1. Como ℒ(𝜃, 𝛿) ≥ 0, vale o Teorema de Fubini para trocar a ordem de inte-gra¸c˜ao, e 𝛿𝜋 = arg min 𝛿 ∫︁ ∫︁ Θ×𝒟 ℒ(𝜃, 𝛿(𝑦))𝑓 (𝑦|𝜃) d𝑦 𝜋(𝜃) d𝜃 = arg min 𝛿 ∫︁ ∫︁ 𝒟×Θ ℒ(𝜃, 𝛿(𝑦))𝑓 (𝑦|𝜃)𝜋(𝜃) 𝑓 (𝑦) 𝑓 (𝑦) d𝜃 d𝑦 = arg min 𝛿 ∫︁ 𝒟 𝑔(𝜋, 𝛿(𝑦)|𝑦)𝑓 (𝑦) d𝑦 = arg min 𝛿 𝑔(𝜋, 𝛿(𝑦)|𝑦), para cada 𝑦 ∈ 𝒟,

Assim, diz-se que 𝛿𝜋 _{encontrado pela minimiza¸c˜}_{ao da fun¸}_c˜_{ao de perda esperada a posteriori}

é um estimador de Bayes, sob fun¸cão de perda L e a priori 𝜋(·). De agora em diante, utilizaremos simplesmente a nota¸cão ^𝜃 para denotar estimadores Bayesianos do parâmetro 𝜃. As fun¸cões de perda mais usuais e seus respectivos estimadores são listadas na Tabela 3.1:

Tabela 3.1: Fun¸c˜oes de perdas usuais e os respectivos estimadores Bayesianos encontrados pela minimiza¸c˜ao em (3.1.1).

Nome Express˜ao Estimador associado

Perda Absoluta ℒ(𝜃, 𝛿) = |𝜃 − 𝛿| 𝜃 = mediana{︀𝜋(𝜃|𝑦)}︀^ Perda Quadr´atica ℒ(𝜃, 𝛿) = (𝜃 − 𝛿)2 _{𝜃 = E[𝜃|𝑦]}_^

Perda 0-1 ℒ(𝜃, 𝛿) = {︃ 0, se 𝜃 = 𝛿 1, se 𝜃 ̸= 𝛿 ^ 𝜃 = moda{︀𝜋(𝜃|𝑦)}︀ Perda Multilinear ℒ𝑘1,𝑘2(𝜃, 𝛿) = {︃ 𝑘1(𝛿 − 𝜃), se 𝜃 ≤ 𝛿 𝑘2(𝜃 − 𝛿), se 𝜃 > 𝛿 ^ 𝜃 ´e o 𝑘2 𝑘1+𝑘2-´esimo quantil de 𝜋(𝜃|𝑦)

Na prática, a distribui¸cão 𝜋(𝜃|𝑦) é dificilmente obtida de maneira expl´ıcita. A solu¸cão para en-contrar os estimadores do vetor 𝜃 é conseguir uma amostra da densidade a posteriori, por métodos de simula¸cão de variáveis aleatóriasGelman et al. (2014). Ainda assim, em casos multiparamétricos,

(32)

nem sempre o núcleo de 𝜋(𝜃|𝑦) é de alguma distribui¸cão completamente conhecida. Uma das es-tratégias poss´ıveis é então obter amostras via simula¸cão das chamadas distribui¸cões condicionais completas, que nada mais são do que a cole¸cão de densidades {𝜋(𝜃𝑘|𝑦, 𝜃−𝑘); ∀𝑘 ∈ {1, . . . , 𝑑}}, em

que 𝜃−𝑘 = (𝜃1, . . . , 𝜃𝑘−1, 𝜃𝑘+1, . . . , 𝜃𝑑)′. Esta t´ecnica pertence aos conhecidos algoritmos Markov Chain

Monte Carlo - MCMC Gilks et al.(1995).

Desde que o suporte da densidade 𝜋(𝜃|𝑦) seja o produto cartesiano dos suportes das condicionais completas {𝜋(𝜃𝑘|𝑦, 𝜃−𝑘); ∀𝑘 ∈ {1, . . . , 𝑑}}, as cadeias de amostras das condicionais completas geradas

via MCMC são ergódicas Robert (2007). Cuidados adicionais devem ser tomados para eliminar a dependência das cadeias de cada parâmetro: escolher uma amostra gerada a cada 𝑙 valores e eliminar as 𝐵 primeiras simula¸cões, para desconsiderar o efeito dos valores iniciais. Assim, conforme o número de simula¸cões cresce, espera-se que as amostras obtidas sejam representativas da distribui¸cão estacionária 𝜋(𝜃|𝑦). Os cálculos das estimativas Bayesianas são feitos com base nas versões amostrais das estat´ısticas mostradas na Tabela 3.1.

3.1.1 Algoritmos de simula¸

c˜

ao

Ferramentas tradicionais para encontrar estimativas Bayesianas se baseiam em conceitos de inte-gra¸cão numérica, aproxima¸cão anal´ıtica de Laplace ou métodos de Monte Carlo para calcular inte-grais da distribui¸cão a posteriori Robert(2004). Por exemplo, supondo fun¸cão de perda quadrática, o estimador de 𝜃 é dado por:

^

𝜃 = E[𝜃|𝑦] = ∫︁

𝜃 𝜋(𝜃|𝑦) d𝜃 = ∫︀ 𝜃𝑓 (𝑦|𝜃)𝜋(𝜃) d𝜃

∫︀ 𝑓 (𝑦|𝜃)𝜋(𝜃) d𝜃 . (3.1.2) Assim, ^𝜃 poderia ser estimado por quadraturas gaussianas ou gerando uma amostra 𝜃(1), . . . , 𝜃(𝑀 ) da distribui¸c˜ao a priori 𝜋(𝜃) e aproximando (3.1.2) por ^𝜃 ≈ 𝐴

𝐵, 𝐵 > 0, com 𝐴 = 1 𝑀 𝑀 ∑︁ 𝑘=1 𝜃(𝑘)𝑓 (𝑦|𝜃(𝑘))−→𝑞.𝑐. ∫︁ 𝜃𝑓 (𝑦|𝜃)𝜋(𝜃) d𝜃, (3.1.3) 𝐵 = 1 𝑀 𝑀 ∑︁ 𝑘=1 𝑓 (𝑦|𝜃(𝑘))−→𝑞.𝑐. ∫︁ 𝑓 (𝑦|𝜃)𝜋(𝜃) d𝜃, (3.1.4)

visto que _𝐵𝐴 −→ E[𝜃|𝑦]. Este resultado é decorrente das propriedades de convergência quase certa,𝑞.𝑐. juntamente com (3.1.3) e (3.1.4). Esta abordagem torna-se menos acurada à medida que a dimensão do espa¸co paramétrico cresce. Além disso, a inferência acerca destes estimadores não é feita de maneira direta.

Com o avan¸co das capacidades de processamento e armazenamento de informa¸cão dos computa-dores na década de 1990, os algoritmos MCMC tornaram-se mais vantajosos em rela¸cão aos métodos Monte Carlo tradicionais. Eles são, em princ´ıpio, amplamente aplicáveis a problemas de inferência

(33)

Bayesiana e trabalham melhor com espa¸cos param´etricos de alta dimens˜ao.

Os algoritmos MCMC baseiam-se na constru¸cão de cadeias de Markov dos parâmetros, de forma que sua distribui¸cão estacionária seja a densidade de interesse 𝜋(𝜃|𝑦). Como o número de simula¸cões para que a estacionariedade e não correla¸cão das cadeias seja atingida pode ser grande, estes métodos têm um custo computacional alto. Dentro desta categoria de algoritmos, encontram-se os conhecidos métodos de simula¸cão Amostrador de Gibbs Casella and George (1992) e Metropolis-Hastings

Has-tings (1970). É poss´ıvel ainda combinar técnicas de simula¸cão como o Slice Sampling Neal (1997)

ou o método de Aceita¸cão-Rejei¸cão Devroye (1986) dentro do Amostrador de Gibbs, por exemplo.

Amostrador de Gibbs

O Amostrador de Gibbs, às vezes chamado de amostragem condicional alternada, é uma ferra-menta importante e muito utilizada quando o parâmetro de interesse 𝜃 é multidimensional. Considere ainda a estrutura 𝜃 ∈ Θ ⊆ R𝑑. O algoritmo em questão faz uso das distribui¸cões condicionais com-pletas, definidas na Se¸cão 3.1, e o procedimento é descrito no Algoritmo B.2.

Caso as condicionais completas tenham a forma de distribui¸cões conhecidas, opera-se com métodos de simula¸cão de variáveis aleatórias tradicionais, como o Método da Inversão, o Método da Aceita¸c˜ ao-Rejei¸cão, Método da Composi¸cão ou Método da Representa¸cão Estocástica, para explica¸cão e exem-plos, vejaTan et al. (2009).

Por outro lado, se para pelo menos um 𝑘, a distribui¸c˜ao 𝜋(𝜃𝑘|𝜃−𝑘) n˜ao tiver forma conhecida,

deve-se simular desta(s) variável(is) aleatória(s) com outros métodos, como os que seguem.

Metropolis-Hastings

Suponha que queiramos simular uma variável aleatória da densidade ℎ(·), de suporte ℋ. Escolhe-se uma densidade auxiliar 𝑔 : ℋ ↦→ [0, +∞), da qual Escolhe-se sabe gerar valores aleatórios. Sob o algoritmo de Metropolis-Hastings, ℎ é vista como a distribui¸cão estacionária de um processo aleatório Markovi-ano. Assim, seus valores são gerados através de uma cadeia de Markov e, de acordo com um critério das condi¸cões de balan¸co, estes valores podem ou não ser aceitos, segundo o esquema do Algoritmo B.1.

Note que da maneira como se define a probabilidade de aceita¸cão, 𝑎, é suficiente saber o núcleo da densidade objetivo ℎ para que o algoritmo funcione. Uma desvantagem desta ferramenta é a arbitrariedade na escolha da fun¸cão 𝑔, visto que ela interfere na taxa de aceita¸cão e define, então, a velocidade/eficácia do procedimento Chib and Greenberg (1995).