Vamos considerar primeiro um sistema com um grau de liberdade com amortecimento viscoso, excitado por uma força harmônica Fo sen wt, conforme indicado na Fig 3.2-1.

L~.:~

A sua equação diferencial de movimento é a seguinte, deduzida do diagrama do corpo-livre:

A solução desta equação consiste de duas partes, a função complementar, que é a solução da equação homogênea, e a íntegral particular. A função complementar, neste caso,

é

uma vibração livre amortecida que foi discutida no Capítulo 2.

A solução particular para a equação acima

é

uma oscilação de estado perma. nente da mesma freqüência €.o) que ade excitação. Podemos supor que a solução particular seja da forma

cúJ

tg

q; =

T

JnúJ'

l--k-

As equações acima podem ainda ser expressas em termos das seguintes quan- tidades

úJn ~c, ~ == Freqüência natural de oscilação não-amortecida

onde

X

é a amplitude de oscilaçã"o e lfJ é a fase do deslocamento, com relaçã"o

ã

força de excitaçã"o.

Para se ter os valores da amplitude e da fase, substitui.se

x

na Eq. (3.2-1) pelo seu valor na Eq. (3.2-2). Lembrando-se que no movimento harmônico as fases da velocidade e da aceleraçã"o estiro

90°

e 180° além do deslocamento, respectiva. mente, os termos da equação diferencial podem também ser apresentados graficamen- te, como na Fig.3.2-2.

, ,~ ~ == Fração ou fator de amortecimento

c,

As expressões não-dimensionais para a amplitude e a fase tornam-se então

Xk •

I

F

o ~,c

_{-V I}

Ir[-- (úJ)

2J' ['.(

úJ

)J'

I ~

úJn

-I- 2(

úJn

Figura 3.2-2. Diagrama vetorial para a vibração forçada com amortecimento.

Este diagrama permite concluir-se facilmente que

X- . Fo

- ::J(k -

JnW')2

+(cúJ)'

Essas equações indicam que a amplitude não-dimensional

XkjF

o e a fase 1>. são funçõcs somente da razão de frc9üências

w/w

n e do fator de amortecimento ~ e podem ser represcntadas graficamente, como indica II Fig. 3.2-3. Essas curvas mos- 'tram que o fator de amortecimen to tem uma grande iiJiluência na amplitude e no ângulo dc fase, na zona de freqüências próximas

à

ressonância. Pode-se obter melhor compreensão do comportamento do sistema, pelo estudo do diagrama dé forças correspondendo

à

Fig. 3.2-3, nas zonas onde

w/w

n é peq~ena,

w/w

lI == I e

w/w

ll

é

grande.

Vamos expressar agora as Eqs. (3.2.3) e (3.2-4) em forma não-dínlCnsional, o que permite uma apresentação grática concisa desses resultados. Dividindo por

k o numerador e o denominador das Eqs.(3.2-3) e (3.2-4), obtemos

48

Para valores grandes de

w/w

n muito maiores que um, c/J aproxima·se de 1800 e a força aplicada é gasta quase que inteiramente para vencer a grande força

de inércia, conforme se observa na Fig. 3.2-4c .

Resumindo, a equação diferencial e a sua solução completa são expressas da seguintc forma, incluindo o termo transiente:

."

- 0,05 .;:: 0,10 ~ 90° I o 0,15

r

c

~o I ~=- " 0,25 c,'-<

I

0,375 ~senWI

m

2 3 4 5 Razão de freqüência W wn Fo sen(WI-rP)

TJl1 ---(;YTI

[2t;:J

!

X1c-c"''''sen("/I

--/;"w,./

+

rPI)

-+

I

°

1,0 2,0 3,0 4,0 5,0 . w Razão de freqüências - Wn Figura 3.2·3. Gráfico relativo às Hqs, (3.2.7) p (3.2·8).

o

desbalanceamento em m.íquinas· rotativas é uma fonte comum de excitação vibra· tória. Consideramos aqui um sistema mola·massa obrigado a se mover na direção vertical e excitado por uma máquina rotativa que está desbalanceuda, conforme a Fig. 3.3-1. O desbalanceamento é representado por uma massa excêntrica III com excentricidade c, que está girando com a velocidade angular

w .

Tanto a inércia como as forças de amortecimento são pequenas para valores de

. w/w

n muito menores que um, Jo que resulta um pequeno ângulo de fase

c/J.

A magnitude da força aplicada é então aproximadamente igual

à

força da mola, como se observa na Fig. 3.2-4a.

Para

w/w

n '" I

,O,

o ângulo de fase é 900 e o diagrama de forças apresen·

ta·se como na Fig. 3.2-4b. A força de inércia, que é maior agora, é equilibrada pela força da mola, ao passo que a força aplicada supera a força de amortecimento. O valor da amplitude na ressonância, tanto se pode obter pcla Eq. (3.2-5) ou a Eq. (3.2.7), ou pela Fig. 3.2-4b, e tem a seguinte expressão:

X = Fo. --

J:<L

('ú.>" -

2(k

Figura 3.3·1. Força Jiannônica pcrturbadora remitante de deshalanceamcnlo ro/ativo.

Sendo

x

o deslocamento da posição de equilibrio ~stático da massa que não gira

, {J2

(M -

111)3.:

-I-

111-/

,(x -I- (' senWI)

{/o

x

=

mewz

,.j(k -

MwZ)Z

+-

(cw)O

apresentadas graficamente na Fig. 3.3·2. A equação seguinte dá a solução completa

.\"(1)

-=

X

1(' ;"'-'sen(

"í .- ('

w,/

+

rP1"J

+- -~"~'~~~~~:

..==sen(o){

...

1;) (3.3-6)

, U;·-

Mw')'

+

(cw)'

É pois evidenté que a equação aci~a

é

idêntica à Eq. (3.2-1). onde

1"0

está subs. tituída por

mew

2, e, nestas condições, a solução do estado permanente da seção

anterior pode ser substituída por .

Exemplo 3.3-1

Um peso excitador, formado de peças excêntricas que giram em sentidos con- trários, é utilizado para produzir oscilação forçada em massa suportada por molas, como se observa na Fig. 3.3-3.

-<>

~

<S ~ 90· --'0'0 o "3

~

,~

2.0

~I~

1.0 2.0 3.0 4.0 5.0

Raz50 de ffeq üências ~

wlI

Foi registrada uma amplitude ressonante de 0,60 pol, com a variação da velocidade de rotação. Quando se aumentou a velocidade de rotaçáo muito além da freqüência de ressonância, notou·sc que a amplitude se aproximava de um valor lixo de 0,08 pol. Calcular o fator de amortecimento do sistema.

.11

.r -- ,.,. '"

0.60 pol

-<,

Quando

w

é muito maior que

w

lI' a mesma equação se transforma

.

em //1('

:tI" 0,08 pol 3.0

R'1Z.io de freqüências -~~

wn

Figura 3.3-2. Gráfico das equações (3.3.4) e (J.f5) para () caso de l'ihrara"o

forçada com úesbalanceamento rotativo.

o.o~.= O 0666

Mostramos' que uma massa

m

situada

à

distância radial

e

do eixo de rotação resulta numa força centrífuga.

mew

2• Tais forças provocam o desbalanceamento. ,que será estático ou dinâmico, confQnne a sua distribuição no rotor.

Desbalanceamento estático. Quando as massas desb,t1anceadas estão todas elas num mesmo plano, como no caso de um disco rotor fino, o desbalanceamento resultante é uma única força radial. Confonne se observa na Fig. 3.3-4, pode:se constatar este desbalanceamento por meio de um teste estático, no qual o conjunto roda-eixo é colocado sobre um par de trilhos horizontais. A roda gira então para uma posição onde o ponto pesado fica diretamente abaixo do eixo. Tal desbalanceamento

é

denominado de estático, pela razão de não ser necess,írio fazer girar a roda para descobri·lo.

Via de regra, um rotor longo tal como o induzido de um motor ou o eixo de manivela de um automóvel é considerado como uma série de discos finos, cada um com algum desbalanceamento.

É

necessário fazer girar tais rotores a fim de se de- tectar o desbalaneeamento. Há máquinas para detectar e corrigir o desbaJanceamen- to. Essencialmente, essas l;:!áquinas consistem de mancais de apoio mont~~o~~ molas cujo movimento revela o desbalanceamento, como indica a Fig. 3.3-6. Co· nhecendo-se a amplitude de cada mancal ea su;-fase relativa, é possível d~le~;;:;;~:;e o desbalanceamento do rotor e corrigi-Io.

Embora um disco fino seja balanceado estaticamente, o mesmo resultado se obtém dinamicamente. Neste. sentido, expomos um teste que se faz sim- plesmente.

O disco é apoiado sobre mancais contidos por molas que se movem hori- zontalmente, como indica a Fig. 3.3·7.

~'---~.""

Desbalanceamento dinâmico. Quando odesbalanceamento se apresenta em mais de um plano, a conseqüência é uma força e um momento oscilante referido como desbalanceamento dinâmico. Como vimos antes, podemos encontrar a força resul- tante por meio de um teste estático, mas o momento oscilante só é detectado com a rotação do motor. Por exemplo, consideremos um eixo com dois discos, conforme a Fig.3.3.5. Se as duas massas não-balanceadas são iguais e defasadas de 180°, o rotor cstari baJanceado estaticamente em relação ao eixo. Entretanto, quando o rotor está girando, cada disco não-balanceado desenvolve uma força centrífuga rotativa, cuja tendência é fazer o eixo oscilar nos seus mancais.

, Girando a qualquer velocidade predetenninada, anotam·se a amplitude

Xo

e a posição

"a"

da roda na excursão máxima. Um acclerômetro no mal~cal e um estroboscópio podem ser usados para esta observação. A amplitude X

o,

devido ao desbalanceamento original IVo, é desenhada na escala sobre a roda na direção de o para

a.

Em seguida, um peso de ensaIO IVI é adicionado cm qualquer ponto da roda e o processo

é

repetido na mcsma velocidade. A nova amplitude

XI

e a posição

"b"

da foda, que resultam do desbalanceamellto originaJ Wo e do peso de ensaio IV;, são representados pelo'vetor

ob. O

vetor diferença

ab é

então o efeito do peso de ensaio IV, somente. Se a posição de IVI

é

agora avançada do ângulo ljJ indicado no diagrama vetorial, e se a magnitude de

IVI

é

aumentada de IVI

(oa/ab),

o vetor.ab torllar-se-á igual e oposto ao vetor

oa.

A roda está agora balanceada, pois

XI

é

zero.

T

H:

1

lit

LJ

r

Rolor Exemplo 3.3-3

Faz·se o balanceamento de!Jm rotor longo pela adição ou remoção de pesos corretivos em dois quaisquer planos paralelos. Geralmente se faz a correção

55

Figura 3.3·5. Sistema com desbalallceamento Figura 3.3-6. Máquilla de ba/allceamcllto

abrindo furos nos dois planos extremos, isto é, cada força de inércia radial

mew

2 é substituída por duas forças paralelas, uma em cada plano extremo. Agindo-se de fomla semelhante com várias massas não-balanceadas, obtém-se a correção desejada pela resultante das forças nos dois planos extremos.

Os eixos rotativos apresentam a tendência a curvar quando atingem certas velocidades e de girar de um modo complicado. "Whirling" é definido como a rotação do plano formado pelo eixo curvado c a reta que passa

pelos

centros dos mancais. As causas do fenômeno são várias, tais como o desequil íbrio de massa, o amortecimento de his- terese no eixo, forças giroscópicas, a trilo dos fluidos nos mancais etc. O "whirling" pode acontecer na mesma ou na direção oposta

à

rotação do eixo. Quanto

à

sua velocidade, tan to pode ser igual como diversa da do eixo.

O assunto "whirling" de eixos é um tema sutil e o seu movimento, de um modo geral, está sob a classificação de au to-excitado, no qual as forças excitadoras que o. induzem são co.ntroladas por cle próprio. A apreciação de um modo geral do movi- mento "whirling" de eixo está além do objetivo deste texto. lndicamos aos interes- sados um excelente trabalho quc trata do assunto, de autoria de Edgar

l.

Gunter, lr.

**

.Apreciaremos nesta seç:To

o

caso mais simples de rotação slÍzcrona, em que a velocidade de rotaç:To. do cixo é idêntica

à

de "whirling". Neste propósito, vamos supor um sistema ideal formado de um disco de massa

m,

montado simetricamente num eixo suportado por dois mancais, conforme a Fig. 3.4-1. O centro

G

da

Figura J.J~8. Correção do c1es!Ja/anceamcnto de UIllrotor longo em dois planos eXlremós.

Consideremos o balanceamento de um rotor longo de 4 paI, representado na Fig. 3.3-S. Ele tem um desbalanceamento de 3 oz/pol em um plano a I paI da extremidade esquerda e um de 2 oz/pol no plano médio, deslocando angu- larmente de

90°

do primeiro.

O desbalanceamento de 3 oz/pol

é

equivalente a 2...L oz/pol na extrelllida-

. 4

de esquerda e 3/4 oz/pol na extremidade direita, como indicado. O de 20z/pol no meio é obviamente igual a I oz/pol nos extremos. Combinando os dois des- balanceamentos em cada extremo, as correções são:

I

B

I

=

tg-I -

=

24°

O' 110 sentido horário, a partir do plano

2,25

do primeiro desbalanceamento

B

-tg-I 1., -

53°

no sentido horário, a partir do pl.ano do

2 ~

m ~

primeiro desbalanceamen to

•• Edgar J. eUI1!cr, Jr., "Dy,mníc Stability or Rotor-lJearing SY$terns", NASA Sf'-J JJ, 1966, U. S. Government f'ríl1!il1g Offíce, Washington, D. C. 20402.

massa do disco ·está a uma distância radial

e

do seu centro gcométrico S. A reta que passa pelos centros dos mancais atravessa o plano do disco em

O,

e

OS

re· presenta a Oexão do centro do eixo. Neste caso de sincronismo,

O,

S e

e

per· manecem fIxos, cada um em relação ao outro, ao passo que o eixo e o disco giram a uma velocidade constante

w.

Com a posição do centro S do eixo defInida por

xs

e

Ys' as coordenadas do centro

e

de massa são (xs

+ ecos

wt)

e (ys

+ e

sen

wt).

Admitindo que o amortecimento viscoso seja proporcional

à

velocidade de S, são . as segui~tes as equações de movimento nas direções de

x

e

y

à velocidade crítica

w

ll =

.jffiii,

ou a freqüência natural do eixo em vibra:;,ro Ia. teral, encontramos uma condição de ressonância na qual a amplitude é contida apenas pelo amortecimento. A Fig. 3.4-2 mostra o sistema disco·eixo sob três condições diferentes de velocidade.

d'

III-,(X

1-

ecos úJl)

di' '

Em muitos casos o sistema dinâmico é excitado pelo movimento do ponto de supor. te, conforme indicado na Fig. 3.5-1. Chamamos de

y

o deslocamento harmônico do· ponto de suporte c medimos o deslocamento

x

da massa

m

a partir de uma referência fixa.

Na posição deslocada, as forças desbalanceadas são devidas ao amortecimento e às molas, c

a

equação diferencial do movimento torna·se

(/

,

,.

1Il-(Y

_di'

_,

+

esenúJl)'~ -f{l'.'.

_{- ,}

c)',

111.\',

+

c~,

+kx, ,~

lIleúJ'

cos

úJ/

IIlji, -I·C)i,

+k)',

'c., IIlcúJ' sen úJ/

Estas equações são similares

à

Eq. (3.3-1) e por inspeção podemos escrever a solução

meúJ' COS(úJI - rp) Xl =

,,/(k __-

l11(2)2 _1_

(CW)2

mew'sen(WI - rp) y, =-/(k --!I1CtJ'V-j (CúJ)'

r-":]

-;ir

I

k(x-y) lIlew'

OS ,~

r "

J

x;

-I

y;.

J(k:-

IIlw')21(cw» t

rp -_

CúJ g - k -- IIlW'

É

então evidente que a reta

se

=

e

está adiantadá de um ângulo de fase

ep

sobre o deslocamento da reta

OS

=

r,

ângulo este que depende da quantidade de amor- . tecimento e da velocidade de rotação w. Quando a velocidade de rotação wé igual

14-

/

"-

/

.

\

I G /

\

S

\ O \\''- .~ G /

s

que mostra estar o deslocamentq

x

defasado pelo ângulo

ep

do deslocamento y.

Levando estes valores na Eq. (3.5-2), obtemos

. Figura 3.4-2, Relaçaõ amplirude-fase em rotação s{llcro,lla

com amortecimento ~·iscoso. (3.5-4 )

A Fig. 3.6·1 mostra os elementos

essenciais de um instrumento

medidor de vibração.

No documento Teoria Da Vibração Com Aplicações (páginas 30-37)