2.3 Funções
2.3.5 Construção do Gráfico Cartesiano de uma Função
- ¾ 6 ? 0 1 2 3 −1 −2 −3 x −x 1 2 3 y −1 −2 −y
Figura 2.8: Plano cartesiano Um sistema de coordenadas cartesianas consiste em
um par de retas de números reais as quais se intercep- tam formando ângulo reto como mostra a Figura (2.8); a reta horizontal é chamado “eixo-x” ou “eixo das ab-
scissas” e a reta vertical é chamada de “eixo-y” ou “eixo das ordenadas”.
Para construir o gráfico de uma função y = f (x), basta atribuir valores do domínio à variável x e, usando a sentença matemática que define a função, calcular os correspondentes valores para y = f (x). Por exemplo, se desejamos construir o gráfico da função definia por
y = 2x − 1. Primeiro observe que o domínio são todos
os números reais, logo podemos considerar x = 2, x = 4, x = 6, x = 8, e assim calculamos os respectivos valores para y, como indica a tabela:
Identificamos os pontos encontrados no plano cartesiano como mostra a Figura (2.9). O gráfico da função será uma reta que passará pelos quatro pontos encontrados. Basta traçar a reta, e o gráfico estará construído.
- ¾ 6 ? ££ ££ ££ ££ £££ −1 0, 5 x −x y −y x 2 4 6 8 10 11 y 3 7 11 15 19 21 Figura 2.9:
Para desenhar o gráfico de uma reta são necessários apenas dois pontos. No exemplo acima escolhemos 6 pontos, em verdade é suficiente escolher dois elementos do domínio, encontrar suas imagens, e logo após traçar a reta que passa por esses dois pontos.
Segundo a Definição (2.6), toda função f : A −→ B , tem como domínio D(f ) = A; porém quando dizemos que temos uma função de A em B e achamos seu domínio D(f ) ⊆ A, na verdade o que temos é uma relação de A em B e ao calcular seu domínio D(f ) a transformamos em uma
função (sempre que for possível) de D(f ) em B; isto ocorre com freqüência quando temos uma relação de R em R e falamos de “função de R em R”.
Exemplo 2.13.
Seja f : R −→ R definida por: f (x) = ( 1, se, x ∈ Q −1, se, x ∈ I determine: a) f (0, 12) b) f (1 2) c) f ( √ 2) d) f (0, 333333...) Solução. a) f (0.12) = f ( 12 100) = 1 b) f ( 1 2) = 1 c) f (√2) = −1 d)f (0, 333333...) = f (3 9) = 1 Exemplo 2.14.
Dada a função f : R −→ R (ou seja, o domínio e o contradomínio são os números reais) definida por f (x) = x2 − 5x + 6, calcule: a) f (2), f (3) e f (0); b) o valor de x cuja imagem vale 2.
Solução. a)
f (2) = 22− 5(2) + 6 = 0; f (3) = 32− 5(3) + 6 = 0 e f (0) = 6 ¤
Solução. b)
Calcular o valor de x cuja imagem vale 2 equivale a resolver a equação f (x) = 2, ou seja,
x2− 5x + 6 = 2.
Utilizando a fórmula de Bhaskara encontramos as raízes 1 e 4.
Portanto os valores de x que têm imagem 2 são x = 1 e x = 4. ¤ Exemplo 2.15.
Seja a função f : R −→ R definida por: f (x) = x2− 3x + 2. Determine:
a) f (−3) b) f (x2) c) f (y − z) d) f (2x − 3) − f (x + 3) e) f (a2) f ) f (x + h) g) f (f (x)) h) f (x2− 3x + 2) Solução. a) f (−3) = (−3)2− 3(−3) + 2 = 2 b) f (x2) = [x2]2− 3[x2] + 2 = x4− 3x2+ 2 c) f (y − z) = (y − z)2− 3(y − z) + 2 = y2+ z2− 2yz − 3y + 3z + 2 d) f (2x − 3) − f (x + 3) = [2x − 3]2− 3[2x − 3] + 2 − [x + 3]2− 3[x + 3] + 2 = = [4x2− 18x + 20] − [x2+ 3x + 2] = 3x2− 21x + 18
e) f (a2) = [a2]2− 3[a2] + 2 = a4− 3a2+ 2
f ) f (x + h) = (x + h)2− 3(x + h) + 2 = x2+ h2+ 2hx − 3x − 3h + 2 g) f (f (x)) = [f (x)]2− 3[f (x)] + 2
h) f (x2− 3x + 2) = [x2− 3x + 2]2− 3[x2− 3x + 2] + 2 = x4− 6x3+ 10x2− 3x ¤
Exemplo 2.16.
a) Para quais funções f (x) existe uma função g(x) tal que f (x) = [g(x)]2 ? b) Para que função f (x) existe uma função g(x) tal que f (x) = 1
g(x) ?
c) Para quais funções b(x) e c(x) podemos achar uma função f (x) tal que: [f (x)]2+ b(x)[f (x)] + c(x) = 0
para todos os números reais x ?
d) Que condições satisfazem as funções a(x) e b(x) se existe uma função f (x) tal que a(x)f (x)+
b(x) = 0 para todos os números reais x ? Solução.
a) Como f (x) = [g(x)]2 ≥ 0, então isto é possível somente para as funções f (x) ≥ 0, ∀ x ∈ R. b) Considerando que estamos trabalhando com funções de R em R, podemos intuitivamente
entender f (x) como sendo um número real; assim g(x) existe somente quando g(x) = 1
f (x)
exista, isto somente é possível se f (x) 6= 0, ∀ x ∈ R
c) De [f (x)]2+ b(x)[f (x)] + c(x) = 0, pela fórmula de Bhaskara segue que:
f (x) = −b(x) ±
p
[b(x)]2− 4 · c(x) 2
logo existe f (x) quando [b(x)]2 ≥ 4 · c(x), ∀ x ∈ R.
d) Para o caso a(x) 6= 0, ∀ x ∈ R, existe uma única função f (x) = −b(x)
a(x) , ∀ x ∈ R com esta
condição. Quando a função b(x) = 0, ∀ x ∈ R então a(x) = 0.
Observe que se a(x) = 0 para algum x ∈ R, então podemos eleger arbitrariamente f (x) de modo que existem infinitas funções que satisfazem esta condição. ¤ Exemplo 2.17.
Um estudo sobre a eficiência de operários do turno da manha de uma determinada fábrica, indica que um operário médio que chega ao trabalho as 8 horas da manha, monta x horas após de iniciado seu trabalho f (x) = −x3+ 6x2+ 15x rádios transistorizados. a) Quantos rádios o
operário terá montado até as 10 h da manha? b) Quantos rádios o operário terá montado entre as 9 e 10 horas da manha?
Solução.
a) Da pergunta do problema temos que, das 8 : 00 até as 10 : 00 o operário trabalhou x = 2 horas, logo ele terá montado f (2) = −23 + 6(22) + 15(2), então f (2) = 36.
Portanto, ele terá montado 36 aparelhos.
b) Entre as 8 : 00 e 9 : 00 da manha ele montou f (1) = −13 + 6(12) + 15(1) = 20 aparelhos; logo entre as 9 : 00 e 10 : 00 ele montou 36 − 20 aparelhos, isto é 26.
Exemplo 2.18.
Devemos construir uma caixa aberta sem tampa com um pedaço retangular de cartolina de
60 × 86 cm cortando-se uma área de x cm2 em cada canto e dobrando-se os lados como indica a
Figura (2.9). Expresse o volume da caixa em função de x. Solução.
As dimensões da caixa são: altura x cm, e a base é um retângulo de lados (60−2x) e (86−2x) como observamos na Figura (2.10).
86 cm 60 cm 6 ? - ¾ · · · · · · 60 cm · · · · · · .. . ... .. .x x... x x x x x x ¡¡ ¡ ¡¡ ¡ ¡¡ ¡ ¡¡ ¡ ¡¡ ¡ ¡¡ ¡ ¡¡ ¡ ¡¡ ¡ ¡¡ ¡ ¡¡ ¡ ¡¡ ¡ ¡¡ ¡ ¡¡ ¡ ¡¡ ¡ ¡¡ ¡ ¡¡ ¡ ¡¡ ¡ ¡¡ ¡ ¡¡ ¡ x 60 − 2x 86 − 2x Figura 2.10:
Logo o volume V é V = x(60 − 2x)(86 − 2x); isto é V = 4x(30 − x)(43 − x) Exemplo 2.19.
Supõe-se que f (x) = 900x
400 − x seja o número necessário de homens - hora para distribuir
panfletos entre x por cento de moradores de uma cidade. a) Determine o domínio da função. b) Para que valor de x o problema tem interpretação prática ? c) Quantos homens-hora são necessários para distribuir panfletos entre os primeiros 50% de moradores ? d) Quantos homens- hora são necessários para distribuir panfletos à comunidade inteira. e) Que porcentagem de moradores da cidade recebeu panfletos, quando o número de homens-hora foi de 100 ?
Solução.
a) Observando a função f (x) = 900
400 − x como uma relação de R em R, seu domínio são todos os números reais exceto x = 400.
b) Sendo x uma variável que representa porcentagem, o problema tem aplicação prática quando 0 ≤ x ≤ 100.
c) Quando x = 50, então f (50) = (900)(50) 400 − 50 =
900
7 = 128, 59 homens-hora; isto é aproximada- mente 129 homens.
d) A comunidade inteira representa o 100%; logo x = 100, e f (100) = (900)(100)
400 − 100 = 300. São necessários 300 homens.
e) Para calcular x quando f (x) = 100, temos que 100 = 900x
400 − x ⇒ (400 − x) = 9x ⇒
x = 40. Recebeu o 40% da população.
Exemplo 2.20.
Certo Banco A, cobra R$30.00 por talão de cheques e R$5.00 para cada cheque usado. Outro Banco B cobra R$10.00 por talão de cheque e R$9.00 para cheque usado. Calcular ou critério para decidir em que Banco você abrirá sua conta.
Solução.
Suponha sejam usadas x folhas de cheque, então temos: Gastos no Banco A : R$30.00 + (R$5.00)x.
Gastos no Banco B : R$10.00 + (R$9.00)x.
Fazendo a desigualdade, R$30.00 + (R$5.00)x < R$10.00 + (R$9.00)x tem-se 5 < x isto significa que se usamos mais de 5 folhas é melhor os serviços do Banco A; se usamos x = 5 folhas não faz diferença e se usamos menos de 5 folhas é melhor o Banco B.
Exemplo 2.21.
Mostre que, se f (x) = kx+b e os números a1, a2 e a3 constituem uma progressão aritmética, os números f (a1), f (a2) e f (a3) também constituem uma progressão aritmética.
Solução.
Suponhamos que a1= a − r, a2 = a, e a3 = a + r então f (a1) = f (a − r), f (a2) = f (r), e
f (a3) = f (a + r), logo:
f (a1) = k(a − r) + b = (ka + b) − kr;
f (a2) = kr + b = (kr + b);
f (a3) = k(a + r) + b = (ka + b) + kr.
Portanto os números f (a1), f (a2), e f (a3) constituem uma progressão aritmética de razão
kr. ¤
Exemplo 2.22.
O volume de uma lata cilíndrica é de 24π centímetros cúbicos. O metal utilizado para a tampa e para a base custa R$3.00 por cm2 e o material empregado na parte lateral custa R$2.00 por
cm2. Calcular o custo de produção da lata em função de seu raio.
Suponha o raio r da base e h a altura, logo seu volume é dado por πr2h e da condição do problema resulta 24π = πr2h onde h = 24
r2.
A área total do cilindro é dada pela expressão:
área total = 2(área da base) + (área lateral)
Por outro lado, sabemos que: área da base = πr2 e área lateral = 2πrh = 2πr24
r2 = 48
r π.
Seja C(r) o custo de produção; então:
C(r) = (R$3.00).2(área da base) + (R$2.00).(área lateral) =
= (R$6.00).(πr2) + (R$2.00).(48
r π) isto éC(r) = 6πr
2+96
r πreais
Exemplo 2.23.
Um fabricante de panelas pode produzir uma determinada panela a um custo de R$10 por unidade. Esta estimado que se o preço de venda for de x cada panela, então o número de panelas vendidos por mês sería (300 − x). a) expresse o lucro mensal do fabricante como função de x. b) Utilize o resultado da parte a) para determinar o lucro se o preço de venda for R$35 cada. Solução.
a) O lucro podemos obter subtraindo da receita total R(x), o custo total C(x); isto é: receita total R(x) = x(300 − x) e custo total C(x) = 10(300 − x); logo o lucro mensal L(x), é
L(x) = x(300 − x) − 10(300 − x) = (x − 10)(300 − x).
b) Quando x = 35 reais, o lucro L(35) = 6.875 reais.
2.3.6 Função: Biunívoca; Sobrejetiva; Bijetiva.