2.3 Funções
2.4.13 Funções de Oferta e Demanda
Existem circunstâncias relativas a um fabricante, para as quais as únicas variáveis são o preço de custo e a quantidade de mercadoria demandada (vendida).
Em geral, o número de mercadorias demandada no mercado pelos consumidores depende do preço da mesma. Quando os preços baixam em geral os consumidores procuram mais a mercado- ria; caso o preço suba, o oposto acontece, os consumidores irão a procurar menos mercadoria.
Seja p o preço de uma unidade de mercadoria, e seja q o número de mercadorias demandadas, uma equação que relaciona a quantidade q, de mercadoria demandada e o preço dado por p, é chamada de “equação de demanda”, ela pode ser escrita em uma das seguintes formas: p = C(q) ou q = D(p).
Os economistas, contrariando o costume dos matemáticos, representam a variável indepen- dente p (preço) da equação q = D(p) no eixo vertical e a variável dependente q (quantidade de demanda) no eixo horizontal.
Uma curva de demanda (procura) deve ter o aspecto da curva mostrada na Figura (2.24); numa situação normal, se o preço aumenta a quantidade ofertada aumentará. O gráfico da equação de oferta é similar com o da Figura (2.25).
- 6 p q Curva de demanda Figura 2.24: - 6 Curva de oferta p q Figura 2.25: Definição 2.12.
• A relação q = D(p) é chamada “função de demanda”, e D(p) é o número de unidades de mercadoria que será demandadas se p for o preço por unidade.
• A relação p = C(q) é chamada “função de custo total”, e C(q) é o preço de uma unidade de mercadoria quando q unidades são demandadas.
• A relação R = R(q) representa a função receita total, gerada pela venda de q unidades do produto.
• A função lucro total é definido como sendo a diferença entre a receita total e o custo total;
No que segue utilizaremos a seguinte notação de funções:
a) C = C(q) Custo total. b) CM = CM (q) Custo Médio. c) R = R(q) Receita total. d) RM = RM (q) Receita Média.
e) D = D(q) Demanda. f ) S = S(p) Oferta.
Exemplo 2.44.
Consideremos a seguinte equação de demanda: p2+ 2q − 16 = 0. Em situações econômicas,
as variáveis q e p não são negativas, tem-se p = √16 − 2q quando 16 − 2q ≥ 0. Portanto a
função custo total do preço para a equação de demanda é p = C(q) =√16 − 2q.
Da equação de demanda tem-se q = D(p) = 8 −1
2p
2 que expressa q como função de p.
Definição 2.13.
• O custo médio da produção CM = CM (q) de cada unidade é obtido mediante a relação
CM (q) = C(q)
q chamada “função custo médio”.
• Ao dividir a receita total R(q) pela quantidade q de unidades produzidas obtém-se RM (q) =
R(q)
q chamada “função receita média”.
Exemplo 2.45.
Uma imobiliária estima que o lucro mensal L em reais que obtém ao alugar um prédio de q andares é dado pela equação L(q) = −2q2+ 92q, qual é número de andares que torna mais
rentable o aluguel do prédio? Solução.
Temos que L(q) = −2q2 + 92q = 2(46q − q2) ⇒ L(q) = 2[232 − 232 + 46q − q2] = 2[232− (23 − q)2] quando q = 23, L(23) = 1058 é o máximo absoluto.
Portanto, é mais rentable o aluguel de um prédio de 23 andares.
Em geral ao conjunto de empresas que produzem uma mesma mercadoria chamamos de indústria; por exemplo, ao conjunto de todas as empresas de confeição de calçados do Brasil, chamamos indústria de calçados do Brasil.
O mercado para uma determinada mercadoria consta da indústria e dos consumidores (em geral); a equação de oferta do mercado é determinada pelas equações de oferta das empresas integrantes do mercado; e a equação de demanda do mercado é determinada pelas equações de demanda de todos os consumidores.
Exemplo 2.46.
Uma companhia aérea tem como tarifa fixa R$800 e transporta 8.000 passageiros cada dia. Ao considerar um aumento na tarifa, a companhia determina que perderá 400 passageiros por cada R$50 de aumento. Sob estas condições; qual; dever ser o aumento para que o ingresso seja máximo?
Seja x o número de aumentos de R$50 na tarifa, então a tarifa resultante é R$(800 + 50x) e o número de passageiros será de 8.000 − 400x.
A função que determina o ingresso total é: I(x) = (800 + 50x)(8000 − 400x) = 20.000(320 + 4x − x2) com 0 ≤ x ≤ 20 ⇒ I(x) = 20.000(320 + 4x − x2) = 20.000[324 − (4 − 4x + x2)] = 20.000[324 − (x − 2)2]. Observe que, quando x = 2 teremos máximo valor para I(x).
- 6 p q D(p) S(p) q0 p p p pp p0 p p p p p p p Figura 2.26: Logo o aumento tem que ser de R$100 e o custo de
cada passagem será de R$900. Observação 2.7.
O equilíbrio de mercado ocorre quando a quantidade de mercadoria demandada a um determinado preço, é igual à quantidade de mercadoria oferecida àquele preço.
Quando ocorre o equilíbrio de mercado, a quanti- dade de mercadoria produzida é chamada “quantidade de equilíbrio”; e, o preço da mercadoria é chamado preço de equilíbrio.
Definição 2.14.
Definimos o “ponto de equilíbrio” como aquele ponto de interseção do gráfico da curva de oferta com o da demanda. Suas coordenadas são o preço de equilíbrio e a quantidade de equilíbrio.
Na Figura (2.26) mostra-se o ponto de equilíbrio; se o preço está acima do preço de equilíbrio, há excesso de oferta e o preço tende a cair; se o preço está abaixo do ponto de equilíbrio, há
escassez de oferta e o preço tende a subir. ¤
Exemplo 2.47.
Dadas as funções de custo total, determine a função de custo médio:
a) C(q) = 2q3− 12q2+ 50q + 40 b) C(q) = 300 + 60 q + q2 6 Solução. a) CM = 2q2− 12q + 50 + 40 q b) CM (q) = 300 q + 60 + q 6.
Exercícios 2-3
1. Que número excede o seu quadrado o máximo possível?
2. A diferença entre dois números é 8. 1.) Determine o menor deles para que o produto seja o menor possível; 2.) Qual é o menor valor desse produto ?
3. Sejam f e g funções de R em R, sendo R o conjunto dos números reais, dadas por f (x) = 2x − 3 e f (g(x)) = −4x + 1. Nestas condições, determine g(−1).
4. Determine o coeficiente angular da equação da reta que passa pelos pontos indicados: 1. A(1, −3) e B(0, 1) 2. M (0, 1) e N (3, 2) 3. P (−1, 3) e Q(5, −2) 4. C(0, 1) e D(0, 5) 5. B(−1, 2) e C(3, −5) 6. S(3, 9) e T (3, 7) 7. M (−1, 6) e P (5, 6) 8. G(3, 6) e H(1, 4) 9. P (5, 3) e S(5, 2) 5. Determine a equação da reta que passa pelos pontos indicados; desenhar o gráfico:
1. A(1, −3) e B(0, 1) 2. M (0, 1) e N (3, 2) 3. P (−1, 3) e Q(5, −2) 4. D(3, −1) e E(1, 1) 5. A(3, −2) e B(3, 2) 6. R(−1, 3) e U (3, −2) 7. F (2, 8) e G(0, 0) 8. Q(7, 1) e S(8, 12) 9. S(6, 8) e R(5, 12) 6. Mostrar que os pontos P1(3, 3), P2(−3, −3), P3(−3
√
3, 3√3) são os vértices de um triângulo equilátero.
7. Se P1(−4, 2) e P2(4, 6) são os pontos extremos do segmentos retilíneo orientado−−−→P1P2, achar as coordenadas do ponto P (x, y) que divide este segmento na razão P1P : P P2= −3. 8. Determinar o ângulo agudo do paralelogramo cujos vértices são pontos A(−2, 1), B(1, 5),
C(10, 7) e D(7, 3).
9. Demonstrar analíticamente que os segmentos que unem os pontos médios dos lados suces- sivos de qualquer quadrilátero formam um paralelogramo.
10. Provar analíticamente que, se as diagonais de um paralelogramo são mutuamente perpen- diculares o paralelogramo é um losango.
11. Determinar a equação da linha reta que contém o ponto (−3, 1) e é paralela à reta que passa pelos dois pontos (0, −2) e (5, 2).
12. Determinar a equação da mediatriz do segmento retilíneo cujos extremos são os pontos (−2, 1) e (3, −5).
13. Mostre que duas retas, L1 : Ax+By +C = 0 e L2 : A0x+B0y +C0= 0 são perpendiculares, se A.A0+ B.B0 = 0.
14. A equação de uma reta L é 5x − 7y + 11 = 0. a) Escrever a equação que representa todas as retas paralelas a L. b) Determinar a equação da reta paralela a L que passe por P (4, 2). 15. Traçar a curva cuja equação é: x2+ xy2− y2 = 0.
16. Uma fábrica de equipamentos eletrônicos esta colocando um novo produto no mercado. Durante o primeiro ano o custo fixo para iniciar a nova produção é de R$140.000 e o custo variável para produzir cada unidade é R$25. Durante o primeiro ano o preço de venda é R$65 por unidade. (a) Se X unidades são vendidas durante o primeiro ano, expresse o lucro do primeiro ano como uma função de X. (b) Estima-se que 23.000 serão vendidas durante o primeiro ano. Use o resultado da parte (a) para determinar o lucro do primeiro ano, se os dados de venda forem atingidos. (c) Quantas unidades precisam ser vendidas durante o primeiro ano para que a fábrica não ganhe nem perda ?
17. Dadas q = 4p − 5 e q = 150
p + 15+ 29 respectivamente funções de oferta e demanda para um
certo produto, faça seus gráficos num mesmo eixos de coordenadas e determine o ponto de equilíbrio
18. O preço unitário de certo produto é 5, e o custo fixo de produção é 40; colocado no mercado, verificou-se que a demanda para esse produto era dada pela relação p = 15 − q
5. (a) Determine as funções C (Custo) e R (Receita) para esse produto e faça seus gráficos num mesmo sistema de eixos. (b) Determine a função Lucro e faça o seu gráfico. Observe que o lucro L é zero quando C = R. (c) Para que valores de q temos L ≥ 0? (d) Determine funções de Receita Média e Custo Médio a faça seus gráficos.
19. O custo total para produzir q unidades de um determinado produto é C(q) = q2+ 20q + 5 reais, e o preço de venda de uma unidade é de (30 − q) reais. a) Achar a função de lucro total. b) Achar a função de receita total; c) Qual é o custo médio para q = 10?. d) Determine a função de demanda.
20. O custo mensal fixo de uma fábrica que produz esquis, é R$4.200 e o custo variável R$55 por par de esquis. O preço de venda é R$105 por par de esquis. (a) Se x pares de esquis são vendidos durante um mês, expresse o lucro mensal como função de x. (b) Use o resultado da parte (a) para determinar o lucro de dezembro se 600 pares de esquis foram vendidos nesse mês. (c) Quantos pares de esquis devem ser vendidos para que a fábrica encerre um mês sem lucro nem prejuízo?
21. Um fabricante de dois tipos de ração para aves, produz x toneladas por dia da ração A e
y toneladas da ração B onde y = x − 3
x − 1. Determine a função receita total, sabendo que os
preços fixos por tonelada são respectivamente p1 e p2 onde p2= 34p1.
22. As equações de demanda e oferta do mercado são respectivamente q2 + p2 − 36 = 0 e
2qp + 4 = 0 onde p é o preço em reais R$, e 100q unidades a quantidade. Trace um esboço das curvas de oferta e demanda num mesmo sistema de coordenadas. Determine a quantidade e o preço de equilíbrio.