Constru¸c˜ ao gr´ afica e sobrevivˆ encia do processo

Uma maneira de construir uma versão do processo descrito na se¸cão 4.1 é usar a constru¸cão gráfica de Harris. Para isto, considera-se uma cole¸cão de processos de Poisson independentes:

4.2. Constru¸cão gráfica e sobrevivência do processo 35 Os processos N_λx,y, Nx,y

α tˆem intensidades λ e α respectivamente, e Dx tem intensidade 1.

No que segue, iremos detalhar os processos de Poisson introduzidos acima, indicando as poss´ıveis transi¸c˜oes de estados e respectivas taxas nas quais elas ocorrem.

1. Em cada tempo de chegada de N_λx,y se existe 1 ou 2 em x e 0 em y, ent˜ao o estado do s´ıtio y muda para 1.

2. Em cada tempo de chegada de Nx,y

α se os s´ıtios x e y est˜ao nos estados 2 e 1

respectivamente, ent˜ao o estado do s´ıtio y muda para 2.

3. Em cada tempo de chegada de Dx se existe 1 ou 2 em x, ent˜ao ser´a substitu´ıdo por 0.

Figura 4.1: Uma poss´ıvel realiza¸cão da representa¸cão gráfica do modelo de difusão de inova¸c˜_{ao na reta Z. O eixo horizontal representa o espa¸co, e a reta vertical sobre um ponto} x é a linha do tempo em x. As retas verticais cinzas indicam a fra¸cão do espa¸co-tempo que o ponto x está no estado 0, as retas azuis no estado 1 e as retas vermelhas no estado 2. As setas verdes são marcas do processo de Poisson N_λx,y, as setas roxas identificam

marcas do processo de Poisson N_αx,y, e os pontos × s˜ao do processo de Poisson Dx.

Dessa maneira, é poss´ıvel construir uma versão espacial do modelo de difusão de inova¸cão considerado. Primeiro, focaremos nossa aten¸cão tanto na sobrevivência quanto na extin¸cão da informa¸cão.

Defini¸cão 4.2.1. Extin¸cão e sobrevivência. A extin¸cão da informa¸cão tem diferentes significados dependendo da configura¸cão inicial do processo. Neste caso, “informa¸cão” refere-se tanto à existência de conscientes quanto de adotadores. Se o processo come¸ca

36 Cap´ıtulo 4. Modelo de difusão de inova¸cão com um número finito de conscientes e adotadores, dizemos que a informa¸cão se extingue se existe, quase certamente, um tempo aleatório finito depois do qual todos os s´ıtios de Zd estão em estado 0. Por outro lado, se o processo come¸ca com um número infinito de conscientes ou adotadores, dizemos que a informa¸cão se extingue se para cada s´ıtio fixado existe, quase certamente, um tempo aleatório finito depois do qual o s´ıtio ficará em estado 0 para sempre. Se a informa¸cão não se extingue dizemos que sobrevive.

Antes de discutir sob quais condi¸cões a informa¸cão sobreviverá ou se extinguirá, é preciso lembrar a defini¸cão do parâmetro cr´ıtico com rela¸cão ao processo de contato básico d-dimensional.

Defini¸cão 4.2.2. O parâmetro cr´ıtico do processo de contato básico d-dimensional, com δ = 1, é definido da seguinte maneira:

λc= λc(d) = sup{λ : θ(λ) = 0}. (4.2)

Teorema 4.2.1. Considere o modelo estocástico de difusão de inova¸c˜_{ao em Z}d, para d ≥ 2, e seja λc(d) o parâmetro cr´ıtico do processo de contato básico d-dimensional.

(i) Se λ > λc(d), ent˜ao a informa¸c˜ao sobrevive com probabilidade positiva.

(ii) Se λ ≤ λc(d) ent˜ao a informa¸c˜ao se extingue quase-certamente.

Observa¸cão 4.2.1. Vamos considerar os indiv´ıduos que estão no estado 2 como perten- centes ao estado 1, não existe interesse em identificá-los separadamente. Diante disso, a demonstra¸cão do Teorema 4.2.1 resulta do acoplamento direto, via constru¸cão gráfica, do processo de difusão de inova¸cão com o processo de contato básico d-dimensional de parâmetro λ.

Demonstra¸cão. Considere um acoplamento entre o processo de difusão de inova¸cão e o processo de contato d-dimensional (ξt)t≥0 com taxas dadas por:

transi¸c˜ao taxa 0 → 1 λn1(x, ξ)

1 → 0 1.

(4.3)

No tempo inicial 0, definimos ξ0(x) = 0 se η0(x) = 0 e ξ0(x) = 1 se η0(x) 6= 0.

Em palavras, usamos como configura¸cão inicial para o processo de contato a configura¸cão inicial do processo de difusão de inova¸cão substituindo todos os 2’s por 1’s. Constru´ımos dessa forma uma versão do processo de contato com taxas dadas por (4.3) usando os

4.3. Principais resultados 37 mesmos processos de Poisson N_λx,y e Dx _{considerados na constru¸c˜}_{ao gr´}_{afica do processo}

de difus˜ao de inova¸c˜ao, ignorando as marcas dos processos Nx,y

α . Mais precisamente,

usamos a taxa λ do processo de Poisson N_λx,y a qual faz aparecer 1 em ξ, e usamos a taxa constante 1 do processo Dx para recupera¸cão em ξ. A partir desse acoplamento obtido, podemos afirmar que um s´ıtio está infectado no processo de contato se, e somente se, existe um consciente ou um adotador no mesmo s´ıtio para o processo de difusão de inova¸cão. Diante disso, utilizaremos resultados do processo de contato para garantir a sobrevivência ou a extin¸cão da inova¸cão. Assim, quando λ ≤ λc(d) o processo de contato se extingue

para qualquer configura¸cão inicial (finita ou infinita). Isso significa que conscientes e adotadores no processo de difusão de inova¸cão desaparecem, o que implica na extin¸cão da informa¸cão. Em contrapartida, se λ > λc(d), existe uma probabilidade positiva de que

existirão sempre 1’s ou 2’s no processo de difusão de inova¸cão, se inicialmente tivermos pelo menos um consciente ou um adotador.

4.3 Principais resultados

Na se¸cão anterior, definimos a extin¸cão da informa¸cão como na defini¸cão 4.2.1. Neste caso, “ informa¸cão ” refere-se tanto à existência de informantes quanto de adotadores.Por outro lado, nessa se¸cão, definimos a extin¸cão da inova¸cão como na Defini¸cão 4.2.1, mas concentrando a aten¸cão apenas nos adotadores. Isto é, se existir um tempo aleatório finito depois do qual, quase certamente, não haverá mais adotadores no sistema.

Dessa forma, os seguintes resultados tratam o caso em que a informa¸cão sobrevive com probabilidade positiva. Queremos investigar para quais valores de α temos a extin¸cão ou a sobrevivência da inova¸cão.

A demonstra¸cão dos Teoremas inclui argumentos de caixas e compara¸cão com modelos de percola¸cão orientada convenientemente definidos. As caixas representam vértices no modelo de percola¸cão orientada e são declaradas abertas ou não de acordo a eventos de interesse. Limitantes para as probabilidades desses eventos são calculados via compara¸cão do processo original com o processo de contato restrito à caixa.

Teorema 4.3.1. Seja λ > λc(d) fixo. Ent˜ao existe uma constante 0 < α1 < ∞ tal que se

α < α1, a inova¸c˜ao se extingue.

Demonstra¸cão. A principal idéia para provar a extin¸cão dos adotadores do processo de difusão de informa¸cão é comparar o sistema de part´ıculas (ηt)t≥0 com um processo de

percola¸c˜_{ao orientada adequado definido em L = Z}d_{× Z} +.

38 Cap´ıtulo 4. Modelo de difusão de inova¸cão Considere as seguintes regiões espa¸co-tempo:

Λ1 = [−2L, 2L]d× [0, 2T ] Λ2 = [−L, L]d× [T, 2T ]. (4.4)

Seja ∆ a fronteira de Λ1:

∆ = {(x, t) ∈ Λ1 : |xi| = 2L para algum i = 1, ..., d ou t = 0}.

Associamos a cada s´ıtio (x, t) uma vari´avel aleat´oria ω(x, t) que assume os valores 0 − 1.

Figura 4.2: Esbo¸co das caixas no caso d = 1, onde L = Z × Z+, Λ1 = [−2L, 2L] × [0, 2T ]

e Λ2 = [−L, L] × [T, 2T ].

Se ω(x, t) = 1, dizemos que o s´ıtio (x, t) está aberto, caso contrário, o s´ıtio (x, t) está fechado. Assim, dizemos que um s´ıtio (x, t) ∈ L está aberto se, e somente se, para o processo restrito a Λ1 + (x, t), a caixa Λ2 + (x, t) contém apenas s´ıtios no estado 0 ou 1

(ou seja, não contém nenhum s´ıtio no estado 2) independentemente dos estados dos s´ıtios na fronteira ∆ + (x, t). Os s´ıtios que não estão abertos são denominados fechados.

No que segue, mostraremos que para qualquer ε > 0, existe α1 > 0 tal que se α < α1

ent˜ao:

P({(x, t) está aberto}) ≥ 1 − 2ε. (4.5) Pela invariância por transla¸c˜_{ao, temos que P({(0, 0) está aberto}) = P({(x, t) está aberto}),} ou seja, é suficiente considerar o s´ıtio (0, 0) ∈ L. De fato, como o evento “(x, t) está aberto” relaciona-se a processos de Poisson definidos na caixa Λ1+ (x, t), da própria constru¸cão

4.3. Principais resultados 39 Vamos considerar o evento A = {n˜ao existem setas do processo Nx,y

α em Λ1}, e notar

que P({(0, 0) está aberto}) ≥ P({(0, 0) está aberto} |A)P(A), na qual cada termo desse produto é pelo menos 1 − ε.

Suponha que o s´ıtio (0, 0) esteja fechado. Isto é, existe pelo menos um adotador no interior de Λ2. Além disso, se condicionarmos o evento {(0, 0) está fechado} ao evento A,

segue que para alcan¸car Λ2, o adotador deve ter sido originado de algum s´ıtio na parte

inferior da fronteira ∆ e restrito a [−L, L]d_.

A prova do Teorema 4.3.1 se encontra dividida em 4 etapas. Etapa 1. Provar que P(A) ≥ 1 − ε.

Etapa 2. Provar que P({(0, 0) est´a aberto} |A) ≥ 1 − ε. Etapa 3. Provar que P({(0, 0) est´a aberto}) ≥ 1 − 2ε.

Etapa 4. Concluir a demonstra¸c˜ao utilizando argumentos de percola¸c˜ao orientada K-dependente.

Etapa 1. Inicialmente, queremos encontrar um limitante inferior para a probabilidade do evento A ocorrer. Em vista disso, para α suficientemente pequeno mostraremos que a probabilidade do evento A ocorrer ´e pelo menos 1 − ε, isto ´_{e, P(A) ≥ 1 − ε.}

Como Ac = {existe pelo menos uma seta do processo N_αx,y de parˆametro α em Λ1},

temos que: P(Ac) = P     [ x,y ∈ [−2L,2L]d x6=y {Nx,y α [0, 2T ] ≥ 1} ∪ {N y,x α [0, 2T ] ≥ 1}     ≤ 2 X x,y ∈ [−2L,2L]d x6=y P({Nαx,y[0, 2T ] ≥ 1}) ≤ (4L + 1)d (1 − P({Nαx,y[0, 2T ] = 0})) = 2(4L + 1) d_{(1 − e}−2T α ), logo P(Ac_{) ≤ 2(4L + 1)}d_{(1 − e}−2T α_{). Dessa forma, segue que:}

P(A) ≥ 1 − 2(4L + 1)d(1 − e−2T α).

Notemos que quando α vai para 0, então (1 − e−2T α) converge para 0. Ou seja, ∀ε > 0, ∃δ > 0, tal que se 0 < α < δ, então 1 − e−2T α < ε. Dado ε > 0, seja ˜ε = _2(4L+1)ε d, então

existe ˜δ > 0 tal que se 0 < α < ˜δ, ent˜ao 2(4L + 1)d_{(1 − e}−2T α_{) <} ε

2(4L+1)d = ˜ε. Logo, segue

que P(A) ≥ 1 − ε.

Etapa 2. _{Queremos estimar a probabilidade condicional P((0, 0) est´a aberto |A)), e} para tal utilizaremos o evento complementar e as poss´ıveis inclus˜oes de eventos que se encontram abaixo.

40 Cap´ıtulo 4. Modelo de difusão de inova¸cão n {(0, 0) está fechado}\Ao⊂        [ x ∈ [−L,L]d T ≤t≤2T {ηt(x) = 2} \ A        ⊂    [ x ∈ [−L,L]d {Dx_{(0, T ) = 0}}\ A    na qual, S x ∈ [−L,L]d T ≤t≤2T

{ηt(x) = 2} corresponde ao evento de que existe pelo menos um adota-

dor em Λ2, independentemente dos estados dos s´ıtios na fronteira ∆. Por outro lado,

x ∈ [−L,L]d

{Dx_{(0, T ) = 0} representa o evento de que existe pelo menos um s´ıtio x que}

n˜ao cont´em nenhuma marca de Dx _{no intervalo [0, T ]. Calculando a probabilidade das}

inclus˜oes de eventos acima, obtemos a seguinte desigualdade:

P({(0, 0) est´a fechado} |A) × P(A) ≤ P   [ x ∈ [−L,L]d {Dx_{(0, T ) = 0}|A}  × P(A). (4.6)

Como P(A) > 0, ´e poss´ıvel simplificar ambos os lados da desigualdade (4.6) dividindo por esse valor, e ao final conseguimos:

P({(0, 0) est´a fechado} |A) ≤ P   [ x ∈ [−L,L]d {Dx_{(0, T ) = 0}|A}  . (4.7)

Os processos de Poisson N_αx,y de parâmetro α relacionados ao evento A são independentes dos processos associados a Dx, sendo esse último de taxa constante e igual a 1. Em virtude da independência entre os processos, temos que:

P({(0, 0) est´a fechado} |A) ≤ P   [ x ∈ [−L,L]d {Dx(0, T ) = 0}  ≤ X x ∈ [−L,L]d P ({Dx(0, T ) = 0}) .

Dado que Dx(0, T ) tem distribui¸c˜ao de Poisson de parˆametro T , da desigualdade acima resulta que:

P({(0, 0) est´a fechado} |A) ≤ (2L + 1)de−T, (4.8) de onde segue que P({(0, 0) est´a aberto} |A) ≥ 1 − (2L + 1)de−T. Dessa forma, tomando L = T suficientemente grande, obtemos que:

4.3. Principais resultados 41

P({(0, 0) est´a aberto|A}) ≥ 1 − ε. (4.9)

Etapa 3. Da lei da probabilidade total, e usando as desigualdade obtidas na Etapa 1 e Etapa 2 temos:

P({(0, 0) est´a aberto}) ≥ P({(0, 0) est´a aberto|A})P(A) ≥ (1 − ε)(1 − ε).

Dessa forma, conclu´ımos que com probabilidade arbitrariamente próxima de 1, o s´ıtio (0, 0) estará aberto quando α for suficientemente pequeno, isto é,

P({(0, 0) está aberto}) ≥ (1 − ε)2 = 1 − 2ε + 2 ≥ 1 − 2ε. (4.10) Pela invariância por transla¸cão, temos que a inequa¸cão (4.10) vale para qualquer s´ıtio (x, t) ∈ L.

Etapa 4. Para concluir a demonstra¸cão, posicionaremos elos orientados entre os s´ıtios em L a fim de obter um modelo de percola¸cão. Ademais, utilizaremos argumentos de percola¸cão orientada K-dependente.

Lembre que L = Zd× Z+, Λ1 = [−2L, 2L]d× [0, 2T ], Λ2 = [−L, L]d× [T, 2T ] e defina

Λ(x, t) = (x, t)+Λ1. Note que o evento “ (x, t) est´a aberto” depende somente de processos

de Poisson dentro da caixa Λ(x, t).

Posicionaremos os elos orientados da seguinte forma. Para cada par (x, t), (y, t0) ∈ L, desenhamos um elo orientado de (x, t) para (y, t0_{) se, e somente se, t ≤ t}0 _e

Λ(x, t) ∩ Λ(y, t0) 6= ∅. Além disso, os s´ıtios abertos (x, t) neste grafo orientado ( i.e, s´ıtios em que ω(x, t) = 1) constituem um modelo de percola¸cão dependente. Diante disso, dizemos que o s´ıtio (y, t0) está conectado a (x, t) e denotamos por (x, t) → (y, t0) se existe uma sequência de s´ıtios x0 = x, ..., xn = y e instantes de tempo t0 = t, ..., tn = t0

tais que: primeiro, existe um elo orientado de (xk, tk) para (xk+1, tk+1) para 0 ≤ k < n;

segundo, ω(xk, tk) = 1 para 0 ≤ k ≤ n. Nesse caso, observe que os estados dos s´ıtios

não são independentes. Entretanto, eles são K-dependentes no seguinte sentido, existe uma constante K dependendo somente da dimensão d tal que se se a distância entre os s´ıtios (x, t) e (y, t0) for maior do que K, então o estado dos s´ıtios correspondentes são independentes (essa distância deve ser medida no grafo n˜_{ao-orientado obtido de Z}d_{× Z}+

42 Cap´ıtulo 4. Modelo de difusão de inova¸cão quando removemos a orienta¸cão). Em outras palavras, os s´ıtios (x, t) e (y, t0) são vértices centrais das caixas Λ(x, t) e Λ(y, t0), tais que Λ(x, t) ∩ Λ(y, t0) = ∅.

Na sequência, vamos fazer uma contagem de caminhos análoga a que já foi feita no Cap´ıtulo 2. Existem constantes positivas δ (que depende somente da dimensão d) e ν, de modo que o número de caminhos orientados de comprimento r e auto-evitante (isto ´

e, o caminho n˜_{ao possui loops) em Z}d_{× Z}

+, e a partir de qualquer extremidade, n˜ao ´e

maior do que δr_{, pois para o primeiro passo temos δ op¸c˜}_{oes de caminhos a seguir, como os}

caminhos se evitam, para os próximos passos temos no máximo δ − 1 caminhos poss´ıveis. E qualquer caminho auto-evitante de comprimento r contém pelo menos νr s´ıtios, cuja distância entre quaisquer pares deles é maior do que K.

Sejam x ∈ Zd _e _T

x = sup{t ≥ 0; ηt(x) = 2}. Afirmamos que Tx ´e quase certamente

finito se α for suficientemente pequeno. No entanto, ´e suficiente provar que T0 ´e quase

certamente finito, pois o argumento ´e invariante por transla¸c˜ao.

Sendo assim, suponha que T0 > T M . Ent˜ao existe m ≥ M − 1 com a propriedade

de que (0, m) ´_{e a extremidade de um caminho orientado de s´ıtios fechados em Z}d_{× Z} +,

cuja outra extremidade tem a forma (x, 0) para algum x ∈ Zd. Pelas observa¸c˜oes acima, obtemos o seguinte: P [T0 > T M ] ≤ X x∈Zd P [(x, 0) e (0, m) estarem conectados] = X x∈Zd P [∪γ{γ est´a fechado}] ,

na qual a uni˜ao acima ´e sobre todos os caminhos conectando (x, 0) a (0, m). Segue que a ´

ultima igualdade acima pode ser reescrita como: ≤ X

x∈Zd

P [{γ est´a fechado}] .

A dupla soma pode ser então reordenada e obtemos: X m≥M −1 X |γ|≥m P [{γ está fechado}] ≤ X m≥M −1 X r≥m δr_{(P [{(0, 0) está fechado}])}νr

em que δré a quantidade de caminhos partindo da origem e de comprimento r, e também, a probabilidade de um caminho γ de comprimento r estar fechado é a mesma que o produto das probabilidades de cada s´ıtio do caminho estar fechado. Portanto:

P[T0 > T M ] ≤ X m≥M −1 X r≥m δr_{(P [(0, 0) est´a fechado])}νr. (4.11)

4.3. Principais resultados 43 Assim, pela invariância por transla¸cão, temos que a probabilidade para qualquer s´ıtio (x, t) ∈ L estar fechado é a mesma que para o s´ıtio (0, 0). Ademais, a probabilidade de um caminho de comprimento r estar fechado é a mesma que a probabilidade acima elevado `

a potˆ_{encia νr. Utilizando o fato de que P({(0, 0) está fechado}) < 2, o lado direito da} inequa¸cão (4.11) é finito sempre que α for suficientemente pequeno e M ≥ 2. Logo, o lado direito de (4.11) se aproxima de 0 quando M → ∞, implicando assim em T0 ser

quase-certamente finito como quer´ıamos. De fato isso é verdade, pois note que a inclusão dos eventos {T0 = ∞} ⊂ {T0 > T M } é válida, e aplicando a probabilidade, obtemos das

observa¸c˜oes anteriores que:

0 ≤ P(T0 = ∞) ≤ P(T0 > T M ).

Utilizando o Teorema do Confronto, conclu´ımos que P(T0 = ∞) = 0, ou seja,

P(T0 < ∞) = 1 − P(T0 = ∞) = 1,

de onde segue que T0 ´e quase certamente finito. Como o argumento ´e invariante por

transla¸c˜ao, conclui-se que Tx ´e quase certamente finito para qualquer x ∈ Zd. Por fim,

o ponto crucial é que se há um adotador em algum tempo no processo de difusão de informa¸cão (ηt)t≥0, então há um caminho de s´ıtios fechados no processo de percola¸cão de

caixas, na qual cada caixa está associada a um determinado s´ıtio. Além disso, tomando suficientemente pequeno, podemos fazer a probabilidade de um caminho de s´ıtios fechados de comprimento r decair exponencialmente rápido em r, como mostrado em (4.11). Isso implica que para qualquer s´ıtio fixado no processo de difusão de informa¸cão existe um tempo aleatório finito depois do qual o s´ıtio estará no estado 0 ou 1, ou seja, o estado 2 não sobreviverá. Consequentemente, teremos a extin¸cão dos adotadores, ou seja, da inova¸cão.

Observa¸cão 4.3.1. No Teorema 4.3.1, ao consideramos α suficientemente pequeno e ao condicionarmos o evento {(0, 0) está aberto} ao evento A, observamos que o comporta- mento do modelo é equivalente a quando α = 0.

Observa¸cão 4.3.2. Uma outra maneira para provar que tomando α suficientemente pequeno o evento A ocorre com probabilidade arbitrariamente próxima de 1 é utilizando o método do primeiro momento. De fato, se definirmos X a variável aleatória que conta o número de marcas do processo de Poisson N_αx,y de parâmetro α, então o evento A pode ser identificado a X = 0. Dessa forma, para ∀ ε > 0, pode ser escolhido um α suficientemente

44 Cap´ıtulo 4. Modelo de difus˜ao de inova¸c˜ao pequeno tal que E[X] ≤ ε. Portanto,

P(A) = P(X = 0) ≥ 1 − ε.

Teorema 4.3.2. Seja λ > λc(d) fixo. Ent˜ao existe uma constante 0 < α2 < ∞ tal que se

α > α2, a inova¸c˜ao sobrevive.

Demonstra¸cão. A principal idéia utilizada para provar a sobrevivência dos adotadores do processo de difusão de informa¸cão é comparar o modelo espacial de difusão de informa¸cão com um modelo de percola¸cão orientada. De fato, para tal, são necessárias algumas defini¸cões. Considere:

L0 = {(m, n) ∈ Z2 : m + n ´e par; n ≥ 0}

B = (−4L, 4L)d× [0, T ] Bm,n = (2mL, nT ) + B

I = [−L, L]d Im = 2mL + I

na qual k = [√L] (sendo [a] a parte inteira de a) e L e T s˜ao valores a serem definidos posteriormente. Dizemos que um s´ıtio (m, n) ∈ L0 est´a aberto se, e somente se, no tempo

nT n˜ao existe nenhum 1 em Im e existem pelo menos k 2’s em Im, e se no tempo (n + 1)T

n˜ao existe nenhum 1 em Im−1 e Im+1 e existem pelo menos k 2’s em cada intervalo (veja

a Figura 4.3) . Os s´ıtios que não estão abertos são denominados fechados.

Figura 4.3: Esbo¸co para o s´ıtio (0, 0) no caso d = 1. O s´ıtio (0, 0) est´a aberto se, e somente se, no tempo 0 n˜ao existem nenhum 1 e pelos menos k 2’s em I0, e se no tempo T

4.3. Principais resultados 45 Assim, mostraremos que para qualquer ε > 0 existe uma constante α2 > 0 tal que

para α > α2 temos:

P[(m, n) está aberto] ≥ 1 − 3ε. (4.12) Note que pela invariância por transla¸cão, é suficiente provar isso para o s´ıtio (0, 0). Além disso, como forma de simplificar a nota¸cão vamos supor d = 1 na demonstra¸cão que segue. Para o caso d > 1 a demonstra¸cão é análoga a que será feita abaixo.

Primeiramente, ´e preciso definir o seguinte evento:

Ax,y = {sempre que aparecer uma seta do processo Nλx,y, antes de aparecer uma marca

do processo Dx _{ou outra seta do processo N}x,y

λ aparecer´a uma seta do processo Nαx,y

em [0, T ]}, e definimos o evento A como sendo a interseçcão dos eventos Ax,y, isto é,

A = T

x,y∈(−4L,4L)

||x−y||=1

Ax,y.

Agora, vamos definir a vari´avel aleat´oria X como:

X = (

1 c.p. α 1+α+λ

0 c.p. _1+α+λ1+λ

Queremos mostrar que para cada (x, y) e para α suficientemente grande, a chance do evento Ax,y ocorrer ´e alta, j´a que temos uma densidade grande de setas do processo Nαx,y.

Para tal c´alculo, condicionaremos o evento Ax,y ao fato de que no tempo t aparecer´a a

primeira seta do processo N_λx,y. Assim, obtemos a seguinte equa¸c˜ao:

P(Ax,y) = Z T 0 P(Ax,y|S1λ = t)fSλ 1(t)dt = Z T 0

P(Ax,y|S1λ = t)λe −λt

dt, (4.13) na qual S₁λ é uma variável aleatória que indica o tempo de espera até que ocorra a primeira seta do processo N_λx,y. Ademais, vamos definir Xt como a indicadora que vale 1

se a primeira seta que vamos ter ap´os o tempo t ´e do processo Nx,y

α e 0 caso contr´ario.

Notemos que Xt = X, isto ´D e, Xt tem a mesma distribui¸c˜ao de probabilidade de X. Dessa

forma,

P(Ax,y|S1λ = t) = P(Ax,y|S1λ = t; Xt = 0) × P(Xt= 0|S1λ = t) +

P(Ax,y|S1λ = t; Xt = 1) × P(Xt = 1|S1λ = t)

= P(Ax,y|S1λ = t; Xt= 1) × P(Xt= 1) + P(Ax,y|S1λ = t; Xt = 0)

| {z } 0 ×P(Xt = 0) = P(Ax,y|S1λ = t; Xt = 1) × α 1 + α + λ.

46 Cap´ıtulo 4. Modelo de difus˜ao de inova¸c˜ao Para encontrar um limitante inferior para P(Ax,y|S1λ = t; Xt = 1) vamos considerar o

processo de Poisson B := Dx _{+ N}x,y

λ de parâmetro 1 + λ, o qual é a superposi¸cão dos

processos independentes Dx e N_λx,y. Logo,

P(Ax,y|S1λ = t; Xt = 1) ≥ P(B(t, T ) = 0) = e−(λ+1)(T −t).

Com isso, obtemos que P(Ax,y|S1λ = t) ≥ e

−(λ+1)(T −t) α

1+α+λ. Assim, voltando na equa¸c˜ao

(4.13) e substituindo o limitante inferior acima encontramos que:

P(Ax,y) ≥ Z T 0 e−(λ+1)(T −t) α 1 + α + λλe −λt dt = αλe −(λ+1)T 1 + α + λ Z T 0 etdt = αλe −(λ+1)T 1 + α + λ [e T _{− 1].}

Notemos que se tomarmos o limite com α −→ ∞, ent˜ao: λe−(λ+1)T[eT − 1] × lim α→∞ 1 1 α + α α + λ α = λe−(λ+1)T[eT − 1] × 1. Como lim α→∞ 1 1 α+ α α+ λ α

= 1, temos que para ∀ ε > 0, existe R > 0 tal que 1 1 α+1+ λ α − 1 < ε sempre que α > R. Dado ε > 0, seja ˜ε = _λe−(λ+1)Tε _[eT_−1], ent˜ao existe ˜R > 0 tal que

1 1 α+1+ λ α − 1 < ˜ε = ε

λe−(λ+1)T_[eT_−1], sempre que α > ˜R.

Conclu´ımos dessa forma que P(Ax,y) ≥ 1 − ε. Entretanto, estamos interessados

em calcular P(A) = P    T x,y∈(−4L,4L) ||x−y||=1 Ax,y  

. Como os eventos Ax,y são independentes, a probabilidade da interseçcão deles corresponde ao produto das probabilidades, de onde segue que:

P(A) ≥ (1 − ε)8L ≥ 1 − ˆε.

No tempo 0 existem pelo menos k = [√L] 2’ s e nenhum 1 em I. Além disso, nenhum 1 pode aparecer em I entre os tempos 0 e T . Logo, os 2’s em I se comportam como um processo de contato restrito a I cujas as transi¸cões e taxas são as seguintes:

transi¸c˜ao taxa 0 → 2 λn2(x, ξ)

2 → 0 1.

(4.14)

Vamos restringir os 2’s a I, de modo a n˜ao permitir que 2’s possam surgir de fora de I para dentro de I. Agora, considere o processo de contato supercr´ıtico restrito ao volume finito {1, 2, ..., k} e defina τk o tempo (aleat´orio) que leva para um processo de contato ser extinto quando restrito ao volume finito {1, 2, ..., k}. Por Mountford (1993)

4.3. Principais resultados 47 (ver Proposi¸c˜ao A.0.1), temos que para um processo de contato supercr´ıtico restrito a {1, 2, ..., k}:

P(τk ≤ ek) < e−k para k grande.

Em palavras, isso quer dizer que o processo de contato supercr´ıtico restrito ao volume finito {1, 2, ..., k} sobrevive pelo menos ek com probabilidade pelo menos 1 − e−k, ou seja,

P(τk> ek) = 1 − P(τk ≤ ek) ≥ 1 − e−k. (4.15) Vamos supor que no tempo 0 existe um 2 em cada s´ıtio do volume finito {1, 2, ..., k}, e defina M como a parte inteira da √k. Particionamos {1, 2, ..., k} em M intervalos, na qual cada um é uma transla¸cão de [0, M ]. Percorremos dessa maneira M processos de contato cada um restrito a um dos M sub-intervalos de {1, 2, ..., k}. Consequentemente, em qualquer tempo, existem pelo menos tantos 2’s em {1, 2, ..., k} quanto na união desses sub-intervalos. Ademais, suponha também que no tempo L nenhum dos processos de contato que estejam ocorrendo em cada um dos M sub-intervalos de {1, 2, ..., k} tenha se extinguido, então existem pelo menos M 2’s em {1, 2, ..., k} (existe pelo menos um 2 em cada sub-intervalo, garantindo assim a não extin¸cão do processo de contato em cada um deles). Dessa forma, a probabilidade de que existam pelo menos M 2’s em {1, 2, ..., k} no tempo L é pelo menos:

P(τM ≥ L)M ≥ P(τM ≥ eM)M ≥ (1 − e−M)M ≥ 1 − ε,

para L suficientemente grande. Portanto, no tempo L temos pelo menos M 2’s em I e nenhum 1 em [−4L + 1, 4L − 1]. Como λ > λc(d), podemos usar resultados j´a conhecidos

do processo de contato supercr´ıtico. Em particular, dado que um processo de contato supercr´ıtico n˜ao se extingue, o Teorema da Forma (ver Teorema A.0.2) garante que os 2’s se propagam linearmente. Portanto, existe uma constante a > 0 tal que no tempo aL os 2’s tenham alcan¸cado os s´ıtios −4L e 4L. Assim, no tempo L + aL, existem pelo menos k 2’s em I1 = [L, 3L] e em I−1 = [−3L, −L] com probabilidade pelo menos 1 − 2ε (um ε

está relacionado à probabilidade de sobrevivência de M 2’s, ao passo que o outro vem do Teorema da Forma). Para finalizar essa parte defina T = L + aL e tome L suficientemente

No documento Modelo de sistema de partículas para a difusão de uma informação em Z d. Karina Bindandi Emboaba de Oliveira (páginas 50-64)