Um modelo cl´assico de difus˜ao de informa¸c˜ao ´e o modelo de Bass, o qual descreve como novos produtos s˜ao difundidos em uma popula¸c˜ao. Tal modelo na forma de equa¸c˜ao diferencial ´e: dA dt = p + q mA (m − A),
na qual A(t) ´e o n´umero de adotadores no tempo t, m o n´umero total de pessoas que possivelmente usar˜ao o produto e p e q s˜ao parˆametros de interesse.
A proposta encontrada em Wang et al. (2006) busca estender esse modelo introduzindo estruturas de est´agios. Nesse caso, as etapas se resumem a duas: a etapa da consciˆencia da informa¸c˜ao e a da tomada da decis˜ao. A principal id´eia dos autores ´e incorporar o est´agio da consciˆencia e da tomada de decis˜ao no modelo de Bass e mostrar que o n´umero inicial de inovadores deve estar acima de um certo valor cr´ıtico para que de fato o processo de difus˜ao ocorra.
Seja N (t) o n´umero daqueles indiv´ıduos que ainda n˜ao tiveram o conhecimento do produto no tempo t, I(t) aqueles que j´a tem informa¸c˜ao do produto mas ainda n˜ao o adquiriram no tempo t, e A(t) o n´umero daqueles que adotaram o produto no tempo t. A dinˆamica do modelo ´e descrita pelas seguintes equa¸c˜oes diferenciais:
dN
dt = −pN − q1
4.4. Discuss˜ao final 49 dI dt = pN + q1 mAN − g A m + γ I, dA dt = g A m I − µA,
na qual p ´e o coeficiente da taxa de consciˆencia da classe N pelos meios de comunica¸c˜ao, q1 ´e o n´umero m´edio de contatos adequados de um adotador por unidade de tempo
tal que q1N/m ´e o n´umero m´edio de contatos adequados (suficiente para a transmiss˜ao
da informa¸c˜ao do produto) entre um que n˜ao adotou o produto com um adotador por unidade de tempo, o que ´e similar a transmiss˜ao de uma epidemia em uma popula¸c˜ao, g(A/m) ´e a taxa de transi¸c˜ao de indiv´ıduos da classe da consciˆencia, para a classe da ado¸c˜ao, a qual ´e uma fun¸c˜ao da fra¸c˜ao de adotadores, γ ´e a taxa na qual indiv´ıduos na classe de consciˆencia esquecem a informa¸c˜ao do produto, µ ´e o coeficiente da taxa de descontinuidade dos adotadores.
Na pr´atica, a fun¸c˜ao g pode ser aproximada por um polinˆomio. Como um exemplo, g = α + c1Am + c2(mA)2 pode ser aproximado por um polinˆomio de segunda ordem. Aqui,
α representa a taxa de ado¸c˜ao por pessoa de inovadores, e c1mA + c2 mA
2
representa a taxa de ado¸c˜ao por pessoa de imitadores. Considere g(A/m) = α + q2An, com n = 1 ou
n = 2, na qual q2 = c1 se n = 1 ou q2 = c2/m2 se n = 2. Diante disso, para estudar
a ocorrˆencia de difus˜ao de inova¸c˜ao, e a existˆencia de transi¸c˜ao de fase, foi feito um estudo sobre a estabilidade do sistema, encontrando os pontos de equil´ıbrios e utilizando resultados da teoria de sistemas dinˆamicos. Um dos resultados obtidos nessa dire¸c˜ao foi de que se a imita¸c˜ao ´e de primeira ordem (tomar n = 1) e a fra¸c˜ao de inovadores pode ser negligenciada (α = 0) foi provado que o modelo admite um valor cr´ıtico acima do qual ocorre a difus˜ao de inova¸c˜ao e abaixo dele n˜ao, caracterizando dessa forma a existˆencia de transi¸c˜ao de fase. Por outro lado, se a imita¸c˜ao ´e de segunda ordem (n = 2), simula¸c˜oes computacionais foram utilizadas para mostrar que para certos valores do parˆametro, a regi˜ao fact´ıvel ´e dividida em parte superior e inferior, tal que a difus˜ao de inova¸c˜ao ocorrer´a de maneira efetiva se um ponto inicial estiver na parte superior, o que n˜ao se aplica caso ele esteja na parte inferior.
Neste trabalho de mestrado, propomos uma primeira vers˜ao espacial para o modelo descrito anteriormente. Na vers˜ao espacial estoc´astica, representamos os indiv´ıduos como v´ertices de uma rede hiperc´ubica d-dimensional Zd, sendo 0, 1 e 2 os poss´ıveis estados de um v´ertice x para identificar os ignorantes, conscientes e adotadores, respectivamente. Da mesma forma, buscamos encontrar sob quais condi¸c˜oes a informa¸c˜ao sobrevive ou se extingue. Primeiramente, verificamos que o modelo exibe transi¸c˜ao de fase, isto ´
50 Cap´ıtulo 4. Modelo de difus˜ao de inova¸c˜ao informa¸c˜ao sobrevive se, e somente se, estamos no caso supercr´ıtico, ou seja, λ > λc(d).
Posteriormente, considerando o caso supercr´ıtico, ao tomar α suficientemente pequeno ou suficientemente grande analisamos em quais dessas condi¸c˜oes temos a extin¸c˜ao ou a sobrevivˆencia da inova¸c˜ao. O Teorema 4.3.1 provou a extin¸c˜ao dos adotadores quando α ´
e suficientemente pequeno. Nesse caso, α representa a taxa na qual conscientes adquirem a inova¸c˜ao e portanto se tornam adotadores.
Apˆendice
A
Resultados auxiliares
Proposi¸c˜ao A.0.1. (Proposi¸c˜ao 2.1 em Mountford (1993)) Seja {ξn
t : t ≥ 0} um processo de contato d-dimensional restrito a [1, n]d com taxa de
infe¸c˜ao λ > λc(d) (processo de contato supercr´ıtico), e seja τn o tempo (aleat´orio) para
um processo de contato ser extinto quando restrito a [1, n]d. Ent˜ao, para n grande temos:
P(τn ≤ edn) < e−dn. (A.1)
Teorema A.0.2. (Teorema da forma, (Liggett, 1999))
Esse teorema afirma que o processo de contato supercr´ıtico ξt{0} tem uma forma as- sint´otica no seguinte sentido: seja Ht = ∪s≤tξ
{0} s ⊂ Zd e Kt = {x ∈ Zd : ξ {0} t = ξZ d t }. Defina Ht = ∪x∈HtC(x) e Kt = ∪x∈Kk C(x) , na qual C(x) ⊂ R d corresponde ao cubo
centrado em x cujos lados tem comprimento 1. Ent˜ao, existe um conjunto convexo U ⊂ Rd
tal que para qualquer ε > 0, (1 − ε)U ⊂ 1
tHt ⊂ (1 + ε)U e (1 − ε)U ⊂ 1
t(Ht∩ Kt) ⊂ (1 − ε)U, (A.2) eventualmente quase-certamente sobre o evento {ξt{0} 6= ∅ ∀t}.
Referˆencias Bibliogr´aficas
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Liggett, T. M. Stochastic interacting systems : contact, voter, and exclusion processes. Grundlehren der mathematischen Wissenschaften. Berlin, New York: Springer-Verlag, 1999.
Dispon´ıvel em http://opac.inria.fr/record=b1095541
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Dispon´ıvel em http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/ S0307904X05000533