Nesta se¸c˜ao veremos como podemos construir formas fechadas que definem uma folhea¸c˜ao, a partir da informa¸c˜ao de que as holonomias virtuais s˜ao abelianas e cont´em atratores. Isto ser´a, de certa forma, como uma rec´ıproca do Exemplo 17 do§5 do Cap´ıtulo 1.
Proposi¸c˜ao 4.6.1. SejamF uma folhea¸c˜ao holomorfa na superf´ıcie complexa M e Λ ⊂ M uma
curva anal´ıtica invariante por F. Denote por π : ( ˜M , D) → (M, D) a resolu¸c˜ao das singulari- dades de F em Λ e seja ˜F = π∗F, como de h´abito. Seja D = D0∪ ... ∪ Dr a decomposi¸c˜ao de
D em componentes irredut´ıveis. Assuma que:
(1) As componentes irredut´ıveis de D s˜ao invariantes por ˜F e sing ˜F ∩ D n˜ao cont´em selas-n´os. (2) Cada componente irredut´ıvel Dj de D tem holonomia virtual abeliana e lineariz´avel contendo
um atrator.
(3)D n˜ao tem ciclos, isto ´e, se i1, ..., is ∈ {0, ..., r} s˜ao tais que Dij ∩ Dij+1 ̸= ∅ e ij ̸= ij+1,
1≤ j ≤ s − 1, ent˜ao Di1 ̸= Dis.
Ent˜ao, existe uma vizinhan¸ca ˜V de D em ˜M , na qual ˜F pode ser representada por uma forma meromorfa fechada com p´olos de ordem um, ˜ω, cujo divisor polar (˜ω)∞ cont´em D.
Em particular F pode ser representada por uma forma fechada com p´olos simples numa vizinhan¸ca V de Λ em M .
Demonstra¸c˜ao. Provaremos primeiramente a afirma¸c˜ao para cada componente Dj ⊂ D.
Lema 4.6.2. Para cada componente Dj ⊂ D existe uma forma meromorfa fechada com p´olos
simples ωj definida numa vizinhan¸ca Uj de Dj, tal que ˜F U
j ´e dada por ωj = 0 fora de (ωj)∞. A
forma ωj ´e unicamente determinada pela seguinte condi¸c˜ao: Dados q ∈ Dj\ sing ˜F, Σ um disco
transversal a Dj com Σ∩ Dj = q, e um sistema de coordenadas holomorfo z em (Σ, z(q) = 0),
que linearize a holonomia virtual Holvirt( ˜F, Dj, Σ), ent˜ao ωj Σ = dzz .
Demonstra¸c˜ao. Dado um ponto p ∈ Dj\ sing ˜F, escolhemos um sistema de coordenadas holo-
morfo ϕ = (x, y) : U → C2 com p ∈ U, ϕ(p) = (0, 0) e ϕ(U) = {(x, y); | x |< 2, | y |< 2}, tal
que:
(1) ˜F U ´e a folhea¸c˜ao cujas folhas s˜ao da forma y = cte. (2) Dj∩ U ⊂ (y = 0).
(3) Σ = (x = 0) ´e uma se¸c˜ao transversal a ˜F e y |Σ ´e um sistema de coordenadas que lineariza
a holonomia virtual Holvirt( ˜F, Dj, Σ).
A partir da´ı podemos obter uma cobertura aberta, digamos (Uα)α∈A, de Dj\ sing ˜F, por
abertos conexos, onde s˜ao definidas coordenadas locais (xα, yα) : Uα→ C2, com as propriedades
(1), (2), e (3) acima. Podemos supor que, se Uα∩ Uβ ̸= ∅ ent˜ao Ua∩ Uβ ´e conexo. Vejamos o
que ocorre numa intersec¸c˜ao n˜ao vazia Uα∩ Uβ ̸= ∅. Utilizando a propriedade (3) e o fato que
a holonomia virtual de Dj cont´em um atrator, ´e poss´ıvel provar a seguinte afirma¸c˜ao:
Deixamos a prova da afirma¸c˜ao acima como exerc´ıcio para o leitor (veja Exerc´ıcio 4).
Decorre da afirma¸c˜ao que, se Uα∩ Uβ ̸= ∅, ent˜ao dyyαα = dyyββ em Uα∩ Uβ. Logo, existe uma forma
meromorfa fechada ωj em Vj =
∪
αUα, tal que ωj Uα := dyyαα.
Afirma¸c˜ao 4.6.4. A 1-forma ωj se estende a uma vizinhan¸ca Uj de Dj.
Demonstra¸c˜ao. Com efeito, fixemos um ponto singular p ∈ sing ˜F ∩ Dj. Como p ´e uma singu-
laridade n˜ao degenerada e a holonomia das separatrizes locais (de fato toda a holonomia virtual de Dj) ´e lineariz´avel, ˜F ´e equivalente numa vizinhan¸ca de p a uma folhea¸c˜ao linear, pelo Lema
de Mattei-Moussu. Assim sendo, podemos escolher um sistema de coordenadas (x, y) : U → C2, com p ∈ U, Dj ∩ U ⊂ (y = 0) e tal que ˜F U ´e dada em U por ω = xdy− λydx = 0, sendo
λ∈ C∗\Q+(j´a que as singularidades de ˜F s˜ao simples e n˜ao degeneradas). A holonomia local as-
sociada a esta singularidade, relativa ao divisor Dj, calculada na se¸c˜ao transversal Σj = (x = 1)
´
e ent˜ao dada por h(y) = exp(2πiλ).y, como j´a vimos anteriormente. Consideremos a 1-forma meromorfa fechada ωp = dyy − λdxx = x.y1 .ω em U . Esta ´e uma forma fechada que tem p´olos
simples e res´ıduo 1 sobre Dj ∩ U ⊂ (y = 0). Observe que ambas as formas, ωp e ωj, est˜ao
definidas e representam a mesma folhea¸c˜ao ( ˜F) em Vj ∩ U ⊃ γ = {(x, 0); | x |= 1}. Logo
ωq∧ ωj = 0 e portanto ωj = f.ωp em Vj∩ U, onde f ´e uma fun¸c˜ao meromorfa em Vj ∩ U. Seja
ϵ > 0 tal que V ={(x, y); 1 − ϵ <| x |< 1 + ϵ, | y |< ϵ} ⊂ Vj∩ U.
Observe que, ωj |V= αy e ωp |V= βy, onde α e β s˜ao holomorfas em V . Decorre da´ı que f ´e de
fato holomorfa em V . Podemos ent˜ao representar f em V por uma s´erie de Laurent da forma
f (x, y) = ∑
i∈Z,j≥0
fijxiyj
Por outro lado, como ωpe ωj s˜ao fechadas obtemos que df∧ωp = 0, ou seja, f ´e uma integral
primeira de ˜F em Vj ∩ U. Esta rela¸c˜ao pode ser escrita em V como:
(∗) xfx+ λyfy = 0
Considerando a s´erie de Laurent do termo da esquerda de (*) e igualando os seus coeficientes a zero, obtemos as seguintes rela¸c˜oes:
(∗∗) (i + jλ)fij = 0, ∀i ∈ Z, j ≥ 0
Temos dois casos a distinguir:
Caso 1: λ̸∈ Q. Neste caso claramente devemos ter fij = 0 ,∀(i, j) ̸= (0, 0), ou seja f ´e constante
e ωj ao longo de (y = 0) s˜ao iguais a 1, obtemos c = 1, ou seja ωp = ωj em Vj∩ U. Decorre da´ı
que ωj se estende como ωp `a vizinhan¸ca U de p.
Caso 2: λ ∈ Q−. Seja λ = −mn onde n, m ∈ N s˜ao primos entre si. Neste caso (**) implica que, se fij ̸= 0 ent˜ao n.i − m.j = 0, ou seja que (i, j) = (k.m, k.n), onde k ≥ 0 (j´a que j ≥ 0).
Conclu´ımos da´ı que f (x, y) = ϕ(xmyn), onde ϕ ´e uma fun¸c˜ao holomorfa de uma vari´avel. Isto prova que f se estende a uma fun¸c˜ao holomorfa numa vizinhan¸ca de p. Portanto ωj pode ser
estendida a uma vizinhan¸ca de p como f.ωp, o que prova a Afirma¸c˜ao 4.6.4.
Para finalizar a prova do Lema 4.5.3, basta observar que como o grupo de holonomia virtual cont´em um atrator, segue que fixada carta local (xα, yα) ∈ Uα como acima na constru¸c˜ao de
ωj e dada qualquer coordenada z em Σα = (xα = cte) que linearize Holvirt( ˜F, Dj, Σα), ent˜ao o
Lema 4.2.3 implica que yα Σα = c.z para alguma constante c ∈ C∗, de onde podemos deduzir
que ωj Σ α = dyα yα Uα = dz z.
Agora provaremos a existˆencia de uma forma fechada ω com p´olos simples, e que define ˜F (fora de seus p´olos) numa vizinhan¸ca de D = Do∪ D1...∪ Dr.
Pelo Lema 4.5.3, para cada componente Dj ⊂ D existem, Uj vizinhan¸ca de Dj, e ωj, 1-forma
meromorfa fechada com p´olos simples definida em Uj, tais que ˜F U
j ´e dada por ωj = 0 fora de
(ωj)∞. Consideremos uma esquina Di∩Dj ̸= ∅, digamos q = Di∩Dj. Como ωie ωj representam
a mesma folhea¸c˜ao na vizinhan¸ca Uij = Ui∩ Uj de q, vemos que ωi = f.ωj, onde f meromorfa
em Uij. Observe que df∧ ωj = 0, j´a que ωi e ωj s˜ao fechadas, ou seja, f ´e uma integral primeira
para ˜F em Uij. Provaremos em seguida que f ´e constante.
Como j´a vimos, ˜F ´e equivalente a uma folhea¸c˜ao linear numa vizinhan¸ca de q, ou seja, pode ser representada pela forma xdy− λydx em alguma carta local (x, y): U → C2, tal que
Dj ⊂ (y = 0) e Di ⊂ (x = 0). Se λ ̸∈ Q ent˜ao, pelo que vimos na prova do Lema 4.5.3, ˜F n˜ao
admite integral primeira meromorfa n˜ao constante numa vizinhan¸ca de q. Logo neste caso f ´e uma constante, como quer´ıamos.
Suponha agora que λ =−m/n ∈ Q, onde n, m ∈ N s˜ao relativamente primos. Veremos que neste caso f ´e tamb´em constante. Fixemos discos transversais Σi ⊂ (y = 1) e Σj ⊂ (x = 1)
como de h´abito. Podemos escolher a carta (x, y) de tal forma que Holvirt( ˜F, Di, Σi) ´e linear na
coordenada x→ (x, 1) ∈ Σi. De fato, por hip´otese, a holonomia virtual de Dicont´em um atrator,
digamos g, onde g′(0) = µ. Como g comuta com a holonomia da separatriz Di, a qual ´e da forma
h(x) = e−2πimn.x, podemos escrever g(x) = µx˜g(xm) para algum ˜g ∈ O1 tal que ˜g(0) = 1. Seja
x′= ϕ(x) uma mudan¸ca de coordenadas em vizinhan¸ca de 0∈ Σi tal que ϕ◦ g ◦ ϕ−1 ´e linear, ou
seja, tal que ϕ(g(x)) = µϕ(x). Utilizando que na coordenada x′ a holonomia h da separatriz Σi
´
e tamb´em linear, obtemos que ϕ(x) = x. ˜ϕ(xm), onde ˜ϕ(0)̸= 0 (verifique). Consideremos ent˜ao
N˜ao ´e dif´ıcil verificar que ψ∗(mydx + nxdy) = u.(my′dx′+ nx′dy′),, onde u(0)̸= 0, ou seja, que
ψ preserva a folhea¸c˜ao linear. Podemos ent˜ao supor que g ´e linear na coordenada (x, y), como quer´ıamos.
Observe agora que k(y) = µ1.y, onde µ1 ´e uma raiz m-´esima de µn ´e um atrator linear em
Holvirt( ˜F, Dj, Σj) (veja a demonstra¸c˜ao da Proposi¸c˜ao 4.5.1). Isto implica que Holvirt( ˜F, Dj, Σj)
´
e lineariz´avel na coordenada y→ (1, y) de Σj. Por outro lado, pelo Lema 4.5.3, temos
ωi|Σi= dx x ⇒ ωi= dx x + n m. dy y
como o leitor pode verificar facilmente. Analogamente ωj = dyy +mn.dxx, de onde conclu´ımos que
ωi = mn.ωj, como quer´ıamos.
Vamos agora utilizar que D n˜ao tem ciclos. Podemos supor, sem perda de generalidade, que
D ´e conexo. Ordenamos D = Do∪ D1∪ ... ∪ Dr de tal forma que para todo k ≤ r o conjunto
Do∪ ... ∪ Dk seja conexo. Definimos ent˜ao por indu¸c˜ao em k = 0, ..., r, uma forma fechada Ωk
por
(i) Ωo= ωo.
(ii) Dado 0≤ k ≤ r − 1, suponhamos definida a forma fechada Ωkna vizinhan¸ca Uo∪ ... ∪ Uk de
Do∪ ... ∪ Dk, de tal forma que Ωk |Uj= cjωj, onde cj ∈ C∗. Observe que em Uk∩ Uk+1 temos
Ωk= ck.ωk= c′.ωk+1, onde c′ ´e uma constante. Podemos ent˜ao estender Ωk a uma forma Ωk+1
em Uo∪ ... ∪ Uk+1 colocando Ωk+1|Uk+1= c′.ωk+1. O fato de D n˜ao ter ciclos implica que Ωk+1
est´a bem definida.
Basta agora colocarmos ˜ω = Ωr.
A hip´otese (3) pode ser omitida no caso que mais nos interessa:
Proposi¸c˜ao 4.6.5. Seja F folhea¸c˜ao em CP (2), com uma curva alg´ebrica invariante Λ ⊂
CP (2). Denote por π : (M, D) → (CP (2), Λ) a resolu¸c˜ao de F Λ e seja ˜F = π∗F como de h´abito. Assuma que:
(1) sing ˜F ∩ D n˜ao cont´em selas-n´os e que as singularidades de F sobre Λ n˜ao s˜ao dicr´ıticas, isto ´e, que todas as componentes irredut´ıveis de D s˜ao invariantes por ˜F.
(2) Cada componente irredut´ıvel Dj de D tem holonomia virtual abeliana e lineariz´avel contendo
um atrator.
Ent˜ao F ´e dada por uma forma logar´ıtmica em CP (2).
Demonstra¸c˜ao. A id´eia ´e provar queF pode ser definida por uma 1-forma meromorfa fechada (veja o Exemplo 1.4.8 do Cap´ıtulo I).
Seguindo a prova da Proposi¸c˜ao 4.6.1, podemos construir para cada componente Dj ⊂ D
uma 1-forma meromorfa ωj numa vizinhan¸ca Uj de Dj, que ´e fechada e com p´olos simples. Estas
Obtemos desta forma um cociclo multiplicativo (cij)Ui∩Uj̸=∅, associado `a cobertura Uo∪ ... ∪ Ur
de D = Do∪ ... ∪ Dr.
Fixemos um sistema de coordenadas afim C2 ≃ E ⊂ CP (2) e uma forma polinomial Ω que representa F em E. Esta forma se estende a CP (2) como forma meromorfa com p´olos na reta do infinito de E. Seja ˜Ω = π∗(Ω). Esta ´e uma forma meromorfa em M que representa ˜F em
M \ (˜Ω)∞. Sendo assim, para cada j ∈ {0, ..., r}, existe uma fun¸c˜ao meromorfa hj em Uj tal
que ˜Ω|Uj= hj.ωj. Por outro lado, se Uij = Ui∩ Uj ̸= ∅, ent˜ao, em Uij temos
˜
Ω = hiωi= hicij.ωj = hjωj
de onde conclu´ımos que
hi = c−1ij .hj ⇒
dhi
hi
= dhj
hj
em Uij. Decorre da´ı que existe uma 1-forma meromorfa fechada ˜η em ˜U tal que ˜η |Uj=
dhj
hj .
Como π : M → CP (2) ´e obtido por explos˜oes pontuais, existe uma forma meromorfa fechada
η em U = π( ˜U ) tal que ˜η = π∗(η). Pelo Teorema global de Levi (veja o Apˆendice), a forma η pode ser estendida a uma forma meromorfa emCP (2), a qual denotaremos tamb´em por η.
Afirma¸c˜ao 4.6.6. Existe uma fun¸c˜ao meromorfa f em CP (2) tal que η = dff.
Demonstra¸c˜ao. Utilizaremos a classifica¸c˜ao das 1-formas meromorfas fechadas emCP (n), vista na Proposi¸c˜ao 2.5.11. Em primeiro lugar observemos que, se C ´e uma componente irredut´ıvel de (η)∞, o divisor de p´olos de η, ent˜ao: (i) A ordem de C como polo de η ´e um. (ii) O res´ıduo de η em C ´e inteiro.
De fato, seja η = π∗(η) (a qual ser´a uma extens˜ao meromorfa da forma ˜η considerada
anteriormente). Pelo teorema de B´ezout, C ∩ Λ ̸= ∅, logo C ∩ U ̸= ∅. Em particular, a transformada estrita ˜C de C por π, corta ˜U . Suponhamos por exemplo que ˜C∩ Uj ̸= ∅. Ora,
η |Uj=
dhj
hj . Como
dhj
hj satisfaz `as propriedades (i) e (ii) (verifique), obtemos que o mesmo
´
e verdade para η, logo para η. Decorre ent˜ao da Proposi¸c˜ao 2.5.11 do Cap´ıtulo 2, que em coordenadas homogˆeneas, η pode ser escrita como
η = s ∑ j=1 mj dfj fj
onde f1, ..., fss˜ao polinˆomios homogˆeneos emC3e m1, ..., ms∈ Z s˜ao tais que∑sj=1mjgrau(fj) =
0. A fun¸c˜ao racional F em C3 definida por F = Πsj=1fmj
j ´e o quociente de dois polinˆomios ho-
mogˆeneos do mesmo grau (j´a que∑sj=1mj grau(fj) = 0) e satisfaz dFF =
∑s j=1mj
dfj
fj. Portanto
ela induz uma fun¸c˜ao meromorfa f em CP (2) tal que η = dff , o que prova a Afirma¸c˜ao 4.6.6.
Com efeito, se ˜f = f ◦ π, ent˜ao η = d ˜f˜
f . Por outro lado, se j∈ {0, ..., r}, ent˜ao ωj =
1 hj. ˜Ω ´e fechada, logo d ˜Ω|Uj= dhj hj ∧ ˜Ω = d ˜f ˜ f ∧ ˜Ω j´a que η |Uj= dhj
hj . Como a rela¸c˜ao acima vale num aberto de M , ela ´e verdadeira em M .
Obtemos da´ı que dΩ = dff ∧ Ω e isto implica que d(Ωf) = 0, o que prova a Afirma¸c˜ao 4.6.7. Coloquemos ω = Ωf. Esta ´e uma forma meromorfa fechada que representa F fora de seus p´olos. Para ver que ω ´e uma forma logar´ıtmica ´e suficiente provar que os seus p´olos s˜ao de ordem um (veja a Proposi¸c˜ao 2.5.11). Como o leitor pode verificar, este fato decorre de um argumento semelhante ao que fizemos para provar (i) da Afirma¸c˜ao 4.6.6 e que as formas ωj,
utilizadas anteriormente, tˆem p´olos de ordem um. Deixamos os detalhes para o leitor.