Constru¸c˜ ao do conjunto dos n´ umeros inteiros

(a) S

X/R=X;

(b) ∅∈/ X/R;

(d) Se x ∈ Y e todo Y ∈ X/R, para todo y ∈ X temos que xRy se, e somente se, y∈Y.

Demonstra¸c˜ao: Usaremos a nota¸c˜ao [x] para o conjunto {y∈X :xRy}.

Dado x ∈ X, temos que x ∈ [x], uma vez que, pela propriedade reflexiva, xRx.

Isso prova (a). Como todo elemento deX/R´e da forma [x], para algum x∈X, isso prova tamb´em a parte (b)

Para provar (c), assumindo que Y e Z são dois elementos de X/R que não são disjuntos, mostraremos que Y =Z. Sejam x∈Y ∩Z e y₀, z₀ ∈X tais que Y = [y₀] e Z = [z₀]. Dadoy ∈Y, temos, por defini¸cão, que y₀Ry. Logo, pela simetria,yRy₀. Mas como x ∈ Y, temos y₀Rx. Pela transitividade temos yRx. Mas, como x ∈ Z, temos z₀Rx e, pela simetria,xRz₀. Logo, a transitividade nos dáyRz₀ e, novamente pela simetria, z₀Ry, o que prova quey∈Z. Isso conclui queY ⊂Z e um argumento análogo mostra que Z ⊂Y, provando queY =Z.

Mostremos a parte (d). Se Y ∈ X/R, existe y0 ∈ X tal que Y = [y0]. Como x ∈ Y, temos que y₀Rx e, portanto, xRy₀. Se yRx, por transitividade e simetria temosyRy₀ ey₀Ry, de onde temos quey ∈Y. Por outro lado, sey ∈Y, temosy₀Ry

e, portanto, xRy, concluindo a prova do teorema.

Em outras palavras, o Teorema 11.2 parte (d) nos diz que duas classes de equi-valˆencia [x] e [y] s˜ao iguais se, e somente se, xRy.

11.2. CONSTRUÇ ÃO DO CONJUNTO DOS N ÚMEROS INTEIROS 67 produto de números inteiros. Uma defini¸cão informal seria

[(a, b)] + [(c, d)] = [(a+c, b+d)]

[(a, b)]·[(c, d)] = [(ac+bd, ad+bc)]

Porém, tal defini¸cão não pode depender da escolha do representante. Nesta primeira vez que fazemos esse tipo de constru¸cão seremos mais rigorosos, definindo explicita-mente as fun¸cões de soma e produto. Como mais um abuso de nota¸cão, denotaremos (Z×Z)×ZporZ×Z×Z, ou, simplesmente,Z³, e o par ((x, y), z) pela tripla (x, y, z).

Definimos:

S ={(x, y, z)∈Z³ :∃a∃b∃c∃d((a, b)∈x∧(c, d)∈y∧(a+c, b+d)∈z}

P ={(x, y, z)∈Z³ :∃a∃b∃c∃d((a, b)∈x∧(c, d)∈y∧(ac+bd, ad+bc)∈z}

Teorema 11.3 Sejam S e P definidos como acima. Temos que (a) S e P s˜ao fun¸c˜oes;

(b) Para todos a, b, c, d em ω temos que S([(a, b)],[(c, d)]) = [(a+c, b+d)];

Demonstra¸cão: Para as três partes do teorema precisamos mostrar a independência em rela¸cão à escolha dos representantes. Isto é, mostraremos a seguinte afirma¸cão:

Afirma¸c˜ao: Se (a, b)R(a⁰, b⁰) e (c, d)R(c⁰, d⁰) ent˜ao (a+c, b+d)R(a⁰+ c⁰, b⁰+d⁰) e (ac+bd, ad+bc)R(a⁰c⁰+b⁰d⁰, a⁰d⁰ +b⁰c⁰).

Provaremos a afirma¸c˜ao assumindo as propriedaes conhecidas da aritm´etica: co-mutatividade, associatividade, lei do cancelamento etc.

Suponha que (a, b)R(a⁰, b⁰) e (c, d)R(c⁰, d⁰). Isso significa que a + b⁰ = b +a⁰ e c +d⁰ = d + c⁰. Logo, a +b⁰ +c +d⁰ = b + a⁰ + d +c⁰, o que significa que (a+c, b+d)R(a⁰+c⁰, b⁰+d⁰).

Agora veremos que (ac+bd, ad+bc)R(a⁰c⁰+b⁰d⁰, a⁰d⁰+b⁰c⁰).

Comoa+b⁰ =a⁰+be c+d⁰ =c⁰+d, temos que, para todos x, y, z, w em ω, vale a seguinte igualdade:

(a+b⁰)x+ (c+d⁰)y+ (a⁰+b)z+ (c⁰+d)w= (a⁰+b)x+ (c⁰+d)y+ (a+b⁰)z+ (c+d⁰)w Tomando x= c+c⁰, y =a+a⁰, z =d+d⁰ e w=b+b⁰, utilizando as propriedades operat´orias de n´umeros naturais, provamos queac+bd+a⁰d⁰+b⁰c⁰ =ad+bc+a⁰c⁰+b⁰d⁰ e, portanto, (ac+bd, ad+bc)R(a⁰c⁰+b⁰d⁰, a⁰d⁰+b⁰c⁰). Deixamos os detalhes das contas para o leitor completar.

Vejamos como isso ajuda a provar o teorema. Para provar que S ´e uma fun¸c˜ao de Z² em Z, primeiro temos que provar que, para todo (x, y)∈ Z², existe z tal que

(x, y, z)∈S. Mas isso é verdade, pois pelo Teorema 11.2, parte (b), existe x e y são não-vazios. Logo, existem (a, b)∈ x e (c, d) ∈y. Pela parte (a) do mesmo teorema, existez tal que (a+c, b+c)∈z, o que nos dá, pela defini¸cão deS, que (x, y, z)∈S.

O mesmo argumento mostra que, para todo (x, y)∈Z², existez tal que (x, y, z)∈P, tomando, desta vez, z contendo (ac+bd, ad+bc).

Isso já prova, quando concluirmos que S e P são fun¸cões, as partes (b) e (c) do presente teorema.

Agora vejamos a unicidade. Suponha que (x, y, z) ∈ S e (x, y, z⁰) ∈ S. Pela defini¸cão de S, (x, y, z) ∈ S implica que existem números naturais a, b, c, d tais que (a, b)∈x, (c, d)∈y e (a+c, b+d)∈z, e (x, y, z⁰)∈S implica que existem números naturaisa⁰, b⁰, c⁰, d⁰ tais que (a⁰, b⁰)∈x, (c⁰, d⁰)∈y e (a⁰ +c⁰, b⁰+d⁰)∈z⁰.

Note que não podemos, a princ´ıpio, assumir que os números a, b, c, d que teste-munham que (x, y, z)∈S são os mesmos que testemunham que (x, y, z⁰)∈S.

Porém, como (a, b) e (a⁰, b⁰) ambos pertencem a x, o Teorema 11.2, parte (d), nos garante que (a, b)R(a⁰, b⁰). Da mesma forma temos (c, d)R(c⁰, d⁰). Logo, pela afirma¸cão, (a+c, b+d)R(a⁰ +c⁰, b⁰+d⁰). Logo, o Teorema 11.2, parte (d), também nos assegura que (a⁰+c⁰, b⁰+d⁰)∈z. Portanto, (a⁰+c⁰, b⁰+d⁰)∈z∩z⁰, o que implica, pela parte (c) do Teorema 11.2, quez =z⁰, como quer´ıamos provar.

A demonstra¸cão de queP é uma fun¸cão é análoga.

Sendo x e y números inteiros, denotamos S((x, y)) por x+y, e P((x, y)) por x·y ou, simplesmente, xy. Como estamos usando os mesmos s´ımbolos em conjuntos diferentes, estamos fugindo um pouco do rigor da lógica, e precisamos estar atentos ao contexto. O importante é nunca perder a conexão com a linguagem lógica estrita, estando ciente de como cada uma dessas nota¸cões funciona como abreviatura.

Definir fun¸cão em classes de equivalência através de um representante, para de-pois mostrar que a defini¸cão independe da escolha do representatne, é uma prática bastante comum no cotidiano da matemática, com a qual o estudante deve ter se deparado diversas vezes. Aqui foi apresentada a formaliza¸cão desse processo, que, como podemos notar, não é trivial, apesar de ser bem intuitivo. Reparem que todos os itens do Teorema 11.2 foram utilizados e, na demonstra¸cão desse, foram utilizadas todas as três propriedades de rela¸cão de equivalência.

11.3 Constru¸ c˜ ao do conjunto dos n´ umeros racio-nais

A constru¸cão deQ a partir deZse assemelha muito à constru¸cão de Za partir deω.

Primeiro definimos o número inteiro 0 (eventualmente denotado por 0_Z, quando houver possibilidade de confusão com o número natural 0) como a classe [(0,0)].

Definimos uma rela¸c˜aoR em Z×(Z r{0_Z}) como

R={((a, b),(c, d))∈(Z×(Z r{0_Z}))² :ad=bc}

Fica como exerc´ıcio verificar que R é uma rela¸cão de equivalência.

11.4. CONSTRUÇ ÃO DO CONJUNTO DOS N ÚMEROS REAIS 69 Definimos

Q= (Z×(Z r{0_Z}))/R

Obviamente, a classe de equivalência representada pelo par (a, b) corresponde ao número racional representado pela fra¸cão â_b, eR é a equivalência de fra¸cões.

Definimos a soma e o produto de n´umeros reais da seguinte forma:

[(a, b)] + [(c, d)] = [(ad+bc, bd)]

[(a, b)]·[(c, d)] = [(ac, bd)]

Deixamos como exerc´ıcio ao leitor provar que essa defini¸cão independe da escolha do representante. Os demais detalhes para a formaliza¸cão são iguais aos que foram feitos anteriormente.

11.4 Constru¸ c˜ ao do conjunto dos n´ umeros reais

A constru¸cão que será feita nesta se¸cão deve-se a Richard Dedekind (1831–1916).

Para construirmos os números reais a partir dos racionais, precisamos, antes, introduzir uma série de defini¸cões para podermos falar da ordem em Q.

Dizemos que um n´umero inteiro x ´e positivo se existe n ∈ ω tal que n 6= 0 e (n,0)∈x.

Dizemos que um número racional x é positivo se existe (a, b) ∈ x tal que a e b são números inteiros positivos.

Definimos uma rela¸c˜ao<em Qda seguinte forma: a < b se, e somente se, existe um n´umero racional positivo ctal que a+c=b.

Dizemos que um subconjunto C deQ ´e um corte se satisfaz as seguintes propri-edades:

• ´e n˜ao-vazio: ∃x(x∈C);

• n˜ao cont´em todos os racionais: ∃x(x∈Q∧x /∈C);

• n˜ao tem m´aximo: ∀x∃y:x < y;

• ´e fechado para baixo: ∀x∀y((x∈C∧y < x)→y∈C).

Definimos o conjunto dos n´umeros reais como:

R={C ⊂Q:C ´e um corte}

Intuitivamente, pensamos em um n´umero real, nesta constru¸c˜ao por cortes, como o conjunto dos racionais menores do que ele.

Dados dois n´umeros reais A e B (ou seja, dois cortes em Q) definimos a soma e o produto de A e B como:

[A] + [B] ={a+b :a∈A∧b∈B}

[A]·[B] ={x∈Q:∃a∃b(a∈A∧b∈B ∧x < a·b)}

Deixamos como exerc´ıcio provar que as defini¸cões acima estão boas. Ou seja, que os subconjuntos deQdefinidos acima são cortes. Ao leitor mais paciente indicamos a tarefa de provar todos os axiomas de corpo ordenado completo – com a ordem dada pela inclusão – que são estudados em Análise Real.

Exerc´ıcios

1. Seja X um conjunto e sejamx₀ e y₀ dois elementos distintos de X. Considere a seguinte rela¸c˜ao em X:

R ={(x, y)∈X×X :x=y} ∪ {(x₀, y₀),(y₀, x₀)}

(a) Prove que R é uma rela¸cão de equivalência em X.

(b) Descreva os elementos de X/R.

2. Considere C um conjunto não-vazio de conjuntos não-vazios tal que, para todos x e y pertencentes a C, se x 6= y então x∩y = ∅. Seja X = S

C. Defina em X a rela¸c˜ao:

R ={(x, y)∈X :∃z(z ∈C∧x∈z∧y∈z)}

(a) Prove que R é uma rela¸cão de equivalência em X.

(b) Mostre queC =X/R.

3. Como fica uma rela¸c˜ao de equivalˆencia sobre ∅? Ela satisfaz o Teorema 11.2?

4. Prove a propriedade comutativa da soma de n´umeros inteiros.

5. Prove que a rela¸cão R definida na Se¸cão 11.2 é uma rela¸cão de equivalência (podendo assumir as propriedades usuais da soma de números naturais, como asso-ciatividade e a lei do cancelamento).

Cap´ıtulo 12

Axioma da substitui¸ c˜ ao

Veremos agora o ´ultimo axioma (ou melhor, esquema de axiomas) de ZF (isto ´e, o sistema de Zermelo e Fraenkelsem o axioma da escolha).

Axioma 9 (da substitui¸cão) Seja P(x, y) uma fórmula e suponha que, para todo x, y, z temos que P(x, y) e P(x, z) implicam y = z. Então, para todo conjunto X, existe o conjunto

{y :∃x(x∈X∧P(x, y))}.

A condi¸cão sobre a fórmulaP diz que, para todo x, existeno máximo um ypara o qual P(x, y) vale. Ou seja, P exerce o papel de uma fun¸cão parcial em X, e o axioma da substitui¸cão garante que existe a imagem dessa “fun¸cão”.

Para simplificar a nota¸cão, introduzimos alguns s´ımbolos lógicos que serão utili-zados neste cap´ıtulo. O s´ımbolo ∃⁰ significa “existe no máximo um” e é definido da seguinte forma:

∃⁰xP ≡ ∀y(P_x^y →(x=y)) O s´ımbolo ∃! significa “existe um ´unico” e ´e definido como

∃!xP ≡(∃xP)∧(∃⁰xP)

Formalmente, utilizando essa nota¸cão, o esquema de axiomas da substitui¸cão diz que para toda fórmulaP em quev não ocorre livre a seguinte fórmula é um axioma:

∀x∃⁰yP → ∀X∃v∀y((y∈v)↔ ∃x(x∈X∧P))

O motivo da restri¸cão dev não ocorrer livre emP é o mesmo que foi discutido no axioma da separa¸cão: reservamos a variável v para definir o conjunto que o axioma constrói, e a ocorrência livre de v em P poderia resultar em um paradoxo.

Poder´ıamos suprimir o axioma da separa¸cão da lista de axiomas de ZFC, e prov´ a-lo como teorema, a partir do axioma da substitui¸cão. Para isso basta tomarmos a fórmula P(x)∧(x=y), escolhendo y uma variável que não ocorre livre em P (lem-brando que, utilizando os axiomas lógicos, é sempre poss´ıvel substituirmos uniforme-mente as variáveis livres de uma fórmula). O axioma da separa¸cão nos garante que existe o conjunto

{y:∃x(x∈X∧P(x)∧(x=y))}, 71

o que coincide com o conjunto

{x∈X :P(x)}.

Classes de conjuntos: Para entendermos melhor o axioma da substitui¸cão, pre-cisamos compreender a no¸cão intuitiva de classes de conjuntos. A grosso modo, uma classe própria é um conjunto (intuitivamente falando) “grande demais para ser con-junto”. Por exemplo, vimos que não existe o “conjunto de todos os conjuntos”, nem o “conjunto de todos os conjuntos unitários”. Então falamos, intuitivamente, da

“classe de todos os conjuntos”, ou da “classe dos conjuntos unit´arios”.

Outras axiomatiza¸c˜oes para a teoria dos conjuntos – como a de Neumann, Bern-nays e G¨odel (NGB) e a de Kelley e Morse (KM) – formalizam o conceito de classes.

Nessas teorias, existem dois tipos de objetos matem´aticos: as classes e os conjuntos.

Todo conjunto é uma classe, mas nem toda classe é um conjunto. Classes que não são conjuntos são chamadas de classes próprias.

Em ZFC, n˜ao existem classes, mas podemos reproduzir os argumentos usados em NGB e KM “interpretando” corretamente o conceito de classe, na metalinguagem.

Para isso, basta identificarmos classes com uma variável livre que ocorre em uma fórmula. Por exemplo, podemos escrever a fórmula “x é unitário”. Então pensamos na classe de todos os conjuntos x que satisfazem essa fórmula. Se C é a “classe” de todos os conjuntos unitários, então escrevermos (por um abuso de nota¸cão) x∈C é o mesmo que escrever “xé unitário”. A primeira frase não pode ser escrita formalmente em ZFC (apenas em NGB e KM), mas a segunda, pode, e tem o mesmo significado que a primeira.

Assim, dentro de ZFC o conceito de classes pode ser considerado um modo de enxergarmos alguns argumentos e teoremas que, de outro modo, seria menos intuitivo para compreendermos.

Sob esse ponto de vista, vamos explicar o que significa o axioma da substitui¸c˜ao.

A condi¸cão que temos sobre a fórmulaP(x, y) é a mesma que temos para uma rela¸cão ser fun¸cão (parcial). Ou seja, P pode ser vista como uma “fun¸cão entre classes”. O axioma da substitui¸cão diz que, se o dom´ınio de P é um conjunto (ou está contido em um conjunto), então a imagem de P também é um conjunto. Ou ainda, quando restringimosP a um conjunto, a imagem deP restrita a esse conjunto também é um conjunto.

Para aplicarmos o axioma da substitui¸cão precisamos enunciar uma nova versão do teorema da recursão finita. Antes, convém discorrermos sobre as diferen¸cas entre essa versão e aquela que vimos no Cap´ıtulo 9, e como aplicaremos para obtermos o fecho transitivo de um conjunto.

O fecho transitivo dexé o menor conjunto transitivo que contém x. Para conse-guirmos isso, iteramos uma sequência infinita de uniões. Isto é, o fecho transitivo de x será o conjunto S

z, ondez ´e “definido” como z ={x,[

x,[ [

x,[ [ [ x, . . .}

E claro que essa defini¸c˜´ ao não está boa. Além de definirmos rigorosamente o conjunto z acima, sem usarmos as reticências, precisamos provar que ele existe, e é nesse ponto que entrarão o axioma da substitui¸cão e o teorema da recursão “para classes”.

73 Vejamos como poder´ıamos usar o teorema da recursão finita para provarmos a existência de z. Retome o enunciado do Teorema 9.1. O conjunto x será o mesmo do enunciado, e g a fun¸cão g(y) = S

y. Pelo teorema da recursão existe uma única fun¸cãof de dom´ınio ω tal que f(0) =x e f(n⁺) =g(g(n)). Isto é, f(n⁺) =S

f(n).

O conjunto z procurado ´e justamente a imagem de f.

Porém, há uma falha nos argumentos do parágrafo anterior, que é justamente a defini¸cão de g. Falta definirmos o dom´ınio e contradom´ınio de g (o conjunto X do enunciado do Teorema 9.1). Se tivéssemos o “conjunto de todos os conjuntos”, bastar´ıamos tomar esse como X.

Para contornarmos esse problema, trocamos a fun¸cãog, no enunciado do teorema da recursão, por uma “fórmula funcional” G. Exigimos, então, que a fórmula possua pelo menos duas variáveis livres, x ey, e que, para cada x existe um único y tal que G(x, y) é verdadeira. Ou seja, poder´ıamos escrever y = G(x) e, nessa concep¸cão, a fórmula G(f(n), f(n⁺)) escrita no enunciado do teorema seguinte equivale a f(n⁺) = G(f(n)).

Teorema 12.1 (recursão finita “para classes”) Sejamx₀ um conjunto eG(x, y) uma fórmula tal que ∀x∃!yG(x, y) seja verdadeira. Existe uma única fun¸cão f de dom´ınio ω tal que f(0) =x₀ e G(f(n), f(n⁺)) é verdadeira.

Demonstra¸c˜ao: SejaF(n, f) a seguinte f´ormula:

n ∈ ω e f ´e uma fun¸c˜ao de dom´ınio n⁺ satisfazendo f(0) = x0 e G(f(k), f(k⁺)), para todo k ∈n.

Primeiro notemos que as expressões f(0), f(k) e f(k⁺) da fórmula acima estão bem definidas. Isto é, 0, k e k⁺ pertencem ao dom´ınio de f. De fato, já vimos que 0∈n⁺, para qualquer n, e é fácil ver que k∈n implica que k⁺∈n⁺.

Está claro, pela maneira como definimos a fórmula F(n, f), que essa nunca será satisfeita quando n não é um número natural. A próxima afirma¸cão, que será pro-vada por indu¸cão em n, assegura que F(n, f) satisfaz as condi¸cões do axioma da substitui¸cão, e tem como “dom´ınio” o conjunto ω.

Afirma¸cão 1: Para cada n ∈ω existe um único f tal que F(n, f) é verdadeiro.

A afirma¸cão é verdadeira paran = 0. De fato,f ={(0, x₀)}é a única fun¸cão de dom´ınio 0⁺que satisfazf(0) =x0. Como não existek ∈0, a condi¸cãoG(f(k), f(k⁺))

e automaticamente satisfeita, para todo k ∈0.

Suponha que a afirma¸cão vale paran. Mostraremos paran⁺. Seja f satisfazendo F(n, f). Pela hipótese, existe y tal que G(f(n), y) é verdadeiro. Defina

g =f ∪ {(n⁺, y)}

Ou seja, g restrita a n⁺ ´e igual a f, eg(n⁺) = y. Mostremos que valeF(n⁺, g).

Como dom(f) = n⁺, temos que g é uma fun¸cão de dom´ınio n⁺∪ {n⁺}. Isto é, dom(g) = (n⁺)⁺. De 0∈n⁺ e n⁺ =dom(f) segue que g(0) =f(0) =x₀.

Falta mostrar a “´ultima parte” de F(n⁺, g). Seja k ∈ n⁺. Temos k ∈ n ou k =n. Se k ∈ n, temos k⁺ ∈ n⁺, que ´e o dom´ınio de f, e, portanto, g(k) = f(k) e g(k⁺) = f(k⁺). Logo, de G(f(k), f(k⁺)) segueG(g(k), g(k⁺)).

Analisemos o segundo caso: k = n. Temos g(k⁺) = g(n⁺) = y e g(k) = f(k).

Logo, deG(f(n), y) segue G(g(k), g(k⁺)).

Conclu´ımos que F(n⁺, g) é verdadeira. Mostremos a unicidade. Isto é, se vale F(n⁺, g⁰) então g =g⁰.

Seja g⁰ uma fun¸cão de dom´ınio (n⁺)⁺ satisfazendo F(n⁺, g⁰). Considere f⁰ a restri¸cão de g⁰ an⁺. Isto é, definimos f⁰(k) = g⁰(k), para todo k ∈n⁺. Vejamos que vale F(n, f⁰).

Temos f⁰(0) = g⁰(0) = x₀. Se k ∈ n, de F(n⁺, g⁰) segue G(g⁰(k), g⁰(k⁺)). Logo, como k⁺∈n⁺, vale G(f⁰(k), f⁰(k⁺)). Conclu´ımos que F(n, f⁰) ´e verdadeira.

Portanto, da hipótese indutiva sobre a unicidade de f, segue que f⁰ = f. Em particular,g⁰(k) =g(k), para todok∈n⁺. Para mostrarmos queg =g⁰, basta verifi-carmos queg(n⁺) = g⁰(n⁺). Mas ambas as fórmulasG(g(n), g(n⁺)) eG(g⁰(n), g⁰(n⁺)) são verdadeiras. Como g(n) = g⁰(n), pois n ∈ n⁺, da hipótese sobre G segue que g(n⁺) =g⁰(n⁺).

Conclu´ımos, dessa forma, que a existência de uma única f tal que F(n, f) é verdadeira implica na existência de uma única g tal que vale G(n⁺, g). Portanto, provamos a afirma¸cão 1 por indu¸cão sobren.

Usando o axioma da substitui¸c˜ao, garantimos a existˆencia do seguinte conjunto:

Y ={g :∃n(n ∈ω∧F(n, g))}

Ou seja, g ∈Y se, e somente se, vale F(n, g) para algumn ∈ω. Definimos f =[

Afirma¸cão 2: fé uma fun¸cão de dom´ınioωsatisfazendoG(f(n), f(n⁺)), para todon ∈ω.

Para provarmos a afirma¸cão 2, primeiro notamos que todos os elementos def são elementos de alguma fun¸cão g de dom´ınio contido em ω. Logo, f é um conjunto de pares ordenados da forma (n, y), para n∈ω.

Seja n ∈ ω. Existe g que satisfaz F(n, g). Como n ∈ dom(g), existe y tal que (n, y) ∈ g e, portanto, (n, y) ∈ f. Agora, suponha que exista y⁰ tal que (n, y⁰) ∈ f. Temos que (n, y⁰)∈g⁰, para algumg⁰ ∈Y. Comon ∈dom(g⁰), repetindo o argumento feito no final da afirma¸cão 1 conclu´ımos que a restri¸cão de g⁰ a n⁺ é igual a g e, portanto, y⁰ =g⁰(n) =g(n) = y. Provamos que f é uma fun¸cão de dom´ınio ω.

Vejamos que G(f(n), f(n⁺)) vale para todo n. Seja n∈ ω e tome g tal que vale F(n⁺, g). Temos g ∈ Y e vale G(g(n), g(n⁺)). Como f(n) =g(n) e f(n⁺) = g(n⁺), temos G(f(n), f(n⁺)).

Com isso, conclu´ımos a afirma¸c˜ao 2 e a existˆencia daf, como no enunciado. Falta provar a unicidade.

Sejaf⁰ uma fun¸c˜ao de dom´ınioω satisfazendof⁰(0) =x₀ eG(f⁰(n), f⁰(n⁺)), para todon. Provemos, por indu¸c˜ao em n, que f⁰(n) =f(n), para todo n.

75 Vale f⁰(0) = f(0) pois ambos s˜ao iguais a x0. Suponha f⁰(n) = f(n). Pela hip´otese sobre G, e por valer G(f⁰(n), f⁰(n⁺)) e G(f(n), f(n⁺)), isso significa que f⁰(n⁺) =f(n⁺), como quer´ıamos.

Uma das aplica¸cões do Teorema 12.1 é a defini¸cão do fecho transitivo de um conjunto. Dizemos que y é o fecho transitivo de x se y é transitivo, x está contido em y e, para qualquer conjunto transitivo z, se x ⊂z então y⊂ z. Ou seja, o fecho transitivo de xé o menor conjunto transitivo que contém y. Está claro que o fecho transtivio, quando existe, é único. A existência segue do teorema anterior.

Corol´ario 12.2 Para todo x existe o fecho transitivo de y.

Demonstra¸c˜ao: Usando o Teorema 12.1, parax₀ =xeG(x, y) a f´ormulay=S x, defina f de dom´ınio ω tal que f(0) =x ef(n⁺) =S

f(n).

Tome y=S

im(f). Mostraremos que y´e o fecho transitivo de x.

Est´a claro que x ⊂ y, pois x ∈im(f). Se z ∈ y, existe n ∈ω tal que z ∈ f(n).

Logo, z ⊂S

f(n) =f(n⁺). Portanto,z ⊂y.

Agora suponha que existe um conjunto transitivoztal quex⊂z. Vamos mostrar que y ⊂ z. Para isso, basta mostrar que f(n) ⊂ z, para todo n ∈ ω. Mas notemos que, pela transitividade, se w⊂ z temos S

w ∈z. Assim, como x⊂ z, por indu¸c˜ao provamos que f(n)⊂z, para todo n∈ω.

Exerc´ıcios

1. Prove o Teorema 9.1 como corol´ario do Teorema 12.1.

2. Prove que existe um conjunto x satisfazendo a seguinte condi¸c˜ao: ∅ ∈ x e, se y∈x ent˜ao{y} ∈x.

3. Prove a existˆencia de um conjunto indutivo ao qual ω pertence. Discuta o uso do axioma da substitui¸c˜ao.

Cap´ıtulo 13

Rela¸ c˜ oes de ordem

Já vimos dois tipos importantes de rela¸cão: as fun¸cões e as rela¸cões de equivalência.

Veremos, agora, um terceiro tipo de rela¸c˜ao: as rela¸c˜oes de ordem.

Defini¸cão 13.1 Uma rela¸cão ≤⊂X×X é chamada deordem em X se satisfaz as seguintes propriedades, para todos x, y, z∈X:

• Reflexividade: x≤x;

• Transitividade: sex≤y e y≤z ent˜aox≤z.

• Anti-simetria: se x≤y ey≤x ent˜ao x=y;

Chamamos de conjunto ordenado um par (X,≤), onde ≤ ´e uma ordem em X, e dizemos que X ´e o dom´ınio da ordem ≤.

Uma rela¸cão de ordem também é chamada de ordem parcial, para diferenciar da ordem total, que veremos daqui a pouco.

Um exemplo de ordem em um conjunto X é a rela¸cão de inclusão. Isto é, o conjunto {(x, y)∈X×X :x⊂y}. De fato, todo conjunto está contido nele mesmo, se x está contido em y e y está contido em z entãox está contido em z, e o axioma da extensão nos garante que x=y toda vez quexestá contido emy ey está contido em x. Por abuso de nota¸cão, usaremos, eventualmente, o s´ımbolo ⊂ para designar a rela¸cão de inclusão, como conjunto de pares ordenados.

Veremos que toda rela¸cão de ordem pode ser vista como uma rela¸cão de inclusão.

Para explicar o que isso significa, introduzimos a seguinte defini¸c˜ao:

Defini¸cão 13.2 Sejam≤₁ e≤₂ duas ordens emX₁ eX₂, respectivamente. Dizemos que≤₁ e≤₂ sãoordens isomorfas (ou queos conjuntos ordenados(X₁,≤₁)e(X₂,≤₂) são isomorfos) se existe uma fun¸cão f : X₁ −→ X₂ bijetora em X₂ tal que x ≤₁ y se, e somente se,f(x)≤₂ f(y).

Nesse caso, dizemos que a fun¸c˜aof ´e umisomorfismo de ordens.

O próximo resultado diz que toda ordem é isomorfa à rela¸cão de inclusão sobre algum conjunto.

Teorema 13.3 Seja (X,≤) um conjunto ordenado. Existe um conjunto ordenado (Y,) isomorfo a (X,≤) tal que

={(x, y)∈Y ×Y :x⊂y}

Demonstra¸c˜ao: Definaf :X −→ P(X) como f(x) ={y∈X :y≤x}

Tome Y a imagem de f. Mostraremos que f ´e injetora, o que basta para provarmos que ´e bijetora emY.

Suponha que f(x) = f(y). Pela reflexividade, como x ≤ x e y ≤ y, temos x∈ f(x) e y∈ f(y). Como f(x) e f(y) são iguais, temos x∈ f(y) e y ∈f(x). Pela defini¸cão de f isso nos dá x≤y e y≤x, que, pela anti-simetria, implica que x=y, provando que f é bijetora em Y.

Agora resta-nos mostrar que x≤y se, e somente se, f(x)⊂ f(y). Suponha que x≤y. Seja z ∈f(x). Temos que z≤x e, por transitividade, z ≤y. Logo,z ∈f(y).

Reciprocamente, suponha que f(x) ⊂ f(y). Como x ∈ f(x), temos x ∈ f(y), o que

significa que x≤y.

Listamos agora uma s´erie de defini¸c˜oes usadas para conjuntos ordenados.

Defini¸cão 13.4 Seja≤uma rela¸cão de ordem em um conjuntoX. Para todox∈X e todo S ⊂X não-vazio dizemos que

• x´elimitante superior de S sey≤x, para todo y ∈S;

• x´elimitante inferior de S sex≤y, para todo y ∈S;

• S ´elimitado superiormente se possui um limitante superior;

• S ´elimitado inferiormente se possui um limitante inferior;

• x´em´aximo de S sex∈S ey ≤x, para todo y∈S;

• x´em´ınimo deS sex∈S e x≤y, para todo y∈S;

• x´emaximal se n˜ao existe y∈X tal que x6=y e x < y;

• x´eminimal se n˜ao existe y∈X tal que x6=z e y < x;

• x´esupremo deS sex ´e o m´ınimo dos limitantes superior de S;

• xé´ınfimo deS sex é o máximo dos limitantes inferior de S;

• S ´e umacadeia se, para todos y, z ∈S temos y ≤z ou z ≤y.

Essas defini¸cões dependem da ordem. Portanto, quando não estiver claro no contexto qual é a ordem que estamos considerando sobre o conjunto X, devemos mencionar a qual ordem nos referimos. Ou seja, para ser mais preciso devemos escrever x é o máximo de X em rela¸cão a ≤. Eventualmente, também usamos a nota¸cão≤-máximo, ≤-maximal etc.

Notemos – pela defini¸cão e pela antissimetria da rela¸cão de ordem – que nem sempre um conjunto possui um elemento máximo, mas, se possuir, esse é único. O mesmo vale para m´ınimo, supremo e ´ınfimo. Porém, podemos ter vários limitantes superiores e inferiores de um conjunto e elementos maximais e minimais da ordem.

Agora podemos enunciar os principais tipos de ordem usados na matem´atica:

79 Defini¸c˜ao 13.5 Dizemos que uma ordem≤ sobre um conjunto X ´e uma(um):

• ordem total (ou ordem linear) se, para todos x, y ∈X temos x≤y ou y≤x;

• boa ordem se todo subconjunto n˜ao-vazio de X possui elemento m´ınimo;

• ´arvore se, para todo x∈X, o conjunto{y ∈X:y ≤x} ´e uma cadeia em X;

• reticulado se, para todos x, y ∈X, o conjunto {x, y} possui supremo e ´ınfimo.

Aplicamos os termos acima tamb´em para o conjunto ordenado (X,≤) e, por abuso de nota¸c˜ao, para o dom´ınio X.

Uma ordem total tem esse nome porque todos os elementos do dom´ınio podem ser comparados. Também a chamamos de ordem linear porque podemos visualizar todos os elementos da ordem como se estivessem numa mesma reta. As ordens usuais nos números naturais, inteiros, racionais e reais são exemplos de ordens totais.

Nota-se que toda boa ordem também é uma ordem total, uma vez que o conjunto {x, y} tem m´ınimo, o que nos dáx≤y ou y≤x.

Uma árvore é uma ordem que pode “bifurcar”, mas nunca “juntar”, como na copa de uma árvore, em que o tronco se ramifica em galhos, que se ramificam em galhos menores, mas os galhos nunca se reajuntam. Além das numerosas aplica¸cões em teoria dos conjuntos, as árvores são usadas em computa¸cão e em teoria dos jogos. Por exemplo, as poss´ıveis sequências de jogadas a partir de uma posi¸cão numa partida de xadrez formam uma árvore, que um programa de computador (ou o cérebro humano, de uma maneira mais intuitiva) analisará para poder decidir o melhor lance.

Uma ordem total é uma árvore, já que todo o conjunto é uma cadeia e, portanto, todos seus subconjuntos são cadeias.

Se considerarmos a ordem da inclusão em uma fam´ılia de conjuntos fechada pelas opera¸cões de união e interseçcão, essa ordem será um reticulado, onde o ´ınfimo de {x, y}éx∩y, e o supremo éx∪y. Esse tipo de ordem é particularmente interessante nos estudos de álgebras de Boole. O reticulado é um pouco mais geral, pois temos as opera¸cões de supremo e ´ınfimo (que correspondem às opera¸cões booleanas “e” e “ou”) mas não precisamos do complemento (correspondente à opera¸cão booleana “não”).

Também é evidente que toda ordem total é um reticulado, já que o própriox e o próprioy serão um deles o ´ınfimo e o outro o supremo do conjunto {x, y}.

Por abuso de linguagem, se (X,≤) é uma boa ordem dizemos queXé umconjunto bem-ordenado. Obviamente, isso só faz sentido quando, no contexto, está claro qual é a ordem≤. Por exemplo, nos números naturais, sabemos que a ordem usual coincide com a ordem da inclusão. Mostraremos, então, o seguinte teorema:

Teorema 13.6 (ω,⊂) ´e uma boa-ordem.

Demonstra¸cão: Primeiro provaremos, por indu¸cão em n, que todo natural n é bem-ordenado com a ordem da inclusão. O passo inicial n = 0 é trivial, já que 0 não contém sub-conjunto não-vazio. Supondo que n é bem-ordenado, considere S um subconjunto não-vazio de n⁺. Seja S⁰ = S r{n}. Observe que S⁰ ⊂ n. Se

S⁰ =∅, entãoS ={n}, que possuincomo elemento m´ınimo. SeS⁰ 6=∅, pela hipótese indutiva existemque é o m´ınimo de S⁰. Comom ∈S⁰, temos quem∈n. Logo, pelo Teorema 7.8, parte (c), m⊂n, provando que m é o m´ınimo também de S.

Seja agoraS ⊂ω não-vazio. Sejak ∈Sen0 =k⁺. Temosk ∈S∩k⁺e, portanto, S∩n₀ 6= ∅. Comon₀ é bem-ordenado, seja m o m´ınimo de S∩n₀. Mostremos que m é o m´ınimo de S. Seja n ∈S. Pelo item (a), temosn ∈n₀, n =n₀ oun₀ ∈n. No primeiro caso, den∈S∩n0 segue quem⊂n, pois é o m´ınimo deS∩n0. No segundo caso, como m∈n₀, por (b) temos que m⊂n₀ e, portanto, m⊂n. No terceiro caso, como m ∈n₀ e n₀ ∈ n, pelo Teorema 7.8, parte (c), segue que m ⊂n₀ e n₀ ⊂n, de onde conclu´ımos quem ⊂n, provando que (ω,⊂) é bem-ordenado.

Conjuntos bem-ordenados nos permite fazer um tipo especial de indu¸cão e re-cursão. Suponha que X é bem-ordenado e provamos que, para todo x ∈X, se uma determinada propriedade vale para todos os elementos menores que x, então essa propriedade vale para x. Conclu´ımos, então, que essa propriedade vale para todo elemento de X. De fato, sejam (X,≤) um conjunto bem-ordenado e P(x) uma pro-priedade tal que, para todo x ∈ X, se vale P(y), para todo y ≤ x diferente de x, então vale P(x). Suponha, por absurdo, que existex₀ ∈ X tal que não valha P(x₀).

Considere Y = {x ∈ X : ¬P(x)}. Por hip´otese, Y 6= ∅, pois x₀ ∈ Y. Como X

e bem-ordenado, Y possui um m´ınimo (digamos, x₁) em rela¸cão à ordem ≤. Isso significa que todo elemento deX menor quex₁ não pertence aY e, portanto, satisfaz a propriedade P. Logo, por hipótese, valeP(x₁), contradizendo que x₁ ∈X.

Como sempre, onde podemos fazer provas por indu¸cão podemos fazer defini¸cões por recursão. Em particular, se temos um conjunto bem-ordenado e queremos definir uma fun¸cão que tem como dom´ınio esse conjunto, podemos defin´ı-la em cada elemento x usando, recorrentemente, sua defini¸cão nos elementos menores quex.

Para formalizar esse argumento, anunciamos e provamos o pr´oximo teorema, que

e mais uma versão do teorema da recursão. Desta vez, ela étransfinita, pois pode ser aplicada a conjuntos arbitrariamente grandes, a partir de uma boa ordem (veremos uma aplica¸cão do axioma da escolha que mostra que todo conjunto pode ser bem-ordenado, isto é, para todoX existe≤tal que (X,≤) é bem-ordenado) e, a exemplo do Teorema 12.1, utiliza o axioma da substitui¸cão para que não precisemos “ter controle” sobre a imagem da fun¸cão usada no passo indutivo.

Para o próximo teorema, usaremos a seguinte defini¸cão: se (X,≤) é um conjunto bem-ordenado e x ∈ X, denotamos por ^←x o conjunto dos elementos de X menores do que x, isto é, o conjunto {y ∈X : (y≤x)∧(y6=x)}.

Teorema 13.7 (recursão transfinita) SejaF(x, y)uma fórmula tal que∀x∃!yF(x, y) seja verdadeira. Seja (X,≤) um conjunto bem-ordenado. Existe uma única fun¸cão f cujo dom´ınio é X e que satisfaz, para todo x∈X,

F(f|^←x, f(x))

Demonstra¸c˜ao: Considere G(x, f) a seguinte f´ormula:

(x∈X)∧(f ´e fun¸c˜ao)∧(dom(f) =^←x ∪{x})∧ ∀y(y≤x→F(f|^←y , f(y)))

No documento Elementos da Teoria dos Conjuntos (páginas 66-103)