Fun¸c˜ oes - Elementos da Teoria dos Conjuntos

De fato, poder´ıamos definir, sem problemas, (a, b, c) como (a,(b, c)), e ter´ıamos a mesma propriedade de duas triplas serem iguais se, e somente se, as coordenadas correspondentes s˜ao iguais.

Podemos estender essa defini¸cão paran-uplas ordenadas. Formalmente (mas nem tanto), definimos (a₁, . . . , a_n) como ((a₁, . . . , an−1), a_n). É bom lembrarmos que essa defini¸cão recursiva ainda não pode ser feita rigorosamente na linguagem de primeira ordem, pois utiliza o teorema de recursão sobre classes, que ainda não vimos.

Paran ≥2 definimosAⁿo conjunto dasn-uplas (a1, . . . , an) tais queai ∈A, para todo i entre 1 e n. Na metalinguagem, formalizamos Aⁿ como Aⁿ⁻¹×A, sendo que A¹é, por defini¸cão, o próprio conjuntoA. Vemos, por essa defini¸cão, queA² =A×A.

Outra maneira, mais precisa, de definirmos Aⁿ ´e como o conjunto das fun¸c˜oes (como veremos daqui a pouco) den em A.

8.4 Fun¸ c˜ oes

Uma fun¸cão de A em B é uma rela¸cão que associa a cada elemento de A um único elemento de B. Posto isso formalmente temos a seguinte defini¸cão:

Defini¸cão 8.5 Dizemos que uma rela¸cão F entre A e B é uma fun¸cão de A em B se para todox∈A existe um único y∈B tal que (x, y)∈F. Isto é, F é uma fun¸cão deA em B se a seguinte fórmula é verdadeira:

(F ⊂A×B)∧∀x(x∈A→ ∃y((x, y)∈F))∧∀x∀y∀z(((x, y)∈F∧(x, z)∈F)→(y=z)) . Notemos que a fórmula dada é uma conjun¸cão de três subfórmulas. A primeira diz que uma fun¸cão de A em B é uma rela¸cão entre A e B. Ou seja, para todo par ordenado (x, y) ∈ f temos x ∈ A e y ∈ B. A segunda subfórmula diz que todo elemento de A é contemplada pela fun¸cão F (quando não exigimos essa condi¸cão, dizemos que f é umafun¸cão parcial deA em B). Finalmente, a terceira subfórmula nos diz que a fun¸cão só relaciona um elmento de B, para cada elemento de A.

Denotamos porÂB o conjunto das fun¸cões de Aem B. Deixamos como exerc´ıcio ao leitor provar a existência de ÂB, pois é uma simples aplica¸cão do axioma da separa¸cão. Essa nota¸cão funciona como um s´ımbolo funcional da linguagem.

Mantendo a tradi¸cão, usaremos preferencialmente letras minúsculas para denotar fun¸cões.

Se f é uma fun¸cão de A em B, dizemos que A é o dom´ınio de f – que será denotado por dom(f) – e o conjunto {b ∈B :∃a((a, b)∈ f)} é chamado de imagem de f – que será denotada porim(f).

Normalmente se utiliza o termo contradom´ınio de uma fun¸cão para designar o conjuntoB, quando a fun¸cão é deAemB. Todavia, esse termo não é muito adequado na defini¸cão aqui adotada de fun¸cão, já que, dada uma fun¸cão f, não é poss´ıvel

“recuperar” o contradom´ınio. Por exemplo, se tomarmos o conjunto (supondo que já temos constru´ıdos os números reais) {(x, y)∈R² :y=x²}, esse pode tanto ser visto como uma fun¸cão deRemRquanto uma fun¸cão deRemR+(os reais não-negativos).

Por outro lado, essa ambiguidade não existe ao definirmos o dom´ınio e a imagem a partir da fun¸cão. É poss´ıvel “recuperar” o dom´ınio e a imagem de uma fun¸cão.

Abaixo seguem as defini¸cões do dom´ınio e imagem a partir da fun¸cão, e a tarefa de mostrar que essas defini¸cões cumprem o prometido é deixada ao leitor:

dom(f) ={a∈[ [

f :∃b((a, b)∈f)}

im(f) ={b ∈[ [

f :∃a((a, b)∈f)}

Nessas defini¸cões é bom notar em como os axiomas do par e das partes “empa-cotam” os conjuntos, enquanto o axioma da união “desempacota”.

Também notamos que as mesmas defini¸cões podem ser aplicadas para rela¸cões binárias quaisquer.

Como uma fun¸cão associa a cada elemento do dom´ınio um único elemento da imagem, podemos introduzir a seguinte nota¸cão: se (x, y) pertence a uma fun¸cãof, denotamos y por f(x). Essa nota¸cão só é poss´ıvel, pois, para x ∈ dom(f), existe um único y satisfazendo (x, y)∈f. Porém, precisamos ser mais cautelosos com essa nota¸cão do que somos com outras como a do par ({a, b}), da união de dois conjuntos (a∪ b) e do par ordenado. Isso porque, enquanto as outras nota¸cões valem para quaisquer termos,f(x)só está bem definido quando f é uma fun¸cão e x pertence ao dom´ınio def. Logo, não podemos desavisadamente introduzir essa nota¸cão como um s´ımbolo funcional binário da linguagem, pois f(x) não está definido para quaisquer conjuntos f ex.

Outra nota¸cão que podemos introduzir – comum na linguagem cotidiana da ma-temática – é f : A −→ B para designar que f é uma fun¸cão de A em B, ou, em outras palavras (ou melhor, s´ımbolos), f ∈Â B. A nota¸cão f : A −→ B deixa impl´ıcito que f é uma fun¸cão, o dom´ınio de f é A e a imagem de f está contida em B. Se escrevemos que f :A−→B é sobrejetora, isso significa quef ésobrejetora em rela¸cão a B. Ou seja, que a imagem def éB. Da mesma forma, quando escrevemos quef :A−→B é bijetora, dizemos quef é bijetora em rela¸cão aB, isto é, é injetora e tem imagem igual a B.

Suponha que f é uma fun¸cão de A em B e que C é um subconjunto de A.

Definimos

f|C = (C×B)∩f

arestri¸cão de f ao conjunto C. Fica como exerc´ıcio ao leitor mostrar quef|Cé uma fun¸cão de C em B.

Dizemos que uma fun¸cão f : A −→ B é injetora se, para todo x, y ∈ A temos que, se x 6= y, então f(x) 6= f(y). Ou seja, quando dois elementos distintos do dom´ınio nunca são mapeados para o mesmo elemento da imagem. Dizemos que f é sobrejetora em rela¸cão a B se para todo y ∈ B existe x ∈ A tal que f(x) = y. Ou seja, quando B é a imagem de f. A necessidade de relativizarmos aB a defini¸cão de sobrejetora vem daquele problema anteriormente mencionado, sobre a impossibilidade de “recuperarmos” o contra-dom´ınio de uma fun¸cão. Quando está claro no contexto qual contradom´ınio está sendo considerado (quando, por exemplo, escrevemos que

“f é uma fun¸cão de A em B”) dizemos apenas que a fun¸cão é sobrejetora, mas é necessária uma cautela extra para esse tipo de nomenclatura.

8.4. FUNÇ ÕES 57 Uma fun¸cão f : A −→ B é bijetora (ou bijetora em rela¸cão a B) quando é injetora e sobrejetora (em rela¸cão a B). Nesse caso também dizemos que A é uma bije¸cão entreAeB. No cap´ıtulo sobre conjuntos equipotentes discutiremos melhor a propriedade de existir uma bije¸cão entre dois conjuntos (lembram-se da introdu¸cão, sobre como comparar tamanhos de conjuntos infinitos?)

Ainda há algumas defini¸cões a serem introduzidas, com as quais o estudante de matemática deve estar bem acostumado. Se f e g são fun¸cões, e im(g) ⊂ dom(f), então definimos a fun¸cão composta def eg da seguinte forma:

f◦g ={(x, z)∈dom(g)×im(f) :∃y((x, y)∈g∧(y, z)∈f}

Novamente, é preciso tomar cuidado com essa nota¸cão, pois ela só faz sentido dentro das hipóteses estritas apresentadas acima.

Exerc´ıcios

1. Encontre uma defini¸c˜ao alternativa para par ordenado de modo que o Teo-rema 8.2 continue valendo. Justifique.

2. Prove que A×B =∅ se, e somente se A=∅ou B =∅.

3. Prove que, se A⊂C eB ⊂D, ent˜ao A×B ⊂C×D.

4. Vale a rec´ıproca do exerc´ıcio 3? Justifique.

5. Descreva todos os elementos de P(2×2).

6. Escreva uma fórmula de primeira ordem, de três variáveis livres, sem abreviaturas da linguagem de teoria dos conjuntos, que significa “xé uma fun¸cão de y em z”.

7. Prove que, se f e g são injetoras, então f ◦g é injetora. Mostre, através de um contra-exemplo, que a rec´ıproca não é verdadeira.

8. Em quais condi¸c˜oes temos ^AB ⊂^C D? Justifique.

9. Dada uma rela¸cão R, definimos a inversa de R – que será denotada por R⁻¹ – como o conjunto {(y, x) : (x, y)∈R}. Com base nisso, prove as seguintes asser¸cões:

(a) Para toda rela¸c˜aoR existe R⁻¹.

(b) Sef é uma fun¸cão, f⁻¹ é uma fun¸cão se, e somente se, f é injetora.

(c) Sef egsão fun¸cões injetoras tais queim(g)⊂dom(f), então (f◦g)⁻¹ =g⁻¹◦f⁻¹. 10. Prove que existe uma fun¸cão injetora de ω em ω que não é sobrejetora (em rela¸cão a ω).

Cap´ıtulo 9

Aritm´ etica dos n´ umeros naturais

Já definimos o conjunto dos números naturais e mostramos que esse satisfaz os axi-omas de Peano. Vamos, agora, definir as opera¸cões de adi¸cão e multiplica¸cão, como fun¸cões deω×ω em ω. Para isso, precisamos, antes, definir o teorema da recursão.

Teorema 9.1 (da recursão) SejamX um conjunto, x um elemento de X e g uma fun¸cão de X em X. Então existe uma única fun¸cão f de ω em ω tal que

• f(0) = x;

• f(n⁺) = g(f(n)), para todo n∈ω.

Demonstra¸c˜ao: Usando o axioma da separa¸c˜ao, defina o conjunto

C ={R ∈ P(ω×X) : (0, x)∈R∧ ∀n∀y((n, y)∈R→(n⁺, g(y)))∈R}.

Claramente ω×X ∈ C. Logo, C ´e n˜ao-vazio. Podemos, portanto, definir o conjunto f =\

Precisamos provar que f é uma fun¸cão e que satisfaz a condi¸cão para pertencer aC. Afirma¸cão 1: f ∈ C

O procedimento da demonstra¸cão da afirma¸cão 1 é análogo à demonstra¸cão que ω é um conjunto indutivo. Como (0, x) ∈R, para todo R ∈ C, então (0, x) ∈f. Se (n, y)∈f, então (n, y)∈R, para todoR ∈ C. Logo, pela hipótese sobre os elementos de C, (n⁺, g(y))∈ R, para todo R ∈ C. Logo, (n⁺, g(y))∈f, concluindo a prova da afirma¸cão.

Afirma¸cão 2: f é uma fun¸cão de dom´ınio ω

Vamos provar, por indu¸c˜ao, que para todo n ∈ ω vale a f´ormula P(n), definida abaixo:

P(n)≡ ∃y((n, y)∈f)∧ ∀y∀z(((n, y)∈R∧(n, z)∈R)→(y =z)) 59

Vamos provarP(0). Pela afirma¸cão 1, (0, x)∈f. Vamos provar que, se (0, y)∈f, então y =x. Suponha, por absurdo, que existe y 6=x tal que (0, y) ∈ f. Considere R = f r{(0, y)}. Vamos verificar que R ∈ C. De fato, (0, x) ∈ R, pois (0, x) ∈ f e x 6= y. Se (n, y) ∈ R, então (n, y) ∈ f, pois R ⊂ f. Logo, (n⁺, g(y)) ∈ f (pela afirma¸cão 1). Comon⁺ 6= 0 (axioma 4 de Peano), temos que (n⁺, g(y))∈fé diferente de (0, y) e, portanto, pertence a R.

Portanto, conclu´ımos que R∈ C, o que implica que f ⊂R. Como R⊂f, temos f =R, absurdo, pois (0, y)∈f e (0, y)∈/ R.

Vamos agora provar que P(n) implica P(n⁺).

Assumindo P(n) como verdadeiro, temos que existe y tal que (n, y) ∈f. Logo, como f ∈ C, temos que (n⁺, g(y))∈f, provando a “primeira parte” de P(n⁺).

Agora supomos, por absurdo, que existe z 6= g(y) tal que (n⁺, z) ∈ f. Defina R=f r{(n⁺, z)}. Vamos verificar que R ∈ C,

Como n⁺ 6= 0, continuamos tendo (0, x) ∈ R. Suponha que (m, v) ∈ R. Como f ∈ C e R ⊂ f temos que (m⁺, g(v)) ∈ R. Se m 6= n, o axioma 3 de Peano nos garante que m⁺ 6=n⁺, logo, (m⁺, g(v))6= (n⁺, z), provando que (m⁺, g(v))∈ R. Se m = n, pela hipótese indutiva P(n) temos que v = y (pois (n, y) ∈ f), e já vimos que (n⁺, g(y) ∈ f. Como z 6= g(y), também temos que (n⁺, g(y) ∈ R. Provamos, com isso, que R ∈ C o que novamente contradiz com o fato de R estar contido propriamente em f. Isso conclui a demonstra¸cão da afirma¸cão 2.

Das afirma¸cões 1 e 2 segue imediatamente o teorema. Sendo f uma fun¸cão de dom´ınioωe satisfazendo as condi¸cões da fam´ılia de conjuntosC, temos que (0, x)∈f, o que significa que f(0) = x. Como, para todo n, temos, pela própria defini¸cão de fun¸cão, (n, f(n))∈f, da afirma¸cão 1 segue que (n⁺, g(f(n))∈f, o que significa que f(n⁺) =g(f(n)).

A unicidade da fun¸cão f pode ser provada por indu¸cão. Suponha que existe h satisfazendo as mesmas condi¸cões do teorema estabelecidas para f. Temos que f(0) =h(0), pois ambos são iguais a x. Se f(n) =h(n), então g(f(n)) =g(h(n)), e ambos são iguais a f(n⁺) e h(n⁺). Logo, por indu¸cão, f =h.

9.1 Aritm´ etica dos n´ umeros naturais

Já definimos ω como o conjunto dos números naturais, e mostramos que ele satisfaz os axiomas de Peano. Falta definir a aritmética. Ou seja, precisamos definir duas fun¸cões deω×ω em ω que correspondem às opera¸cões de soma e produto.

A ideia geral da defini¸cão da soma é utilizar o teorema da recursão para definir, para cada número natural m, uma fun¸cãos_m :ω −→ω tal que

s_m(0) =m s_m(n⁺) = (s_m(n))⁺

e definimos m +n como s_m(n). Utilizando novamente o teorema da recursão e a defini¸cão das fun¸cões acima podemos definir, para cada número natural m, uma

9.1. ARITM ÉTICA DOS N ÚMEROS NATURAIS 61 fun¸cãopm :ω−→ω tal que

p_m(0) = 0 p_m(n⁺) = p_m(n) +n e definimos m·n como p_m(n).

Essa defini¸c˜ao de soma e produto ainda precisa ser melhor justificada, para po-demos constru´ı-la axiomaticamente. Fa¸camos isso.

Teorema 9.2 Existe uma fun¸c˜ao s de ω em ^ωω tal que s(m)(0) = m e s(m)(n⁺) = (s(m)(n))⁺, para todos n, m∈ω.

Demonstra¸c˜ao: Usando o axioma da separa¸c˜ao defina

s={(m, f)∈ω×^ωω:∀n((f(0) =m)∧(f(n⁺) = (f(n))⁺))}

Pelo teorema da recursão, utilizando-o para a fun¸cão g = {(n, n⁺) : n ∈ ω}, para cada m existe uma única f satisfazendo as condi¸cões descritas na defini¸cão de s. Logo, s é uma fun¸cão.

Defini¸cão 9.3 Definimos a opera¸cão de soma emω como a fun¸cão + :ω×ω−→ω dada por +((m, n)) =s(m)(n). Denotamos +((m, n)) por m+n.

Teorema 9.4 Existe uma fun¸c˜ao p de ω em ^ωω tal que p(m)(0) = 0 e p(m)(n⁺) = p(m)(n) +m, para todos n, m∈ω.

Demonstra¸c˜ao: Usando o axioma da separa¸c˜ao defina

p={(m, f)∈ω×^ωω :∀n((f(0) = 0)∧(f(n⁺) = (f(n) +m)))}

Tomando a fun¸c˜aog ={(i, j)∈ω×ω :i+m=j}, o teorema da recurs˜ao garante

que p´e uma fun¸c˜ao.

Defini¸cão 9.5 Definimos a opera¸cão de produto emω como a fun¸cão·:ω×ω−→ω dada por ·((m, n)) =p(m)(n). Denotamos ·((m, n)) por m·n.

Da defini¸cão de soma e produto seguem os seguintes axiomas da aritmética de Peano, quando adicionamos os s´ımbolos funcionais binários + e · à linguagem da aritmética:

m+ 0 =m m+n⁺= (m+n)⁺

m·0 = 0 m·n⁺= (m·n) +n

Eventualmente usaremos a nota¸c˜aoxy para representar x·y.

Exerc´ıcios

1. Use o teorema da recurs˜ao para definir a fun¸c˜aof(n) = 2ⁿ, paran ∈ω.

2. Use o teorema da recursao para definir a potencia¸c˜ao entre os n´umeros naturais (adote 0⁰ = 1).

3. Prove a propriedade comutativa da adi¸c˜ao no conjunto dos n´umeros naturais.

4. Prove a existˆencia do conjunto dos n´umeros primos.

Cap´ıtulo 10

Axioma da regularidade

Até agora, todos os axiomas que vimos garantem a constru¸cão de alguns conjuntos partindo apenas do conjunto vazio. O próximo axioma garante quetodosos conjuntos são constru´ıdos a partir do vazio. Também irá evitar coisas como x ∈ x e será útil em teoria dos modelos para fazermos indu¸cão sobre a rela¸cão de pertinência.

Axioma 8 (da regularidade) Para todo conjunto x n˜ao-vazio existe y∈x tal que x∩y=∅.

∀x(x6=∅ → ∃y(y∈x∧x∩y=∅)) Teorema 10.1 N˜ao existem x e y tais que x∈y e y∈x.

Demonstra¸c˜ao: Sejam x e y conjuntos quaisquer. Vamos provar que x /∈ y ou y /∈x.

Usando o axioma do par, tome z ={x, y}. Como z n˜ao ´e vazio, pelo axioma da regularidade existe w ∈ z tal que w∩z = ∅. Se w = x, isso implica que y /∈ x. Se w=y, isso implica que x /∈y, provando o teorema.

Corol´ario 10.2 N˜ao existe x tal que x∈x.

Demonstra¸c˜ao: Aplique o teorema anterior para x=y.

O axioma da regularidade garante que não existe uma sequência infinita de-crescente na rela¸cão de pertinência. Ou seja, não existe uma sequência da forma . . . x₃ ∈ x₂ ∈ x₁ ∈x₀. É claro que essa expressão não está de acordo com a “norma culta” da linguagem lógica. Formalizando essa afirma¸cão, deixamos como exerc´ıco ao leitor provar o seguinte fato:

Afirma¸cão: Não existe uma fun¸cãof de dom´ınio ω tal que f(n⁺)∈ f(n), para todo n∈ω.

Conclu´ımos desse resultado que, para qualquer conjunto x, se tomarmos um elemento de x, e um elemento de um elemento de x, e um elemento de um elemento de um elemento dex, assim sucessivamente, chegaremos, ap´os uma quantidade finita de passos, no conjunto vazio.

E bom notar que se, por um lado, n˜´ ao existe uma sequência infinita decrescente, na rela¸cão de pertinência, por outro lado, como veremos no próximo cap´ıtulo, é poss´ıvel existir uma sequência infinita crescente. Ou seja, sequências infinitas da forma x0 ∈x1 ∈x2. . . existem (os números naturais, por exemplo).

Exerc´ıcios

1. Usando o axioma da regularidade, prove que n˜ao existem x, y, z tais que x ∈y, y∈z e z ∈x.

2. Usando o axioma da regularidade, prove que n˜ao existemw, x, y, ztais quew∈x, x∈y, y∈z ez ∈w.

3. Use o axioma da regularidade para provar que o conjunto vazio pertence a todo conjunto transitivo n˜ao-vazio.

4. Prove que n˜ao existe x tal que P(x) =x.

5. Prove que existe um modelo para teoria dos conjuntos em que valem os axiomas do par, da uni˜ao e das partes, mas n˜ao valem os axiomas do vazio e da regularidade.

Dica: Considere um modelo formado por um ´unico elementox tal que x∈x.

Cap´ıtulo 11

Constru¸ c˜ ao dos conjuntos num´ ericos

Já temos constru´ıdos os números naturais e as fun¸cões de soma e produto entre números naturais. Neste cap´ıtulo aprenderemos a construir os conjuntos dos números inteiros, racionais e reais.

11.1 Rela¸ c˜ ao de equivalˆ encia

Para construirmos o conjunto dos números inteiros a partir do conjunto dos números naturais, e o conjunto dos números racionais a partir do conjunto dos número inteiros, precisamos, antes, desenvolver o conceito de rela¸cão de equivalência.

Defini¸cão 11.1 Dizemos que uma rela¸cãoR⊂X×Xé umarela¸cão de equivalência em X se satisfaz as seguintes propriedades, para todosx, y, z ∈X:

• Reflexividade: xRx;

• Simetria: se xRy ent˜aoyRx;

• Transitividade: sexRy e yRz ent˜ao xRz.

Definimos oconjunto das classes de equivalˆencia de R como X/R={Y ∈ PX :∃x∀y(y∈Y ↔xRy)}

Os elementos de X/R são, obviamente, chamados de classes de equivalência, também denotado do seguinte modo:

X/R={[x] :x∈X}

onde

[x] ={y∈X :xRy}

Teorema 11.2 SejaRuma rela¸cão de equivalência em um conjuntoX. As seguintes afirma¸cões são verdadeiras:

(a) S

X/R=X;

(b) ∅∈/ X/R;

(d) Se x ∈ Y e todo Y ∈ X/R, para todo y ∈ X temos que xRy se, e somente se, y∈Y.

Demonstra¸c˜ao: Usaremos a nota¸c˜ao [x] para o conjunto {y∈X :xRy}.

Dado x ∈ X, temos que x ∈ [x], uma vez que, pela propriedade reflexiva, xRx.

Isso prova (a). Como todo elemento deX/R´e da forma [x], para algum x∈X, isso prova tamb´em a parte (b)

Para provar (c), assumindo que Y e Z são dois elementos de X/R que não são disjuntos, mostraremos que Y =Z. Sejam x∈Y ∩Z e y₀, z₀ ∈X tais que Y = [y₀] e Z = [z₀]. Dadoy ∈Y, temos, por defini¸cão, que y₀Ry. Logo, pela simetria,yRy₀. Mas como x ∈ Y, temos y₀Rx. Pela transitividade temos yRx. Mas, como x ∈ Z, temos z₀Rx e, pela simetria,xRz₀. Logo, a transitividade nos dáyRz₀ e, novamente pela simetria, z₀Ry, o que prova quey∈Z. Isso conclui queY ⊂Z e um argumento análogo mostra que Z ⊂Y, provando queY =Z.

Mostremos a parte (d). Se Y ∈ X/R, existe y0 ∈ X tal que Y = [y0]. Como x ∈ Y, temos que y₀Rx e, portanto, xRy₀. Se yRx, por transitividade e simetria temosyRy₀ ey₀Ry, de onde temos quey ∈Y. Por outro lado, sey ∈Y, temosy₀Ry

e, portanto, xRy, concluindo a prova do teorema.

Em outras palavras, o Teorema 11.2 parte (d) nos diz que duas classes de equi-valˆencia [x] e [y] s˜ao iguais se, e somente se, xRy.

No documento Elementos da Teoria dos Conjuntos (páginas 55-66)