Construindo Nós e Enlaçamentos - Nós Primos

outro invariante polinomial muito importante. Salientamos os seguintes resultados:

1. O polinômio de Alexander não depende da orientação escolhida para o nó.

2. O polinômio de Alexander de um nó K e de seu refletido (em algum espelho) ¯K é o mesmo.

3. Todo polinômio △(t) ∈ Z[t, t−1] e satisfazendo as condições: △(t) = △(t−1) e △(1) = 1 é o polinômio de Alexander de um nó (como temos uma grande quantidade destes polinômios, teremos uma grande quantidade de nós não equivalentes!).

3.4 Construindo Nós e Enlaçamentos - Nós Primos

A primeira construção básica para se construir nós, a partir de outros nós K_i, i=1, 2 em S3, é a soma dos dois denotada K₁♯K₂. Vejamos a construção: considere os pares (S³, K_i), pontos P_i ∈ K_i e remova pequenas vizinhanças regulares destes pontos, que são pares(B_i³, B1

i)não enodados. Os pares reminiscences de cada remoção são pares de discos enodados(B3

i, K_i)com bordos(S2

i, S0

i). Colamos B3 1a B3

2pelos bordos através de um homeomorfismo de pares que inverte orientação ϕ : (S²₁, S⁰₁) → (S²₂, S⁰₂), obtendo o par (S³, K₁♯K₂) onde K₁♯K₂ é chamado soma de K₁ e K₂. A figura 3.12 ilustra a construção acima.

Figura 3.12: Soma de dois nós

A figura 3.13 mostra uma construção equivalente. Nesta figura colocamos os dois nós dentro de S³, mas devemos considerar cada nó no interior de uma bola tal que os seus interiores sejam disjuntos e que elas se tocam ao longo de um segmento de seus bordos e é importante que a faixa (retângulo) que realiza a conexão dos dois nós cruze as fronteiras das bolas ao longo deste segmento. Note que a construção não depende dos pontos escolhidos para se colar a faixa em cada um dos nós, não depende também se cada pedaço da faixa esta torcida ou enodada nos trechos em que adentram o interior de cada bola.

Um nó é dito primo se não for a soma de dois outros nós não triviais.

Também podemos definir soma conexa de enlaçamentos e definir Enlaçamentos Primos, veja [Kawauchi] capítulo 3.

Figura 3.13: Soma conexa (ambiental?)

Uma outra construção parecida com esta, porem, mais geral, é a soma ao longo de uma faixa f , onde é permitido que a faixa se enlace com os nós (que estão em bolas distintas de S3) de forma arbitrária, veja figura 3.14. A notação neste caso é K♯_fL.

Figura 3.14: Soma conexa ao longo de faixa f

Na definição de K₁♯K₂ a soma é determinada apenas pelos dois nós, já K₁♯_fK₂ vai depender também da faixa f .

Voce saberia dar condições sobre como a faixa f deve estar emR3− (K₁∪K₂)para que a segunda operação coincida com a primeira?

Temos o seguinte resultado:

O polinômio de Alexander da "soma" H♯K, é o produto dos polinômios de Alexander da cada um deles, isto é△_K♯L(t) = △_K(t).△_L(t).

Outra forma de se construir nós é colocar um nó numa vizinhança tubular de outro nó, neste processo obtemos nós chamados de nós satélites ou iterados.

3.4: Construindo Nós e Enlaçamentos - Nós Primos 35

Figura 3.15: Nó satélite ou iterado

Seja H um nó em S³sabemos que existem homeomorfismos ϕ :(S¹×D²)₀ →N(H) onde(S¹×D²)0é o toro sólido mergulhado de forma trivial em S3e N(H) ⊂ S³é uma vizinhança tubular fechada de H em S3, temos ainda que H = ϕ(S1× {(0, 0)})

Seja L um nó contido no toro (S¹×D²)₀ e de tal forma que não exista nenhuma bola B3tal que K⊂B³⊂ (S¹×D²)0.

A imagem de L pelo homeomorfismo ϕ será um novo nó, que depende de H de L e do homeomorfismo ϕ, podemos denotar este novo nó por H∗_ϕL.

Podemos escolher um homeomorfismo especial ϕ₀ que é aquele que manda o sistema meridiano-longitude do toro sólido padrão no sistema meridiano-longitude da vizinhança tubular N(H), neste caso a notação que podemos usar para o nó satélite é H∗L.

Dizemos que H é um acompanhante (companion) do nó satélite H∗L.

Aqui também é possível tomar o segundo nó L e trocá-lo por um Enlaçamento, obtemos um enlaçamento satélite K∗ L que tem o nó H como acompanhante. Veja mais detalhes em [Kawauchi], capitulo 3.

Caso o segundo nó L se situe no bordo de (S¹×D²)₀, isto é se for um nó toral do tipo (p,q) então H∗Lé chamado um nó cabo, mais especificamente um nó cabo-(p,q). Veja a notação nó toral-(p,q) na seção 4.2 onde temos a classificação dos nós no toro.

Temos o seguinte resultado: O polinômio de Alexander do iterado de H∗K, é dado por△_H∗K(t) = △_H(t^q).△_K(t)

Temos uma descrição dos Polinômios de Alexander usando espaço de recobrimento e o Teorema de Mayer-Vietoris. Esta forma de definir este invariante permite a sua generalização para nós de dimensões mais altas. Em [Rolfsen(1976)], capitulo 7 e em [Hacon], capitulo 6 temos ótimas apresentações desta forma de se calcular ente invariante.

Capítulo 4

Outras Teorias de Nós

4.1 Teoria Multidimensional de Nós

Nesta seção vamos mostrar um pouquinho do problema de existência e classificação dos mergulhos das esferas Sⁿ, n ≥ 2 nas esferas S^m com m > n, usualmente chamada Teoria Multidimensional de Nós.

Como no caso clássico às vezes é conveniente ver as esferas como compactificação dos espaços euclidianos correspondentes. É claro também que é desnecessário se preocupar com a existência pois nestes casos temos mergulhos padrões, a questão que se coloca então neste caso é verificar se é possível criar mergulhos que não sejam equivalentes ao padrão e classificá-los.

Como no caso clássico nos mantemos estudando os mergulhos mansos, por exemplo os que possuem colarinho duplo, os que são ambientalmente PL-isotópicos a PL-mergulhos, isto é, damos às esferas triangulações e pedimos que nas classes de equivalência dos mergulhos tenhamos representantes lineares por parte. Recordemos que N ⊂ M tem colarinho duplo se existe mergulho i : N × [−1, 1] ֒→ M tal que i(x, 0) = x, ∀ x∈ N

É bastante conhecido no caso de n = 2 e m = 3 o mergulho topológico de S2

em R3 conhecido como "Esfera com Chifres", onde um dos lados do mergulho não é homeomorfo ao disco D³veja pg. 79 de [Rolfsen(1976)] e a figura 4.1.

Evitando estes mergulhos selvagens, temos em codimensão um o teorema de Schönflies:

Teorema 4.1 (Teorema de Schönflies) Seja Sn mergulhada em Sn+1, com colarinho duplo, então o fecho de cada uma das componentes do complementar do mergulho é homeomorfo ao disco Dⁿ+1.

Note que os mergulhos diferenciáveis e os PL satisfazem as condições do teorema acima.

Em codimensão (m−n) maior que dois, o complementar S^m−Sⁿ é simplesmente conexo e muitos dos invariantes, particularmente aqueles oriundos dos grupos dos nós não existem. Na verdade neste caso se consideramos apenas aspectos topológicos dos mergulhos mansos, temos que todos são equivalentes aos mergulhos triviais (padrões). Não trivialidade surge apenas se considerarmos questões de diferenciabilidade, isto é, se trabalharmos na categoria diferencial, alguns resultados sobre esta questão foram estudados por Haefliger, veja [Haefliger].

Figura 4.1: Esfera com Chifres

Vejam as demonstrações dos teoremas a seguir em [Greenberg/Harper].

Teorema 4.2 (Da separação de Jordan-Brouwer) Se D^r é um disco fechado de dimensão r mergulhado na esfera Sⁿ onde r ≤ n então H₀(Sⁿ−D^r;Z) ≃ Ze Hq(Sⁿ−D^r;Z) = 0 para q ≥1.

Corolário 4.1 Sn não pode ser desconectada pela remoção de um disco fechado Dr.

Teorema 4.3 Seja Sr mergulhada em Sⁿ, então r≤n e se r =n S^r =Sⁿ, além disso, no caso r < n temos que H₀(Sn −Sr;Z) ≃ Z ≃ H_n−r−1(Sn −Sr;Z) e H_q(Sn−Sr; Z) = 0 nos outros casos.

Uma conclusão importante destes resultados é que os grupos de homologia do complementar dos mergulhos não distinguem os enodamentos de esferas em esferas.