Teoria de Nós
Oziride Manzoli Neto
ICMC - USP
2o Colóquio da Região Sudeste Janeiro de 2013
Sumário
1 História da Teoria de Nós 1
2 Pré-requisitos 5
2.1 Álgebra . . . 5
2.1.1 O básico de Categorias e Funtores . . . 5
2.1.2 O básico de Anéis de Grupos . . . 7
2.2 Topologia Algébrica . . . 7
2.2.1 O básico de Homotopia . . . 8
2.2.2 O básico de Homologia . . . 12
2.3 O básico de Topologia Diferencial . . . 15
3 Teoria Clássica de Nós 21 3.1 Introdução . . . 21
3.2 Número de enlaçamentos . . . 24
3.3 Alguns Invariantes de Nós e Enlaçamentos . . . 25
3.4 Construindo Nós e Enlaçamentos - Nós Primos . . . 33
4 Outras Teorias de Nós 37 4.1 Teoria Multidimensional de Nós . . . 37
4.2 O caso especial de S2em S4 . . . 38
4.3 O círculo no plano, na esfera, no espaço projetivo e no toro . . . 41
4.4 O Cilindro e a Faixa de Möbius emR3 . . . 43
4.5 Mergulhos de Superfícies emR3 . . . 44
5 RP2não mergulha emR3 47
Referências Bibliográficas 49
Capítulo 1
História da Teoria de Nós
O estudo dos nós e enlaçamentos de forma razoavelmente formalizada começa com Gauss em 1833, veja [Gauss]. Ele e alguns de seus alunos começam estudar o assunto, focalizando enlaçamentos, pois o interesse era o número de enlaçamentos (linking number) de um enlaçamento (link). Seus estudos tinham como objetivo aplicações na eletrodinâmica.
Lord Kelvin, como muitos de sua época, acreditava que os nós eram a chave para o entendimento das substâncias químicas, que seriam descritas pelas "formas dos nós". Tabelando-se os nós ter-se-ia uma descrição das substâncias químicas. Começa então uma corrida para se obter tabelas de nós, nós cada vez mais complexos, isto significava, cada vez com mais cruzamentos.
A primeira tabela de nós foi feita por T. P. [Kirkman]. P. G. [Tait] também faz uma tabela dos nós alternados de até dez cruzamentos.
E. Rutherford e D. Mendeleev põem fim a esta animação, Rutherford cria o modelo dos átomos, que até hoje utilizamos e a ênfase na pesquisa dos elementos químicos muda para a Tabela Periódica organizada por Mendeleev. Praticidade para os químicos, frustração para os matemáticos, que continuam os estudos de nós, sem mais a esperança de que os mesmos poderiam estar descrevendo os elementos químicos. Estudar nós torna-se então trabalho "abstrato"de matemáticos.
C. N. Little pega no pesado durante seis anos e produz tabela de 43 nós de dez cruzamentos. Sua tabela não foi contestada por muito tempo, em 1974, Perko descobriu que dois nós da tabela de Little eram o mesmo [Perko]. Portanto na lista de Little só havia 42 nós diferentes. Little também fez uma tabela de nós alternados de onze cruzamentos, eventualmente se descobriu a falta de outros onze nós. Era preciso um pouco de ordem neste trabalho!
A Topologia começou a ser reconhecida como área distinta da Matemática no inicio do século vinte e seu grande desenvolvimento começou na década de 1930. Tem sido uma área de muito desenvolvimento e tem influenciado muitas outras áreas da matemática. Ela começa em resposta a certas necessidades dentro da Análise. É uma espécie de "geometria rústica"cujo objetivo e salientar os aspectos qualitativos dos objetos geométricos. As idéias da Topologia tem penetrado quase todas as áreas da matemática e na maioria dessas aplicações ela fornece ferramentas e conceitos para provar certas proposições básicas conhecidas genericamente como "teoremas de existência". Os primórdios das idéias topológicas podem ser encontrados no trabalho de K. Weierstrass na década de 1860 no qual ele estuda o conceito
de limite de uma função. Ele desenvolve a construção do sistema de números reais e revela algumas de suas propriedades importantes conhecidas agora como propriedades topológicas. Depois vem G. Cantor (1874-1895) que desenvolveu a Teoria dos Conjuntos, garantindo os fundamentos para a Topologia.
Um segundo aspecto da Topologia, chamado combinatorial ou algébrico, foi iniciado nos anos 1890 por H. Poincaré estudando calculo integral em dimensões altas. O primeiro aspecto, normalmente chamado Topologia Conjuntista (point set topology), foi fundamentada por F. Hausdorff e outros no período 1900-1910. A compatibilização dos dois aspectos, conjuntista e combinatória, foi estabelecida primeiro por L. E. J. Brouwer, quando o mesmo desenvolveu o conceito de dimensão e depois, definitivamente, por J. W. Alexander, P. L. Alexandrov e S. Lefschetz no período 1915-1930. Até este período, Topologia era conhecida por "Analisys Situs". Foi S. Lefschetz quem primeiro a usar o nome Topologia.
Fruto do desenvolvimento da matemática em geral e da topologia em particular, surgem os primeiros trabalhos apresentados de forma sistemático sobre Teoria dos Nós, Teoria de Enlaçamentos e sobre os Grupos de Tranças. Veja as referências [Dehn(1910)], [Dehn(1914)], [Alexander(1923)], [Alexander(1928)], [Reidemeister(1926)], [Reidemeister(1926’)] e [Artin(1926)].
No inicio desta era, M. G. Haseman, listou os nós não equivalentes aos seus espelhados (aquirais?) com doze cruzamentos [Haseman].
J. Alexander (1927) estabelece lista dos nós até oito cruzamentos, K. Reidemeister (1932) até nove cruzamentos. J. Alexander e G.B. Briggs, usando uma forma de apresentar os nós criada por W. Wirtinger, estabelece um procedimento muito eficiente de distinguir nós, a idéia era calcular o que ficou chamado Polinômio de Alexander de um nó. Polinômios diferentes, nós não equivalentes! Só em 1984 é que se criaram outros tipos de polinômios com o mesmo objetivo.
C.D. Papakyriakopoulos e J. Conway desenvolvem métodos mais simplificados de se calcular os Polinômios de Alexander.
Começa também o estudo de nós em dimensão mais alta, isto é, o estudo dos mergulhos das esferas de dimensão n ≥ 2 em esferas de dimensão maior que n, veja [Artin(1926)].
J. Conway [Conway] desenvolve nova notação para nós e com isso determina os nós primos de até onze cruzamentos. A. Caudron(1978) repara alguns erros na lista de Conway.
C. H. Dowker inventa uma nova forma de representar nós, baseado em idéias de Tait. Um algoritmo é feito e implementado em computador por M. B. Thistlethwaite. Assim obtém-se em 1981 lista de nós primos de até doze cruzamentos e em 1982 de treze cruzamentos.
C. Ernest e D. W. Sumners, em 1987, usando resultados de L. H. Kauffman, K. Murasugi e de Thistlethwaite avaliam que o número de nós de n cruzamentos é maior ou igual a (2n−2−1)/3. Em 1990, D. J. A. Welsh avalia que o número de nós de n cruzamentos é menor que uma certa função de n.
Na década de 1980 bioquímicos descobriram enodamentos nas moléculas de DNA! Surgem questões como: "Seria possível criar moléculas enodadas?"; "Enodamentos poderiam determinar algumas das propriedades das substâncias? "Moléculas enodadas que não são topológicamente equivalentes às espelhadas dão origem à substâncias diferentes?".
3
Na Teoria Clássica dos Nós e Enlaçamentos surgem muitos outros invariantes com o objetivo de distinguir suas classes, particularmente vários outros polinômios como acima citado, veja [Kauffman(1988), Kauffman(1989)].
Trabalhos recentes mostram que este estudo tem produzido conhecimento matemático valioso, relacionando a Teoria de Nós e Enlaçamentos com outras áreas de conhecimento como: Teoria Topológica de Campos e Mecânica Estatística na Física, o estudo do DNA na Biologia e o estudo das estruturas tridimensionais das moléculas (stereochemistry) na Química, veja muita coisa interessante sobre isto em [Flapan]. Voce poderá ver também uma foto de uma molécula enodada de DNA em [Wasserman et al.].
O estudo de mergulhos de variedades em variedades é uma generalização natural destes estudos, assim como é o estudo de mergulhos de outros espaços, como grafos, em espaços comoR2,R3ou em Superfícies.
Para fazer justiça ao nome do mini-curso gostaria de apresentar uma boa visão sobre a Teoria dos Nós Clássica por isso a maior parte do curso será dedicada a este tópico.
Veremos desde o começo que precisamos de muitas ferramentas da Topologia e da Algebra para estudar este assunto. Procuraremos portanto apresentar inicialmente, o suficiente (espero sem exagero!) destas ferramentas para o bom entendimento do curso. Devemos lembrar que estes pré-requisitos são muito úteis também para se estudar muitos outros assuntos. O participante do curso não precisa ver os detalhes destas ferramentas durante o curso mas é uma grande oportunidade de ter um contato com elas. Portanto, se houver tempo, não deixe de dar uma boa olhada nos pré requisitos, e tirar dúvidas durante as aulas, esse material, também, está bem resumido e incompleto mas é muito interessante e útil.
Queremos apresentar também neste mini-curso um bocadinho da correspondente teoria multidimensional, tudo dentro do contexto mais geral de mergulhos de variedades em variedades.
A maioria dos resultados serão só enunciados ficando as demonstrações para serem vistas nas referencias. Algumas poucas provas serão apresentadas, principalmente se forem fáceis! Na maioria das referências, principalmente nos livros, podemos encontrar quase todos os assuntos aqui abordados. A minha preferência pessoal é que determinou o que citar em cada caso. Pode ser que a citação não seja a mais adequada para o gosto de cada um, por isso é bom que cada um procure olhar vários textos até achar o que mais lhe agrada para estudar.
O assunto Nós e Enlaçamentos esta bastante relacionado com os Grupos de Tranças. Não abordaremos este assunto aqui, sobre isto temos vários textos interessantes em particular temos disponível no site do XV Encontro Brasileiro de Topologia - Rio Claro (2006) o texto do mini-curso "The Braid Groups"ministrado naquele encontro pelo Professor Dale Rolfsen [Rolfsen(2006)]. Nas notas do mini-curso existe uma bibliografia sobre o assunto e sugestões de vários textos para leitura, em particular veja uma prova do teorema de Alexander/Markov em [Morton].
As perguntas e os exercícios, quando sugeridos no texto, nem sempre são fáceis. Acho que alguns eu não sei responder ou se sei responder não tenho certeza se teria uma boa prova, no entanto não resisto a tentação de apresentá-los.
Neste curso as questões de mergulhos de objetos mais gerais como é o caso do mergulhos de grafos emR2ouR3serão abordados apenas superficialmente. Usaremos
um resultado sobre mergulhos de grafos emR3para provar que o espaço projetivo não mergulha emR3. (se der tempo!)
Em outras áreas da matemática, questões semelhantes são estudadas, por exemplo os Teoremas de Sylow estudados em Teoria de Grupos estudam os "mergulhos"de certos sub-grupos mais simples (os p-grupos), em um grupo dado.
Similarmente, uma parte da Teoria de Fibrados Vetoriais consiste em estudar se certos fibrados são sub-fibrados de outros fibrados de dimensão maior.
Esperamos com isso que o participante possa ter uma boa idéia desta parte tão importante da matemática.
Além deste primeiro capítulo histórico, teremos um capitulo de pré-requisitos, um capitulo sobre a Teoria Clássica de Nós, que é o nosso objetivo maior, um capitulo que chamei "Outras Teorias de Nós"onde abordaremos intuitiva e superficialmente alguns casos mais gerais desta teoria e um ultimo capítulo "O Espaço Projetivo RP2 não mergulha emR3".
Capítulo 2
Pré-requisitos
2.1 Álgebra
Espero que os leitores tenham um conhecimento básico de Teoria de Grupos, Anéis, Corpos e Módulos, que são normalmente apresentados nos cursos de graduação em Matemática. Existem três tópicos de Algebra que são muito usados nas Topologias Algébrica e Geométrica (da qual faz parte a Teoria de Nós), que são Algebra Homológica, Grupos Livres e Anéis de Grupos e que em geral não são abordados nos cursos de graduação. Não vou me aventurar em resumir Algebra Homológica aqui mas vou tentar resumir os outros dois tópicos, Grupos Livres e Anéis de Grupos. Sugiro que os interessados procurem na bibliografia e deem uma boa olhada nos três tópicos que são muito importantes para a formação geral de um matemático.
2.1.1 O básico de Categorias e Funtores
Uma linguagem que facilita muito a apresentação de muitas partes da matemática é a linguagem de categorias e funtores, portanto aqui vai um resumo deste assunto que espero facilite a apresentação do curso.
Definição 2.1 Uma categoria C é constituída de uma classe de objetos A, B, C... e de uma família de conjuntos disjuntos hom(A, B) que pode ser indexada por C × C, isto é, para cada par(A, B)de elementos de C × C um conjunto hom(A, B), satisfazendo as condições:
(i) Para cada terna de objetos A, B, C, existe uma função c, que associa cada elemento de hom(A, B) ×hom(B, C)um elemento de hom(A, C).
(ii) Existe uma função "1", de C na reunião dos conjuntos disjuntos SAhom(A, A) que associa a cada A deCum elemento”1A” da reunião com ”1A”∈ hom(A, A).
Além disso devemos ter satisfeitas as duas exigências abaixo para as funções consideradas: i. Associatividade da função c (denominada composição), isto é, seja α ∈ hom(A, B),
β∈ hom(B, C) e γ ∈ hom(C, D), então, c(c(α, β), γ) =c(α, c(B, γ))
ii. Identidade das funções”1”, isto é, se α ∈hom(A, B)então c(α, ”1B”) = α=c(”1A”, α)
Escreveremos por simplicidade:
(a) α : A→ B para α∈ hom(A, B); α será denominado "morfismo deC"com "domínio A" e "contradomínio B".
(b) c(α, β) será indicado β◦α que pelas condições apresentadas só terá sentido se o domínio de β for o contradomínio de α.
(c) É claro que a tripla composição γ ◦ β◦ α tem significado quando os domínios e contradomínios forem compatíveis.
Um elemento θ ∈ hom(A, B) será chamado uma equivalência em C se existir ψ ∈ hom(B, A) tal que ψ◦θ = 1A e θ ◦ψ = 1B (É claro que neste caso, ψ também
será uma equivalência).
Se um elemento θ ∈ hom(A, B) é uma equivalência, então o elemento ψ tal que ψ◦θ =1A e θ◦ψ=1Bé único.
Vejamos: seja ¯ψ outro elemento de hom(B, A) | ¯ψ◦θ = 1A e θ◦ ¯ψ = 1B, então
teremos ψ =1A◦ψ= ¯ψ◦θ◦ψ= ¯ψ◦1B = ¯ψ
O elemento ψ nas condições acima, fica bem definido pela θ (quando existir) e será denominado inverso de θ sendo indicado θ−1.
Exemplos de Categorias:
1. A classe constituída de um único grupo G, isto é, a categoria terá apenas um elemento; hom(G, G)será considerado como sendo o próprio G.
A aplicação c será definida por c(a, b) = a•b onde• é a operação existente em G. A aplicação "1"será a aplicação que à g ∈ Gassocia o elemento neutro. É fácil verificar as condições.
2. RM constituída de todos os módulos a esquerda de um anel R. Os objetos
são os R-módulos, isto é, A, B, C... são os R-módulos. hom(A, B) será o conjunto HomR(A, B) de todos os homomorfismos de R-módulos de A em B.
A composição (c) é a usual. É fácil verificar as condições.
3. A classe de todos os conjuntos tomando como morfismos as funções entre os conjuntos.
4. A classe de todos os grupos tomando-se como morfismos os homomorfismos entre elas.
5. A classe dos grupos abelianos também como morfismos os homomorfismos. 6. A classe dos espaços topológicos com os morfismos as aplicações contínuas entre
eles.
Dadas duas categorias C e D um Funtor Covariante T está definido de C paraD quando tivermos:
(a) A cada objeto A de Cfica associado um único objeto T(A) deD.
(b) A cada morfismo α deC fica associado um único morfismo T(α) deD, onde estas associações respeitam as condições:
2.2: Topologia Algébrica 7
(1) T(1A) =1T(A)
(2) Se α : A→B ∈ hom(A, B)então T(α) : T(A) → T(B) (3) T(α◦β) = T(α) ◦T(β)
Um Funtor Contravariante é definido da mesma forma, mas com as condições (1) e:
(2’) Se α : A →Bentão T(α) : T(B) →T(A). (3’) T(α◦β) = T(β) ◦T(α).
Dados os funtores T : C → D e S : D → E definimos o funtor composto T◦S: C → E por: (T◦S)(A) =T(S(A)) e T◦S(α) = T(S(α))).
É fácil verificar que T ◦S é um funtor da categoria C na categoria E e que o composto de dois funtores é covariante se ambos forem covariantes ou ambos forem contravariantes e o composto é contravariante se eles não forem ao mesmo tempo covariantes ou contravariantes.
Exemplos de funtores:
1. πi é um funtor da categoria dos espaços topológicos pontuados na categoria dos
grupos.
2. Hq é um funtor da categoria dos pares de espaços topológicos na categoria dos
grupos abelianos.
2.1.2 O básico de Anéis de Grupos
Um bom texto em português para ver este assunto é o livro do Polcino [Polcino] Fixemos um grupo G e um anel A com unidade.
Uma combinação linear formal, finita de elementos de G e A e é uma "soma"da forma r = ∑gr(g).g onde g ∈ G e r(g) ∈ A é tal que apenas uma quantidade finita dos r(g), g ∈ G é diferente de 0 ∈ A. O conjunto de todas estas somas formais vão constituir um conjunto que chamaremos um anel de grupo e que denotaremos A[G]. Precisamos em A[G]de uma soma e de um produto.
A soma é dada por r1+r2=∑gr1(g).g+∑gr2(g).g =∑g(r1(g) +r2(g)).g
O produto é dado por r1·r2=∑gr3(g).g onde r3(g) =∑g1.g2=gr1(g1) ·r2(g2)
É fácil verificar que com estas definições de soma e produto, A[G]se torna um anel, chamado Anel de Grupo de G sobre A.
O exemplo que estaremos usando é Z[Z], isto é, o grupo G = Z e o anel A = Z, neste caso o Anel de Grupo se identifica com o Anel dos polinômios nas variáveis t, t−1
sobreZ.
Como nem sempre os ingredientes envolvidos são comutativos, podemos ter anéis bastante complicados neste familia de Anéis de Grupos.
2.2 Topologia Algébrica
Estamos supondo que o leitor esteja acostumado com as notações da Topologia Geral ou de Espaços Métricos.
2.2.1 O básico de Homotopia
Uma boa sugestão para leitura é o livro do Elon, [Elon1].
Nesta seção estamos trabalhando com a categoria dos espaços topológicos e aplicações contínuas ou na correspondente categoria de pares.
Considere as aplicações f : Z →Xe g : Z →X, dizemos que f e g são homotópicas se existir aplicação, denominada homotopia, H : Z× [0, 1] → Xtal que H(z, 0) = f(z) e H(z, 1) = g(z), notação f ∼H g, f ∼gou H : f ∼g.
Muitas vezes, nesta situação dizemos que temos uma familia continua de aplicações ht : Z →Xcom h0 = f e h1 = g.
Se A ⊂Ztemos a noção de homotopia relativa ao subconjunto A, neste caso pede-se que f|A = g|A e que H satisfaça a condição H(a, t) = f(a) = g(a), ∀ a ∈ A e ∀t ∈ [0, 1].
Na categoria dos pares de espaços topológicos e aplicações contínuas de pares, definimos (X, A) ×I = (X×I, A×I)e temos a noção correspondente de homotopia. Sejam f0, f1 : (X, A) → (Y, B) aplicações contínuas. Uma homotopia de pares
entre f0 e f1 é uma aplicação contínua de pares H : (X, A) × I → (Y, B) tal que
H(x, 0) = f0(x) e H(x, 1) = f1(x).
Observe que se H é uma homotopia entre aplicações de pares então H(A×I) ⊂ B. Diz-se que (X, A) e (Y, B) tem o mesmo tipo de homotopia de pares se existem aplicações contínuas ϕ : (X, A) −→ (Y, B) e ψ : (Y, B) −→ (X, A) tais que ϕ◦ψ ∼ Id(Y,B) e ϕ◦ψ ∼ Id(X,A), (homotopia de pares). Nestas condições ϕ e ψ são denominadas equivalências de homotopia, a versão não relativa é clara.
Se A = ∅ = B temos a versão usual de homotopia e se A =um ponto e B =um ponto temos a homotopia pontuada.
Verifica-se facilmente que homotopia é uma relação de equivalência. Em qualquer das situações acima, denotamos a classe de alguma f : Z→Xpor[f]ainda denotamos o conjunto das classes de homotopia por {Z,X}, embora em muitos livros a notação seja [Z, X].
Seja h : X →Y, então para toda f : Z →X e familia contínua ft : Z → Xpodemos
então fazer as aplicações compostas h◦ f : Z →You h◦ ft : Z →Y, vemos então que
hinduz uma aplicação h∗ : {Z, X} → {Z, Y}, definida por h∗([f]) =h◦ f.
Uma deformação de X é uma homotopia ft : X →Xonde f0 = IdX e para todo t, ft
é um homeomorfismo.
Dado par (X, A) dizemos que uma homotopia ft : X → X é uma deformação de
2.2: Topologia Algébrica 9
homotopia faz os pontos de X−A "fluírem"para dentro de A, enquanto os pontos de A ficam "parados com o tempo t∈ [0, 1]".
Vejam exemplos de deformações, muito interessantes, no capítulo 1 de [Prasolov]. Dado A um subespaço de X. Diz-se que A é um retrato de X se existe uma aplicação contínua r : X→ A tal que r(a) =a, ∀a∈ A, r é chamada uma retração de X sobre A. Vê-se facilmente que A é um retrato de X se e somente se IdA : A → A pode ser prolongada a uma aplicação contínua de X em A. Se iA : A → X é a
inclusão, e r : X→ Auma retração, então temos r◦iA = IdA
Exemplos
1. Seja Z = S1 = X, Y = D2e fn : S1 →S1dada por fn(ei.Θ) = ei.n.Θ, n∈ Z. Sabemos
que se m = n em Z então {fn} = {fm}, sabemos também que toda f : S1 → S1 é homotópica a alguma das fn isto é temos um bijeção {S1, S1} ↔ Z. Por outro lado, á
fácil ver que todas as aplicações g : S1 → D2 são homotópicas entre si e homotópicas
a qualquer aplicação constante, isto é{S1, D2}é um conjunto unitário. Se denotamos a inclusão i : S1 ֒→ D2 então i∗ é constante, isto é, duas aplicações quaisquer de S1 em
S1quando consideradas como aplicação de S1em D2são sempre homotópicas.
2. Seja o par(X, A) = (D2,[−1, 1]), então ht(x, y) = (x,(1−t)y) é deformação de D2
em[−1, 1].
3. Seja o par (X, A) = (D2 − {(0, 0)}, S1), note que S1 é o bordo de D2 então ht(x, y) = (1−t)(x, y) +t.{(x, y)/[(x2+y2)]1/2} é uma deformação de D2− {(0, 0)}
em S1.
Lema 2.1 Se existe uma deformação de X em A então para todo espaço topológico Z, temos que
i∗ : {Z, A} → {Z, X} é uma bijeção, onde i∗ é a induzida da inclusão i: A ֒→X.
Prova: Seja ht : X → Xuma deformação de X em A, vejamos que i∗ é sobrejetiva.
Seja [f] ∈ {Z, X} então f : Z → X, consideremos então ht◦ f que é uma homotopia
entre f e g = h1◦ f note que g(Z) ⊂ A logo g pode ser considerada como uma
aplicação de Z em A, isto é[g] ∈ {Z, A}e é claro que i∗[g] = [f].
Vejamos agora que i∗ é injetiva. Sejam [f0] e [f1] em {Z, A} tal que i∗[f0] = i∗[f1]
Note que f0(Z) ⊂ A e f1(Z) ⊂ A, além disso existe homotopia entre f0 e f1 quando
tomadas com aplicações de Z em X, seja ft : Z → X esta homotopia. Temos que
h1◦ ft : Z→ Xtambém é uma homotopia, como f0(Z) ⊂ Asegue também que∀z ∈ Z
temos h1(f0(z)) = f0(z) e da mesma forma ∀z ∈ Z temos h1(f1(z)) = f1(z) então
h1◦ ft é uma homotopia entre f0e f1. Mas h1(Z) ⊂ Aentão h1◦ ft(Z) ⊂ A∀t ∈ [0, 1]
logo h1◦ ft é uma homotopia em A entre f0e f1, isto é[f0] = [f1]em{Z, A}, portanto
i∗ é injetiva.
Dizemos que um espaço topológico X é contraível se a aplicação identidade IdX : X →X é homotópica à uma aplicação constante de X em X. Isto é equivalente a dizer que X se deforma em algum de seus pontos.
Consideremos agora o caso de "espaços topológicos pontuados" e "aplicações (contínuas!) pontuadas", isto é estaremos considerando pares(Z, z0)onde Z é espaço
topológico e z0 ∈ Z um ponto base. As aplicações consideradas f : (Z, z0) → (Y, y0)
levam ponto base em ponto base. Nesta "categoria" uma homotopia H deve satisfazer a condição H(z0, t) = y0 ∀t ∈ [0, 1]. As classes de homotopias são ditas com ponto
base (ou "baseadas"!). A notação, para diferenciar da não baseada é [(Z, z0),(Y, y0)]
mas se não há dúvidas sobre quem são os pontos bases, usamos a notação [X, Y]. A notação para a classe de alguma f será a mesma que a não pontuada[f]pois o contexto em geral deixa claro em que categoria estamos. Existe uma aplicação (esquecimento) entre [Z, Y] e {Z, Y}, que leva [f] em [f], sendo esta ultima a classe de homotopia considerada sem ponto base. Esta aplicação em geral não é uma bijeção. Outro fator importante a ser considerado é quando os espaços não são conexos por caminho. Neste caso os conjuntos podem mudar muito se mudamos as escolhas dos pontos bases em componentes conexas por caminho diferentes, por isto, estaremos considerando em geral espaços conexos por caminho quando estivermos trabalhando na categoria pontuada. Nestas condições, para uma boa quantidade de tipos de espaços topológicos (conexos) a mudança do ponto base vem acompanhada com uma bijeção natural entre o conjunto das classes correspondentes, por isso a notação simplificada não atrapalha. Neste contexto temos deformações pontuadas e vale o lema abaixo.
Lema 2.2 Se existe uma deformação de X em A (ponto base em A) então i∗ : [Z, A] → [Z, X]
é uma bijeção onde i é a inclusão de A em X.
O Grupo Fundamental de um espaço topológico
Seja X um espaço topológico conexo por caminhos e p um ponto em X , temos então o par (X, p), vamos definir o grupo fundamental deste espaço topológico pontuado, que será denotado π1(X, p)ou mais abreviadamente π1(X).
Uma aplicação f : [0, 1] → X é um caminho em X ligando f(a) a f(b), se temos outro caminho g tal que g(0) = f(1), podemos fazer a concatenação destes caminhos, definindo um caminho (f ⊙g) : [0, 1] → X por(f ⊙g)(t) = f(2t) se 0 ≤ t ≤ 1/2 e (f ⊙g)(t) = g(2t−1) se 1/2 ≤ t ≤ 1, que percorrerá, no mesmo "tempo" [0, 1], os dois caminhos dados na ordem pré estabelecida. Podemos também definir o caminho inverso de f , isto é, ele percorre o mesmo caminho que faz f , porem no sentido contrário, denotemos por f− este caminho que é definido por f−(t) = f(1−t), t ∈
[0, 1].
É fácil ver que a concatenação de caminhos não é associativa, isto é, (f ⊙g) ⊙h é em geral diferente de f ⊙ (g⊙h).
Seja (S1, q) o circulo pontuado, conforme a conveniência da notação, o circulo
será visto como subespaço de R2 ou dos complexos C ou como quociente de [0, 1] ou[0, 2π] ou[a, b], pelos seus pontos extremos, neste caso o ponto base será o ponto correspondente aos identificados.
Note que se X não for conexo por caminhos, o que estaremos fazendo nesta seção é definir o grupo fundamental da componente conexa por caminhos do ponto base p, por isso, desde o começo, tomamos por facilidade, X conexo por caminhos.
2.2: Topologia Algébrica 11
Dada aplicação de f : (S1, q) → (X, p) obtém-se de forma natural aplicação
correspondente f′ : ([a, b],{a, b}) → (X, p)e vice-versa, além disso, f ∼gse e somente
se f′ ∼g′.
Estas aplicações são chamadas laços em X com ponto base p.
Notemos que uma homotopia de laços, é uma homotopia fs tal que ∀s ∈ [0, 1] fs é
um laço em(X, p).
Como um laço é um caso especial de caminho, podemos fazer a concatenação de laços. Como foi observado anteriormente, a concatenação de caminhos, ou particularmente de laços, não é associativa porém se considerarmos as classes de homotopia de laços vemos que os dois laços(f ⊙g) ⊙he f ⊙ (g⊙h)são homotópicos, logo em [([0, 1],{0, 1}),(X, p)] , [(f ⊙g) ⊙h] e [f ⊙ (g⊙h)] são o mesmo elemento. Temos portanto uma boa definição de um produto no conjunto [([0, 1],{0, 1}),(X, p)] dado por[f].[g] = [f ⊙g].
Definição 2.2 O grupo fundamental de X em p, denotado π1(X, p), é o conjunto das
classes de homotopia baseada de laços em X com ponto base p, ou seja, o conjunto [([0, 1],{0, 1}),(X, p)] (ou [(S1, q),(X, p)]) com o produto [f].[g] = [f ⊙g], elemento
inverso[f]−1= [f−]e elemento neutro dado pela classe do caminho constante em p.
A prova de que a operação acima é bem definida e que realmente dá ao conjunto um estrutura de grupo, é extensa, omitiremos.
Definição 2.3 Homomorfismo induzido por aplicação contínua Dada uma aplicação F :
(X, x0) → (Y, y0), define-se um homomorfismo F∗ : π1(X, x0) → π1(Y, y0), por F∗([f]) =
[F◦ f].
É fácil verificar que F∗ é um homomorfismo de grupos, que Id(X,x0)∗ = Idπ1(X,x0)
e que (G◦ F)∗ = G∗ ◦F∗, em outras palavras se denotássemos F∗ por π1(F) então
π1 é um funtor covariante da categoria dos espaços topológicos baseados e aplicações contínuas baseadas na categoria dos grupos e homomorfismos de grupos.
Não é difícil ver que no caso de o espaço ser conexo por caminhos e mudarmos o ponto base, obtemos grupos fundamentais isomorfos, por isso às vezes omitimos o ponto base.
Exemplos
1. É fácil mostrar que se X for convexo ou contraível então π1(X) = (0).
2. Seja (X, p) = (S1, 1) e usemos por conveniência o intervalo [0, 2π] como domínio dos laços para π1(S1, 1). É possível provar que todo laço f : ([0, 2π],{0, 2π}) → (S1, 1)
é homotópico à um dos laços fn(θ) = ei.n.θ, n ∈ Z e que(fi⊙ fj) ∼ fi+j, concluímos
que π1(S1, 1) ≈ Z.
3. Sejam (X, p) e (Y, q) espaços topológicos pontuados, é fácil verificar que π1(X×
Para a demonstração do proximo teorema, veja por exemplo [Armstrong] pagina 138.
Teorema 2.1 (Teorema de Seifert-van Kampen)
Sejam X = A∪B espaços topológicos, i : A֒→X e j: B ֒→X as inclusões, onde A, B e A∩B são subespaços conexos de X e considere o ponto base destes espaços x0 ∈ A∩B.
Suponha que os grupos fundamentais de A, B e A∩ B sejam dados pelas apresentações: π1(A, x0) =< a1, a2, .... | r1, r2, ... >, π1(B, x0) =< b1, b2, .... | s1, s2, ... >
e π1(A∩B, x0) =< c1, c2, ....| t1, t2, ...>, então:
π1(X, x0) =< a1, a2, ...., b1, b2, .... | r1, r2, ..., s1, s2, ..., i∗(c1) = j∗(c1), i∗(c2) =
j∗(c2), ... >.
A definição dos grupos de homotopia de dimensão maior cabe (sem as demonstrações, é claro!) neste cantinho, vejamos:
πq(X, x0) é o conjunto das classes de homotopia relativa de aplicações de pares
f : (Iq, ∂Iq) → (X, x
0).
Dadas duas destas aplicações podemos concentrar cada uma delas em uma "metade"do q-cubo Iq, definindo assim, a soma de duas destas funções que, em nível de homotopia, fica bem definida.
Desta forma o conjunto ganha uma operação tornando-se um grupo abeliano pois em dimensão≥2 é possível concentrar um pouco mais as funções dentro dos q-cubos e "rodar"os domínios destas funções concentradas, trocando-as de posição dentro do q-cubo inicial. O elemento neutro e os inversos são definidos de forma natural, trocando-se as orientações do cubo em que estão definidas.
Da mesma forma que no grupo fundamental, dada aplicação contínua F : (X, x0) → (Y, y0) define-se F∗q : πq(X, x0) → πq(Y, y0) por F∗q([f]) = [F◦ f] e
verifica-se facilmente que F∗q é um homomorfismo, que se chamado π∗q(F),
mostra-nos que π∗q é um funtor covariante da categoria dos espaços topológicos pontuados
na categoria dos grupos abelianos.
2.2.2 O básico de Homologia
Uma boa sugestão para leitura é o novo livro do Elon, [Elon2].
Os axiomas de Eilenberg-Steenrod
A Teoria de Homologia é importante instrumento da Topologia Algébrica. É usada em diversas outras áreas da matemática. Foi sistematizada através dos Axiomas de Eilenberg-Steenrod o que facilita muito a sua utilização. Estaremos focalizando a categoria dos pares de espaços topológicos e aplicações contínuas entre estes pares. Consideramos a identificação X = (X, ∅), bem como as inclusões naturais derivadas do par de espaços(X, A), que são:
2.2: Topologia Algébrica 13 (A, A) ր ց (∅, ∅) → (A, ∅) (X, A) → (X, X) ց ր (X, ∅)
São os seguintes os dados para uma teoria de homologia.
A cada par de espaços (X, A) e para cada inteiro q, pode-se associar, de maneira bem definida, grupos abelianos Hq(X, A)e homomorfismos denominados operadores
bordo
∂q =∂(X,A,q) : Hq(X, A) → Hq−1(A),
Além disso, para toda f : (X, A) → (Y, B) e para todo q inteiro pode-se associar homomorfismos de grupos:
fq = (Hq(f)): Hq(X, A) → Hq(Y, B),
ou, abreviadamente:
f∗ : H∗(X, A) → H∗(Y, B) e ∂∗ : H∗(X, A) → H∗−1(A) e ∂∗ : H∗(Y, B) → H∗−1(B).
Para cada q, Hq é um funtor covariante.
Eilenberg e Steenrod deram, em 1945, uma descrição axiomática da Teoria da Homologia Relativa, estabelecendo os seguintes axiomas.
Axioma 2.1 (Identidade) Se Id : (X, A) → (X, A) é a função identidade, então Idq :
Hq(X, A) → Hq(X, A) é a identidade de Hq(X, A) para todo inteiro q.
Axioma 2.2 (Composição) Se f :(X, A) → (Y, B)e g : (Y, B) → (Z, C) são aplicações de pares, então(g◦ f)q = gq◦ fq para todo inteiro q.
Axioma 2.3 Se f : (X, A) → (Y, B) e f′ : A → B é definida por restrição de f então, o
diagrama abaixo é comutativo para todo inteiro q.
Hq(X, A) −→∂∗ Hq−1(A)
↓ fq ↓ fq′−1
Hq(Y, B) −→∂∗ Hq−1(B)
Axioma 2.4 (Seqüência Exata) Para todo par(X, A)fica associada uma seqüência exata de grupos, denominada seqüência de homologia do par(X, A);
...→ Hq(A) −→iq Hq(X) −→jq Hq(X, A) −→∂q Hq−1(A)
iq−1
−→ Hq−1(X) →...
Axioma 2.5 (Homotopia) Se as aplicações f e g : (X, A) → (Y, B) são homotópicas, então, fq = gq para todo inteiro q.
Axioma 2.6 (Excisão) Se U é um aberto de X tal que o fecho de U, esta contido no interior
de A, então, a aplicação inclusão e : (X −U, A−U) → (X, A) induz isomorfismos eq : Hq(X−U, A−U) −→≈ Hq(X, A), para todo inteiro q.
Axioma 2.7 (Coeficiente) Se P é um espaço topológico unitário, então, Hq(P) =0 se q 6=0.
Se P é espaço topológico unitário e fixamos H0(P) =Gentão G é chamado grupo dos
coeficientes da teoria de homologia em questão.
Daremos adiante um pouco do que é preciso para se construir uma teoria de homologia na qual fixaremos Z como grupo dos coeficientes (pode ser qualquer anel comutativo com unidade).
Alguns Resultados que se obtém diretamente dos axiomas
Proposição 2.1 Os grupos de homologia são invariantes do tipo de homotopia, isto é, se
f : (X, A) → (Y, B)é uma equivalência de homotopia, então f∗ : H∗(X, A) →≈ H∗(Y, B).
Demonstração: Sejam (X, A), (Y, B) pares de espaços que tem o mesmo tipo de homotopia, isto é, existem f : (X, A) → (Y, B) e g : (Y, B) → (X, A) tal que(f ◦g) e (g◦ f)são homotópicas a identidade.
Então, os axiomas 2 e 5 fornecem: (g◦ f)∗ = g∗◦ f∗ = Id e (f ◦g)∗ = f∗◦g∗ = Id,
logo f∗ : H∗(X, A) →≈ H∗(Y, B) e g∗ : H∗(Y, B) →≈ H∗(X, A), são isomorfismos.
Como já vimos As aplicações f e g acima denominam-se equivalências de homotopia e os pares de espaços são chamados equivalentes homotópicos.
Proposição 2.2 Para todo espaço topológico X temos H∗(X, X) = 0.
Demonstração: Pelo axioma 4 temos a seqüência exata de homologia do par(X, X): ... →Hq(X) iq → Hq(X) jq →Hq(X, X) ∂q →Hq−1(X) iq−1 → Hq−1(X) →...
Logo, para todo q, iq é o isomorfismo identidade e, portanto, ker iq = 0 e Im iq =
Hq(X).
Como a seqüência é exata, temos que ker jq = Im iq = Hq(X).
Temos então que Im jq =0 (*).
Como Im ∂q = ker iq−1=0 temos que ker ∂q = Hq(X, X)(**).
Mas, Im jq =ker ∂q logo (*) e (**) fornecem Hq(X, X) =0 para todo inteiro q.
Proposição 2.3 Se A⊂X é um retrato de X, então, H∗(X) ≈ H∗(A) ⊕H∗(X, A).
Demonstração: Como A −→i X −→r A, é tal que, r◦i = IdA e, portanto, rq◦iq =
id. Temos que iq é injetora e rq é sobrejetora. Consideremos a seqüência exata de
homologia do par(X, A): ...→ Hq+1(X, A)
∂q+1
−→ Hq(A) −→iq Hq(X) →...
Como i∗ é injetora, ∂∗ =0. Obtemos então uma família de seqüências exatas curtas:
0→ Hq(A) iq
−→ Hq(X) jq
2.3: O básico de Topologia Diferencial 15
Consideremos a aplicação contínua π =i◦r: X → X.
Verifica-se que πq =iq◦rq : Hq(X) → Hq(X)é um projetor do grupo abeliano Hq(X),
isto é:
πq◦πq = (iq◦rq) ◦ (iq◦rq) = iq◦ (rq◦iq) ◦rq =iq◦rq =πq, logo Hq(X) ≈ Imπq⊕kerπq
Como rqé sobrejetora e iq é injetora, vem que Imπq = Imiq =iq(Hq(A)) ≈ Hq(A).
Então, Hq(X) ∼=iq(Hq(A)) ⊕ker πq e, portanto, ker πq ≈ Hq(X)/iq(Hq(A)).
Das seqüências exatas curtas acima decorre que Hq(X)/iq(Hq(A)) ∼= Hq(X, A) e daí
Hq(X) ≈ iq(Hq(A)) ⊕Hq(X, A) ≈ Hq(A) ⊕Hq(X, A) para todo inteiro q.
Observação Seja {x0} sub espaço constituído de um único ponto de X, {x0} ⊂ X,
então:
Hq(X) ≈ Hq({x0}) ⊕Hq(X,{x0})logo,
Hq(X) ≈ Hq(X,{x0})para todo q6=0 e H0(X) ≈ Z⊕H0(X,{x0})
2.3 O básico de Topologia Diferencial
Acredito que todos saibam o que é uma curva ou uma superfície, no plano ou no espaço, como dar uma parametrização, achar vetor tangente ou plano tangente, etc. Curvas, surgem por exemplo como gráfico de aplicações deRemRe superfícies como gráficos de aplicações deR2emR. Se estas aplicações são contínuas, diferenciáveis de várias ordens, etc., as respectivas curvas e superfícies terão propriedades específicas.
Considerando estes objetos, mergulhados nos respectivos ambientes R2 ou R3 eles herdam destes espaços uma topologia, até mesmo uma métrica. Se os objetos forem dados por aplicações diferenciáveis eles também herdam uma "estrutura diferenciável"do ambiente, isto é, se temos dois destes objetos podemos falar de aplicações diferenciáveis entre eles. Se os objetos tem apenas uma estrutura topológica então temos que nos restringir a aplicações contínuas entres eles, ou seja, utilizamos a categoria que seja possível em cada caso.
Objetos de maiores dimensões surgem naturalmente, porem temos mais dificuldades de "visualizá-los". Utilizamos para isso nosso treinamento e nossa confiança em manipular dados algébricos e analíticos para se ter uma visão geométrica "multidimensional"destes objetos. Muitas vezes utilizamos visões projetadas em espaços de dimensões menores, dos objetos em estudo, como fazemos com o estudo da Geometria Espacial através da Geometria Descritiva.
Gráficos de funções de Rk em R são objetos de dimensão k em Rk+1. Podemos também parametrizar objetos de dimensão k em algum Rk+i, i ≥ 2, etc. Se algum destes objetos tem a propriedade de que todos os seus pontos possuem vizinhanças homeomorfas (difeomorfas) a um Rn, com n fixo, dizemos que este objeto é uma variedade de dimensão n. As curvas são variedades de dimensão 1, as superfícies são variedades de dimensão 2, etc.
Quando selecionamos as variedades que possuem estrutura diferenciável e portanto podemos falar das aplicações entre elas que são diferenciáveis, estamos falando da categoria que normalmente é chamada categoria das variedades diferenciáveis, abreviadamente DIFF.
É importante salientar que é possível descrever esta categoria sem fazer nenhuma alusão aos mergulhos destes objetos no Rn. Quando adotamos esta forma fica claro que podemos falar em variedades de classe Ck, quando as variedades possuem
parametrizações de classe Cke as aplicações entre elas também são de classe Ck.
Outra categoria importante são as variedades topológicas, classe C0, com as
aplicações contínuas entre elas.
Quando estamos trabalhando com objetos que podem ser triangularizáveis, isto é, podemos achar um poliedro homeomorfo ao dito objeto, e consideramos as aplicações (contínuas) entre estes objetos que correspondem a aplicações lineares afins entre os poliedros correspondentes, dizemos que estamos na categoria PL.
Todas são sub categorias da categoria dos espaços topológicos e aplicações contínuas (TOP).
Definição 2.4 Uma variedade de dimensão n, Wn é um espaço topológico que pode se coberto
por imagens bijetivas de aplicações contínuas (cartas ou parametrizações) x : U → Wn onde
U é um aberto de Rn, x(U) é aberto de Wn e cada x : U → x(U) é um homeomorfismo. Se para duas quaisquer cartas, x1e x2 cujas imagens se interceptam, tivermos que a aplicação
composta (mudanças de coordenadas!) x−1
2 ◦x1 : x−11(U1∩U2) → x2(U1∩U2) for PL
ou diferenciável (digamos de classe Ck), dizemos que Wn é uma variedade de classe Ck, se as
mudanças de coordenadas só forem PL ou contínuas dizemos que Wn é uma variedade PL ou
topológica.
Como vimos antes, muitas vezes já supomos que o espaço Wn, ao qual se quer dar
uma estrutura de variedade, já se situa em algum RN e as cartas são parametrizações
que generalizam os conceitos clássicos de curvas e superfícies parametrizadas. Esta forma de definir variedades é mais prática e é aceitável já que existem teoremas que provam que, uma grande parte das variedades no sentido geral da definição acima, sempre mergulha de forma adequada em algumRN com N não tão grande.
Uma aplicação entre duas variedades Nn e Mm é dita PL ou diferenciável de classe Ck, se quando escrita em coordenadas (compondo com cartas locais no domínio
e no contra-domínio) forem PL ou de classe Ck como aplicações entre os abertos
correspondentes de Rn e Rm. Se k = 0 dizemos que a aplicação é continua e o caso C0coresponde à categoria topológica.
Exemplos de Variedades:
1. Rnou qualquer de seus abertos são variedades de dimensão n. 2. Sn = {(x
1, x2, .., xn+1) ∈ Rn+1com k (x1, x2, .., xn+1) k= 1} a esfera unitária deRn+1
é uma variedade de dimensão n.
3. O produto cartesiano de duas variedades é uma variedade.
Uma variedade com bordo se define como acima só que pedimos que os domínios Usão abertos de Hn = {(x
1, x2, .., xn) ∈ Rn, com xn ≥0}. Observe então que podemos
2.3: O básico de Topologia Diferencial 17
em {(x1, x2, .., xn) ∈ Rn, com xn > 0} que são abertos usuais de Rn e outros pontos
cuja vizinhança tem a forma de Hn, estes serão os pontos do bordo da variedade considerada.
Exemplos de Variedades com bordo:
1. Hn é uma variedade com bordo, seu bordo é ∂Hn = {(x
1, x2, .., xn) ∈ Rn, com xn =
0} = Rn−1e o seu interior é int(Hn) = {(x1, x2, .., xn) ∈ Rn, com xn >0}.
2. Dn = {(x1, x2, .., xn) ∈ Rncom k (x1, x2, .., xn) k≤ 1} o disco unitário de Rn é uma
variedade com bordo, seu bordo é a esfera Sn−1. O interior de Dn é uma variedade
aberta. Usa-se a terminologia variedade fechada para uma variedade compacta e sem bordo, como Sn.
3. In = [0, 1]n o n-cubo deRn é uma variedade com bordo de dimensão n, seu bordo é homeomorfa à esfera Sn−1, um caso particular é I = [0, 1]o intervalo da reta que é
uma variedade de dimensão 1 e seu bordo é{0, 1}(compare com o exemplo anterior).
Exercício: Encontre todas as variedades conexas de dimensão 1, com ou sem bordo, a
menos de homeomorfismo.
Uma superfície bastante popular, a faixa de Möbius, é obtida do quadrado I2 =
{(x, y) ∈ R2 tal que 0 ≤ x ≤ 1 e 0 ≤ y ≤ 1} identificando-se os pontos do segmento à esquerda(0, y) ∈ I2com os pontos correspondentes aos segmento à direita (1, 1−y) ∈ I2, onde 0 ≤y≤1. Vamos denotar a Faixa de Möbius porM2. Note que o
seu interior, isto éM2menos o seu bordo ∂M2(que é homeomorfo à um circulo S1!)(é também chamada faixa de Möbius).M2é o protótipo da superfície não orientável, isto é, ela só tem um lado!!
Qualquer superfície será dita não orientável se contiver uma sub-superfície homeomorfa aM2, caso contrario será dita orientável.
Podemos criar um protótipo para uma variedade não orientada de dimensão n, basta considerar o n-cubo In = {(x
1, x2, ..., xn) onde 0 ≤ xi ≤ 1 ∀ i = 1, 2, ..., n}
e identificar os pontos do (n-1)-cubo "à esquerda"{(0, x2, x3..., xn) ∈ In onde 0 ≤
xi ≤ 1 ∀i = 2, ..., n} com os pontos correspondentes ao (n-1)-cubo "à direita"
{(0, 1−x2, x3..., xn) ∈ In, onde 0 ≤ xi ≤ 1 ∀i = 2, ..., n}, assim obtemos a variedade
compacta com bordo que denotaremosMn.
Uma variedade de dimensão n será não orientável se contiver uma sub-variedade de dimensão n homeomorfa aMn, caso contrário será dita orientável.
Para uma variedade orientável é possível escolher duas orientações, quando feita esta escolha dizemos que temos uma variedade orientada.
Já observamos que o produto cartesiano de duas variedades é uma variedade. Podemos construir com isso muitas variedades, usando algumas que já conhecemos.
Uma outra forma de construir variedades e tomar duas variedades com bordos homeomorfos (difeomorfos) e colá-las através do bordo usando um homeomorfismo (difeomorfismo).
Uma operação bastante importante na categoria das variedades é a soma conexa
de duas variedades.
Definição 2.5 Dadas duas variedades M1 e M2 de mesma dimensão n a soma conexa
M1♯M2é definida da seguinte forma: escolha discos D1n ⊂ M1e D2n ⊂ M2remova os interiores
destes discos. Nas variedades surgem as componentes de bordo Sn−1
1 = ∂Dn1 e S2n−1 = ∂D2n,
"colamos" estas esferas através de um homeomorfismo (ou um homeomorfismo PL se estamos nesta categoria ou um difeomorfismo se as variedades forem diferenciáveis) ϕ : Sn
1 Sn2 obtemos a soma conexa M1♯M2.
Teorema 2.2 Classificação de Superfícies As superfícies, conexas, compactas e sem bordo
são classificadas, a menos de homeomorfismo, segundo a lista:
1. Orientáveis: a esfera S2, o toroT2 = (S1×S1) e as somas conexas de toros, ♯ig=1(T2) onde g = 1, 2, 3, .... é chamado genus da superfície orientável correspondente. Diz-se que S2
tem genus0.
2. Não orientáveis: o espaço projetivo RRP2 e somas conexas de espaços projetivos, ♯gi=1(RRP2) onde g=1, 2, 3, .... é chamado genus da superfície não orientável correspondente.
Detalhes e demonstrações podem ser vistas em [Moise] ou [Massey].
A classificação das superfícies compactas e conexas com bordo é feita da seguinte forma: Verifique se as duas superfícies dadas tem a mesma quantidade de componentes de bordo (que necessariamente são um número finito de círculos S1), se estas quantidades forem diferentes então as superfícies são diferentes, se forem iguais, então cole um disco D2em cada componente de bordo de cada superfície, fazendo com
que as mesmas se tornem superfícies sem bordo. Use o teorema acima para verificar se as duas superfícies, conexas, compactas e sem bordo obtidas são homeomorfas, se forem, então as iniciais também serão.
As superfícies são espaços topológicos triangularizáveis, isto é, são homeomorfas a poliedros montados (de forma regulamentada) com vértices, arestas e faces triangulares. As superfícies compactas terão um número finito destes ingredientes. Defini-se a Característica de Euler de uma superfície compacta M por χ(M) = número de vértices - número de arestas + número de faces, obtidos de qualquer triangulação de M. Prova-se que este número χ(M) não depende da triangulação (só depende da classe de homeomorfismo da superfície), isto é, χ(M) é um invariante
topológico e é usado para distinguir as superfícies acima descritas.
2.3: O básico de Topologia Diferencial 19
Proposição 2.4 Se M é orientável então seu genus g= [2−χ(M)]/2 e se M é não orientável então g= [2−χ(M)].
Definição 2.6 Dada variedades Mm e Nn, n ≤ m se diz que Nn é sub-variedade de Mm
se Nn ⊂ Mm e se for possível parametrizar os pontos de Nn, vistos como pontos de Mm, por cartas x: Rm →Mm tal que x|
Rn: Rn → Nn sejam cartas para Nn.
Definição 2.7 Seja f : Nn →Mm uma aplicação contínua (PL, diferenciável, etc.) entre duas
variedades, isto é, um morfismo na categoria correspondente. Se f : Nn → f(Nn) =imagem
de f em Mm for um homeomorfismo (PL, difeomorfismo, etc.), então dizemos que f é um mergulho de Nn em Mm.
Dizemos que N ⊂ Mtem colarinho duplo se existe mergulho i : N× [−1, 1] ֒→ M tal que i(x, 0) = x, ∀ x∈ N, nesta situação Nn é dita mansa em Mm.
Definição 2.8 Seja Nn uma subvariedade compacta topológica de uma variedade PL, Mm.
Dizemos que Nn é uma subvariedade mansa em Mm se existir um homeomorfismo PL h :
Mm Mm tal que h(Nn)é uma subvariedade PL de Mm.
A existência destes mergulhos e, caso existam, a sua classificação são objetivos de estudo da Teoria de Mergulhos entre variedades, da qual a Teoria de Nós é um caso particular.
Capítulo 3
Teoria Clássica de Nós
3.1 Introdução
Sobre a Teoria Clássica dos Nós, temos, em português, o livro do Derek [Hacon]. apresentado no XV Colóquio Brasileiro de Matemática, que é muito gostoso de ler e estudar, por isso sempre que possível estaremos fazendo referência a ele.
Estudamos neste capítulo a classificação de certos mergulhos do círculo S1(nós), ou reunião disjunta de vários círculos (enlaçamentos) emR3ou S3. Não é preciso discutir sobre a existência destes mergulhos pois existe pelo menos o mergulho padrão, dado por S1 = {(cos(θ), sen(θ), 0) ∈ R3, com θ ∈ [0, 2π)}ou se pretendemos ver o mergulho como uma função, definimos f : S1 ֒→ R3 por f(θ) = (cos(θ), sen(θ), 0). Neste caso
estamos olhando S1com o intervalo[0, 2π]onde identificamos os seus extremos, outras
vezes olharemos S1 como o circulo unitário nos complexos, isto é um ponto será da forma ei.θ. Estaremos também olhando S3 como a compactificação de R3 e é fácil ver
que existe uma bijeção natural entre os mergulhos ("mansos") do círculo em S3e emR3,
por isso, vamos abusar ainda mais da notação, usaremos algumas vezes a notação M3 para designar indistintamente S3 ou R3. Gostaríamos de dizer também que estamos trabalhando na categoria dos espaços topológicos e aplicações contínuas mas temos um problema sério aí, a existência de nós selvagens. Vejam abaixo um exemplar desta espécie não tão rara!!.
Figura 3.1: Nó Selvagem
Se voce gosta de emoção forte e esta interessado em nós selvagens veja [Milnor] e [Brode].
Aqui estamos interessados em nós e enlaçamentos mansos ("não selvagens"), que incluem os diferenciáveis, os diferenciáveis por partes, os lineares por partes (PL), os de colarinho duplo, etc. Estaremos portanto nos restringindo à nós e enlaçamentos nestas categorias.
Em geral os nós e enlaçamentos são colocados em classes de equivalência e se estuda estas classes. Quando nada se explicitar, estaremos considerando a relação de equivalência dada por isotopia ambiental, isto é:
Definição 3.1 Sejam i0, i1 : S1 ֒→ M3 dois nós, dizemos que i0 é ambientalmente isotópico a
i1, se existe uma PL-deformação (isotopia que se inicia na identidade), H : M3×I → M3×I,
dada por H(y, t) = (ht(y), t), onde h0 =idM3 e i1=h1◦i0.
A definição desta equivalência para enlaçamentos é similar à acima, por isso não a apresentamos.
Intuitivamente o que a isotopia ambiental faz é criar um movimento no ambiente (M3) de tal forma que o primeiro nó "K
0 = i0(S1)" se desloca continuamente
conforme passa o tempo t ∈ [0, 1] até que no final do movimento (t = 1) se situa exatamente em K1 = i1(S1). Usamos a notação K0 ∼ K1 para indicar que os nós
são equivalentes e K0 ≁ K1 caso contrário. Note que se ik for definida a menos de
homeomorfismo definido no domínio (neste caso S1) é porque estamos interpretando
os nós essencialmente como suas imagens K0e K1, e neste caso, a notação acima é bem
mais significativa.
Nós e enlaçamentos mansos são aqueles que são isotópicos a nós e enlaçamentos poligonais, isto é, aqueles que são constituídos por uma seqüencia de segmentos de reta (PL). Daqui para frente nós e enlaçamentos serão sinônimos de nós e enlaçamentos mansos. Quando não houver perigo de confusão identificamos um nó ou um enlaçamentos com sua classe.
Quando fixamos orientação ao (s) círculo (s) e ou a M3 e exigimos que a relação
de equivalência preserve as orientações estaremos falando de nós ou enlaçamentos
orientados. Em geral o contexto deixa claro o que se estuda.
Dado um nó ou enlaçamento poligonal emR3é sempre possível escolher um plano de tal forma que a projeção do nó sobre este plano tenha características convenientes quais sejam: ter no máximo pontos duplos e os pontos duplos só ocorrem nos interiores dos segmentos que constituem o nó. Uma projeção desta forma é chamada projeção regular do nó.
É claro que a projeção regular de um nó não determina sua classe mas se em cada ponto duplo de uma destas projeções designarmos qual o segmento que esta "por baixo", então a classe do nó fica determinada por esta projeção regular "qualificada". Uma projeção regular qualificada de um nó é chamado um diagrama do nó e as vezes apenas por projeção regular do nó. Note que em geral apresenta-se um desenho do nó no plano onde o trecho que esta por baixo fica interrompido e o nó se apresenta como uma seqüencia de segmentos de reta.
Dois diagramas de nós ou enlaçamentos são ditos equivalentes se um pode ser transformado no outro por seqüencias de movimentos chamados de "Reidemeister" que são seis e estão descritos abaixo (em cada desenho temos um movimento e seu correspondente inverso).
Observe que nos desenhos deveríamos estar apresentando as projeções dos nós com linhas poligonais, isto é, por segmentos de retas, no entanto, abusaremos novamente
3.1: Introdução 23
Figura 3.2: Movimentos de Reidemeister
da notação, apresentando os diagramas com seqüencia de arcos curvilíneos, pois facilitam o desenho.
Definição 3.2 Um enlaçamento de duas componentes L =K1⊔K2é dito separável (splittable)
se cada Kiesta dentro de uma bola D3
i ⊂ R3, i=1, 2 com D31disjunta de D23.
A generalização para enlaçamentos de mais componentes e de dimensões maiores é obvia.
Definição 3.3 Dado um enlaçamento de duas componentes L = K1⊔K2, dizemos que K1
é homotopicamente não enlaçada à K2 se o mergulho f : S1 ֒→ R3−K2 que define K1 é
homotópica à uma aplicação constante emR3−K2.
Similarmente para K2homotopicamente não enlaçada a K1.
A generalização para mais componentes e maiores dimensões é obvia.
Daqui para frente estaremos focalizando os nós mas a maioria dos argumentos vale para enlaçamentos.
Existe um resultado muito importante que remete o estudo dos nós e enlaçamentos clássicos ao estudo de seus diagramas. É um teorema cuja prova não será apresentada aqui, para isso veja [Burde/Zieschang], pagina 9.
Teorema 3.1 Dois nós clássicos K e L são equivalentes por isotopia ambiental se e somente se
algum diagrama de K for equivalente (por movimentos de Reidemeister) a algum diagrama de L.
Uma classificação dos nós por isotopia ambiental seria uma forma de discernir exatamente cada uma das classes, listando-as. O que não temos. Veja na figura 3.3 alguns nós equivalentes (o que é fácil comprovar, nestes casos) e outros não equivalentes o que já não é tão fácil comprovar, mesmo nestes casos.
Na figura 3.4 abaixo (que eu não me lembro de onde tirei!) vemos uma seqüencia de movimentos de Reidemeister levando o nó Figura Oito na sua imagem refletida, comprovando que este nó é aquiral.
Figura 3.3: Nós equivalentes e não equivalentes
Figura 3.4: O nó Figura 8 é aquiral
3.2 Número de enlaçamentos
Quando estudamos enlaçamentos é muito importante o conceito de número de
enlaçamento (linking number). Em [Rolfsen(1976)], pagina 132 podemos encontrar
oito formas diferentes de se definir o número de enlaçamentos entre dois nós disjuntos (enlaçamento de duas componentes), vamos colocar aqui apenas três delas. Na figura abaixo vemos o número de enlaçamento de alguns enlaçamentos.
Figura 3.5: Número de enlaçamento
Sejam C e D dois nós disjuntos e orientados emR3. Considere uma projeção regular deste enlaçamento e os pontos de cruzamentos onde C atravessa por baixo de D. Se o
