Contra¸c˜ ao partial meet AGM◦ - Contra¸c˜ ao AGM◦

4.5 Contra¸c˜ ao AGM◦

4.5.2 Contra¸c˜ ao partial meet AGM◦

Vejamos agora a constru¸cão da contra¸cão partial meet para AGM◦. Vale notar que precisamos incorporar, em sua defini¸cão, a ideia intuitiva de não-revisibilidade capturada satisfatoriamente pelos postulaods do sucesso e da falha. Consideramos, novamente, os subconjuntos maximais de K que não implicam α – o conjunto de todos estes subconjuntos é o já conhecido conjunto res´ıduo, definido a seguir:

Defini¸c˜_{ao 4.34. Sejam K em L e α ∈ L. O conjunto K⊥α ⊆ ℘(L) é tal que, para} todo X ⊆ L, X ∈ K⊥α sse as seguintes cláusulas são satisfeitas:

1. X ⊆ K;

2. α 6∈ Cn(X);

3. se X ⊂ X0 ⊆ K ent˜ao α ∈ Cn(X0).

Para assegurarmos o teorema da representa¸cão das diferentes revisões paraconsis- tentes de AGM◦ a serem apresentadas nas se¸cões futuras, os seguintes lemas sobre conjunto res´ıduo são necessários:

Lema 4.35. Se X ∈ K⊥α, ent˜_{ao X ∈ L.}

Demonstra¸c˜_{ao: Se β ∈ L ent˜ao α 6∈ Cn(X ∪ {β}) e, como X ´e maximal (item 3. da}

Lema 4.36 (Propriedade do limite superior). Para todo conjunto de cren¸cas K, todo X ⊆ K e toda conjunto A em uma l´ogica compacta em que A ∩ Cn(X) = ∅, existe X0 tal que X ⊆ X0 e X0 ∈ K⊥A.

Demonstra¸c˜ao: Primeiro enumeramos os elementos de K em uma sequˆencia β1, β2, . . . .

Seja X0 = X e para todo i ≥ 1 definamos Xi da seguinte forma:

Xi =

  

Xi−1 se A ∩ Cn(Xi−1∪ {βi}) 6= ∅

Xi−1∪ {βi} caso contr´ario.

Para todo i temos que A∩Cn(Xi) = ∅. Seja X0 =

iXi. Verifique que X ⊆ X0 ⊆ K.

Al´em disso, se β ∈ K e β /∈ X0 ent˜ao A ∩ (X0∪ {β}) 6= ∅.

Se A ∩ Cn(X0) 6= ∅ ent˜ao existe β ∈ A ∩ Cn(X0). Por compacidade β ∈ Cn(X00) para algum X00 ⊆ K finito. Neste caso β ∈ Cn(Xi) e logo A ∩ Cn(Xi) 6= ∅ para algum

i o que seria uma contradi¸c˜ao.

Novamente consideramos uma fun¸cão γ que seleciona alguns elementos de K⊥α sempre que poss´ıvel e devolve o próprio K caso contrário. Intuitivamnte γ seleciona aqueles conjuntos que contém as cren¸cas que o agente acredita de forma mais arraigada. Entretanto, dentro do paradigma paraconsistente e da linguagem das LFIs, esta no¸cão de arraigamento epistêmico é também satisfatoriamente incorporada pela consistência da cren¸ca: caso ◦α ∈ K, α está enraizada em K a ponto desta cren¸ca não ser pass´ıvel de ser removida de K e, neste caso, o conjunto res´ıduo será o próprio K.

Defini¸cão 4.37 (Fun¸cão Sele¸cão). Uma fun¸cão de sele¸cão para K é uma fun¸cão γ tal que para todo α:

1. ∅ 6= γ(K, α) ⊆ K⊥α se α /∈ Cn(∅) e ◦α /∈ K.

Incorporamos, assim, a ideia de não-revisibilidade na própria fun¸cão sele¸cão. Esta estratégia se mostra bastante natural ao levarmos em conta que, de fato, as cren¸cas consideradas consistentes sequer serão escolhidas pelo agente como pass´ıveis de retra¸cão – mesmo que sejam retra´ıdas como última op¸cão necessária, tais como as senten¸cas mais arraigadas do agente. Pelo contrário, as cren¸cas consistentes permancem no conjunto de cren¸cas em qualquer situa¸cão, a não ser que o agente retraia o próprio fato de que tal senten¸ca seja consistente – o que, vale lembrar, não é poss´ıvel em todas as LFIs devido à propaga¸cão da consistência (conforme vimos na se¸cão 4.3.5).

Outra importante diferen¸ca da fun¸cão sele¸cão que apresentamos neste cap´ıtulo é o fato de parametrizarmos γ em rela¸cão a uma senten¸ca e um conjunto de cren¸cas espec´ıficos, e não a todo conjunto res´ıduo. Assim, em rela¸cão a α e K, por exemplo, definimos γ(K, α), e não γ(K⊥α). Vale perceber que esta é uma diferen¸ca técnica que não interfere diretamente na essência dos resultados obtidos sendo, portanto, doravante por nós utilizada para definir a fun¸cão escolha do próprio sistema AGM.14

Definimos, tal qual AGM, a contra¸cão partial meet como a interseçcão de tais conjuntos selecionados por γ.

Defini¸cão 4.38. Uma contra¸cão − em K é uma contra¸cão partial meet sse existe uma fun¸cão sele¸cão γ para K tal que para todo α

K −γα =

γ(K, α)

Voltemos aos exemplos anteriores:

14_{Tecnicamente a parametriza¸}_c˜_{ao exige que a fun¸}_c˜_{ao γ seja definida sobre uma senten¸}_{ca espec´ıfica e,}

desta forma, senten¸cas logicamente equivalentes não necessariamente se comportam da mesma forma em rela¸cão a uma fun¸cão esolha sobre um conjunto res´ıduo. Desta forma, o postulado da extensiona- lidade deixa de ser significativo. Além de ser mais espec´ıfica, esta defini¸cão segue as LFIs pois não se baseia na equivalência lógica – lembremos que muitas senten¸cas logicamente equivalentes em um paradigma clássico não o são em LFIs. Ademais, vale citar que muitos trabalhos na literatura de Revisão de Cren¸cas AGM já utilizam, sem maiores preocupa¸cões, a referida parametriza¸cão ao definir uma fun¸cão sele¸cão para a contra¸cão partial meet.

Exemplo 4.39. Seja − uma contra¸c˜ao partial meet. No exemplo 4.28, no qual K = {¬s, ¬s → ¬c} = Cn(¬(s ∨ c)) temos o seguinte conjunto res´ıduo:

K ⊥ ¬c = {Cn(¬c ↔ s), Cn(¬s)}

Vale notar que os poss´ıveis subconjuntos resultantes correspondem exatamente `aqueles

Cn(∅) Cn(c → s) 55 Cn(c ∨ s) Cn(¬(c ∧ s)) `` Cn(s → c) ii Cn(¬c) Cn(s) Cn(c ↔ s)) dd 44 Cn¬(c ↔ s)) Cn(¬s) dd OO Cn(c) Cn(¬(c → s)) Cn(¬(c ∨ s)) Cn(c ∧ s) Cn(¬(s → c)) L

Figura 4.12: Diagrama do conjunto res´ıduo

dos postulados. A fun¸c˜ao sele¸c˜ao γ pode escolher o seguinte:

caso (i) Se γ(K, ¬c) = K ⊥ ¬c, ou seja, a fun¸c˜ao sele¸c˜ao escolhe todos os elementos do conjunto res´ıduo, temos que

K − ¬c = Cn(c ↔ s) ∩ Cn(¬s) = Cn(s → c)

caso (ii) Se γ(K, ¬c) = Cn(¬c ↔ s), ou seja, a fun¸c˜ao sele¸c˜ao escolhe ¬c ↔ s temos que

caso (iii) Se γ(K, ¬c) = Cn(¬s), ou seja, a fun¸c˜ao sele¸c˜ao escolhe ¬s temos que K − ¬c =\Cn(¬s) = Cn(¬s) Cn(∅) Cn(¬v → s) 44 Cn(¬v ∨ s) Cn(¬(¬v ∧ s)) aa (i) Cn(s → c) ii Cn(v) Cn(s) (ii) Cn(¬v ↔ s)) ff 33 Cn¬(¬v ↔ s)) (iii) Cn(¬s) ee OO Cn(¬v) Cn(¬(¬v → s)) Cn(¬(¬v ∨ s)) Cn(¬v ∧ s) Cn(¬(s → ¬v)) L

Figura 4.13: Resultados da contra¸c˜ao aduzidos pela fun¸c˜ao γ

Exemplo 4.40. Seja − uma contra¸c˜ao partial meet. No exemplo 4.32, no qual K = {¬s, ¬s → ¬c, ◦c} temos que

γ(K, ¬c) = K

e portanto

K − ¬c =\K = K

Os postulados da defini¸cão 4.33 caracterizam precisamente a contra¸cão partial meet AGM◦, conforme pode-se notar nos exemplos apresentados. Devemos, portanto, ser capazes de demonstrar o teorema de representa¸cão desta opera¸cão.

Teorema 4.41 (representa¸cão). Uma opera¸cão − sobre K satisfaz os postulados da defini¸cão 4.33 para todo α sse existe fun¸cão de sele¸cão γ tal que K − α =T γ(K, α).

Demonstra¸c˜ao: (constru¸c˜ao ⇒ postulados)

fecho: Seja X ∈ K⊥α e β ∈ Cn(X) ent˜ao α /∈ Cn(X ∪ {β}) e, como X ´e maximal, β ∈ X. Logo para todo X ∈ K⊥α temos que X = Cn(X). Logo K −γ α =

T γ(K, α) os elementos de γ(K, α) são conjuntos fechados e, como a interseçcão de fechados é fechada temos que K −γα é fechada.

sucesso: Se α /∈ Cn(∅) ent˜ao pelo Lema 4.36 K⊥α 6= ∅.

inclus˜ao: Segue da constru¸c˜ao.

falha: Segue da constru¸c˜ao.

relevância: Se β ∈ K \ K − α então existe X ∈ γ(K, α) tal que β /∈ X. Por defini¸cão, K −γα ⊆ X ⊆ K, α /∈ Cn(X) and α ∈ Cn(X ∪ {β}).

(postulados ⇒ constru¸c˜ao)

Seja − um operador satisfazendo os postulados acima e seja γ a seguinte fun¸c˜ao:

γ(K, α) = {X ∈ K⊥α : K − α ⊆ X} se α /∈ Cn(∅) ou ◦ α /∈ K

= {K} caso contr´ario.

Temos que provar que 1) γ é uma fun¸cão de sele¸cão e 2) K − α =T γ(K, α).

1. γ(K, α) ⊆ K segue direto da constru¸cão. Se α /∈ Cn(∅) e ◦α /∈ K então o sucesso e a inclusão garantem que α /∈ K − α ⊆ K. Pelo Lema 4.36 existe X tal que K − α ⊆ X ∈ K⊥α e, portanto, γ(K, α) 6= ∅.

2. Se α ∈ Cn(∅) então a relevância e a inclusão garantem que K − α = K. Si- milarmente se ◦α ∈ K a falha garante que K − α = K. Nesses dois casos caso

T γ(K, α) = K, pois γ(K, α) = {K}. Se α /∈ Cn(∅) ent˜ao K − α ⊆ K −γ α por

constru¸c˜ao. Resta mostrar que K −γα ⊆ K − α. Seja β /∈ K − α e suponha que

β ∈ K (caso contr´ario β /∈T γ(K, α) trivialmente). Por relevˆancia, existe K0 tal que K − α ⊆ K0 ⊆ K, α /∈ Cn(K0_{) e α ∈ Cn(K}0_{∪ {β}). Pelo Lema 4.36 existe X}

tal que K0 ⊆ X ∈ K⊥α. Como K0 _{⊆ X, α ∈ Cn(K}0_{∪ {β}) e α /}_{∈ Cn(X), temos}

que β /∈ X. Portanto, β /∈T γ(K, α).

No documento Revisão de Crenças Paraconsistente baseada em um operador formal de consistência (páginas 162-168)