Controle da Diversidade

Os m´etodos de controle da diversidade precisam ter, al´em de um valor de referˆencia, uma forma de medir a diversidade da popula¸c˜ao. Assim, ´e poss´ıvel definir uma estrat´egia de controle expl´ıcita, baseada em um valor ou faixa de diversidade desejada. A diversidade da popula¸c˜ao pode mostrar as semelhan¸cas entre os indiv´ıduos e suas distribui¸c˜oes no espa¸co de solu¸c˜oes. Na computa¸c˜ao evolucion´aria, os m´etodos que mensuram a diversi- dade da popula¸c˜ao utilizam dois modelos distintos, o primeiro em fun¸c˜ao das distˆancias entre os indiv´ıduos (WINEBERG; OPPACHER, 2003) e o segundo em fun¸c˜ao das distˆancias dos indiv´ıduos a um ponto de referˆencia (URSEM et al., 2002; MEIYI et al., 2004) — nor- malmente o ponto m´edio da popula¸c˜ao.

A diversidade em fun¸c˜ao das distˆancias entre todos os indiv´ıduos pode ser medida pela express˜ao Γ = N X i=1 v u u t i−1 X j=1 d(gi, gj), (2.14)

sendo d(gi, gj) a distˆancia (e.g., Euclidiana ou de Hamming) entre os indiv´ıduos gie gj. A

diversidade da Equa¸c˜ao 2.14, com complexidade O(L N

2_{), tem um custo computacional}

elevado, o que representa uma desvantagem significante.

Wineberg e Oppacher (2003) propuseram uma medida de menor custo computacional do que a Equa¸c˜ao 2.14, com complexidade O(L N), baseada na frequˆencia de ocorrˆencia

Γ = N 2 2L L X i=1 X ∀_α∈A fi(α)(1 − fi(α)), (2.15)

sendo A o conjunto de alelos,

fi(α) =

ci(α)

N (2.16)

a frequˆencia que o alelo α ocorre no i-´esimo gene dos indiv´ıduos da popula¸c˜ao,

ci(α) = N

X

j=1

δji(α) (2.17)

o n´umero de ocorrˆencias de α e δji(α) o delta de Kronecker, que torna-se 1 se o gene no locus i no cromossomo j for igual a α; ou 0, caso contr´ario. A diversidade de Wineberg e Oppacher fica praticamente limitada `as implementa¸c˜oes bin´arias. Na representa¸c˜ao inteira6_{, pode-se ter muitos valores de α, tornando o c´alculo praticamente invi´avel. Na}

representa¸c˜ao real7_{, a diversidade expressa pela Equa¸c˜ao}

2.15n˜ao ´e vi´avel porque existem

infinitos α, a n˜ao ser que se considere subintervalos, resultando o mesmo problema da representa¸c˜ao inteira.

A segunda forma de calcular a diversidade, em fun¸c˜ao de um ponto de referˆencia no espa¸co de solu¸c˜oes, tem um custo computacional menor, complexidade O(L N), mas n˜ao mede com tanta precis˜ao a similaridade entre os indiv´ıduos. A diversidade ´e, normal- mente, calculada em fun¸c˜ao das distˆancias dos indiv´ıduos ao ponto m´edio da popula¸c˜ao. Este modelo de diversidade fornece uma id´eia da dispers˜ao da popula¸c˜ao em torno do seu ponto m´edio. Ursem et al. (2002) calcula a diversidade como segue

Γ = 1 D N N X i=1 v u u t L X j=1 (gij − ¯gj)2, (2.18)

sendo D a diagonal do espa¸co de solu¸c˜oes, D ⊂ ℜL_{, g}

ij o j-´esimo gene do i-´esimo

indiv´ıduo, ¯gj o j-´esimo elemento do ponto m´edio da popula¸c˜ao, ¯g, onde

¯ gj = 1 N N X i=1 gij. (2.19) 6

Na representa¸c˜ao inteira, as vari´aveis de decis˜ao do problema s˜ao codificadas no gen´otipo do indiv´ıduo por n´umeros inteiros

7

Meiyi et al. (2004) calcularam a diversidade pela express˜ao Γ = 1 + 1 L L X j=1 p(j) ln p(j), (2.20) sendo p(j) = 1 D N v u u tXN i=1 (gij − ¯gj)2. (2.21)

As diversidades de Ursem et al. (2002) e Meiyi et al. (2004), Equa¸c˜oes 2.18 e 2.20,

s˜ao analiticamente distintas, mas ambas s˜ao baseadas em desvios quadr´aticos em rela¸c˜ao ao ponto m´edio. A diferen¸ca fundamental entre essas diversidades ´e a n˜ao linearidade presente na Equa¸c˜ao2.20, que penaliza as m´edias quadr´aticas p(j) mais acentuadamente

`a medida que se aproximam do ponto m´edio do eixo cartesiano j.

A preserva¸c˜ao da diversidade da popula¸c˜ao se torna mais importante em problemas complexos — multiobjetivos e dinˆamicos. Em problemas dinˆamicos, um valor adequado de diversidade aumenta a chance de alcan¸car o ´otimo global depois da mudan¸ca do ambi- ente, pois a popula¸c˜ao estar´a melhor distribu´ıda na superf´ıcie de solu¸c˜oes. Os algoritmos para otimiza¸c˜ao multiobjetivo buscam balancear objetivos conflitantes. Assim, uma di- versidade adequada permite que o AE pesquise uma regi˜ao maior da fronteira de Pareto e encontre balan¸cos entre os objetivos.

Ursem et al. (2002) criaram um m´etodo, denominado diversity-guided evolutionary algorithm (DGEA), com dois modos de evolu¸c˜ao: explotativo e explorativo. No primeiro, a popula¸c˜ao passa pelos processos de sele¸c˜ao e recombina¸c˜ao — sem muta¸c˜ao –, tendendo a diminuir a diversidade. No modo explorativo, a popula¸c˜ao atual sofre apenas muta¸c˜ao, tendendo a aumentar a diversidade. Os modos de evolu¸c˜ao se alternam em fun¸c˜ao de uma faixa estabelecida de diversidade desejada. O processo evolucion´ario se inicia pelo modo explotativo at´e que a diversidade atinja um valor m´ınimo, previamente estabelecido; em seguida, muda-se o modo de evolu¸c˜ao para o explorativo at´e que a diversidade atinja um valor m´aximo, previamente estabelecido. Esse processo se repete durante todo o processo evolucion´ario. Assim, a diversidade da popula¸c˜ao oscila dentro de uma faixa previamente estabelecida.

Ursem et al. determinaram valores m´ınimos e m´aximos para a diversidade da po- pula¸c˜ao iguais a 5 × 10−6 _{e 0.25, respectivamente, e valores das taxas de cruzamento e}

al. ´e n˜ao utilizar conjuntamente sele¸c˜ao, cruzamento e muta¸c˜ao, que juntos s˜ao a base dos AEs. O modo explotativo n˜ao possui muta¸c˜ao e o modo explorativo simplesmente espalha a popula¸c˜ao na superf´ıcie do espa¸co de solu¸c˜oes por meio de grandes varia¸c˜oes no gen´otipo dos indiv´ıduos — o que pode retir´a-los de regi˜oes promissoras.

Nguyen e Wong (2003), a partir do trabalho de Beyer e Rudolph (1997)8_{, utilizaram}

a teoria de controle para ajustar a taxa de muta¸c˜ao em espa¸cos unimodais. Entretanto, o m´etodo de Nguyen e Wong pode ser aplicado em espa¸cos multimodais utilizando sub- popula¸c˜oes. Os resultados do trabalho de Beyer e Rudolph (1997) estabelecem analiti- camente que os algoritmos evolucion´arios podem ser induzidos a uma convergˆencia de ordem linear em espa¸cos unimodais se a diversidade da popula¸c˜ao tiver um decaimento exponencial em fun¸c˜ao do tempo. No trabalho de Beyer e Rudolph (1997), a diversidade desejada na gera¸c˜ao k ´e expressa por

Γd(k) = Γ(k0) exp(−k/τ ), (2.22)

sendo Γ(k0) a diversidade inicial e τ > 0 uma constante. Essa heur´ıstica ´e motivada

pela observa¸c˜ao que, em espa¸cos unimodais, a convergˆencia implica em uma correspon- dente redu¸c˜ao na diversidade e que uma taxa de convergˆencia exponencial necessitar´a ser acompanhada por uma redu¸c˜ao exponencial da diversidade.

O m´etodo de Nguyen e Wong (2003) compara a diversidade atual com a desejada Γd;

quando a diferen¸ca for maior que a tolerˆancia, a taxa de muta¸c˜ao ´e corrigida por um m´etodo de controle (OGATA, 1998). O ajuste da taxa de muta¸c˜ao procede-se como segue

pm(k + 1) = pm(k) exp  e(k) ee(k)  , (2.23)

sendo e o desvio ou erro entre a diversidade atual e a desejada e ee(k) o erro quadr´atico m´edio expresso por

ee(k) =p[e(1)]2_{+ [e(2)]}2 _{+ · · · + [e(k)]}2_{, (}

2.24)

O desempenho do m´etodo de Nguyen e Wong (2003) ´e comparado com um m´etodo auto- adaptativo em v´arios experimentos, onde obteve resultados melhores.

8

O trabalho de Beyer e Rudolph (1997) estabelece analiticamente que os algoritmos evolucion´arios podem ter uma convergˆencia de ordem linear em espa¸cos unimodais se os parˆametros gen´eticos forem otimizados.