A suavização do controlador, como mostrado anteriormente, faz com que o sistema apresente um erro residual que pode ser grande ou não, dependendo dos parâmetros do controlador. Se o controlador for projetado para que o sistema apresente um erro residual muito pequeno, a frequência de atuação do atuador apresentará um valor elevado, podendo até Ącar inviável em alguns casos. Para garantir que o erro residual convirja para
valores menores ou tolerados, mesmo adotando parâmetros de controle que apresentem maiores erros residuais, é necessário introduzir uma função na lei de controle que tenha a capacidade de compensar as incertezas do sistema. Como essa função não pode ser obtida com exatidão, já que todo sistema apresenta uma modelagem incerta ou aproximada, a função de compensação pode ser substituída por um aproximador de funções universais. No presente trabalho optou-se pelo aproximador de funções universais conhecido como sistema de inferência difusa (ou fuzzy) (KOSKO, 1994).
A lógica difusa é bastante utilizada para tratar de problemas que envolvam concei- tos vagos, incertos ou imprecisos, que abrange decisões como ŞmuitoŤ, ŞpoucoŤ, ŞtalvezŤ, ŞprovávelŤ, Şem torno deŤ e inúmeras outras variáveis linguísticas que se assemelham as decisões humanas. Desde a sua criação, os sistemas fuzzy são alvos de inúmeras pesquisas em diversas áreas, que vão desde a matemática e lógica até a engenharia (ZADEH, 2000). A lógica difusa teve seu início a partir da introdução de conjuntos difusos, por LotĄ A. Zadeh, objetivando aproximar a lógica matemática ao conhecimento humano. Cada elemento possui determinado Şgrau de pertinênciaŤ aos conjuntos propostos, e para determinadas proposições um conjunto possui Şgrau de verdadeŤ em relação a esta pro- posição, como apresentado por Jang, Sun e Mizutani (1997). Já na lógica clássica, uma determinada proposição possui apenas duas possibilidades, ou ela é verdadeira ou ela é falsa. Associado-a aos conjuntos clássicos, ela determina apenas se determinado elemento pertence ou não a um conjunto.
Os conjuntos clássicos possuem fronteiras bem deĄnidas, e os elementos do domínio possuem apenas duas possibilidades de relação de pertinência aos conjuntos, que são as de pertence ou não ao conjunto. Por outro lado, os conjuntos difusos não apresentam contorno deĄnido, havendo uma transição gradual de pertencer ou não a determinado conjunto. Essa transição suave é caracterizada por uma função de pertinência. A função de pertinência, deĄnida por ÛD, determina o quanto cada elemento pertence ao conjunto 𝐷. A representação matemática do domínio desse conjunto é dada por 𝐷 = ¶(𝑥, ÛD(𝑥))♣𝑥 ∈ 𝑋♢, onde ÛD representa a função de pertinência do conjunto difuso 𝐷. A Ągura (27) mostra claramente a diferença entre um conjunto convencional e um conjunto difuso. A partir da Ągura (27) é possível notar que a pertinência obtida pelo conjunto convencional se dá bruscamente, ou seja, os valores de pertinência são somente 1 ou 0, já no conjunto difuso os valores de pertinência possuem uma transição suave que dependem, neste caso, da inclinação de cada uma das retas proveniente da função ÛD(𝑥).
Segundo Jang, Sun e Mizutani (1997), dentre as funções de pertinência mais comu- mente utilizadas, destacam-se as funções triangular, trapezoidal e gaussiana, como mostra a Ągura (28).
(a) Conjunto clássico (b) Conjunto difuso
Figura 27 Ű Representação gráĄca dos conjuntos clássico e difuso.
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 0 20 40 60 80 100 a = 30,0 b = 50,0 c = 70,0 µ (x ) x
(a) Função triangular
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 0 20 40 60 80 100 a = 20,0 b = 35,0 c = 65,0 d = 80,0 µ (x ) x (b) Função trapezoidal 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 0 20 40 60 80 100 σ = 10,0 c = 50,0 µ (x ) x (c) Função gaussiana
Figura 28 Ű Funções de pertinência comumente utilizadas na lógica difusa.
seguinte maneira: Ûtri(𝑥) = ∏︁ ⋁︁ ⋁︁ ⋁︁ ⋁︁ ⋁︁ ⋁︁ ⨄︁ ⋁︁ ⋁︁ ⋁︁ ⋁︁ ⋁︁ ⋁︁ ⋃︁ 0, 0 se 𝑥 ⊘ 𝑎 (𝑥 ⊗ 𝑎)/(𝑏 ⊗ 𝑎) se 𝑎 ⊘ 𝑥 ⊘ 𝑏 (𝑐 ⊗ 𝑥)/(𝑐 ⊗ 𝑏) se 𝑏 ⊘ 𝑥 ⊘ 𝑐 0, 0 se 𝑐 ⊘ 𝑥 (4.26)
Os parâmetros 𝑎, 𝑏 e 𝑐 representam as posições em 𝑥 dos vértices do triangulo. De maneira semelhante a função de pertinência triangular, a função trapezoidal é deĄnida através dos parâmetros 𝑎, 𝑏, 𝑐 e 𝑑 como:
Ûtra(𝑥) = ∏︁ ⋁︁ ⋁︁ ⋁︁ ⋁︁ ⋁︁ ⋁︁ ⋁︁ ⋁︁ ⋁︁ ⨄︁ ⋁︁ ⋁︁ ⋁︁ ⋁︁ ⋁︁ ⋁︁ ⋁︁ ⋁︁ ⋁︁ ⋃︁ 0, 0 se 𝑥 ⊘ 𝑎 (𝑥 ⊗ 𝑎)/(𝑏 ⊗ 𝑎) se 𝑎 ⊘ 𝑥 ⊘ 𝑏 1, 0 se 𝑏 ⊘ 𝑥 ⊘ 𝑐 (𝑑 ⊗ 𝑥)/(𝑑 ⊗ 𝑐) se 𝑐 ⊘ 𝑥 ⊘ 𝑑 0, 0 se 𝑑 ⊘ 𝑥 (4.27)
Como na função triangular, os parâmetros característicos dessa função estão as- sociados as posições em 𝑥 dos vértices do trapézio formado pela função. Já a função gaussiana é formada com o auxílio dos parâmetros à e 𝑐 da seguinte maneira:
Ûgau(𝑥) = 𝑒 ⊗1 2( x−c σ ) 2 (4.28) onde 𝑐 e à estão associados, respectivamente, ao centro e a largura do sino formado pela função.
Os conjuntos difusos possuem operações similares às operações dos conjuntos clás- sicos, que são as operações de inclusão, união e interseção. Para mostrar as operações, vamos considerar os seguintes conjuntos difusos 𝐴 e 𝐵, da Ągura (29a).
A interseção dos conjuntos difusos 𝐴 e 𝐵 resulta no conjunto difuso 𝐶, representado na Figura (29b), onde 𝐶 = 𝐴 ∩ 𝐵.
A interseção entre dois conjuntos fuzzy é dada pela operação 𝑇 -norma, que agrega duas funções de pertinência ao seu resultado. Esse operador é apresentado da seguinte maneira:
ÛA∩B(𝑥) = 𝑇 (ÛA(𝑥), ÛB(𝑥)) = ÛA(𝑥)˜*ÛB(𝑥) (4.29)
onde ˜* é um operador binário para a função 𝑇 , que se refere ao operador 𝑇 -norma (norma triangular). O operador 𝑇 -norma possui como operadores mais usuais o mínimo e o pro- duto algébrico, e deve satisfazer às propriedades de contorno, monotonicidade, comutati- vidade e associatividade, que são representadas, respectivamente, por:
𝑇(Û, 0) = 𝑇 (0, Û) , 𝑇 (Û, 1) = 𝑇 (1, Û) = Û
𝑇(ÛA, ÛB) ⊘ 𝑇 (ÛC, ÛD) se ÛA⊘ ÛC e ÛB ⊘ ÛD
𝑇(ÛA, ÛB) = 𝑇 (ÛB, ÛA)
𝑇(ÛA, 𝑇(ÛB, ÛC)) = 𝑇 (𝑇 (ÛA, ÛB), ÛC)
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 0 20 40 60 80 100 µ (x ) x Conjunto A Conjunto B
(a) Conjuntos difusos A e B.
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 0 20 40 60 80 100 µ (x ) x Conjunto C
(b) Interseção dos conjuntos difusos A e B
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 0 20 40 60 80 100 µ (x ) x Conjunto C
(c) União dos conjuntos difusos A e B
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 0 20 40 60 80 100 µ (x ) x Conjunto −A
(d) complemento do conjunto difuso A
Figura 29 Ű Representação das operações básicas entre dois conjuntos difusos. A união do conjunto difuso 𝐴 com o conjunto difuso 𝐵 resulta em um conjunto difuso 𝐶, como mostra a Ągura (29c), ou seja, 𝐶 = 𝐴 ∪ 𝐵.
Para promover a união entre dois conjuntos difusos utiliza-se a operação 𝑇 -conorma, ou função 𝑆, que é dada por:
ÛA∪B(𝑥) = 𝑆(ÛA(𝑥), ÛB(𝑥)) = ÛA(𝑥) ˜+ÛB(𝑥) (4.31)
onde ˜+ é um operador binário para a função 𝑆, que se refere ao operador 𝑇 -conorma. O operador 𝑇 -conorma possui como principais operadores o máximo e a soma algébrica, que também devem satisfazer às propriedades de contorno, monotonicidade, comutatividade e associatividade, representadas, respectivamente, por:
𝑆(Û, 0) = 𝑆(0, Û) , 𝑆(Û, 1) = 𝑆(1, Û) = Û
𝑆(ÛA, ÛB) ⊘ 𝑆(ÛC, ÛD) se ÛA ⊘ ÛC e ÛB ⊘ ÛD
𝑆(ÛA, ÛB) = 𝑆(ÛB, ÛA)
𝑆(ÛA, 𝑆(ÛB, ÛC)) = 𝑆(𝑆(ÛA, ÛB), ÛC)
(4.32)
conjunto 𝐴 ( ¯𝐴), como mostra a Ągura (29d), sendo deĄnido por:
ÛA¯(𝑥) = 1 ⊗ ÛA(𝑥) (4.33)
Para sistemas que recebem mais de uma entrada, as funções de pertinência podem ser distribuídas em universos de discurso diferentes, como por exemplo as funções de pertinência bidimensionais, que são facilmente obtidas através da extensão cilíndrica.
Dentre as operações com funções de pertinência bidimensionais, destacam-se as de produto cartesiano e co-produto, que são representadas, respectivamente, por 𝐴 × 𝐵 e 𝐴 + 𝐵, sendo semelhantes as operações de interseção e união mostradas anteriormente, porém, essas operações são caracterizadas por funções de pertinência bidimensionais, que podem ser bastante exploradas para aplicações que envolvam dois universos de discurso que relacionem duas variáveis.
Através das relações difusas e partindo da combinação das projeções de suas per- tinências, tornou-se possível quantiĄcar o raciocínio das variáveis linguísticas em uma linguagem artiĄcial pelo uso de regras. As regras difusas são a base do sistema de inferên- cia difusa, fundamentada na teoria dos conjuntos difusos. A regra difusa mais difundida é a se Ű então, apresentada como:
Se 𝑥 é 𝐴, então 𝑦 é 𝐵 ou 𝐴 ⊃ 𝐵 ou 𝐴 × 𝐵
onde 𝐴 e 𝐵 são variáveis linguísticas, ou valores linguísticos, deĄnidas por conjuntos difusos em universos de discurso 𝑋 e 𝑌 , respectivamente. Como podemos observar, uma regra difusa é dividida em premissa (𝑥 é 𝐴) e conclusão (𝑦 é 𝐵).
Porém, nas decisões reais, nem tudo é exatamente uma coisa ou outra, as aĄr- mações são aproximadas, por isso as lógicas difusa e clássica são diferentes. Na lógica clássica, há a regra, e o fato, sendo esse ultimo comparado com a regra para que se possa tirar a conclusão, com base nessas duas premissas, como por exemplo:
Premissa 1 (fato): 𝑥é 𝐴
Premissa 2 (regra): se 𝑥 é 𝐴, então 𝑦 é 𝐵
Conclusão: 𝑦 é 𝐵
Esta é a regra básica de inferência entre dois valores na lógica clássica, conhecida como modus ponens (modo de aĄrmar). Como as conclusões são efetuadas de situações aproximadas na maioria das vezes, como ocorre no raciocínio humano, podemos considerar que se 𝑥 for aproximadamente 𝐴, logo podemos concluir que 𝑦 será aproximadamente 𝐵, dessa forma, teremos:
Premissa 1 (fato): 𝑥é 𝐴′
Premissa 2 (regra): se 𝑥 é 𝐴, então 𝑦 é 𝐵
Conclusão: 𝑦 é 𝐵′
onde 𝐴′
é aproximadamente 𝐴 e 𝐵′
é aproximadamente 𝐵. Esta forma de raciocínio é denominada de raciocínio difuso ou de modus ponens generalizado.
No caso em que as regras contêm múltiplos antecedentes ou premissas, temos: Premissa 1 (fato): 𝑥 é 𝐴′ e 𝑦 é 𝐵′
Premissa 2 (regra): se 𝑥 é 𝐴 e 𝑦 é 𝐵, então 𝑧 é 𝐶
Conclusão: 𝑧 é 𝐶′
Um sistema de inferência difusa consiste em um procedimento para se extrair informação a partir de uma base de regras difusas. Basicamente ele possui uma base de regras, uma base de dados e um mecanismo de raciocínio, ou seja, o sistema de inferência seleciona as regras difusas, deĄne as funções de pertinência a serem usadas nas regras e então, deĄne as conclusões a partir dos fatos e regras apresentados.
As saídas dos sistemas de inferência são, quase sempre, conjuntos difusos. No caso do uso em controladores, a saída deve ser representada por um valor. Para isso, é preciso utilizar o método denominado defuzzyficação que extrai um valor que melhor representa o conjunto difuso. A Ągura (30) mostra um diagrama de blocos onde a parte tracejada representa um sistema de inferência com um defuzzyficador.
Figura 30 Ű Diagrama de blocos de um sistema de inferência difuso com defuzzyficador (TANAKA, 2011).
São encontrados na literatura diversos sistemas de inferência utilizados com méto- dos de defuzzyficação (JANG; SUN; MIZUTANI, 1997; PASSINO; YURKOVICH, 1998).
No presente trabalho será utilizado o conhecido por modelo difuso TakagiŰSugenoŰKang (TSK), o qual é obtido através da média ponderada do grau de pertinência de cada regra. Para um sistema de inferência com duas regras, esse sistema de inferência é dado por:
Se 𝑥 é 𝐴1 e 𝑦 é 𝐵1, então 𝑧1 = 𝑓1(𝑥, 𝑦)
Se 𝑥 é 𝐴2 e 𝑦 é 𝐵2, então 𝑧2 = 𝑓2(𝑥, 𝑦)
onde 𝐴1 e 𝐴2são funções de pertinência pertencentes ao universo de discurso 𝑋, enquanto
𝐵1 e 𝐵2 são funções de pertinência correspondentes ao universo de discurso 𝑌 , que são
os conjuntos difusos precedentes, sendo 𝑧1 e 𝑧2 funções consequentes de cada regra. As
funções são obtidas por:
𝑧1 = 𝑝1𝑥+ 𝑞1𝑦+ 𝑟1
𝑧2 = 𝑝2𝑥+ 𝑞2𝑦+ 𝑟2
(4.34) onde 𝑟1 e 𝑟2 são parâmetros para completar o polinômio da função. A saída desse conjunto
de regras é dado pela média ponderada das funções obtidas na equação (4.34) com os seus respectivos graus de pertinência Û1(𝑥, 𝑦) e Û2(𝑥, 𝑦) da seguinte maneira:
^𝑧 = Û1(𝑥, 𝑦)𝑧1+ Û2(𝑥, 𝑦)𝑧2
Û1(𝑥, 𝑦) + Û2(𝑥, 𝑦)
(4.35) A lógica difusa é mais adequada para tratar problemas que envolvam conceitos vagos, imprecisos e incertos. A utilização de regras difusas e variáveis linguísticas confere ao sistema de controle várias vantagens como melhor tratamento das incertezas no sistema, facilidade na especiĄcação das regras de controle com uma linguagem mais próxima à natural, dentre outras.
Tomando como exemplo uma função 𝑓(𝑥) que seja representada em apenas um universo de discurso 𝑋, ela é aproximada por um sistema TSK de ordem 1 da seguinte maneira: 𝑧i = 𝑝i𝑥+ 𝑟i (4.36) 𝑓(𝑥) ≡ ^𝑧 = ∑︀i=n i=1𝑧iÛi(𝑥) ∑︀i=n i=1Ûi(𝑥) (4.37) A ordem do sistema TSK está associada ao grau do polinômio da equação (4.36). O valor de 𝑛 no somatório representa o número de conjuntos 𝑓𝑢𝑧𝑧𝑦 pelo qual o universo de discurso foi dividido. É interessante ressaltar que a função (4.37) é normalizada pelo somatório dos elementos do vetor grau de pertinência. Desta forma, para uma função descrita em um único universo de discurso, se desde o princípio esse universo for dividido de forma a garantir que o vetor Û tenha norma unitária, como mostra a Ągura (31), este processo se torna apenas um produto interno dos vetores Û e 𝑧. Para o sistema TSK de ordem 0, tem-se que 𝑧i = 𝑟i na equação (4.36).
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 −1 −0,8 −0,6 −0,4 −0,2 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 µ (x ) x µ1 µ2 µ3 µ4 µ5 µ6
Figura 31 Ű Distribuição das funções fuzzy no universo de discurso 𝑥.
Agora tomemos como exemplo uma função deĄnida em dois universos de discurso, para exempliĄcar o sistema TSK de ordem 0 na aproximação de uma função do tipo ^𝑧 ≡ 𝑓(𝑥, 𝑦), na qual 𝑥 ∈ 𝑋 e 𝑦 ∈ 𝑌 , onde 𝑋 e 𝑌 são os universos de discurso, divididos em 𝑛 e 𝑚 conjuntos difusos, respectivamente.
Primeiro, utiliza-se a 𝑇 -norma produto para criar um vetor de dimensão 𝑛 × 𝑚, que associa cada função de pertinência do primeiro universo de discurso com todas as funções de pertinência do segundo universo, ou seja:
Û(i×j) = ÛX(i)(𝑥)ÛY (j)(𝑦) (4.38)
Como temos dois universos de discurso, o vetor associado às saídas de cada função, ou vetor de base de regras, deve ter a mesma dimensão do vetor criado pela equação (4.38), logo, tem-se:
𝑧(i×j) = 𝑟(i×j) (4.39)
Devemos considerar qual inĆuência na função aproximada é produzida pela com- binação dos vetores de grau de pertinência. Se o universo de discurso for divido de forma a só ativar no máximo dois conjuntos fuzzy por vez, então os vetores Û só terão dois ele- mentos não nulos cada, e se os dois vetores apresentarem norma unitária, pode-se aĄrmar que o vetor resultante da 𝑇 -norma produto conservará a norma unitária. Considere os seguintes vetores Û:
Û1 = (𝑥, 1 ⊗ 𝑥)
Û2 = (𝑦, 1 ⊗ 𝑦)
Aplicando a 𝑇 -norma produto e calculando o somatório dos elementos do vetor grau de pertinência combinado, tem-se:
Û1×2= (𝑥𝑦, 𝑦 ⊗ 𝑥𝑦, 𝑥 ⊗ 𝑥𝑦, 1 ⊗ 𝑥 ⊗ 𝑦 + 𝑥𝑦) ∑︀
Desta forma, o sistema TSK de ordem 0 será dado por: 𝑓(𝑥, 𝑦) ≡ ^𝑧 = k=n×m ∑︁ k=1 𝑧kÛk(𝑥, 𝑦) (4.40)
No presente trabalho será utilizado o método TSK de ordem 0, por questão de simplicidade e por ser suĄciente para compensar, de forma satisfatória, as incertezas dos sistemas analisados.
Incorporando a função aproximada de compensação fuzzy na lei de controle su- avizada, equação (4.20), obtém-se a seguinte lei de controle com compensação difusa:
𝑢(𝑡) = 1
^𝑏(x, 𝑡)
⎞
⊗ ^𝑓(x, 𝑡) + 𝑥(n)d ⊗ ΛTu˜x ⊗ 𝐾sat (𝑠/Φ)⎡+ ^𝑧 (4.41)
Como um novo termo foi incorporado a lei de controle, é necessário calcular o novo ganho 𝐾 para o controlador. Fazendo o mesmo procedimento realizado na obtenção do ganho 𝐾 da equação (4.16), tem-se:
𝑏 ^𝑏𝐾sat(𝑠/Φ) ⊙ Ö♣𝑠♣𝑠 ⊗ ( ^𝑓 ⊗ 𝑓) + ⎠ 𝑏 ^𝑏 ⊗1 ⎜ ⎞ ⊗ ^𝑓+ 𝑥(n)d ⊗ ΛTu˜x⎡+ 𝑏^𝑧 (4.42)
Aplicando a função módulo na equação (4.42), temos que o ganho do controlador com compensação difusa será dado por:
𝐾 ⊙ å(𝐹 + Ö) + (å ⊗ 1)⧹︃⧹︃ ⧹︃⊗ ^𝑓+ 𝑥 (n) d ⊗ ΛTu˜x ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃+ ^𝑏♣^𝑧♣ (4.43)
Para garantir a convergência do sistema para um erro próximo de zero, a função de compensação difusa ^𝑧 será determinada tendo como base os seguintes universos de discurso: erro de rastreamento da trajetória desejada ˜𝑥 (fuzzy 𝑃 ), erro de rastreamento da trajetória desejada ˜𝑥 e sua derivada ˙˜𝑥 (fuzzy 𝑃 𝐷) e distância para a superfície de deslizamento 𝑠 (fuzzy 𝑆). Como o erro residual estará contido em uma região conhecida, é fácil a delimitação do universo de discurso, que será dividido em conjuntos fuzzy como: erro grande positivo, erro médio positivo, erro pequeno positivo, erro pequeno negativo, erro médio negativo, erro grande negativo.
A escolha do vetor de base de regras tem de seguir uma heurística de modo que se o erro for positivo, a função de compensação tem que ser negativa, e quanto mais distante do erro nulo, maior a magnitude da compensação, em contrapartida, se o erro for negativo, a compensação deve ser positiva, como mostra a tabela (3), para o caso de a compensação difusa ser proporcional ao erro de rastreamento ˜𝑥.
As siglas na tabela (3) signiĄcam: NG negativo grande, NM negativo médio, NP negativo pequeno, PP positivo pequeno, PM positivo médio e PG positivo grande.
A heurística de ajuste para a tabela (3) consiste em atribuir valores para a base de regras de modo que o termo de compensação obtido 𝑧 seja capaz de reduzir o erro de
Tabela 3 Ű Base de regras de inferência fuzzy P.
˜𝑥 NG NM NP PP PM PG
𝑧i PG (𝑧1) PM (𝑧2) PP (𝑧3) NP (𝑧4) NM (𝑧5) NG (𝑧6)
rastreamento do sistema. Através desse método, não é possível ajustar esses valores de forma precisa, mas permite ter uma noção de como eles devem ser descritos. Uma vez obtido a primeira conĄguração da base de regras, simula-se o sistema de forma a veriĄcar sobre qual conjunto fuzzy está conĄnado o erro residual. Se o erro for admissível, não se modiĄca a conĄguração encontrada. Se o erro ainda não estiver na faixa aceitável, ajusta- se novos valores associadas à região onde está conĄnado o erro e repete-se essa operação até que seja atingido o erro mínimo desejado.
Para a conĄguração fuzzy proporcional ao erro e sua derivada (fuzzy PD), utiliza- se uma heurística semelhante à apresentada para a conĄguração fuzzy P, como mostra a tabela (4).
Tabela 4 Ű Base de regras de inferência fuzzy PD.
˜𝑥/ ˙˜𝑥 NG NM NP PP PM PG NG PG PG PM PP PP Z NM PG PM PP PP Z NP NP PM PP PP Z NP NP PP PP PP Z NP NP NM PM PP Z NP NP NM NG PG Z NP NP NM NG NG
O Z que aparece na tabela (4) representa um valor próximo de zero. O funciona- mento da base de regras para o fuzzy PD considera que se o erro é PG e sua derivada PG, é necessário utilizar uma compensação de sinal oposto e com a maior intensidade possível, ou seja, NG. Porém, se o sistema apresenta um erro NP e sua derivada é PP, signiĄca dizer que naturalmente o sistema irá convergir para a minimização do erro. Dessa forma, não é necessário utilizar uma compensação forte, nesse caso podemos utilizar uma compensação próxima do valor nulo.
O funcionamento do controlador por modos deslizantes com compensação fuzzy proporcional à distância da superfície de deslizamento, segue o mesmo raciocínio dos anteriores. A tabela (5) mostra a base de regras adotada para esse caso.
Tabela 5 Ű Base de regras de inferência fuzzy S.
𝑠 NG NM NP PP PM PG
O controle por modos deslizantes suavizados com compensação difusa tem sido utilizado com sucesso em vários sistemas não lineares como: veículos robóticos submarinos (BESSA; DUTRA; KREUZER, 2010a; BESSA; DUTRA; KREUZER, 2008), atuadores eletro-hidráulicos (LIMA et al., 2014; BESSA; DUTRA; KREUZER, 2010b), controle de caos em pêndulos não-lineares (BESSA; PAULA; SAVI, 2012; BESSA; PAULA; SAVI, 2009) e em estruturas inteligentes com modelo polinomial (BESSA; PAULA; SAVI, 2013).
Exemplo 3.Controle de trajetória de um oscilador de Van der Pol através da técnica de
controle por modos deslizantes suavizados com compensação difusa.
Neste exemplo, os parâmetros adotados para o controlador e para o sistema são os mesmos dos exemplos 1 e 2. A compensação difusa será realizada através das técnicas de compensação fuzzy P, fuzzy PD e fuzzy S, descritas anteriormente, e em todos os casos, a lei de controle e o seu ganho 𝐾 serão dados, respectivamente, pelas equações (4.41) e (4.43).
No projeto dos controladores, os parâmetros foram selecionados de acordo com as características do sistema. Nos universos de discurso, foram consideradas apenas funções de pertinência trapezoidais e triangulares, com conĄguração semelhante a da Ągura (31), variando apenas os seus respectivos centros.
Em todos os controladores projetados com compensação fuzzy, o universo de dis- curso e o vetor de base de regras 𝑧i foram determinados tendo como base a região do erro residual de rastreamento (Ągura (24)), que é função dos parâmetros Φ e Ú, e o esforço de controle (Ągura (25b)), respectivamente, apresentados anteriormente para o caso do controlador por modos deslizantes suavizados. Em relação aos centros das funções de per- tinência adotados, geralmente utiliza-se uma maior concentração de seus valores próximo a zero, para que o ganho da saída do controlador possa diminuir nessa região, fazendo com que o erro do sistema atinja o valor desejado. Esse ajuste para os centros das funções de pertinência funciona como uma espécie de sintonia Ąna do controlador.
As Ąguras (32) e (33) mostram o rastreamento da trajetória desejada, com o seu respectivo esforço de controle, e o erro residual apresentado pelo sistema, respectivamente, provenientes do controle por modos deslizantes suavizados com compensação fuzzy P projetado. O universo de discurso considerado foi de ˜𝑋 = ¶⊗Φ/Ú ⊘ ˜𝑥 ⊘ Φ/Ú♢, com 𝑐X˜ = ¶⊗0,2Φ/Ú; ⊗0,1Φ/Ú; ⊗0,03Φ/Ú; 0,03Φ/Ú; 0,1Φ/Ú; 0,2Φ/Ú♢ sendo os centros das
funções de pertinência adotados. Vale salientar que o centro considerado para função trapezoidal se refere ao seu vértice superior que se encontra dentro do universo de discurso. Já os valores para cada regra foram atribuídos heuristicamente, assumindo os seguintes valores: 𝑧i = ¶0,9; 0,6; 0,4; ⊗0,4; ⊗0,6; ⊗0,9♢.
Observando a Ągura (32), podemos ver que o sistema de controle projetado con- segue rastrear a trajetória de forma bastante satisfatória, e ainda mantém o esforço de
−2 −1,5 −1 −0,5 0 0,5 1 1,5 0 5 10 15 20 25 30 x t Trajetória do sistema (x) Trajetória desejada (xd)
(a) Rastreamento da trajetória desejada
−1 −0,5 0 0,5 1 0 5 10 15 20 25 30 u t (b) Esforço de controle
Figura 32 Ű Resposta do sistema com controlador por modos deslizantes suavizados com compensação fuzzy P. −0,2 −0,15 −0,1 −0,05 0 0,05 0,1 0,15 0,2 0 10 20 30 40 50 x~ t SMC SMC + fuzzy P
(a) Representação do erro ˜xem função de t
−0,8 −0,6 −0,4 −0,2 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 −2,5 −2 −1,5 −1 −0,5 0 0,5 x ~ x ~
(b) Representação do erro ˙˜xem função de ˜x
Figura 33 Ű Representação do erro de rastreamento do sistema utilizando o controle por modos deslizantes suavizados com compensação fuzzy P.
controle suavizado. Na Ągura (32b), pode-se visualizar o momento em que a compensação
fuzzy é acionada, através da variação brusca que ocorre no esforço de controle próximo ao
tempo 𝑡 = 5, ou o momento em que o erro de rastreamento entra no universo de discurso considerado para haver a compensação fuzzy P. A partir da Ągura (33), é possível notar que o erro de rastreamento foi reduzido a um valor quase nulo em relação ao controlador por modos deslizantes suavizados, e que a região do erro residual (Ągura (33b)) reduziu ainda mais.
As Ąguras (34) e (35) mostram o rastreamento da trajetória desejada, com o seu respectivo esforço de controle, e o erro residual apresentado pelo sistema, respectivamente, provenientes do controle por modos deslizantes suavizados com compensação fuzzy PD projetado. Os universos de discursos considerados foram ˜𝑋 = ¶⊗Φ/Ú ⊘ ˜𝑥 ⊘ Φ/Ú♢ e ˙˜𝑋 =
¶⊗2Φ ⊘ ˙˜𝑥 ⊘ 2Φ♢, com 𝑐X˜ = ¶⊗0,2Φ/Ú; ⊗0,1Φ/Ú; ⊗0,03Φ/Ú; 0,03Φ/Ú; 0,1Φ/Ú; 0,2Φ/Ú♢
e 𝑐X˙˜ = ¶⊗0,4Φ; ⊗0,2Φ; ⊗0,02Φ; 0,02Φ; 0,2Φ; 0,4Φ; ♢ sendo os centros das funções de pertinência adotados para ˜𝑋 e ˙˜𝑋, respectivamente. Os valores para cada regra também
−2 −1,5 −1 −0,5 0 0,5 1 1,5 0 5 10 15 20 25 30 x t Trajetória do sistema (x) Trajetória desejada (xd)
(a) Rastreamento da trajetória desejada
−1 −0,5 0 0,5 1 0 5 10 15 20 25 30 u t (b) Esforço de controle
Figura 34 Ű Resposta do sistema com controlador por modos deslizantes suavizados com compensação fuzzy PD. −0,2 −0,15 −0,1 −0,05 0 0,05 0,1 0,15 0,2 0 10 20 30 40 50 x~ t SMC SMC + fuzzy PD
(a) Representação do erro ˜xem função de t