Se X/k e Y /k s˜ao duas curvas completas n˜ao singulares tais que Xk/k e Yk/k s˜ao isomorfas como curvas n˜ao singulares sobre k, ent˜ao a curva Y ´e chamada uma forma de tor¸c˜ao, ou simplesmente tor¸c˜ao da curva X (ou vice-versa).
Defini¸c˜ao 5.8.2 Sejam k um corpo perfeito, X/k e Y /k duas curvas completas n˜ao singulares e π : X → Y um morfismo de curvas sobre k induzida pela inclus˜ao k(Y ) ⊆ k(X). Sejam k(X) o fecho alg´ebrico de k(X), k o fecho alg´ebrico de k em k(X) e k′|k
uma extens˜ao em k. Diremos que o morfismo π pode ser estendido para o morfismo πk′ : Xk′ → Yk′ induzido pela inclus˜ao k′(Y )⊆ k′(X).
Quando k′ = k, denotaremos π′ por π. Quando π ´e dado por um homomorfismo π∗ : k(Y ) → k(X), podemos definir para qualquer extens˜ao de corpos i : k → k′ o morfismo
estendido πk′ : Xk′ → Yk′ por ser o morfismo associado a aplica¸c˜ao
π∗⊗ i : k(Y ) ⊗
kk′ → k(X) ⊗kk′.
Defini¸c˜ao 5.8.3 Sejam X/k e Y /k duas curvas completas n˜ao singulares e μ : Xk → Yk um morfismo de curvas sobre k. Diremos que μ sobre a extens˜ao E|k, E ⊆ k, se existe um morfismo de curvas π : XE → YE sobre E tal que μ = πk.
Exemplo 5.8.1 Seja X/k uma curva completa n˜ao singular associada a k(X) :=
k(x)[y]
yn−g(x), onde g ∈ k[x] e yn − g(x) ´e absolutamente irredut´ıvel. Sejam ζn ∈ k uma
raiz n−´esima da unidade e μ∗ : k(X) → k(X) o automorfismo dado por y → ζ ny e
x → x. O morfismo associado μ : Xk → Xk ´e definido sobre k(ζn). A curva Xk pode ser
definida sobre k. Pode se mostrar que o automorfismo μ∈ Aut(Xk) n˜ao pode ser definido
sobre k se k = k(ζn).
Lema 5.8.1 Sejam X/k e Y /k duas curvas completas n˜ao singulares e μ : Xk → Yk um morfismo sobre k. Ent˜ao μ pode ser definida sobre uma extens˜ao finita de k.
Demonstra¸c˜ao: Sejam y1, y2, . . . , ys ∈ k(Y ) tais que [k(Y ) : k(y1)] < ∞ e k(Y ) =
k(y1, . . . , ys). Escreva μ∗(yj) = rj
i=1aijαij, com aij ∈ k e αij ∈ k(X). Seja E ⊃ k o corpo
gerado por aij, 1 i rj, 1 j s. Ent˜ao μ∗|E(Y ) ´e um homomorfismo E(Y )→ E(X).
Portanto μ∗|E(Y ) define um morfismo μE : XE → YE de curvas sobre E tal que μ ´e o
morfismo sobre k obtido de μE por extens˜ao de escalares de E para k.
Dado uma curva projetiva XF(k), definimos em 5.5 o corpo de defini¸c˜ao sobre k do ponto
P ∈ XF(k) somente quando F define uma curva com coeficientes em k. Seja X/k uma
curva completa n˜ao singular. Em analogia com o caso das curvas projetivas, definimos abaixo o conceito de corpo de defini¸c˜ao sobre k de um ponto P ∈ X quando a curva
5.8 Corpo de Defini¸c˜ao 129
X/k ´e dada por uma mudan¸ca de base da curva X/k. Como no caso de curvas planas, primeiro precisamos definir uma a¸c˜ao do grupo Gal(k|k) sobre o conjunto X.
Sejam X/k uma curva completa n˜ao singular, k(X) o fecho alg´ebrico de k(X) e k o fecho alg´ebrico de k em k(X). Considere a aplica¸c˜ao natural
r : Gal(k(X)|k(X)) −→ Gal(k|k)
σ −→ σ|k .
Como k(X) = k· k(X), r ´e injetiva. Por k ser perfeito, r ´e um isomorfismo de grupos (veja [6], p´ag. 254).
Sejam X/k uma curva completa n˜ao singular e Xk/k a mudan¸ca de base de X. Identificamos Xk com P(k(X)|k) e X com P(k(X)|k). Considere a seguinte a¸c˜ao de Gal(k|k) em Xk:
∀σ ∈ Gal(k|k), ∀P ∈ Xk, seja σ· P tal que Oσ·P := σ(OP).
Em outras palavras, a a¸c˜ao de Gal(k|k) em P(k(X)|k) ´e σ · O := σ(O), para todo σ ∈ Gal(k|k) e para todo O ∈ P(k(X)|k). Note que o grupo Gal(k|k) age em Xk por permuta¸c˜ao e n˜ao atrav´es de um morfismo de curvas, uma vez que a aplica¸c˜ao σ : k(X)→ k(X) n˜ao ´e um homomorfismo de k−´algebras.
Considere a aplica¸c˜ao I : Xk→ X dada por P → P , onde P ´e detreminado pela condi¸c˜ao OP :=OP ∩ k(X).
Proposi¸c˜ao 5.8.1 Seja k um corpo perfeito. Seja X/k uma curva completa n˜ao singular. A aplica¸c˜ao I ´e sobrejetiva. Ent˜ao existe uma bije¸c˜ao entre X e o conjunto de ´orbitas de Xk sobre a a¸c˜ao de Gal(k|k).
Demonstra¸c˜ao: Para mostrar que I est´a bem definida, observe que se uma valoriza¸c˜ao de k(X) ´e trivial em k(X)∗, ent˜ao ´e trivial em k∗, portanto trivial em k∗. Como k(X) =
kk(X), a mesma valoriza¸c˜ao ´e trivial em k(X)∗. Portanto, se O ´e um dom´ınio local
principal (i.´e, corresponde a uma valoriza¸c˜ao n˜ao trivial), ent˜ao O ∩ k(X) tamb´em ´e. Sejam P ∈ X e v a correspondente valoriza¸c˜ao. Considere o conjunto Σ dos pares (L, w), onde k(X)⊆ L ⊆ k(X) e w : L∗ → Z estende v. O conjunto Σ ´e munido de uma ordem
parcial como segue:
(L, w)≤ (L′, w′)⇐⇒ L ⊆ L′ e w′
|L∗ = w.
As condi¸c˜oes do lema de Zorn s˜ao satisfeitas e, portanto, Σ tem elemento maximal. Seja (M, ω) um elemento maximal de Σ. Mostraremos que M = k(X). De fato, se M = k(X),
5.8 Corpo de Defini¸c˜ao 130
ent˜ao existiria α∈ k \M. Seja Oω o anel de valoriza¸c˜ao discreta associado a ω, considere
a extens˜ao M (α)|M. Sejam B o fecho integral de Oω em M (α) e M ∈ Max(B). Pela
proposi¸c˜ao 2.5.2, B/Oω ´e n˜ao ramificada. Portanto, vM estende ω, o que ´e absurdo pelo
fato que (M, ω) ´e maximal. Ent˜ao I ´e sobrejetiva.
Seja P ∈ X. Para mostrar que a imagem inversa de P ´e uma ´orbita sobre a a¸c˜ao do grupo de Galois, sejam O1,O2 ∈ P(k(X)/k) tais que O1 ∩ k(X) = OP = O2 ∩ k(X).
Considere o conjunto Θ das triplas (L1, L2, σ), onde k(X)⊆ L1, L2 ⊆ k(X), σ : L1 → L2
´e um isomorfismo de corpos e σ(O1∩ L1) = O2 ∩ L2. A seguinte ordem ´e uma ordem
parcial em Θ : (L1, L2, σ) ≤ (L ′ 1, L ′ 2, σ′)⇐⇒ L1 ⊆ L ′ 1, L2 ⊆ L ′ 2 e σ ′ |L1 = σ.
Pelo lema de Zorn, Θ possui elemento maximal, digamos (M1, M2, σ). Afirmamos que
M1 = k(X). De fato, se M1 = k(X), ent˜ao existe α ∈ k \ M1. Seja N1 a menor extens˜ao
de Galois de M1(α) em k(X) que ´e Galois sobre M1. Dada uma extens˜ao σ′ de σ em N1,
seja N2 := σ(N1). Sejam O2 := O2∩ M2 e B2 o fecho integral de O2 em N2. Os an´eis
σ′(O
1∩ N1) e O2 ∩ N2 s˜ao as localiza¸c˜oes de B2 em dois ideais maximais distintos M1
e M2, respectivamente. Pela proposi¸c˜ao 2.6.1, existe τ ∈ Gal(N2|M2) tal que τ (M1) =
M2, isto ´e (N1, N2, τ ◦ σ′) ≥ (M1, M2, σ); absurdo pela maximalidade de (M1, M2, σ).
Logo M1 = k(X). Como σ(k) = k e M2 = k(X). Portanto, σ ∈ Gal(k(X)|k(X)), com
σ(O1) =O2.
Defini¸c˜ao 5.8.4 Sejam X/k uma curva completa n˜ao singular e Xk/k a curva completa n˜ao singular obtida por extens˜ao de escalares em k. O grupo de Galois Gal(k|k) age em Xk como antes. Seja P ∈ Xk, o corpo de defini¸c˜ao de P sobre k, denotado por k(P ), ´e o subcorpo de k fixado pelo subgrupo Stab(P ) := {σ ∈ Gal(k|k) | σ(P ) = P }. Mais precisamente,
k(P ) := kStab(P ) ={c ∈ k | σ(c) = c, ∀σ ∈ Stab(P )}.
Lema 5.8.2 Sejam k um corpo perfeito, X/k uma curva completa n˜ao singular e P ∈ Xk.
Ent˜ao a extens˜ao [k(P ) : k] < ∞ e a ´orbita de P sobre a a¸c˜ao de Gal(k|k) cont´em [k(P ) : k] elementos.
Demonstra¸c˜ao: SejamO o dom´ınio local principal correspondente a P, O := O ∩ k(X) e π o gerador do ideal maximal de O. Ent˜ao, para todo σ ∈ Gal(k|k), σ(π) = π ∈ σ(O). Assim, a valoriza¸c˜ao de π, em σ(O) ´e positiva para todo σ ∈ Gal(k|k). Segue da proposi¸c˜ao 5.6.1 que #{σ(O)|σ ∈ Gal(k|k)} < ∞. Uma vez que Gal(k|k)/Stab(P ) est´a
5.8 Corpo de Defini¸c˜ao 131
em bije¸c˜ao com a ´orbita de P e ´e finito, pelo teorema de correspondˆencia de Galois, segue
que k(P ) := kStab(P ) ´e uma extens˜ao finita de k.
Defini¸c˜ao 5.8.5 Sejam X/k uma curva completa n˜ao singular e k′|k uma extens˜ao de
k em k. Definimos o conjunto X(k′) := {P ∈ X
k | k(P ) ⊆ k′} como o conjunto dos
k′−pontos racionais da curva X/k.
Defini¸c˜ao 5.8.6 Sejam k um corpo, X/k uma curva completa n˜ao singular, Q ∈ X e OQ o dom´ınio local de ideal principais (veja 5.3.1) em k(X) correspondente a Q. O grau
de Q, ´e definido por deg(Q) := [OQ
MQ : k].
Defini¸c˜ao 5.8.7 Sejam k um corpo perfeito, X/k uma curva completa n˜ao singular e P ∈ X(k). Definimos o grau de P por deg(P ) := [k(P ) : k].
Quando k ´e perfeito, os graus de um ponto de X(k) e de sua imagem pela aplica¸c˜ao natural Xk → X, s˜ao iguais (veja [6], p´ag. 256).
A seguir veremos o resultado an´alogo da proposi¸c˜ao 5.5.2 para curvas completas sobre corpos finitos. Sejam X/Fq uma curva completa n˜ao singular e Fq(X) o fecho alg´ebrico
de Fq(X). Sejam Fq o fecho alg´ebrico de Fq em Fq(X) e Fqn o ´unico subcorpo de Fq de
grau n sobre Fq.
Lema 5.8.3 Seja X/Fq uma curva completa n˜ao singular. Ent˜ao para todo n ∈ N,
#X(Fqn) < ∞.
Demonstra¸c˜ao: Tome x ∈ Fq(X) tal que Fq(X)|Fq(x) ´e finita e separ´avel. Ent˜ao,
aplicando o lema 4.1.3 e o teorema 5.3.1, segue o resultado. Proposi¸c˜ao 5.8.2 Sejam X/Fq uma curva completa n˜ao singular, Nn := #X(Fqn) e
bd:= #{Q ∈ X | deg(Q) = d}. Ent˜ao Nn :=d|ndbd.
Demonstra¸c˜ao: A prova ´e an´alogo `a proposi¸c˜ao 5.5.2. Basta observar que o conjunto das ´orbitas de X(Fqn) sobre a a¸c˜ao de Gal(Fq|Fq) est´a com bije¸c˜ao com
d|n{Q ∈
X | |OQ
MQ| = q
d}.
Lema 5.8.4 Seja X/Fq uma curva completa n˜ao singular. Fixe um inteiro e 1. Sejam
k′ :=F qe e N ′ n := #Xk′(Fqen). Ent˜ao N ′ n = Nen.