An´eis com Quocientes Finitos - Teorema de Riemann-Roch, morfismos de Frobenius e a hipótese de

Defini¸c˜ao 4.1.1 Diremos que um dom´ınio de Dedekind A possui quocientes finitos se, para todo P ∈ Max(A), o corpo residual A/P ´e um corpo finito.

Defini¸c˜ao 4.1.2 Seja A um dom´ınio de Dedekind com quocientes finitos. Definimos a norma de um ideal I _{= 0 por I}A := cardinalidade de A/I.

Observe que _IA = 1 se, e s´o se, I = A, e tamb´em, a priori, IA pode ser infinito. A

seguir, ap´os fazer algum exemplos, estudaremos a finitude de _IA.

Exemplo 4.1.1 Seja I = _{a Z, a = 0. Ent˜ao I}_Z := _{|Z/aZ| = |a|. Em particular,} dado λ _{∈ R}+_{, existe uma quantidade finita de ideais I}_{Z tal que I}

Z λ.

Exemplo 4.1.2 O anel A = k[x], onde k ´e um corpo finito com q = pr _{elementos, possui}

quocientes finitos. Seja I =g(x) = 0. Ent˜ao

Ik[x] :=|k[x]/g(x)| = qdeg(g).

De fato, k[x]/g(x) ´e um k−espa¸co vetorial de dimens˜ao deg(g). Dado λ ∈ R+_{, existe}

uma quantidade finita de ideais I em k[x] tal que Ik[x] λ, pois existem no m´aximo

qλ polinˆomios em k[x] de grau menor ou igual a log(λ)/log(q).

O próximo lema é um resultado de álgebra comutativa que nos será útil, por não ser enfoque do trabalho não será demonstrado aqui.

Lema 4.1.1 Sejam A um dom´ınio de Dedekind e P _{∈ Max(A). Então para todo n ∈ N,} os A−módulos Pn−1_/Pn _{e A/P são isomorfos. Em particular, se A/P é finito, então}

A/Pr _{´e finito e} _|A/Pr_{| = |A/P |}r_.

Demonstra¸c˜ao: Veja [6], p´agina 161.

Lema 4.1.2 Sejam A um dom´ınio de Dedekind com quocientes finitos e I A. Então IA ∈ N e a aplica¸cão · A :M(A) → N é multiplicativa.

Demonstra¸c˜ao: Seja I := Pa1

1 · · · Prar A n˜ao nulo. Pela hip´otese, os quocientes

A/Pi, i = 1, . . . , r, s˜ao finitos. Utilizando o isomorfismo A/I ∼= A/P1a1 × · · · × A/Prar e o

lema 4.1.1, conclu´ımos _IA:=

4.1 An´eis com Quocientes Finitos 93

Proposi¸cão 4.1.1 Seja A um dom´ınio de Dedekind com quocientes finitos, K seu corpo de fra¸cões e L_{|K um extensão finita. Suponha o fecho integral B de A em L um A−módulo} finitamente gerado. Então B é um dom´ınio de Dedekind com quocientes finitos. Além disso, se 0= I B, então IB=NB/A(I)A.

Demonstra¸cão: A primeira parte foi demonstrada no primeiro cap´ıtulo. Sejam M ∈ Max(B) e P := M _{∩ A. Então B/M é um (A/P )−espa¸co vetorial de dimensão f}M/P.

Portanto, B/M ´e um corpo finito e

MB =|B/M| = |A/P |fM/P =PfM/PA=NB/A(M )A.

Pela multiplicatividade de NB/A, para todo ideal I B, IB=NB/A(I)A.

Deixemos agora a teoria de anéis com quocientes finitas um pouco de lado e nos concentraremos em dois casos muito importantes: Nos próximos três lemas, A denotaráZ ou k[x], com k corpo finito. Denotaremos por L uma extensão finita do corpo de fra¸cões K de A, e B o fecho integral de A em L. Além disso, vamos supor que B é um A_−módulo finitamente gerado e, portanto, pela proposi¸cão 4.1.1, B terá quocientes finitos.

Lema 4.1.3 Dado λ∈ R+_{, existe uma quantidade finita de ideais I de B com}_I B λ.

Demonstra¸cão: Uma vez que a fun¸cão · B é multiplicativa e positiva, para provar

este lema, basta mostrar que existe uma quantidade finita de ideal maximais M tais que MB λ. Como um ideal maximal de A est´a contido numa quantidade finita de ideais

maximais de B, e por

MB =M ∩ A fM/M ∩A

A M ∩ AA,

´e suficiente mostrar que dado λ ∈ R+_{, existe uma quantidade finita de ideais maximais}

P de A com P A λ. Mas como A = Z ou A = Fq[x], a última condi¸cão é claramente

satisfeita, veja o exemplo 4.1.1.

Observa¸cão 4.1.1 O lema 4.1.3 vale para B um anel Noetheriano, veja [4], página 15. Lema 4.1.4 O grupo Cl(B) é finito se, e somente se, existe λ _{∈ R, dependendo de B,} tal que cada classe ideal de B contém um ideal I com IB λ.

Demonstra¸c˜ao: Suponha o grupo Cl(B) = {C1, . . . , Ch} finito. Tome Ii um ideal na

classe Ci e considere λ := max{lIiB, i = 1, . . . ,}. Reciprocamente, pelo lema 4.1.3,

existe uma quantidade finita de ideais I de B tal que IB λ. Assim, como toda classe

4.1 An´eis com Quocientes Finitos 94

Lema 4.1.5 Seja λ _{∈ R}+_{. Toda classe ideal de B cont´em um ideal com} _I

B λ se

cada ideal n˜ao nulo J de B cont´em um elemento α com _αB λJB.

Demonstra¸c˜ao: Seja C = 1 um classe ideal de B. Fixe J um ideal na classe C−1_.

Seja α ∈ J tal que αB λJB. Como α ∈ J, podemos escrever α = IJ, para

algum ideal I de A. Assim, I ∈ C e a desigualdade IJB = αB λJB mostra

que _IB λ.

Teorema 4.1.1 Seja A =Z ou A = k[x], com k um corpo finito. Sejam L uma extensão separável de grau n do corpo de fra¸cões K de A, e B o fecho integral de A em L. Então, existe λ_{∈ R}+_{, dependendo somente de B, tal que todo ideal não nulo I de B contém um}

elemento n˜ao nulo α com _αB λIB. Em particular, o grupo de classe ideal de B

´e finito.

Demonstra¸c˜ao: Quando A = Z observe que B ´e livre de posto finito. Assim, tome {α1, . . . , αn} uma base para B sobre A e σ1, . . . , σn os monomorfismos de L em C. Seja

λ := n i=1 _n j=1 |σi(αj)| .

Mostraremos que todo ideal I não nulo de B contém um elemento não nulo α tal que αB λIB. Sejam I B e m o único inteiro positivo tal que

mn _IB < (m + 1)n.

Considere o seguinte conjunto de (m + 1)n _{elementos distintos de B :}

_n j=1 mjαj|mj ∈ Z e 0 mj m,∀j = 1, . . . , n .

Como (m + 1)n > IB = |B/I|, existem dois elementos distintos do conjunto anterior

que s˜ao congruentes modulo I. Tomando a diferen¸ca desses dois elementos, obtemos um elemento n˜ao nulo de I da forma

α :=

j=1

4.1 An´eis com Quocientes Finitos 95 Ent˜ao αBB =NB/A(αB)A=|NormL/K(α)| = n i=1 |σi(α)| n i=1 _n j=1 |mj||σi(αj)| mn n i=1 _n j=1 |σi(αj)| λ· IB.

Isto conclui a prova do teorema quando A = Z. Para o caso em que A = k[x], veja 4.4.

Para o caso em que A = k[x] precisamos de alguns outros conceitos que introduziremos nas duas próximas se¸cões. A prova é dada em 4.4.

Defini¸c˜ao 4.1.3 Seja K um corpo de n´umeros. A ordem do grupo de classe ideal Cl(_OK)

é chamado de número de classe de K e é denotado por hK.

Defini¸cão 4.1.4 Dados um corpo de números K e σ : K → C um monomorfismo. Defina σ : K → C, com x → σ(x) a conjuga¸cão complexa do monomorfismo σ. Se σ = σ diremos que σ é um monomorfismo real, caso contrário diremos que σ é um monomorfismo complexo.

Sejam r1 a quantidade de monomorfismos reais e r2 a quantidade de pares de

monomorfismos complexos (σ, σ) de K em C. Segue da defini¸c˜ao anterior que [K : Q] = r1+ 2r2.

Seja _OK um anel dos inteiros alg´ebricos, para descrever o grupo Cl(OK) ´e importante

obter cotas superiores precisas para λ _{∈ R}+ _{encontrado no teorema 4.1.1. O pr´oximo}

teorema, devido a Minkowski, cuja demonstra¸c˜ao pode ser encontrada em [3], p´agina 136, apresenta uma cota muito boa para λ.

Teorema 4.1.2 Seja K um corpo de n´umeros de grau n. Seja dK o gerador positivo do

ideal discriminante Δ_OK/Z. Ent˜ao toda classe de ideais de OK cont´em um ideal I tal que

IOK n! nn( 4 π) r2_d K.

4.1 An´eis com Quocientes Finitos 96

Corolário 4.1.1 Seja K um corpo de números. Então existe um primo p _{∈ Z tal que} p ramifica em OK.

Demonstra¸c˜ao: Seja [K :Q] = n. Pelo teorema 4.1.2, dK n! nn( 4 π) r2₁ OK = n! nn( 4 π) r2_.

Assim, se n 2, dK > 1. Logo, pelo teorema 3.3.1, todo primo p que divide dK ramifica

em _OK.

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