Corpos de decomposi ¸c ˜ ao - Rodrigo Carlos Silva de Lima

m

Defini ¸c ˜ao 32 (Corpos de decomposi¸c ˜ao ou de ra´ızes). Seja f(x)∈K[x] com

grauf(x)≥1.

Uma extens ão L|K é dita um corpo de decomposi¸c ão ou corpo de ra´ızes de f sobre k ⇔ f se decomp õe em produto de fatores lineares em L[x] e n ão se decomp õe em produto de fatores lineares em F[x], onde F é qualquer subcorpo pr óprio de L

contendo K. L ´e o menor corpo contendo K com a propriedade de f ter grauf ra´ızes em L. L ´e dito o corpo de ra´ızes de f.

Notamos que f(x)∈K[x] sempre possui um corpo de decomposi¸c ão, pois podemos tomar tal corpo como o corpo gerado pelas suas ra´ızes em um fecho algébrico Kâ de K.

m

Defini ¸c ão 33 (Extens ões isomorfas). Dizemos que L|K e L^′|K^′ s ão extens ões isomorfas ⇔ existe f:L→L^′ isomorfismo de corpos tal que f(K) =K^′.

m

Defini ¸c ão 34 (Extens ão de isomorfismo). Seja f : K → K^′ um isomorfismo de corpos e sejam L|K e L|K^′ extens ões de corpos. Dizemos que g:L→L^′ estende f ⇔ g é um isomorfismo, tal que g|K = f. Nesse caso L|K e L^′|K^′ s ão extens ões isomorfas.

b

Propriedade 49 (Extens ˜ao de isomorfismo ). Seja f:K→K^′ um isomorfismo de corpos, ent ˜ao:

1. K[x] e K^′[x] s ˜ao dom´ınios isomorfos.

2. Se L|KeL^′|K^′ s ão extens ões de corpos, p(x)∈K[x] é m ônico irredut´ıvel,α∈L

é raiz de p(x) e β ∈ L^′ é raiz de f(p(x)) ent ão o isomorfismo f : K → K^′ admite extens ão que também denotaremos por f, f : K(α) → K^′(β) com f(α) =β.

ê Demonstra ¸c ˜ao.

1. Se h(x) =

∑n

k=0

akx^k ∈K[x] definimos g(h(x)) =

∑n

k=0

f(ak)x^k, ent ˜ao g:K[x]→K^′[x]

´e um isomorfismo de an´eis. Tomamos t(x) =

∑m

k=0

bkx^k. Para a soma, supomos sem perda de generalidade que n ≥ m e completamos os poss´ıveis indices de

t(x) com valores nulos. Vale fun¸c ˜ao ´e injetora e sobrejetora por propriedade do isomorfismo f.

2. P(x) é irredut´ıvel em K[x] ⇔f(p(x)) é irredut´ıvel em K^′[x]. Como α ∈ L é raiz estende a fun¸c ão identidade em K .

m

Defini ¸c ão 35 (K-isomorfismo). Dizemos que L|K e L^′|K s ão extens ões K-isomorfas ⇔ existe f: L → L^′ um isomorfismo tal que f|K = I ou que exista um isomorfismo de L em L^′ que estende I:K→K.

⋆ Teorema 4 (Extens ão de isomorfismo a corpo de ra´ızes). Sejam f(x)∈K[x]\K , g:K→K^′ um isomorfismo de corpos, L um corpo de ra´ızes de f(x) sobre K e L^′ um corpo de ra´ızes de g(f(x)) sobre K^′, ent ão L|K e L^′|K^′ s ão extens ões isomorfas com um isomorfismo h que estende g.

ê Demonstra ¸c ão. Faremos a prova por indu¸c ão sobre n= [L:K]. Suponha que [L :K] = 1 ent ão f(x) ∈ K[x] se decomp õe em L = K em produto de fatores lineares, isto é, f(x) tem todas suas ra´ızes em K e f(x) =a

∏m

k=1

(x−αk) com a,(αk)^m₁ em K.

Como g : K[x] → K^′[x] é um isomorfismo de anéis ent ão g(f(x)) = g(a)

∏m

k=1

(x− g(αk))com g(a), (g(αk))^m₁ em g(K) =K^′ e g(f(x)) se decomp õe em K^′[x], logoL^′ =K^′ e g:K→K^′ é o isomorfismo procurado, temos ent ão uma extens ão trivial.

Supondo o teorema v álido para os polin ômios com coeficientes em K0 cujo corpo de decomposi¸c ão L0 sobre K0 tenha [L0 : K0] < n, seja f(x) ∈ K[x] com corpo de decomposi¸c ão L sobreK, tal que [L:K] =n >1. f(x) tem um fator m ônico irredut´ıvel p(x) ∈ K[x] com ∂p(x) = r > 1. Sejam g(p(x)) o fator m ônico irredut´ıvel de g(f(x)) em K^′[x]. Como f(x) se decomp õe em L e p(x)|f(x) em K[x] ent ão todas as ra´ızes de p(x) est ão em L, logo existe α∈ L tal que p(α) = 0. Portanto por multiplicatividade dos graus

[L:K(α)] = [L:K]

[K(α) :K] = n r < n.

Tomando L^′ um corpo de ra´ızes de g(f(x)) sobre K^′ e β∈L^′ uma raiz de g(p(x)) ent ˜ao o isomorfismo g : K → K^′ se estende a um isomorfismo de K(α) em K^′(β) tamb´em denotado por g, com g(α) =β.

L é um corpo de ra´ızes de f(x) sobre K0 = k(α), e L^′ é um corpo de ra´ızes de g(f(x)) sobre K^′[β], pois f(x)∈K[x]⊂K(α)[x] e f(x) se decomp õe em L num produto

de fatores lineares e n ão se decomp õe em um subcorpo F com K ⊂ F L, pois se n ãoL n ão seria corpo de ra´ızes sobre K de f(x). Com [L:k0]< n, ent ão por hip ótese de indu¸c ão g: K0 =K(α) →K^′(β) se estende a um isomorfismo h: L→L^′, esse é o isomorfismo procurado.

b

Propriedade 50 (Unicidade do corpo de decomposi¸c ão). Se L|K e L|^′K s ão corpos de decomposi¸c ão sobre K de f(x)∈K[x]\K, ent ão L|K e L^′|K s ão extens ões K -isomorfas.

ê Demonstra ¸c ˜ao. Tomamos K = K^′ e f : I : K → K ent ˜ao existe isomorfismo h:L→L^′ com h(a) = a∀a∈K.

m

Defini ¸c ão 36 (Corpo algebricamente fechado). Um corpo K é algebricamente fechado ⇔ todo polin ômio n ão constante em K[x] tem uma raiz em K.

⋆ Teorema 5. Para todo corpo K, existe corpo algebricamente fechado K tal que K⊂K.

m

Defini ¸c ão 37 (Mergulho). Um mergulho é um homomorfismo injetivo. A imagem do mergulho σ:F→L pode ser denotada por σF ou F^σ, também podemos denotar a aplica¸c ão σ(x) como x^σ. Sendo E|F, um mergulho f:E→L é dito sobre σ se f|Fσ, nesse caso também dizemos que f estende σ. Se σ é a identidade ent ão dizemos que f é um mergulho de E sobre F.

b

Propriedade 51. Sejam E|K algébrica e σ : E→ E um mergulho de E sobre K, ent ão σ é um automorfismo.

ê Demonstra ¸c ão. Por defini¸c ão j á sabemos queσ é injetiva, falta ent ão mostrar que é sobrejetiva. Seja α ∈ E, P(x) seu polin ômio irredut´ıvel em K[x], E^′ subcorpo de E gerado por todas as ra´ızes de P(x) em E. E^′ é finitamente gerado logo E^′|K é

finita. σ leva raiz de P(x) em raiz de P(x), σ ´e de E^′ em E^′. Podemos ver σ como um k-homomorfismo de espa¸cos vetoriais, pois σ induz a identidade em K. Como σ

é injetiva a imagem σ(E^′) é um subespa¸co de E^′, tendo a mesma dimens ão, [E^′ : K],

b

Propriedade 52. E[F] ´e anel.

ê Demonstra ¸c ˜ao.

• 0 ∈E[F] Basta tomar

∑n

k=1

ak.bk com cada ak =bk = 0. A adi¸c ˜ao ´e comutativa, associativa por propriedades de corpo e temos para um elemento

∑n

• O produto ´e fechado pois (

• O produto é distributivo em rela¸c ão a adi¸c ão, à esquerda e a direita, pois a propriedade é herdade do corpo L. Além disso é associativo e comutativo por mesmo motivo. Temos o elemento neutro da multiplica¸c ão 1 =

∑1

k=1

1.1.

Com isso temos um anel comutativo com unidade.

$

Corol ´ario 21. E, F⊂E[F], pois qualquera∈Epertence ao conjuntoa=

∑1

k=1

a.1 o mesmo para F.

$

Corol ário 22. EF é o corpo quociente do anel K[F], pois K[F] é anel e contém E , F, as combina¸c ões

∑n

k=1

ak.bk pertencem a EF, como EF e o corpo quociente s ão os menores corpos que contém tal anel, ent ão s ão iguais.

b

Propriedade 53. Se L e E s ão corpos de decomposi¸c ão de f(x)∈K[x] , ent ão existe um isomorfismo σ:E→L induzindo a identidade em K.

Se K⊂ L⊂Kâ onde Kâ é o fecho algébrico de K, ent ão qualquer mergulho de E em Kâ induzindo a identidade em K é um isomorfismo de E em L.

ê Demonstra ¸c ˜ao.

m

Defini ¸c ão 39 (Corpo de decomposi¸c ão de uma fam´ılia). Seja I um conjunto de indices e {fk}k∈I uma fam´ılia de polin ômios em K[x]\K, tal que cada fk se divide em fatores lineares em L[x] e L é gerado por todas as ra´ızes de todo os polin ômios fk, K∈I.

$

Corol ário 23. Nas condi¸c ões da defini¸c ão anterior. Seja Kâ o fecho de K e Lk um corpo de decomposi¸c ão de fk em Kâ, ent ão o compositum de cada Lk é um corpo de decomposi¸c ão para nossa fam´ılia de polin ômios.

b

Propriedade 54. Sejam L e E corpos de decomposi¸c ˜ao da fam´ılia {fk}k∈I, qualquer mergulho de Eem K^a induzindo a identidade emK gera um isomorfismo de E em K.

ê Demonstra ¸c ˜ao.

Se a fam´ılia I é finita ent ão os polin ômios podem ser enumerados como (fk)ⁿ₁, um corpo de decomposi¸c ão para o polin ômio

f(x) =

∏n

k=1

fk(x)

´e um corpo de decomposi¸c ˜ao para a fam´ılia.

No documento Rodrigo Carlos Silva de Lima (páginas 44-51)