Rodrigo Carlos Silva de Lima

(1)

Rodrigo Carlos Silva de Lima

^‡

Universidade Federal Fluminense - UFF-RJ

rodrigo.uﬀ.math@gmail.com

‡

9 de agosto de 2017

(2)

(3)

3

(4)

(5)

Corpos

1.1 Corpos

1.2 Axiomas alg ´ebricos de um corpo

m

Defini ¸c ão 1 (Corpo). Um corpo é um conjunto K munido de duas opera¸c ões, uma adi¸c ão + e uma multiplica¸c ão × que satisfazem os axiomas que descrevere- mos a seguir (Chamados axiomas de corpoâ). Sejam x, y, z elementos quaisquer de K, que ser ão chamados de n úmeros.

aEm inglˆes ´e usada a palavra field para o que chamamos de corpo.

Axiomas da adi ¸c ˜ao

Axioma 1. Para cada par de n ´umeros x e y corresponde um terceiro n ´umero z chamado de soma de x e y e denotado por x+y.

Axioma 2 (Existˆencia de elemento neutro para adi¸c ˜ao). Existe 0 ∈ K tal que x+0=x.

Axioma 3 (Comutatividade da adi¸c ˜ao). x+y=y+x

Axioma 4 (Associatividade da adi¸c ˜ao). (x+y) +z=x+ (y+z) 5

(6)

Axioma 5 (Existˆencia de inverso aditivo). Existe −x ∈K tal que

x+ (−x) = 0.

O elemento −x ´e chamado sim´etrico de x.

m

Defini ¸c ão 2 (Subtra¸c ão). Definimos a opera¸c ão de subtra¸c ão como x−y:=

x+ (−y).

Axiomas da multiplica ¸c ˜ao

Axioma 6. Para cada par de n ´umeros x e y corresponde um terceiro n ´umero z chamado de produto de x e y e denotado por x.y.

Axioma 7 (Comutatividade da multiplica¸c ˜ao). x.y=y.x.

Axioma 8 (Existˆencia do elemento neutro multiplicativo). Existe 1∈K tal que

1.x=x.

Axioma 9 (Associatividade da multiplica¸c ˜ao).

(x.y).z=x.(y.z).

Axioma 10 (Existˆencia do inverso multiplicativo). Para todo x ̸= 0 ∈ K existe x⁻¹∈K tal que

x.x⁻¹=1.

Enfatizamos que 0⁻¹ n ão est á definido. Sempre que consideramos x⁻¹, estaremos supondo x̸=0. O elemento x⁻¹ é chamado inverso de x.

z

Observa ¸c ão 1. Como uma opera¸c ão é definida como fun¸c ão, ent ão podemos adicionar e multiplicar de ambos lados de uma igualdade, sem alterar a igualdade.

por exemplo, dado c fixo no corpo, temos a fun¸c ˜ao soma que faz Sc(x) = x+c, se

(7)

x =y ent ão Sc(x) = Sc(y), logo x+c =y+c, o mesmo vale para o produto, temos Pc(x) =x.c fun¸c ão, da´ı se x =y tem-se Pc(x) = Pc(y), isto é, x.c=y.c.

x=y⇒x+c=y+c

x =y⇒x.c=y.c ∀ c∈K.

m

Defini ¸c ão 3 (Fra¸c ão). Sendo x ̸=0 definimos a fra¸c ão y

x =y.x⁻¹

chamamos y de numerador e x de denominador da fra¸c ˜ao y x.

Axioma 11 (Distributividade da multiplica¸c ˜ao).

x(y+z) =xy+xz.

Esses s ão os axiomas da adi¸c ão e multiplica¸c ão num corpo.

Z

Êxemplo^1. ConsiderandoQ, Z eN munidos de multiplica¸c ão e adi¸c ão usuais.

• O conjunto dos n ´umeros racionais Q ´e um corpo.

• O conjunto dos inteiros Z n ão é um corpo, pois n ão possui inverso multi- plicativo para todo elementos, por exemplo n ão temos o inverso de 2.

• O conjunto dos n úmeros naturais n ão é um corpo, pois n ão possui simétrico para cada elemento contido nele.

(8)

Z

Êxemplo ^2. O conjunto dos polin ômios de coeficiente racionais Q[t] n ão

´e um corpo, pois por exemplo o elemento x n ˜ao possui inverso multiplicativo, se houvesse haveria

∑n

k=0

akx^k tal que x

∑n

k=0

akx^k =1=

∑n

k=0

akx^k+1 o que n ão é poss´ıvel pois o coeficiente do termo independente x⁰ é zero em

∑n

k=0

akx^k+1 e deveria ser 1.

b

Propriedade 1. Sejam X um conjunto qualquer e K um corpo, ent ão o conjunto F(X, K) munido de adi¸c ão e multiplica¸c ão de fun¸c ões é um anel comuta- tivo com unidade, n ão existindo inverso para todo elemento. Lembrando que em um anel comutativo com unidade temos as propriedades, associativa, comutativa, elemento neutro e existência de inverso aditivo, para adi¸c ão. valendo também a comutatividade, associatividade, existência de unidade 1 para o produto e distri- butividade que relaciona as duas opera¸c ões.

ê Demonstra ¸c ˜ao.

• Vale a associatividade da adi¸c ˜ao

((f+g) +h)(x) = (f(x) +g(x)) +h(x) =f(x) + (g(x) +h(x)) = (f+ (g+h))(x)

• Existe elemento neutro da adi¸c ˜ao 0∈K e a fun¸c ˜ao constante 0(x) = 0∀ x∈K, da´ı

(g+0)(x) = g(x) +0(x) =g(x).

• Comutatividade da adi¸c ˜ao

(f+g)(x) =f(x) +g(x) =g(x) +f(x) = (g+f)(x)

• Existe a fun¸c ˜ao sim´etrica, dado g(x), temos f com f(x) = −g(x) e da´ı (g+f)(x) =g(x) −g(x) =0.

• Vale a associatividade da multiplica¸c ˜ao

(f(x).g(x)).h(x) =f(x).(g(x).h(x))

(9)

• Existe elemento neutro da multiplica¸c ˜ao 1 ∈ K e a fun¸c ˜ao constante I(x) = 1∀ x ∈K, da´ı

(g.I)(x) =g(x).1=g(x).

• Comutatividade da multiplica¸c ˜ao

(f.g)(x) =f(x)g(x) =g(x)f(x) = (g.f)(x)

Por ´ultimo vale a distributividade (f(g+h))(x) =f(x)(g(x) +h(x)) =f(x)g(x) + f(x)h(x) = (f.g+f.h)(x).

N ão temos inverso multiplicativo para toda fun¸c ão, pois dada uma fun¸c ão, tal quef(1) =0 e f(x) =1 para todo x̸=1 em K, n ão existe fun¸c ão g tal que g(1)f(1) =1, pois f(1) =0, assim o produto de f por nenhuma outra fun¸c ão gera a identidade.

1.2.1 Subcorpo

m

Defini ¸c ˜ao 4 (Subcorpo). Um conjunto A⊂K munido das opera¸c ˜oes+, × do corpo k que satisfaz as propriedades

• O elemento neutro da adi¸c ˜ao 0 pertence ao conjunto.

• O elemento neutro da multiplica¸c ˜ao 1 pertence ao conjunto.

• A adi¸c ˜ao ´e fechada.

• O produto ´e fechado.

• Dado x ∈A implica −x ∈A.

• Dado x ̸=0∈A tem-se x⁻¹∈A.

b

Propriedade 2. Sejam K um corpo

P = ∩

A⊂K|A ´e corpo A.

(10)

Ent ˜ao P ´e corpo, sendo o menor subcorpo de K .

ê Demonstra ¸c ão. Se K = {0} ent ão P = {0} que é corpo . Considere ent ão K um corpo n ão trivial.

Temos que mostrar os seguintes itens

• O elemento neutro da adi¸c ˜ao 0 pertence ao conjunto.

• O elemento neutro da multiplica¸c ˜ao 1 pertence ao conjunto.

• A adi¸c ˜ao ´e fechada.

• O produto ´e fechado.

• Dado x∈P implica −x∈P.

• Dado x̸=0∈P tem-se x⁻¹∈P.

As propriedades, associativida, comutatividade, distributividade, n ˜ao precisam ser demonstradas pois valem em subconjuntos de K.

Demonstrando os itens:

• O elemento neutro da adi¸c ˜ao 0 pertence ao conjunto, pois 0 pertence a todos subcorpos, logo pertence a interse¸c ˜ao dos subcorpos.

• O elemento neutro da multiplica¸c ˜ao 1 pertence ao conjunto, pois pertence a todos subcorpos.

• A adi¸c ão é fechada. Dados x e y em P, ent ão x e y pertence a todo subcorpo A⊂K, portanto x+y∈A qualquer e da´ı x+y∈P.

• O produto ´e fechado. Dados x e y em P, ent ˜ao x e y pertence a todo subcorpo A⊂K, portanto x.y∈A qualquer e da´ı x.y ∈P.

• Dado x∈P implica −x∈P. Se x∈P ent ˜ao x pertence a todo subcorpo A e da´ı

−x∈A qualquer e portanto −x ∈P.

• Dado x ̸=0∈P tem-se x⁻¹∈P. Se x ∈P ent ˜ao x∈A para qualquer subcorpo A de K e da´ı x⁻¹ ∈A qualquer ent ˜ao x⁻¹ ∈P.

P é o menor subcorpo pois dado qualquer subcorpo A⊂K temos A⊂P, pois A é um elemento da interse¸c ão ∩

A⊂K|A ´e^corpo A.

(11)

1.3 Homomorfismo e Isomorfismo

m

Defini ¸c ˜ao 5 (Homomorfismo de corpos). Sejam A, B corpos. Uma fun¸c ˜ao f:A→B chama-se um homomorfismo quando se tem

f(x+y) = f(x) +f(y) f(x.y) = f(x).f(y)

f(1A) = 1_B

para quaisquerx, y∈K.Denotaremos nesse caso as unidades 1_A e 1_Bpelos mesmos s´ımbolos e escrevemos f(1) =1.

b

Propriedade 3. Se f ´e homomorfismo ent ˜ao f(0) = 0.

ê Demonstra ¸c ˜ao. Temos

f(0+0) =f(0) +f(0) = f(0) somando −f(0) a ambos lados segue

f(0) = 0.

b

Propriedade 4. Vale f(−a) = −f(a). ê Demonstra ¸c ˜ao. Pois

f(a−a) =f(0) =0=f(a) +f(−a) da´ı f(−a) = −f(a).

$

Corol ´ario 1.

f(a−b) = f(a) +f(−b) = f(a) −f(b).

(12)

b

Propriedade 5.Se a é invert´ıvel ent ãof(a) é invert´ıvel e vale f(a⁻¹) =f(a)⁻¹. ê Demonstra ¸c ão.

f(a.a⁻¹) =f(1) =1=f(a).f(a⁻¹)

ent ˜ao pela unicidade de inverso em corpos segue que f(a)⁻¹ =f(a⁻¹).

b

Propriedade 6. f ´e injetora.

ê Demonstra ¸c ão. Sejamx, ytais quef(x) = f(y), logof(x)−f(y) = 0,f(x−y) = 0, se x ̸=y ent ão x−y seria invert´ıvel logo f(x−y) n ão seria nulo, ent ão segue que x=y.

b

Propriedade 7. f(A) ´e subcorpo de B.

• A adi¸c ão é fechada, dados a=f(x) e b=f(y) ent ão a+b∈f(A) pois f(x+y) =f(x) +f(y) =a+b.

• O produto ´e fechado, pois f(x.y) =f(x).f(y) =a.b.

• −a∈f(A) pois f(−x) = −f(x) = −a.

• Se a̸=0 ent ão a⁻¹ ∈f(A) pois f(x⁻¹) =f(x)⁻¹, x̸=0 pois se fosse x =0 ent ão a=0, logo x é invert´ıvel.

b

Propriedade 8. Se f é bĳetora ent ão a fun¸c ão inversa f⁻¹ de f é um homo- morfismo.

ê Demonstra ¸c ˜ao. Sejam a=f⁻¹(x) e b=f⁻¹(y).

• f⁻¹(1) = 1 pois f(1) =1.

•

f⁻¹(x+y) =f⁻¹(f(a) +f(b)) =f⁻¹(f(a+b)) =a+b=f⁻¹(x) +f⁻¹(y).

(13)

f⁻¹(x.y) = f⁻¹(f(a).f(b)) = f⁻¹(f(a.b)) =a.b =f⁻¹(x).f⁻¹(y).

b

Propriedade 9 (Composi¸c ão de homomorfismo). A composi¸c ão de homo- morfismos é um homomorfismo .

ê Demonstra ¸c ão. Considere f : A → B e g : B → C homomorfismos ent ão g◦f:A→C é um homomorfismo.

• Vale g(f(1A)) = g(1B) =1_C .

• g(f(x+y)) =g(f(x) +f(y)) =g(f(x)) +g(f(y))

• g(f(x.y)) = g(f(x).f(y)) =g(f(x)).g(f(y))

m

Defini ¸c ˜ao 6 (Isomorfismo). Um Isomorfismo ´e um homomorfismo bĳetor.

Dois corpos s ão ditos isomorfos se existir um isomorfismo entre eles. Para todos os efeitos dois corpo isomorfos s ão considerados idênticos.

$

Corol ário 2. Se f é isomorfismo ent ão f⁻¹ é isomorfismo .

m

Defini ¸c ˜ao 7 (Automorfismo). Um automorfismo de corpos ´e um isomorfismo do corpo nele mesmo .

$

Corol ário 3. A composi¸c ão de bĳe¸c ões é uma bĳe¸c ão, a composi¸c ão de homo- morfismo é um homomorfismo, logo a composi¸c ão de isomorfismos é um isomor- fismo, em especial a composi¸c ão de automorfismo é um automorfismo .

(14)

m

Defini ¸c ão 8 (Homomorfismo caracter´ıstico-HC). Sejam D um dom´ınio, P : Z → D o único homomorfismo de anéis tal que P(1) = 1_D . Chamamos P de homomorfismo caracter´ıstico de D. Ent ão

P(n) =

∑n

k=1

1_D =n.1D

para qualquer n∈Z .

b

Propriedade 10. O n ´ucleo de P ´e um ideal de Z.

ê Demonstra ¸c ão. O n úcleo de P, é o conjunto de n úmeros inteiros ker(P) = {x ∈Z|x.1D=0}.

Tal conjunto ´e um ideal de Z pois

• 0 ∈Ker(P), pois 0.1D =0.

• Dados dois elementos x, y∈Ker(D) ent ˜ao x =x11_D =0, y=y1.1D=0 logo x+y=0=x11_D+y11_D =

x1

∑

k=1

1_D+

y1

∑

k=1

1_D=

x1

∑

k=1

1_D+

y∑1+x1

k=1+x1

1_D =

y∑1+x1

k=1

1_D = (x1+y1)1_D portanto x1+y1∈Ker(D).

• Sendo x∈Ker(P) e y∈Z tem-se x =x1.1D = logo y.x=y.0=0= (y.x1).1D

b

Propriedade 11. P(Z) ´e subanel de D.

• 0 ∈P(Z) pois 0.1D=0.

• A soma ´e fechada . x, y∈P(Z) ent ˜ao

x1

∑

k=1

1_D+

y1

∑

k=1

1_D =

y∑1+x1

k=1

1_D.

(15)

• 1_D ∈P(Z) pois 1.1D =1_D.

• A multiplica¸c ão é fechada . x, y∈P(Z) ent ão x.y=

x1

∑

k=1 y1

∑

k=1

1_D=

y1x1

∑

k=1

1_D.

• Dado x∈P(Z) ent ˜ao −x ∈P(Z), basta ver que

∑−n

k=1

1_D+

∑n

k=1

1_D= −

∑n

k=1

1_D+

∑n

k=1

1_D =0.

$

Corol ´ario 4. Como Z ´e um dom´ınio principal, existe n0 ∈ Z com n0 ≥0 tal que ker(P) =I(n0) =n0Z.

b

Propriedade 12. Como D é um dom´ınio ent ão o n úcleo de p é um ideal primo de Z. Assim n0=0 ou n0 =p com p primo.

ê Demonstra ¸c ˜ao. Ker(P) ´e primo, pois dados x, y ∈ Z tais que x.y ∈ Ker(P) tem-se

∑x.y

k=1

1_D=0=

∑x

k=1

1_D

∑y

k=1

1_D =0

da´ı como D ´e dom´ınio segue que x.1D ou y1D s ˜ao nulos, o que prova que x ou y em ker(P).

Agora se o gerador do ideal fosse um n ´umero composto n0 =x.y ent ˜ao

n0

∑

k=1

1_D =

∑x

k=1

1_D.

∑y

k=1

1_D=0

da´ı x ou y ∈ Ker(P) o que compromete a minimalidade de n0, logo n0 ´e primo ou n0 =0.

$

Corol ário 5. Se n0 =0, P é injetora (o n úcleo s ó tem o elemento nulo) e D contém um subanel isomorfo à Z .

{n.1D, n∈Z}=P(Z)⊂D.

(16)

Vale n.1D ̸=0_D∀n̸=0.

$

Corol ´ario 6. Caso n0 =p Para cada n∈Z por divis ˜ao euclidiana de n por p , existem q e r∈Z tais que n=pq+r, logo

n.1D= (qp+r)1D=q(p1D) +r1D =r.1D

ent ˜ao

P(Z) = {n1D, n∈Z}={r1D, r∈[0, p−1]_N}={01_D,· · ·,(p−1)1_D}.

m

Defini ¸c ão 9 (Caracter´ıstica de um dom´ınio.). Seja Dum dom´ınio. Chamare- mos o gerador n ão-negativo do n úcleo do HCde caracter´ıstica de D. Dizemos que D é de caracter´ıstica zero, quando ker{P}={0}. Nesse caso D contém um subanel isomorfo à Z. Escrevemos car(D) =0. Dizemos queD é de caracter´ıstica p, onde p é primo, quando ker(P) =P.Z nesse caso D contém um subanel isomorfo à Zp, escrevemos car(D) = p.

$

Corol ário 7. Todo corpo é um dom´ınio, ent ão a caracter´ıstica de um corpo é 0 ou p, com p primo .

m

Defini ¸c ão 10 (Corpo de fra¸c ões de um dom´ınio). Para todo dom´ınio D, podemos construir o seu corpo de fra¸c ões Q(D), à saber o conjunto

Q(D) ={a

b |a, b ∈D, b̸=0} onde a

b = c

d ⇔ ad=bc.

(17)

b

Propriedade 13. Q(D) ´e um corpo com as opera¸c ˜oes a

b + c

d = ad+bc bd e a

b c d = ac

bd.

b

Propriedade 14. Q(D) ´e um corpo que tem as seguintes propriedades

1. D ´e um subanel de Q(D).

2. Se K é um corpo eD é um subanel deK ent ão Q(D) é subcorpo de K. (Q(D)

´e o menor corpo gerado por D.) ê Demonstra ¸c ˜ao.

1. Seja a ∈ D ent ˜ao ∀ b∈ D, b ̸=0 temos ab b = a

1 , identificamos a com a 1 . A adi¸c ão e multiplica¸c ão de D correspondem à adi¸c ão e multiplica¸c ão de Q(D), restritas às fra¸c ões com denominador 1^D.

2. .

m

Defini ¸c ão 11 (Corpo das fun¸c ões racionais com coeficientes num corpo.). Sejam K um corpo e K[x] o dom´ınio dos polin ômios com coeficiente em K. K(x), o corpo das fun¸c ões racionais com coeficientes em K é definido como

k(x) = {f(x)

g(x)|f(x), g(x)∈K[x]; g(x)̸=0} k(x) ´e o corpo das fra¸c ˜oes de k[x].

m

Defini ¸c ão 12 (Extens ão de corpos). Sejam K e L corpos. Dizemos que L é uma extens ão de K ⇔ K é um subcorpo de L. Escrevemos L|K. Nesse caso K⊂L, K é um corpo com as opera¸c ões de L e 1_k =1_L. L|K lê-se, extens ão L sobre K.

(18)

Z

Êxemplo ^3. S ão extens ões R|Q, C|Q, R|Q, C|R.

b

Propriedade 15. Seja a extens ˜ao L|K ent ˜ao

car(L) =car(K).

ê Demonstra ¸c ˜ao. K e L s ˜ao corpos logo 1 ∈ K, L e da´ı

∑n

k=1

1 ∈ K, L e assume o mesmo valor em ambos para todo n∈ N, da´ı ambos corpos tem a mesma caracter´ıstica, pois se a soma se anula em um corpo também se anula em outro e se a soma n ão se anular em um dos corpos também n ão se anula em outro pois assumem mesmo valor em ambos corpos para todo n∈N.

Z

Êxemplo ^4. ^Seja ^K um corpo. Sabemos que car(K) =0 ou car(k) =p, onde p é um natural primo. No primeiro caso k contém um dom´ınio isomorfo à Z, à saber o dom´ınio D={n.1K|n∈Z}. Como K é um corpo , o corpo de fra¸c ões de D

´e um subcorpo de K, assim

K⊃Q(D) = {n.1K

m.1K

| n, m∈Z; m̸=0}≃Q.

b

Propriedade 16. O menor subcorpo de K ´e Q(D) ≃ Q.No sentido que qualquer subcorpo de K deve conter Q(D).

m

Defini ¸c ˜ao 13 (Corpo primo). Seja K um corpo, O corpo primo de K ´e o menor subcorpo de K.

Z

^Exemplo ^5. ^Quando ^{car(K) =}^0, ^m1^k⁼⁰ ^⇔ ^m ⁼0 e o corpo primo de K ´e Q(D) ={n.1K

m.1K

| n, m∈Z; m̸=0}.

(19)

b

Propriedade 17. Seja L|K uma extens ão de corpos. As opera¸c ões de adi¸c ão e multiplica¸c ão de L induzem em L uma estrutura de K-espa¸co vetorial. O multiplica¸c ão por escalar do conjunto K, dada como cα onde c ∈ K e α ∈ L e a adi¸c ão α+β usual de elementos de L.

m

Defini ¸c ão 14(GrauL|K). A dimens ão deLcomoK-espa¸co vetorial é chamada de grau de L|K, denotamos [L:K] =dimk(L).

m

Defini ¸c ão 15 (Extens ões finitas). Seja L|K uma extens ão de corpos, dizemos que L|K é extens ão finita quando [L : K] = c, c um n úmero natural e denotamos [L : K] < ∞. Caso contr ário dizemos que L|K é extens ão infinita e denotamos [L:K] =∞.

Z

Êxemplo ^6. ^Seja ^K um corpo, ent ão K|K é uma extens ão finita, pois K é um K-espa¸co vetorial de dimens ão 1, pois 1^k é uma base para K.

Z

Êxemplo ^7. ^C|R é uma extens ão finita, pois {1, i} gera C como um R-espa¸co vetorial e além disso é linearmente independente, logo é uma base.

Z

^Exemplo ^8. ^[Q(^√²^:^{Q] =}2 pois temos base {1,√ 2}.

Z

^Exemplo ^9. (Exemplo de uma extens ˜ao infinita)

Sendo Kum corpo e x uma indeterminada sobreK, a extens ão K(x)|K é infinita, pois {x^k, k∈N} é linearmente independente sobre K, logo vale [K(x) :K] =∞.

(20)

b

Propriedade 18 (Multiplicatividade do grau). Sejam L|K e K|F extens ões finitas de corpos, ent ão L|F é extens ão finita e [L:F] = [L:K][K:F].

ê Demonstra ¸c ão. Seja L|KB = {ak|k ∈ In} uma base da extens ão L|K e K|FB = {bs|s∈Im} uma base para a extens ão K|F. Vamos mostrar que

L|FB={akbs|k∈In, s∈Im}

´e uma base de L|F. Seja l∈L por L ser K espa¸co vetorial, existem kj ∈K tal que l=

∑n

j=1

ajkj

e como kj∈K e K ´e F-espa¸co vetorial, ent ˜ao existem f(s,j)∈F tal que kj=

∑m

s=1

f(s,j)bs

logo

l=

∑n

j=1

aj

(∑m s=1

f(s,j)bs

)

=

∑n

j=1

(∑m s=1

f(s,j).bs.aj

)

=

∑n

j=1

∑m

s=1

f(s,j).(bs.aj)

assim podemos escreverl como combina¸c ˜ao linear dos elementos {ajbs|j∈In, s∈Im}. Vamos mostrar agora que ´e linearmente independente, suponha

0=

∑n

j=1

(

∑m

s=1

f(s,k).bs)

| {z }

kj∈K

.aj

como L|KB ´e linearmente sobre K, temos que ter

∑m

s=1

f(s,j).bs =0

mas como K|FB ´e linearmente independente sobre F segue que f(s,j) = 0 para todo s∈Im. Assim segue que L|FB ´e uma base para L|F.

b

Propriedade 19. Se [L:F] é finita ent ão [L:K] e [K:F] s ão finitas.

ê Demonstra ¸c ˜ao. Sejam as extens ˜oes L|K e K|F . Supondo [L : F] finita K ⊂ L implica dimFK ≤ dimFL o que implica [K : F] ≤ [L : F]. Seja {ek, k ∈ Il} base de L como F espa¸co vetorial L =

∑l

k=1

Fek ⊂

∑l

k=1

Kek ⊂ L onde a primeira soma é direta, logo sabemos que {ek, k ∈ Il} gera L como K espa¸co vetorial da´ı dim_KL ≤ l, isto é, [L:K]≤l, logo também é finita.

(21)

$

Corol ário 8. Sejam as extens ões L|K e K|F . [L : F] é finita ⇔ [L: K] e [K :F] s ão finitas.

b

Propriedade 20. Seja Muma extens ˜ao do corpo K. Se [M:K] =p, pprimo, ent ˜ao todo corpo L com K⊂L⊂M, satisfaz L=K ou K=M.

ê Demonstra ¸c ˜ao. Por multiplicatividade do grau temos

[M:K] =p= [M:L] [L:K]

logo [M:L] =1 ou [L:K] =1, da´ı L=K ou L=M.

m

Defini ¸c ão 16 (Torre de corpos). Uma torre de corpos é uma sequência de corpos (Fk)ⁿ₁ onde Fk+1|Fk. Uma torre é dita finita ⇔ a sequência é finita, caso contr ário ela é infinita.

m

Defini ¸c ão 17 (Adjun¸c ão). Sejam L|K uma extens ão de corpos e S tal que S⊂ L. K[S] é o menor anel contido em L contendo K∪S e é dom´ınio por herdar propriedade do corpo L. Dizemos que k[S] é o subanel de L obtido pela adjun¸c ão de S à K.

K(S) é o menor corpo contido em L contendo K∪S, da mesma maneira K(S) é dito o subcorpo de L obtido pela adjun¸c ão de S à K.

m

Defini ¸c ão 18 (Compositum). Sejam E e F extens ões de K, se E e F est ão contidos em um corpo L, denotamos por EF o menor subcorpo de L que contém E e F e o chamamos de compositum de E e F em L. Se E e F n ão s ão subconjuntos de um corpo L ent ão n ão definimos o compositum.

O compositum de uma subfam´ılia arbitr ária de subcorpos de um corpo L é o menor subcorpo contendo todos os corpos da fam´ılia ( Sendo no m áximo L ).

(22)

Também chamamos a extens ão EF|F de transla¸c ão de E para F.

m

Defini ¸c ˜ao 19. Seja K um subcorpo de E e (αk)ⁿ₁ elementos de E denotamos por

K(α1,· · · , αn)

ou K(αk)ⁿ₁ como o menor subcorpo de E contendo K e os elementos de (αk)ⁿ₁.

b

Propriedade 21. K(α1,· · · , αn) ´e o corpo cujos elementos consistem em todos quocientes da forma

f(α1,· · · , αn) g(α1,· · · , αn)

onde f e g s ão polin ômios den vari áveis com coeficientes em K e g(α1,· · · , αn)̸= 0.

b

Propriedade 22. Sejam L|K uma extens ão de corpos e α∈L, S={α}, K[x] o dom´ınio dos polin ômios com coeficientes em K, ent ão

K[α] ={f(α)|f(x)∈K[x]}

o menor subanel de L que contém K∪{α} é {f(α)|f(x)∈K[x]}, o conjunto dos polin ômios com coeficientes em K aplicados em α.

Para qualquerf(x) =

∑n

k=0

akx^kemK[x]temosf(α) =

∑n

k=0

akα^k∈L. A={f(α)|f(x)∈ K[x]} é subanel de L que contém K∪{α}, contém α, pois f(x) = x ∈ K[x], da´ı f(α) = α ∈ A , também contém K, pois dado a0 ∈ K temos o polin ômio f(x) = a0 ∈ K[x]

e da´ı f(α) = a0 ∈ A. O conjunto A é subanel pois 0 ∈ B, a soma e o produto s ão fechados e o inverso aditivo pertence ao conjunto, as outras propriedades também

(23)

se verificam, temos uma soma abeliana, produto associativo e vale a propriedade distributiva. Para qualquer subanel B de L que contenha K∪{α} tem-se

• αⁿ ∈B∀n∈N

• a.αⁿ ∈B, com a∈K.

• Logo

∑n

s=0

Kα^s ⊂A, da´ı A⊂B.

Logo todo anel de L que contém K∪{α} contém A, logo A é o menor subanel.

$

Corol ário 9. K(α) é o menor subcorpo de L que contém L e K∪{α} e tem que conter o dom´ınio K[α], portanto K(α) contém o corpo de fra¸c ões de K[α], isto é,

K(α)⊃Q(K[α]) = {f(α)

g(α) |f(x), g(x)∈K[x], g(α)̸=0}⊂K(α) disso segue que

K(α) ={f(α)

g(α) |f(x), g(x)∈K[x], g(α)̸=0}

m

Defini ¸c ˜ao 20 (Finitamente gerado). E ´e finitamente gerado sobre K, se existem elementos (αk)ⁿ₁ em E, tais que E=K(αk)ⁿ₁.

m

Defini ¸c ão 21 (Elemento algébrico ou transcendente sobre K). Seja L|K uma extens ão de corpos e sejaa∈L. a é dito algébrico sobreK⇔ existef(x)∈K[x]\{0} tal que f(a) =0, caso contr ário a é transcedental sobre K.

m

Defini ¸c ão 22 (Elementos algébricos ou transcendentes). Para elementos algébricos ou transcendentes sobre Q n ão mencionaremos o corpo envolvido, di- remos apenas que s ão algébricos ou transcendentes.

(24)

Z

Êxemplo ^10. ^Se â ^≥ 0 é racional ent ão a^√^p^q é algébrico, pois é raiz de x^q−a^p. Onde p, q positivos em N .

$

Corol ário 10. Sea é algébrico sobre K,F|Kextens ão, ent ão a é algébrico sobre F, pois existe P(x)∈K[x] tal que P(α) = 0, porém de K⊂F segue P(x)∈F[x], pois os coeficientes em K também s ão elementos de F, logo a é algébrico sobre F.

$

Corol ´ario 11. Suponha a torre de corpos

K⊂K(α1)⊂K(α1, α2)⊂ · · ·K(α1,· · · , αn)

cada elemento gerado pelo anterior pela adjun¸c ão de um único elemento. Se cada αk é algébrico sobre K ent ão ent ão cada αt+1 é algébrico sobre K(α1,· · · , αt), da´ı cada degrau é algébrico e a torre é dita algébrica.

m

Defini ¸c ão 23 (Polin ômio m´ınimo de a sobreK). Sejam L|K e a∈L algébrico sobre K. O polin ômio P(x) ∈ K[x] m ônico irredut´ıvel tal que P(a) = 0 é o polin ômio m´ınimo de a sobre K. Denotaremos tal polin ômio como Pa|K(x).

Z

Êxemplo ^11. ^Todo ^α ^∈ ^K é algébrico sobre K, com polin ômio m´ınimo x−α∈K[x].

Z

Êxemplo ^12. ⁱ é algébrico sobre Q e seu polin ômio m´ınimo sobre Q é x²+1∈Q[x].

Z

Êxemplo ^13. ^π ê ê s ão n úmeros transcendentes sobre Q.

(25)

b

Propriedade 23. Se P(x)∈K[x] tal que P(a) =0 ent ˜ao P_a|K(x)|P(x).

⋆ Teorema 1 (Caracteriza¸c ão de elementos algébricos). Sejam L|K uma extens ão de corpos e α∈L. Temos que α é algébrico sobre k⇔ [K(α) :K]<∞, nesse caso k(α) = k[α] ,[K(α) : K] = n, onde n = grau(P(x)) e P(x) ∈ K[x] é o polin ômio m´ınimo de α sobre K.

⇒). Sejam P(x) o polin ˆomio m´ınimo de α sobre K, f(x) ∈ K[x] tal que f(α) ̸= 0.

Ent ˜ao P(x) n ˜ao divide f(x) e da´ı existem g(x), h(x) em K[x] tais que g(x)P(x) +h(x)f(x) =1

disso segue que h(α)f(α) = 1, f(α) é invert´ıvel em K[α], que fica sendo n ão apenas anel porém corpo, por isso deve ser igual à K(α).

As potências α⁰, · · · , αⁿ⁻¹ s ão LI sobre K, pois se n ão

∑n−1

k=0

akα^k = 0 com coefi- cientes n ˜ao todos nulos em K, da´ı g(x) =

∑n−1

k=0

akx^k é n ão nulo e g(α) = 0 logo P(x) divide g(x), o que é absurdo pois o primeiro possui grau maior.

Seja f(α) ∈ K[α] onde f(x) ∈ K[x] ent ão existem polin ômios q(x), r(x) em K(x) tais que ∂ R < n e f(x) =q(x)P(x) +r(x) ent ão f(α) =r(α) e α⁰,· · · , αⁿ⁻¹ é base de k[α] como espa¸co vetorial sobre K, logo [K(α) :K] =n.

⇐).

Supondo [k(α) : K] = n, tomamos A = {α⁰,· · ·, αⁿ}, A ´e linearmente dependente sobre K, pois possui n+1 elementos, logo existe (ck)ⁿ₀ em K nem todos nulos, tais que

∑n

k=0

ckα^k=0

logo tomando f(x) =

∑n

k=0

ckx^k em K[x] temos f n ão nulo e f(α) = 0, da´ı α é algébrico sobre K.

(26)

$

Corol ário 12. Sejam L|K uma extens ão de corpos e α ∈ L. Temos que α é transcendente sobre K ⇔ K(α)|K é extens ão infinita. Nesse caso K[a]̸=K(α).

Z

^Exemplo ^14. ^Seja ^α ⁼³³¹, estudamos a extens ˜ao Q(α)|Q. Temos α³ =2, α

é raiz de x³−2zinQ[x] que é irredut´ıvel pelo critério de Eisenstein , da´ı [Q(α) : Q] =3 e {1, α, α²} é uma base de Q(α) sobre Q .

b

Propriedade 24. Sejam L|K um extens ˜ao de corpos, α ∈ L. K(α, β) = K(S)

onde S={α, β}. Vale que

K(α)(β) =K(α, β) = K(β)(α).

ê Demonstra ¸c ão. Vale que α, β∈K(α, β) e K ⊂K(α, β) logo K(α)⊂K(α, β) e K(α)(β)⊂K(α, β). K(α)(β) é o menor subcorpo de L que contém K(α)∪{β} ent ão

K(α)(β)⊃K(α)∪{β}⊃K∪{α, β}

logo K(α)(β)⊃K(α, β) pois K(α, β) ´e o menor subcorpo de L que cont´em K∪{α, β}, disso segue que K(α, β) = K(α)(β).

Como K(α, β) =K(β, α) = K(β, α) ent ˜ao

K(α)(β) =K(α, β) = K(β)(α).

Z

^Exemplo ^15. ^{Mostre que} ^Q(^√²⁺^√^{3) =}^Q(^√^2,^√³⁾ ^{como temos} ^√^2, ^√³^∈

Q(√ 2,√

3) segue √ 2+√

3∈ Q(√ 2,√

3) logo Q(√ 2+√

3) ⊂ Q(√ 2,√

3). Vamos mostrar que √

2 e √

3∈Q(√ 2+√

3) . Sendo α =√

2+√

3 temos √

3= α−√

2 ⇒ 3= α²−2√

2α+2 logo 2√ 2α = α²−1⇒√

2 = α²−1

2α ∈Q(α)e √

3=α−√

2∈Q(α)logoQ(√ 2+√

3) =Q(√ 2,√

3).

O polin ˆomio m´ınimo de α sobre Q pode ser obtido da seguinte maneira, de 2√

2α=α²−1⇒8α² =α⁴−2α²+1⇒α⁴−10α²+1=0

(27)

portanto α é algébrico sobreQ e o polin ômio m´ınimo de αsobre Q éα −10α +1, pois

[Q(√ 2)(√

3) :Q] = [Q(√ 2)(√

3) :Q(√

2)][Q(√

2) :Q] =2.2=4 pois √

3∈/ Q(√

2) (mostre!).

m

Defini ¸c ão 24 (Extens ão simples). Seja L|K uma extens ão de corpos. Dizemos que L|K é uma extens ão simples ⇔ ∃α∈L tal que L=K(α).

b

Propriedade 25. Seja L|K uma extens ão de corpo. Se α, β∈L s ão algébricos sobre K, ent ão α±β, α.β e α

β com β̸=0 s ão algébricos sobre K, Desse modo {α∈L|α é algébrico sobre K}

´e um subcorpo de L que cont´em K.

ê Demonstra ¸c ˜ao. Seja δ∈{α±β, α.β α

β β̸=0} ent ˜ao δ∈K(α, β) e K⊂K(δ)⊂K(α, β).

Vamos mostrar que [K(α, β) :K]<∞ da´ı por multiplicatividade dos graus [K(α, β) :K] = [K(α, β) :K(δ)] [K(δ) :K]

pelo que j ´a mostramos o fato de [K(α, β) : K] ser finito implica [K(α, β) : K(δ)] e [K(δ) :K] finitos logo alg´ebricos.

Sejam f, g ∈ K[x] os polin ˆomios m´ınimos de α e β sobre K, com graus m e n respectivamente temos que

[K(α) :K] =m, [K(β) :K] =n.

f(x)∈K(x)⊂K(β)[x] é tal que f(α) =0, logo α é algébrico sobre K(β), sendo P o polin ômio m´ınimo de α sobre K(β) de grau s, ele divide f(x) em K(β)[x] logo s≤m, portanto [K(β)(α) :K(β)] =s≤m o grau é finito e a extens ão total [K(α, β) :K] =sn

é finita por multiplicatividade dos graus. Como a extens ão [K(α, β) :K] é finita ela é algébrica.

(28)

m

Defini ¸c ão 25 (Fecho algébrico de Q). Consideremos a extens ão de corpos C|Q. Chamamos de fecho algébrico de Q ao subcorpo Q de C definido por

Q={α∈C, α ´e alg´ebrico sobre Q}

Q é realmente corpo pela propriedade anterior. O conjunto dos n úmeros algébricos é um corpo.

$

Corol ´ario 13.

Q⊂Q⊂C.

$

Corol ário 14. A extens ão Q|Q é infinita, porém é algébrica .

Ela é infinita, pois supondo que fosse finita [Q : Q] = n, arranjamos um elemento que n ão é raiz de nenhum polin ômio com grau ≤n, por exemploxⁿ⁺¹−2

é irredut´ıvel sobre Q, α sendo uma raiz desse polin ômio tem-se que [Q(α) :Q] = n+1 e Q(α)⊂Q, logo n ão pode ser [Q:Q] =n.

m

Defini ¸c ão 26 (Extens ão algébrica ou transcendente). A extens ão de corpos L|K é dita algébrica ⇔ todo α ∈ L é algébrico sobre K. Caso contr ário L|K é dita transcendente. Ent ão para que a extens ão seja transcendente basta que exista alguma α∈L que seja transcendente.

$

Corol ário 15. A extens ão R|Q é transcendente.

Z

Êxemplo ^16. ^π é transcendente, isto é, ∀ P(x)∈Q[x]\{0}vale que P(π)̸=0.

(29)

Z

Êxemplo^17. A extens ão C|R é algébrica. Dadoα∈Cent ão existema, b∈R tais que α=a+bi, logo

(a−α)² = (bi)² = −b² =a²−2α.a+α² ⇒a²+b²−2aα+α² =0,

α é ra´ız def(x) = x²−2ax+a²+b², todo n úmero complexo é ra´ız de um polin ômio de coeficientes reais, da´ı α ∈ C arbitr ário é algébrico sobre R e portanto C|R é uma extens ão algébrica.

b

Propriedade 26. Se F|K é extens ão finita, ent ão F|K é algébrica.

ê Demonstra ¸c ão.[1] Sejam dim[F : K] = n, a ∈ F, e a sequência (a^k)ⁿ_k=0 que possuin+1 termos, como possui n+1 termos n ão pode ser linearmente independente sobre K, logo existem (ks)ⁿ₀ em K, tais que

∑n

s=0

ksa^k =0

portanto fabricamos um polin ˆomio P(x) =

∑n

s=0

ksx^k, que se anula em a, como tal elemento é arbitr ário segue que a extens ão é algébrica.

ê Demonstra ¸c ão.[2] Seja α ∈ F arbitr ário. Temos que K ⊂ K(α) ⊂ F e da´ı por multiplicatividade dos graus sabemos que [K(α) : K] divide [L:K], como é finita, ent ão α algébrico.

b

Propriedade 27. Se L|K é uma extens ão finita, ent ão existem (αk)ⁿ₁ em L, algébricos sobre K tais que L = K(αk)ⁿ₁, isto é, se L é uma extens ão finita de K ent ão L é finitamente gerada.

ê Demonstra ¸c ˜ao. Seja n = [L : K] e {αk, k ∈ In} ⊂ L uma base de L sobre K, ent ˜ao

L=

∑n

k=1

Kαk ⊂K(αk)ⁿ₁ ⊂L

(30)

logoL=K(αk)ⁿ₁, pela proposi¸c ão anterior cadaαk é algébrico sobre K, pois a extens ão

´e finita e por isso alg´ebrica.

b

Propriedade 28. Seja F|K extens ão, ent ão s ão equivalentes

1. K[α] ´e corpo

2. φ:K[x]→K[α] com φ(f(x)) =f(α) n ˜ao ´e injetora.

3. α ´e alg´ebrico.

• 1) ⇒ 2). α⁻¹ ∈ K[α] implica que existe P(x) =

∑n

k=0

akx^k com ak ∈ K tal que P(α) = 1

α =

∑n

k=0

akα^k, disso segue que

∑n

k=0

akα^k+1 = 1, implica que tomando f(x) =

∑n

k=0

akx^k+1−1 temosφ(f(x)) =f(α) =0 logo a fun¸c ão n ão é injetora pois possui mais de um elemento no seu Kernel, além do polin ômio nulo.

• 2) ⇒ 3). Existe f(x) ∈ K[x] tal que φ(f) = 0 = f(α), logo α é algébrico sobre K, pois temos polin ômio que se anula com coeficientes em K. 3)⇒2) também n ão é complicado, pois α algébrico implica que existe P(x) ∈ K[x]\ {0} tal que P(α) =0 da´ı tem-se φ(P) =0.

• 3) ⇒1). Seja Pα|K(x) o polin ômio m´ınimo de α sobre K, seja h(α)∈ K[α]\ {0}. h(x) ∈ K[x], h(x) n ão se anula em α, temos duas possibilidade do mdc com o polin ômio m´ınimo ele é 1 ou é o polin ômio m´ınimo, a segunda possibilidade se descarta pois h n ão se anula em α, ent ão existem g1 e g2 polin ômios tais que

1=Pα|K(x)g1(x) +h(x)g2(x) e da´ı aplicando em α tem-se

1=h(α)g2(α)

o inverso est ´a no conjunto, logo temos um corpo, pois o conjunto j ´a era anel comutativo com unidade.

(31)

b

Propriedade 29. L|K ´e alg´ebrica ⇔ todo anel R, com K⊂R⊂L for corpo.

⇒).

Suponha L|K algébrica, seja um anel R com K ⊂ R ⊂ L, seja α ∈ R temos que mostrar que α⁻¹∈R, α é algébrico sobre K, como α∈L ent ão α é algébrico sobre K, existe P(x) =

∑n

k=0

akx^k tal que

∑n

k=0

akα^k =0, tomamos o menor t tal que αt ̸=0 logo

∑n

k=0

akα^k=

∑n

k=t

akα^k =0

∑n

k=t+1

akα^k = −atα^t ⇒

∑n

k=t+1

akα^k−1−t=

n−1−t∑

k=0

ak+t+1α^k = −atα⁻¹

como at ∈ K ent ˜ao a⁻¹_t ∈K e em R, portanto α⁻¹ ´e escrito como soma de elementos do anel R por isso pertence ao anel, como quer´ıamos mostrar.

⇐).

Tomamos α ∈ L arbitr ário, K[α] é anel, logo é corpo. Logo existe α⁻¹ ∈ K[α].

Existe P(x) =

∑n

k=0

akx^k com ak ∈ K tal que P(α) = 1 α =

∑n

k=0

akα^k, disso segue que

∑n

k=0

akα^k+1 = 1, implica que tomando f(x) =

∑n

k=0

akx^k+1 −1 temos f(α) = 0 logo α

é algébrico sobre K, como o α tomado é arbitr ário, segue que L|K é uma extens ão algébrica.

b

Propriedade 30. Sejam F|K,α∈F, temos que k(α)|K é finita ⇔α é algébrico sobre K.

⇒).

K(α)|K é finita implica que K(α)|K é algébrica, logo α é algébrico sobre K.

⇐). Suponha que α seja alg´ebrico,

P_α|K(x) =xⁿ+

∑n−1

k=0

akx^k,

vamos mostrar que {1, α,· · · , αⁿ⁻¹} é base de K(α)|K. Primeiro, suponho por ab- surdo que o conjunto seja L.D, ent ão existem (ks)ⁿ⁻¹₀ em K, n ão todos nulos tais

(32)

que

0=

∑n

s=0

ksα^s

tomando h(x) =

∑n

s=0

ksx^s chegamos em contradi¸c ˜ao com minimalidade do grau do polin ˆomio m´ınimo.

f(α)∈K[α], pois por divis ˜ao euclidiana

f(x) =Pα|K(x)g(x) +r(x) aplicando x=α temos

f(α) =r(α)

, da´ı r(x) tem que ser identicamente nulo, pois o grau ´e menor que do polin ˆomio m´ınimo.

m

Defini ¸c ão 27 (Classe de extens ões not áveisâ ). Seja C uma certa classe de extens ões E|F, dizemos que C é not ável, quando se verificam as condi¸c ões

1. Seja E|F|K, ent ˜ao E|K∈C⇔E|F e F|K em C.

2. Se F|K em C e E é qualquer extens ão de K com EF em algum corpo ent ão EF|E em C.

3. Se F|K e K|E em C com F e E subcorpos de um mesmo corpo, ent ˜ao FE|K em C.

aNo texto de algebra de Serge Lang o termo usado é distinguished, porém preferi usar o termo not ável

(refazer figuras)

$

Corol ário 16. A condi¸c ão 3) segue das condi¸c ões 1) e 2) pois se E|K e F|K em C ent ão pela condi¸c ão 2) segue EF|E e pela condi¸c ão 1) EF|K em C. Ent ão precisamos testar apenas as duas primeiras condi¸c ões.

(33)

Figura 1.1: Na propriedade 1) vale a ida e a volta

Figura 1.2: Propriedade 2)

b

Propriedade 31. A classe das extens ões algébricas e das finitas s ão not áveis.

ê Demonstra ¸c ˜ao. Considere C a classe das extens ˜oes finitas.

1. E|F e F|K s ˜ao finitas ⇔ E|K ´e finita, por multiplicatividade dos graus.

2. Suponha F|K finita e E extens ão de K, existem elementos (αk)ⁿ₁ em F, algébricos sobre K, tais que F = K(αk)ⁿ₁, ent ão EF = EK(αk)ⁿ₁ = E(αk)ⁿ₁ ent ão EF|E é finitamente gerada por elementos algébricos, portanto finita.

Agora o caso de extens ˜oes alg´ebricas.

• ⇐).

Suponha E|K algébrica, dado α ∈ E existe P(x) ∈ K[x] tal que P(α) = 0, como F⊂E ent ão F é algébrico sobre K. E é algébrico sobre F pois, como K⊂F ent ão P(x)∈K[x]⊂F[x].

⇒. Suponha queF|Ke E|Fs ão algébricos. Sejaα∈Earbitr ário, ent ãoαsatisfaz

∑n

k=0

akα^k=0

(34)

Figura 1.3: Propriedade 3)

com ak ∈ F, pois α é algébrico sobre F. Seja F0 = K(αk)ⁿ₁ ent ão F0|K é finita, pois F|K é algébrica, logo cada ak é algébrico. Considere a torre:

K⊂F0 ⊂F0(α)

cada degrau da torre é finito, ent ão F0(α) é finito sobre K, da´ı α é algébrico em K, como α é arbitr ário ent ão E|K é algébrica.

• Seja F|K algébrica, ent ão E|F é algébrica, pois dado α∈F temos P(x)∈K[x] tal que P(α) =0, como K ⊂E vale P(x) ∈K[x] ⊂E[x], ent ão todo elemento de F é algébrico sobre E, o conjunto

A={x ∈EF|x´e alg´ebrico sobre E}

é corpo e contém E e F, como EF é o menor corpo com essa propriedade, ent ão EF=A ent ão todo elemento de EF é algébrico sobre E

Z

^Exemplo ^18. Determine o polin ˆomio m´ınimo de α = cos(2π

p ) +isen(2π p ) em Q, onde p ´e um natural primo.

Sabemos que α^p =cos(2π) +isen(2π) =1, logo α ´e raiz de x^p−1= (x−1)

∑p−1

k=0

x^k

(35)

seja f(x) = x −1

x−1 ent ˜ao f(x+1) = (x+1)^p−1

x =

∑p k=0

(_p

k

)x^k−1

x =

∑p k=1

(_p

k

)x^k x

∑p−1

k=0

( p k+1

)

| {z }

ak

x^k

logo a0 = p, ap = 1 p|a0 e p² ̸ |a0, p ̸ |ap, além disso p|ak para os outros valores por propriedade de coeficiente binomial. Logo f(x+1) é irredut´ıvel sobre Q por critério de Eisenstein. Vale que [Q(α) :Q] =p−1.

1.4 Constru ¸c ˜ ao de uma raiz.

Seja K um corpo e f(x) um polin ômio de grau ≥1 em K[x], nesta se¸c ão considera- mos o problema de achar uma extens ão E de K em qual f possui uma raiz. Se P(x) é um polin ômio irredut´ıvel emK[x]que divide f(x) ent ão qualquer raiz de P(x) também

´e raiz de f(x), logo iremos nos restringir ao estudo com polin ˆomio irredut´ıveis.

m

Defini ¸c ão 28 (Raiz). Seja L|K uma extens ão de corpos e seja f(x)∈k[x]. Um elemento α∈Lé uma raiz de f(x) ⇔ f(α) =0.

b

Propriedade 32. Seja L|K uma extens ˜ao de corpos e α ∈ L uma raiz de f∈K[x]. Ent ˜ao, (x−α)|f(x) em L[x].

Comof(x)∈K[x]⊂L[x] por divis ˜ao euclidiana porx−αemL[x]existemq(x), r(x) em L[x] tais que

f(x) = (x−α)q(x) +r(x)

onde r(x) = 0 ou 0≤∂r(x)<1, da´ı r(x) =r∈L, f(x) = (x−α)q(x) +r, f(α) =0 =r, f(x) = (x−α)q(x).

m

Defini ¸c ˜ao 29 (Multiplicidade de raiz). Seja L|K uma extens ˜ao de corpos.

Dizemos que α∈L ´e uma raiz de multiplicidade m de f(x)∈k[x] ⇔ (x−α)^m|f(x)

(36)

em L[x] mas (x−α)^m+1 n ˜ao divide f(x) em L[x].

• Quando m =1, α ´e uma raiz simples de f.

• Com m=2, temos raiz dupla.

• Com m=3, raiz tripla e assim por diante.

• Com m≥2, α ´e dita m ´ultipla.

Contamos uma raiz de multiplicidade m como sendo m ra´ızes (α)^m₁ .

b

Propriedade 33. Se f(x) ´e de multiplicidade m ent ˜ao em L[x] temos f(x) = (x−α)^mq(x) onde q(α)̸=0.

b

Propriedade 34. Seja K um corpo. Se f(x) ∈ k[x] é um polin ômio de grau n≥1 ent ão f(x) tem no m áximo n ra´zes em qualquer extens ão L de K.

ê Demonstra ¸c ão. Faremos a demonstra¸c ão por indu¸c ão sobre n =∂f(x) ≥ 1.

Se n=1 temos f(x) =ax+b, a ̸=0, b∈K logo temos apenas uma raiz x= −b a ∈K, fica provada a base da indu¸c ˜ao.

Supomos o resultado v álido para os polin ômios em K[x] de grau s, 1 ≤ s < n e vamos provar para n. Seja L|K, f(x)∈ K[x] com ∂f(x) = n. Se f(x) n ão tem raiz em L, ent ão o resultado segue. Supondo que f(x) tem raiz em α ∈ L de multiplicidade m , como (x−α)^m | f(x) ∈ L[x] ent ão n = ∂f(x) ≥ m = ∂(x −α). Em L[x] temos f(x) = (x −α)^mq(x) com q(α) ̸= 0, ∂q(x) = n−m ≥ 0. Se β ̸= α ∈ L é raiz de f(x) ent ão 0 = (β −α)^mq(β) ∈ L, L é corpo ent ão q(β) = 0. β é raiz de q(x), n > ∂q(x) = n−m ≥ 1. Por hip ótese de indu¸c ão q(x) tem no m áximo n−m ra´ızes em L e da´ı f(x) tem no m áximo m+ (n−m) = n = ∂f(x) ra´ızes em L, e o resultado segue por indu¸c ão.

m

Defini ¸c ão 30 (Congruência m ódulo I). Sejam A um anel comutativo com