• Desta vez os experimentos não foram repetidos, de modo
que não podemos estimar o erro experimental da forma anterior.
• Com quatro fatores, o modelo precisa de dezesseis termos
sendo o último deles a interação de quatro fatores.
• Vamos imaginar que a relação entre a resposta e os fatores
(b) Estimativa do erro
• Vamos imaginar que a relação entre a resposta e os fatores
na região investigada (superfície de resposta), seja suave o bastante para que pequenas variações nos fatores não
causem variações abruptas na resposta.
• Podemos esperar que os coeficientes de ordem mais baixa
(efeitos principais) sejam mais importantes que os de ordem mais alta (efeitos de interação).
• A Tabela 3.8 mostra claramente que alguns efeitos são bem
mais significativos que outros.
• Admitindo que os efeitos principais e as interações de dois
fatores bastam para descrever adequadamente a superfície de resposta, podemos usar os demais efeitos para obter
uma estimativa do erro experimental nos valores dos efeitos.
• As interações de 3 ou mais fatores na verdade não existem. • As interações de 3 ou mais fatores na verdade não existem. • Os valores determinados para 123, 124, 134, 234 e 1234,
então só podem ser atribuídos às flutuações aleatórias inerentes ao nosso processo, isto é, ao “ruído” embutido nos valores das respostas.
• Elevando cada um deles ao quadrado, teremos uma
estimativa da variância de um efeito, e a média dos cinco valores nos dará uma estimativa conjunta.
• Temos portanto a estimativa:
com cinco graus de liberdade (porque são cinco valores independentes).
• A raiz quadrada deste valor, s≅0,54, é a nossa estimativa
para o erro padrão de um efeito.
(
) (
) (
)
(
)
0,291 5 375 , 0 ... 125 , 0 875 , 0 ˆ efeito = 2 + − 2 + + 2 = VExercício
• Interprete os valores da Tabela 3.8, levando em conta a
• Técnica alternativa para distinguir, nos resultados de um
planejamento, os valores que correspondem realmente aos efeitos daqueles que são devidos apenas ao ruído.
• Seu funcionamento se baseia na área da cauda à esquerda
de um ponto , chamada de probabilidade cumulativa
desse ponto, e representa a probabilidade de que o valor
Análise por meio de gráficos normais
desse ponto, e representa a probabilidade de que o valor observado para a variável aleatória seja no máximo igual ao valor definido pelo ponto.
• Uma variável aleatória x distribuída normalmente
obedece à equação ( ) . 2 1 ) ( 2 2 2 dx e dx x f x σ µ π σ − − =
• (a) Gráfico da densidade de probabilidade numa distribuição
normal padronizada. A probabilidade acumulada de um valor x1 da variável x é a área sob a curva à esquerda de x1. (b) Probabilidade acumulada na escala cartesiana usual é
uma curva monotonicamente crescente, em forma de S3 que
vai (de forma assintótica) de zero à esquerda para 1 à direita.
• (c) O gráfico da figura (b) anterior, num eixo de
probabilidade normal. Note que a escala da probabilidade acumulada não é mais linear. O ponto correspondente à probabilidade acumulada de x1 (0,25) não está no ponto intermediário entre 0,0 e 0,5, e sim muito mais próximo de 0,5.
• Considere uma amostra aleatória de dez elementos,
extraídas de uma população normal.
• Para representar essa amostra num gráfico normal, a
primeira coisa a fazer é colocar seus elementos em ordem crescente.
• Assim o primeiro elemento será o menor de todos, e o
décimo será o maior.
• Usando um índice para indicar a ordem de cada • Usando um índice para indicar a ordem de cada
elemento, chamaremos o menor deles de x1 e o maior de x10.
• Como a amostragem foi aleatória, podemos imaginar
que cada um desses elementos seja o representante de uma fatia equivalente a 10% da área total da
• Amostragem aleatória de dez elementos numa distribuição
normal padronizada. Cada elemento representa uma região cuja área é igual a 1/10 da área total sob a curva. (x1<x10)
• (a) Probabilidades acumuladas para uma amostra de dez
elementos extraídos aleatoriamente de uma população normal padronizada, numa escala cartesiana comum. (b) Os mesmos pontos, num gráfico de probabilidade normal.
95%
5% de probabilidade acumulada no centro do intervalo
15%
• Voltemos ao planejamento 24 anterior. Imaginemos que
nenhum dos 15 efeitos exista (que o verdadeiro valor de cada um deles seja zero).
• Dentro dessa suposição (hipótese nula), os valores
numéricos obtidos devem refletir apenas os erros aleatórios do nosso processo.
• Procedendo como no exemplo dos dez pontos, podemos
traçar um gráfico normal dos nossos quinze valores e usá-lo para testar a hipótese de que os efeitos não existem.
para testar a hipótese de que os efeitos não existem.
• Os dados necessários para isso estão na Tabela 3.9, onde
cada efeito da Tabela 3.8 é associado a um valor de probabilidade acumulada.
• Em uma escala linear comum o gráfico é traçado colocando
no eixo das abscissas os valores dos efeitos, mas no eixo das ordenadas os valores correspondentes da distribuição
Valores correspondentes da distribuição normal padronizada (eixo das ordenadas) ordenadas)
• Gráfico normal dos valores da Tabela 3.9. Só os efeitos 1,
2, 3 e 12 parecem significativos
Pontos que podemos
considerar como vindos de uma população normal de média zero. Ou seja: eles representam “efeitos” sem nenhum significado físico.
Quanto mais afastado da região central, seja para direita ou para esquerda, mais significativo será o efeito.
Obs: Já para avaliar a qualidade de um modelo qualquer, o gráfico normal dos resíduos deverá aproximar-se de uma reta passando pelo ponto (x,Z)=(0,0), como na região central desta fig.
• Para descobrir quais são as condições ótimas num processo
industrial temos que partir de informações obtidas no próprio processo de produção em larga escala.
• Na prática a fábrica opera dentro dos parâmetros
estabelecidos na sua partida (testes e planta piloto).
• Esse modo de agir é chamado de operação estática e com