E' .cosi.F0

P.O.

Les lettres o

et

e placées

au

bas de F ne changent en rien la valeur de

cette

quantité ; elles indiquentseulement la

lon-gueur

deschemins

parcourus

au mêmeinstantparles

rayons

ordinaires ^et extraordinaires apr^ès qu’ils sont ^sortis de la lame cristallisée, et déterminent ainsi, par leur diffé

rence

o

—

^e

^,

^l’intervalle qui sépare les points correspondants des deux

syst

èmes d’ondes

.

Les majuscules POetPE

' ^montrent

la marche successive du plan de polarisation de chaque faisceau,

pour

faciliter l’applicationde larègle énoncée

pr

é-cédemment.

Chacun decesdeuxsystèmesd^'ondes se divisera en deux

autres

par l’action du rhomboïde de spath calcaire, ce qui produira en toutles

quatre

faisceaux suivants,dont les deux premiers sont produitsparlepremier

syst

ème d^’ondes

et

les deuxautres par le second:

cosi cos (i

—

^{s) F0}+^o'

P. O. S. sin i sin_P{i

—

^{s) F}

. E\ S.

Le premieravec le troisième

composent

l’image ordinaire etle secondavecle quatrième, l^’imageextraordinaire

.

Calcu-lonsd’abord l’intensité de celle-ci

.

On voit,d’

apr

ès la marche des plans depolarisation indi-quée par lesmajuscules placées

sous

chaque faisceau,

que

le second

et

le quatrième

, ramen

é

s

h un plan

commun

de polarisation^, doivent différer d’une demi-ondulation

,

ind é-pendammentde la différenceo

—

^e

^entre

les chemins

parcou

-rus;il faut donc ajouter unedemi-ondulation a o

—

^{e, ou,ce}

quirevient

au

même, changer lesigne^d’unedes expressions qui

repr

é

sentent

l’intensité

ou

lefacteur commun desvitesses

A² a^'1

+

^ci'2

+

^{2 aa' cos2}

-dans laquellea

et

a^' repré

sentent

lesintensités des vitesses d’oscillation desdeuxsystè mes d^'ondes,

2 -

la circonférence dont lerayon est 1,c la différencedescheminsparcourus et

Ala longueur d^’ondulation^, on

trouve

pour l’intensité de la lumière homogènedans l’image extraordinaire:

[

^{cos2isin2 (ï}

—

^s)-

¹

^-sin2icos2(i

sin (i

—

^{s)cos (i}

—

^{s )cos2}

F² s)

—

^2sinicosi

*

(

^ ^{' ) ]}

o u

F²

J

^[

—

^{cosisin (i}

—

^{s)-j-sinicos( i}

—

^{s)]2-|-2sin icosi}

s)

|j ( V ⁾ ]

ⁱ

sin (i

—

^{s)cos (i}

— —

^cos2TC

cos isin_P.( i_O.

—

_T.

sin icos (i

—

^{s) F»}+ p. E\

r

^.

#)

Fo

₊ ^O

ouenfin,

e+^o

[

F² [^sin2s

+

^{sin2isin 2 (i}

—

^{s) sin2}

^{- j}

^•

En faisant un calculsemblable

sur

lesdeux faisceaux con

-stituants de l^’image ordinaire, et observant que les deux expressions

F. cosicos(i

—

^{s) F. sin isin (ï}

—

^s)

doivent avoir le même signe, en raison de la marche des plansde polarisation,

on

trouve,

pour

l^’intensité de la lumière dans l’imageordinaire:

cl

[

^cos2s

—

^{sin 2isin 2 (i}

—

^{s) sin2}

^-

^r

—

^~

J j

F²

COLOKATION DES LAMES CRISTALLISÉ ES 123

122 ^{MEMOIRE DE FRESNEL}

Voilà les formules générales qui donnent l^'intensité de chaque espècede lumière homogè ne dans les images ^ordi

-naire

et

extraordinaireen fonction de sa longueur d’ondula

-tion

et

de la différence des cheminsparcouruso

—

^{e parles}

rayons qui ont traversé la lame cristallisée. Connaissantson é paisseur et les vitesses des

rayons

ordinaireset des rayons extraordinaires dans ce cristal,il sera facilede déterminer o

—

^e.Dans le sulfatedechaux, le cristal de rocheet la plu

-part des autres cristaux jouissant de la double réfraction,

o

—

^{e n'é}

^prouve

^{que de très légères} variations en raison de la différence de

nature

desrayonslumineux,en

sorte

qu’on peut le regarder comme une quantité

constante

, du moins pour lescristaux que nous consid^éronsici, o ù la dispersion de doubleré fraction

est tr

èspetiterelativement à la double réfraction

.

^{Si, aprè}s avoir calculé la différence de marche o

—

^{e, on la}divise successivement parla longueur moyenne d^'ondulation de chacune des sept principales espèces de rayons colorés, et si l^’on substituesuccessivement ces diffé

-rents

quotients dans les expressions ci^-dessus, on

aura

les intensitésdechaque

esp

ècede

rayons

colorésdans lesimages ordinaire

et

extraordinaire^,

et

l^’on pourra d étermineralors les teintesdeces imagesà l^’aidedelaformule empirique que Newton a donnée

pour

trouver la teinte résultant d’

un

m é

-langequelconque derayons divers donton connaîtles inten

-sités relatives. C^'est pourquoi l^'on doit considérer les for

-mules générales qui donnent l^’intensité dechaque espèce de lumière homogène en fonction de sa longueur d^’ondulation, commel^’expression mêmede la teinte produiteparla lumière blanche. C^’estdumoins

tout

ce

qu

’on peut déduire à

pr

ésent de la théorie^,

et pour

le reste il faut avoir recours à la con -struction empirique deNewton,qui s’accordeassezbienavec l^’

exp

érience,du moinsquant aux principales divisions des couleurs.

87.

—

Reprenons lesformules ci-dessus, en supprimant le facteur

commun

F-,qu’

on peut

prendre pourunité de lumière :

On voit à1inspection decesformules que les deux images doivent devenir blanches lorsque le terme qui contient sin^{2 TU}

la longueur d^'ondulation et qui rende l^'intensité diffé

-rente

pour les divers rayonscolorés. Ainsi lesimages^devien -dront blanchesquand on aura:

sin 2isin 2(i

—

^s)

=

^{o ;}

équation àlaquelle on satisfait en égalantà zéro sin 2i ou sin 2 (i

—

^s)

^,

ce qui donne pourilesquatre valeurs

i

—

^o

^,

ⁱ

=

⁹⁰

^°

^{, i}

=

¹⁸⁰

^°,

ⁱ

=

^300°,

- ^{) s}

^’évanouit, puisque

c

^’

est

leseul qui varieavec

o

—

1

etpour

s

,

5

=

^b

il suffî

t

donc,

pour

que les images deviennent blanches, qu’unede ceshuit conditions soit satisfaite, c^’est-à^-dire que lasection principalede la lame cristallisée soit parall èle ou perpendiculaire au plan primitif de polarisation, ouà lasec -tion principale du rhomboïde: ce qu^’

on

pouvait déduire aisé

ment

de la théorie sans le secours de la formule;

car

lorsque la section principale de la lame

est

parallèleouper -pendiculaire^au plan primitif, la lumi ère incidentene subit qu’ une espèce de réfraction danscecristal, et lorsque cette section principale

est

parallèleou perpendiculaireàcelle du rhomboïde, chaque image ne contient que des

rayons

qui ont é

prouv

é la même réfraction dans la lame cristallisée; ainsi, dans un

cas

comme dans l’

autre

, chaque image ne contientqu^'un seulsystèmed^’ondes;

partant

plus decouleurs

,

puisqu’il n’ya plus d’interférences.

Les deux imagessont au contrairecolorées l’une

et

l’

autre

avec le plus de vivacité possible^, quand le coefficient du terme variable estégalà l’unité^, ce qui arrive lorsque

.

^s*

=

^o

eti

= ^45°

; alors les deuxexpressionsdeviennent : s

—

^90°

^—

^{i s}

—

^180°

^—

ⁱ

^,

^s

⁼

^300°

^—

^i.

cos²8

—

^{sin 2isin 2{i}

—

^s)sin2TT

_^ j

^{• i}

_—

^sin

^.

^,

-

^T:(IO

— —

^r

—

^e

^\ _J

^{ou cos22T:(1o}

—

^e

^\ _J

^"

Image ordinaire

. .

^. Image ordinaire . . i

in

’ ' ( V ⁾

• _’ m ^-

^Imageextraordinaire

imageextraordinaire

.

sin²s

+

^{sin2isin2( i}

—

^s)sin

MÉ M O I R E D E E R E S N E L

Il esta remarquer que la seconde expressionest semblable à celle quidonne,pourlesanneaux color^és, ^la résultante des deux systèmes d^'ondes réfléchies sous l’incidence perpendi

-culaire à la première età la seconde surface de la lame d^’air, lorsqueson épaisseur estégaleà

—

1 ^(a

^—

^{e), ce qui rend la}

différence des chemins parcourus égale à o

—

^{e. En effet,}

repr

é

sentons

par ^~ l’intensité d^’oscillation de chaque

sys

-tèmed^’ondes,

et remarquons que

leurs vitesses d^’oscillation doivent êtreprisesavecdessignes contraires^, parce

que

l^’un est réfléchi en dedans du milieu le plus dense et l’autre en dehors^;ce qui entra^îne l’opposition de signe,

comme

nous l^’avons remarquéprécédemmenten expliquant^le phénomène desanneauxcolorés

.

Cela

pos

é,on

trouve

pour l’intensité de la lumière résultante

,

d’

apr

ès la formule

que

nous avons d éjàemployée:

124 C O L O R A T I O N D E S L A M E S C R I S T A L L I SÉE S

88

. —

^Lesexpressions ci-dessus,

125

*

M

^{e t}

⁽ v ⁾

oos

qui ^donnent les

intensit

és respectives desimages ordinaire

et

extraordinaire dans une lumière ^homogène dont la lon -gueur d^’ondulation est ^A, lorsquel^'axede la lame cristallisée fait un angle de 45°avecle plan primitif de polarisation et

que

la section principale du rhomboïde est parallèle à ce plan, font voir

que

Yensemble des deux

syst

èmes d’ondes qui

sortent

de lalame cristallisée doitêtre polarisé suivant le plan primitif de polarisation quand o

—

^e

^est

^{égal à}

zéro on à un nombre entier d^’ondulations^, puisqu^’alors

/o

—

^e\

⁾

devenant égal h zéro

,

^l’image extraordinaire s^'évanouit

.

Aucontraire,quand o

—

^{eestégal à un nombre}

u impair_{nul, et}

_par

de demi

-

ondulations, c^’

est

cos^-d

— ⁼

^~

conséquentl’image ordinairequis’évanouit; d’où l’on doit conclure

que

la lumi èretotale

est

polariséedans le plan perpendiculaireàlasectionprincipale

,

qui est précisé

-ment

ici razimut2 i

.

^Mais

pour toutes

les valeurs intermé-diairesdeA,Vensembledes deux

syst

èmesd’ondesne

peut

pré

-senter qu

^’une polarisation partielle

,

et même il doit

para

î

tre

compl è

tement

d é polarisé lorsqueo

—

^{eestégalaun nombre}

impairde quarts d^'ondulation,

parce

qu’alors X

j qui devient

C ^{- ' )}

1 1 1

1

—

²

^-

^{• C O S 2TT}

4

+

_{4 2 2}

( V ⁾

1 1

—

^cos2TC

o u Z 2

ou enfin

in* *

( V ⁾

^•

Ainsi, les teintes de l’image extraordinaire produites

par

les lames cristallisées, doivent être semblables à celles des anneaux réfléchis,commeles observations deM.lliot l’avaient dé_produitemontré¹_par, du moins_{le cristal}

tant

_neque_varielapas sensiblementdifférencede marcheaveco

—

la^e nature des

rayons

;car

,

dans les anneauxcolorés,

cette

diffé

-rence de marche

,

é

tant

le double de l^'épaisseur de la lame d’air sousl’incidence perpendiculaire, est rigoureusement la même

pour toutes

lesespècesde

rayons .

- ^{( HT )}

o

—

^e

C O S2 TT e t

A

devenant l^'un

et

l’autre é

gaux

à

-

i^, les deux images

sont

de mêmeintensité,

et

que celaa lieu quelque soitl’azimut dans lequelontournela section principale du rhomboïde, comme on peuts’en convaincre parlesformules générales

pr

ésentées plus haut, en y faisant

i

=

^4o

^°

^{et sin2n}

^

caralors ellesdeviennent

Imageordinaire cos²s cos2s

—

Image extraordinaire

.

. sin²s-) 1 2 ^'* 1. Les formules que M.Biota fondéessurcelteressemblancereprésententavecune

grandefidelit^éles couleursproduitespar une feule lame.Au lieu de donnerimmédia -tement les intensités de chaque espèce de rayons colorés^,comme celles que nous venonsde calculer, elles renvoient àla table do Newton surles teintes desanneaux réfléchis,et ellesindiquent enmê me temps la proportion de lumièreblanche qui doit se joindreàces teintes, en raison des directions relatives du planprimitif,delasec

-tionprincipale de la lame etdecelle du rhomboïdede spath calcaire

.

1 i

"

o ?

2

1 1

.

—

^{c o sZ S}

— —

2 2

\

COLORATION D E S LAMES CRISTALLISÉES 127

MÉ MOIRE DE FRESNEL

Il est aisé de voir de môme sur les formules générales

,

quelle que soit la valeur dei

,

que lorsque

o —

^{eest égal à}

zé

ro

ou ;i un nombre pair de demi

-

ondulations

,

l^’image

extraordinaire

^s’évanouit

pour

s

=

^o

^,

^et

^que

^lorsqueo

—

^e

est égal à un nombre impair de ^demi

-

ondulations

,

la môme expression devient nulle si l^’on yfuit$

=

^{2i,etque, par con}

-sé

quent

^{,la lumi}ère totale est polaris^éesuivantle plan pri

-mitif

dans le premier cas

,

et dans le second ^suivant l^'azi

-mut

2i; tandis que pour

toutes

les valeurs interm édiaires de o

—

^{e il ne peut y avoir} disparition complèted’

aucune

image^,de

quelque

^{manièrequ’on tournelasection} principale du rhombo^ïde. Toutes ces

cons

équences de la théorie sont confirmé

es

par l’expérience

.

89. —

^{Lorsqu’on fait}

^traverser

^{àla lumière polarisée plu}

-lames cristallisées dont les sections principales se croisent d’ une manière quelconque^, les phé

nom

ènesse

com

-pliquent beaucoup,mais

peuvent

toujours être calculés

par

la môme th éorie.

La

lumière incidente se divise d’abord, dansla premiè

re

laine^,en deux systè mes d^’ondes, dont

on

détermine les intensités d^'oscillation par la loi de Maluset les positions relatives par leur diff^érence de marche

,

ainsi que nous

venons

de le faire

pour

une seule lame; ensuite chacun ^de ces

syst

èmesd^’ondes se diviselui

-

^{même en deux}

autresdans la seconde lame;chacun deces

quatre nouveaux

systè mes d^’ondes se divise

encore en

deux autres dans la troisième lame, et ainsi de suite

.

^{On conçoit que lorsqu’on}

conna

ît les azimuts des sections principales des diverses lames

superpos

é

es

etdurhombo^ïdequi donne les deux images^, peut déterminer ^les

intensit

és relatives de tousles sys

-tè

mes

d’ondes qui

entrent

dans chaque image,

et

qu^’il

est

également ^{facile de} d éterminer leursdiffé

rences

de marche

,

ayantégard auxdiversesespècesderéfractions qu’ils

ont

successivement éprouvées, quand les é paisseurs des lames sont

connues

ainsi

que

^les

rapports

de vitesse des

rayons

ordinaires ^et

extraordinaires

qui les traversent; on

aura

donc, pourchaque image

,

lesintensités et lespositions rela

-tives^detous ^lessystè mes d^'ondes dont elle se compose^, et I

on

trouvera leur résultantepar la méthode générale indi

-qu

é

edans mon

calculs

, tout

estdé terminé d’avance par les principesfon

-1 2 6

damentaux que

nous avons

déduits des faits

et

l’on n’

a

plus besoin de rien emprunteràl^’

exp

érience

,

m ôme pourles lesplus compliqués

.

C^'est en cela surtout

que

cette théorie est bien supérieure à celle de la polarisation mobile, qui devientsi

embarrassante

quand on veutsavoir comment les oscillations des

axes

des 'molécules lumineusesse renouent dans lepassage d^’

une

lame à

une

autre dont la section prin -cipale fait un angle quelconque

avec

celle de la première

.

Aussi l^'hypothèse de M

.

Biot nelui a

-

^{t- elle} fourni lemoyen dedé terminer touslescoefficients de ses formulespourdeux lames superposées que dans des cas

tr

ès particuliers, et mê

me

ilenest un où ses formules ne repr

é sentent

paslesfaits avec exactitude,

comme

j^’en ai é

t

é averti par les miennes;

c’est celui où deuxlamesdemê

me

nature et de même épais-seur ont leurs axes croisés à 45°

.

On

trouvera

ladiscussion de

ce

cas particulier et les formules gén érales des teintes donnéespardeux lames dans la secondenotejointeau rap

-port

de

M

. Arago

sur mon

Mémoire

,

page 2G7du tome XVII des Annalesdechimieetdephysique

.

90. —

^J’ai fait voir dans la

cas

sieurs

même note

qu

^’

on

pourrait expliquer de lamaniè

re

la plus simple les principales pro

-priétésde la lumiè

re

polarisée, la loi de Malus et les tères singuliers de la

double

réfraction, en supposant que

,

dans les ondes lumineuses, les oscillations des molécules s’exé

cutent

perpendiculairementaux rayons etàceque avons_{’appelé le} plan depolarisation

.

Enadoptant^,cette _hypo

-thèse

,

il serait plus naturelde donner ce nom

au

plan suivant lequel sefont lesoscillations

,

mais jen^'ai rien voulu changer

sens

des expressions reçues

.

Cette hypothè

se,

indiquée particuliè rement par les lois que nous avons

remarqu

é

es

, M

.

Arago etmoi,danslesinterfé

rences

des

rayons

_polarisés, fait voir comment ces lois résultent nécessairement de la naturemômedesondes

lumineuses

;en sorte

que

lesformules que je viens dedonner pourleslames cristallisées, ainsique celles qui repré

sentent

les phénomènes dela

diffraction

^, de la ré

flexion

,de la réfractionet des

anneaux

colorés, reposent maintenant sur

une

supposition unique ; car elle s’accorde aussibien quecelle quenous avions_adoptéed’abord avecles calculsd’interfé

rences

qui nous ontservià expliquer les lois decesphénomènes,puisqu^’ilest indifférent dans cescalculs, carac

-nous

on au

e n

Mémoire sur la diffraction, page 2o6^. Dans ces

128 _RÉFLEXION E T LUMIÈRE POLARISEE

polarisésàangle droit et diffé

rant

d^'un

quart

d^’ondulation

.

Cettelumière réfléchie,qui ne présente plusaucune tracede polarisation quand on l^’analyseavec un rhomboïde de spath calcaire^,jouit cependant, commela lumiè re polarisée

,

dela proprié té de dé velopper de

tr

èsvivescouleursdans leslames minces

cristallis

^ées; mais ces couleurs sont d^’une autre nature. Elle diffère encore de la lumière polarisée en ce qu’elle

ne

d éveloppe

pas

sensiblement de couleurs dans l^’essence de

t

érébenthine

et

les plaques de cristal de roche tailléesperpendiculairementhl’axe.Quand

on

luifaitéprou

-verde

nouveau

deux réflexions complètes

sous

la même inci-dence

et

suivant le même plan ou une direction perpendicu-laire,elle reprend touslescaractères

et toutes

lesproprié

t

és de la lumière polariséeordinaire;quand on luifaitéprouver deux nouvelles réflexions semblables dans lesmêmes direc -tions^, elle est complètement d épolarisée,

et

recouvre en mêmetempslesautres propriétésque luiavaientdonnéesles deux premières réflexions,

et

ainsi de suite

.

^Je n’entrerai pas dansdeplus amplesdétails surcette singulière modification de la lumière, qui se trouve imprimée à la foisà toutesles espèces de rayons, comme^lapolarisation elle-m ême,

et

^,sous ce

rapport

^, présente des propriétés aussi

g

énérales

.

Je me

contenterai

^{de dire que c'est la nature} des teintes que ^la lumière ainsi modifiée développedans leslamescristallisées qui m^’afait

reconna

^ître qu^’elle était

compos

ée de deux sys-tèmesd^’ondes polaris^ésà angle droitetdiffé

rant

^d’unquart d’ondulation^,

et

qu’enpartantde cefaitje suis parvenu ^faci

-lement à expliquer

et

à calculer les phénomènes variés qu^’elle

pr

ésente

,

à l’aide des mêmes principes dont nous venons de nousservir pourcalculer les teintes produites

par

lalumière polarisée ordinaire

.

93

^.

—

^{Avantdedécouvrir}ces modifications impriméespar la réflexion ^complète à la lumière polarisée

,

j^’avais étudié cellesque

produitla

réflexion partielles lasurface extérieure des

corps transparents

^,

et

j’avais reconnu que la lumière n’est alors jamais dépolarisée, mê me partiellement, quelle que soit l’inclinaisondes rayons et l^’azimut du plan d’inci

-dence relativement ^au plan primitif,

et

qu’ il n^’en résulte qu^’une simpled éviation duplan de polarisation

.

La ^nouvelle hypothèse que j^{’ai adopté}e surlaconstitutiondesondeslumi

-MRMOUIE DE F R ESN EL

ainsique nous l’avonsremarquédès le

commencement

, que les

mouvements

oscillatoires s

’

^exécutent parallèlement ou perpendiculairement aux rayons

,

pourvu qu’ils aient la même direction dans les ondes qui interfè rent. D’

apr

ès cette nouvelle hypothèse^,la lumière ordinaire est la réunion ou plutôt la succession rapide d^’une infinité d’ondes polarisées danstoutes sortesde directions;

et

l’acte de la polarisation ne consiste plusà créer desmouvements transversaux, qui existent déjà dans la lumiè

re

ordinaire

,

maisà les d écom -poser suivant deux plans rectangulaires invariables,

et

a séparer les uns des autres les systèmes d^'ondes polarisées dans cesdeuxsens ,soitparla direction de leurs

rayons

^,soit simplement

par

leur différencede vitesse.

91

. —

^L’

^exp

^{érience et le principe des interfé}rences nous ont appris que lorsqu^’un faisceau lumineux polarisé se trouve divisé en deux systèmes d^’ondes d^’égale intensité, polariséssuivant des directions rectangulaires

et

sé

par

éspar un intervalle d^’un quart d^'ondulation^, il pré

sente

^, dans la ré union deces deux

syst

èmes d^’ondes

,

^les apparencesd^'une dépolarisation complète; c^'est-à-dire que la lumiè re totale analysée avecunrhomboïde despathcalcairedonnetoujours des images égales en intensité, dans quelque sens qu^’on tourne sa section principale

.

La lumière ainsi modifiée res

-semble en cela à la lumière directe;maiselleen diffère par des proprié

t

és optiques

tr

èscurieuses, qui fontl^’

objet

^prin -cipal d’un

autre

Mémoireque j’ai soumis à l’Acad é mie des sciences, le

24

novembre1817

.

129

MODIFICATIONS QUE LA RÉFLEXION IMPRIME À LA LUMIÈRE POLARISÉ E

92.

—

^J’ai

^trouv

^{é que} la double réflexion complè

te

dans l’intérieur du verre,

sous

une inclinaison de o0° environ comptés de la normale àlasurface^,faisait é

prouver

ce genre demodification àla lumièreincidente, lorsquecelle

-

^{ci avait}

été

primitivement

polarisée dans un azimut de43° relative-ment au plan de

r

^éflexion ; c’est-à-dire que lalumièreréflé

-chie^était alors composée de deux systè

mes

d’ondes égaux,

i lÉM O IHK D KF B K S N E L

.

9

No documento De la Lumiere: Mémoire de Augustin Frenel (páginas 67-72)