Cotas superiores no regime χ(β) < ∞

Na se¸c˜ao anterior, mostramos sob certas hip´oteses (H1-H3) que o decaimento da fun¸c˜ao conectividade ´e ditado pela taxa de decaimento das constantes de acoplamento se β ´e suficientemente pequeno. A partir da cotas (31) e (32) do Teorema 5.3 podemos concluir que χ(β), a susceptibilidade, destes modelos ´e finita no intervalo (0, β0). Naturalmente

surge a quest˜ao sobre o comportamento assint´otico das conectividades em toda a regi˜ao para o qual χ(β) <∞. Para dar uma resposta a esta quest˜ao, lan¸camos m˜ao dos m´etodos introduzidos no Cap´ıtulo 1, onde obtivemos o comportamento assint´otico das conectivi- dades em todo regime subcr´ıtico.

´

E claro que existem diferen¸cas que saltam aos olhos sobre os modelos de percola¸c˜ao e os modelos de Mecˆanica Estat´ıstica em que as medidas s˜ao definidas a partir por Hamiltoni- anos como em (12). Por´em no caso ferromagn´etico, que ´e objeto de estudo neste trabalho v´arias analogias podem ser feitas. A que nos interessa, em particular, ´e a rela¸c˜ao entre as fun¸c˜oes conectividade e a correla¸c˜ao spin-spin. Esta ser´a explorada de duas maneiras neste trabalho; tanto para adaptar a prova do Teorema 5.3 para os modelos de percola¸c˜ao quanto para adaptar a prova do Teorema 3 para os modelos de mecˆanica Estat´ıstica defi- nidos por (12). Nesta se¸c˜ao, como ilustra¸c˜ao aos coment´arios pr´evios, mostraremos passo a passo como proceder para adaptar as t´ecnicas de escalas m´ultiplas, introduzidas nos modelos de percola¸c˜ao na prova do Teorema 3, a modelos ferromagn´eticos bem gerais. Al´em disto, mostraremos generaliza¸c˜oes deste m´etodo em dois sentidos. Permitiremos tanto que o alcance R da intera¸c˜ao tome valores 1 ≤ R ≤ ∞ e tamb´em que os n´ucleos sejam mais gerais do que (19). Estes por sua vez, dever˜ao satisfazer as hip´oteses H4 `a H7, listadas logo abaixo. Mencionamos tamb´em alguns exemplos de intera¸c˜oesque satisfazem estas hip´oteses.

Outro fato importante a se notar ´e que, para uma grande classe de modelos de spins escalar (N = 1), a condi¸c˜ao χ(β) < ∞ ´e equivalente a dizer que β < βc, onde βc ´e o

inverso da temperatura cr´ıtica, veja [13]. Isto ´e particularmente verdadeiro para modelos de spins escalar mencionados nas observa¸c˜oes que sucedem o Teorema 5.2, com intera¸c˜oes dadas por (19) ou (30).

A partir de agora assumiremos que nossas intera¸c˜oessatisfazem as hip´oteses: H4) Invariˆancia translacional: existe uma fun¸c˜ao K : R+ _{→ R}+ _{tal que K}

x1y1 =

K(_kx1− y1k);

H5) Monotonicidade: K(q) < K(p) se p < q;

tal que

K kx1− y1k 2



≤ ˜CK(kx1− y1k);

H7) Cota inferior uniforme: existe uma constante positiva ν tal que 1

Rν ≤ K(R)

para todo R_{≥ 1.}

Obs: Observe que as intera¸c˜oes(19) e (30) satisfazem trivialmente H4, H5 e H7. Para H6, pegamos ˜C = 2d+ε _{no caso (19) e para (30) ˜C = 2}d+p_.

Podemos agora enunciar o principal resultado desta se¸c˜ao

Teorema 5.4. Considere o estado de Gibbs (16) `a temperatura inversa β e com constantes de acoplamento JR <sub>satisfazendo as hip´oteses feitas acima, H4 `a H7. Seja S</sub>2 _{> 0 tal que}

h~σu· ~σvi ≤ S2 para todo u, v∈ Zk+d. Ent˜ao sob as hip´oteses do teorema 5.2 e para β tal

que χ(β) <∞, existem constantes positivas m, ˜m, C e R0 tais que, para todo x, y∈ Zk+d

e para todo R > R0 h~σu· ~σvi ≤    CKx1y1e −mkx0−y0k _{se kx} 1− y1k < R, (42) S2e− ˜mkx−yk se _kx1− y1k ≥ R. (43)

Sob as hip´oteses do Teorema 5.2 as desigualdades G-I e Simon s˜ao v´alidas. A prova do teorema acima, ser´a baseada na expans˜ao em escalas m´ultiplas desenvolvida no cap´ıtulo anterior. A prova ser´a dividida em trˆes partes:

1. como fizemos na prova do Teorema 5.3, primeiro mostraremos que a correla¸c˜ao spin-spin decai exponencialmente na “dire¸c˜ao temporal”x0 ∈ Zk sempre que β for

tal que χ(β) <_{∞, i.e., se χ(β) < ∞ ent˜ao existem constantes positivas R}2 = R2(β)

e m0 = m0(β) tais que

h~σx· ~σyi ≤ S2e−m0kx0−y0k (44)

sempre que kx0− y0k > R2.

Similarmente, tamb´em provamos o decaimento exponencial das correla¸c˜oes na “dire¸c˜ao espacial”x1 ∈ Zd para pares de spins suficientemente distantes, i.e., se χ(β) < ∞

ent˜ao existem constantes positivas R3 = R3(β, R) and m1 = m1(β, R) > 0 tais que

As constantes acima ser˜ao determinadas no decorrer da prova. Claramente, se tomamos R1 ≡ max{R2, R3} e m ≡ (m0 + m1)/2 ent˜ao, depois de multiplicarmos

(44) por (45) e tomarmos a raiz quadrada conclu´ımos que h~σx· ~σyi ≤ S2e−mkx−yk

sempre que χ(β) <_{∞ e kx − yk > R}1;

2. seja m′ _{> 0 dado e defina}

Tm′(x, y)≡ em ′_kx

0−y0k_h~σ

x· ~σyi.

Dado L _{≥ 1, seja C}L(x) ≡ {z ∈ Zk+d;kx1− y1k ≤ L} o “cilindro vertical”de raio

L centrado em x. Tomando y _{∈ C}c

L(x), iremos mostrar que Tm′(x, y) satisfaz uma

desigualdade tipo Simon, i.e., Tm′(x, y)≤

X

u∈CL(x) v∈Cc_L(x)

Tm′(x, u) J_uvR T_m′(v, y). (46)

Queremos chamar aten¸c˜ao que a desigualdade acima ser´a ´util quando χ(β) < ∞ por que ela nos permitir´a tomar m′ _{= m}

0− δ, onde m0 > 0 ´e a taxa de decaimento

exponencial na “dire¸c˜ao temporal”e δ um n´umero real positivo mas arbitrariamente pequeno;

3. a desigualdade (46) ser´a usada para desenvolver uma teoria de perturba¸c˜ao conver- gente que captura o decaimento misto das correla¸c˜oes sob a condi¸c˜ao χ(β) < _∞, reproduzindo o resultado do teorema 5.1 que era antes, para β pequeno. Seja x, y _{∈ Z}k+d _{tais quekx}

1−y1k < R e escolha o comprimento de escala L ≡ kx1−y1k.

Se χ(β) <_{∞ ent˜ao mostraremos que existe uma constante positiva ˜}C tal que Tm′(x, y)≤ ˜Cχ2_m′Kx1y1 + Tm′(L/2)γL/4, (47) onde T_m′(L)≡ sup u∈Cc L(0) Tm′(0, u), χ_m′(β)≡ X u∈Zk+d Tm′(0, u) e γ_L≡ X u∈CL(x) v∈Cc_L(x) Tm′(x, u) J_uvR.

No decorrer da prova mostraremos que se χ(β) <_{∞ ent˜ao tamb´em temos χ}m′(β) <

∞ e que γL→ 0 quando L → ∞. Seguir´a ent˜ao que o segundo termo no lado direito

da desigualdade (47) ser´a pequeno comparado com o primeiro termo, o que vai nos levar a concluir que iterando (47) teremos o resultado.

Vamos come¸car provando (44). Devido a invariˆancia translacional, iremos tomar y = 0. Uma vez que

χ =X n≥0 X kx0k=n X x1∈Zd h~σ0· ~σxi,

da hip´otese χ(β) <∞ segue que, dado λ ∈ (0, 1), existe n0 ∈ N tal que X kx0k=n X x1∈Zd h~σ0· ~σxi < λ

para todo n ≥ n0. Tomamos x = (x0, x1) ∈ Zk+d, com kx0k > n0 e aplicando a desi-

gualdade de Simon (25) com B sendo o ”Cilindro horizontal”_{{x ∈ Z}k+d _{: kx}

0k ≤ n0}, obtemos h~σ0· ~σxi ≤ β X u∈B v∈Bc h~σ0· ~σuiJuvRh~σv · ~σxi.

Segue da defini¸c˜ao (13) de JR _{que as ´unicas contribui¸c˜oes n˜ao-nulas poss´ıveis no lado}

direito da soma acima ocorrem quando os pares u _{∈ B, v ∈ B}c _{s˜ao pares de primeiros}

vizinhos satisfazendo a condi¸c˜ao ku0k = n0 e u1 = v1. Al´em do mais, j´a que χ(β) < ∞

ent˜ao podemos concluir que _h~σx · ~σyi → 0 quando kx − yk → ∞ e tamb´em que, para

qualquer n0 ∈ N fixado, existe v = v(n0) ∈ Zk+d tal que h~σv(n0)· ~σxi ≡ supz∈Fh~σz · ~σxi,

onde o supremo ´e tomado sobre F , a fronteira externa do “cilindro horizontal”B. Portanto

h~σ0· ~σxi ≤ 2kβ    X u∈B ku0k=n0 h~σ0· ~σui    h~σv(n0)· ~σxi ≤ 2kβλh~σv(n0)· ~σxi.

Aplicando sucessivamente a desigualdade acima, (note que isto pode ser feito pelo menos ⌊kx0k/(n0+ 1)⌋, desde que kx0k ≥ R2 ≡ n0 + 1), obtemos

h~σ0· ~σxi ≤ (2kβλ)⌊kx0k/(n0+1)⌋ h~σv(n0)· ~σxi ≤ S

2_e−m0kx0k_,

que, para λ suficientemente pequeno, ´e (44) com e−m0 _{= (2kβλ)}1/(n0+1) _eh~σ

v(n0)·~σxi ≤ S

2_.

Segue tamb´em da primeira das desigualdades acima que X

x1∈Zd

h~σ0· ~σxi ≤ χe−m0kx0k. (48)

Analogamente, provamos (45). Tome y = 0 e considere o “cilindro vertical”B = {x ∈ Zk+d _{:kx1k ≤ n0}, onde n0 > R ´e escolhido tal que}

X

{x1∈Zd: n−R≤kx1k≤n}

X

x0∈Zk

h~σ0· ~σxi < λ < 1

para todo n≥ n0, onde R ´e o alcance da intera¸c˜ao e λ < 1 ´e um n´umero positivo dado.

Tomamos agora x = (x0, x1)∈ Zk+d, comkx1k > n0 e aplicamos a desigualdade de Simon

e a defini¸c˜ao de JR _{para obter que}

h~σ0· ~σxi ≤ β

X

u∈B, n0−R≤ku1k≤n0 v∈Bc, ku1−v1k<R, v0=u0

Ent˜ao conclu´ımos que o lado direito da ´ultima desigualdade ´e limitado superiormente por β_kKkh~σv(n0)· ~σxi

X

u∈B, n0−R≤ku1k≤n0

h~σ0· ~σui,

onde_h~σv(n0)·~σxi ´e o supremo de h~σv·~σxi tomado sobre sobre a fronteira do cilindro vertical

de raio n0+ R. Da´ı tamb´em conclu´ımos que

h~σ0· ~σxi ≤ (βkKkλ) h~σv(n0)· ~σxi.

Seja R3 ≡ n0+ R. Ent˜ao, sekx1k > R3, podemos iterar a ´ultima desigualdade pelo menos

⌊kx1k/R3⌋ vezes e ver que

h~σ0· ~σxi ≤ (βkKkλ)⌊kx1k/L1⌋ h~σv(n0)· ~σxi ≤ S

2_e−m1kx1k_,

onde, para λ suficientemente pequeno, e−m1 _{= (βkKkλ)}1/R3 _{e m}

1 > 0, o que prova (45).

Tamb´em segue da primeira das desigualdades acima que X

x0∈Zk

h~σ0 · ~σxi ≤ χe−m1kx1k.

O pr´oximo passo ´e provar (46). Suponha que x, y ∈ Zk+d _{s˜ao tais que y ∈ C}c

L(x) para

algum L _{≥ 1, onde C}L(x) ´e o cilindro vertical centrado em x com raio L. Ent˜ao, apli-

cando a desigualdade de Simon a _h~σx · ~σyi, com B = CL(x), e multiplicando esta por

exp (m′_kx

0− y0k), usando a defini¸c˜ao de Tm′(x, y) e a desigualdade triangular chegamos

a (46) pois Tm′(x, y)≤ em ′_kx 0−y0k X u∈CL(x) v∈Cc_L(x) h~σx· ~σuiJuvRh~σv · ~σyi ≤ X u∈CL(x) v∈Cc_L(x) Tm′(x, u) J_uvR T_m′(v, y).

Como pr´oximo passo, dado (46), provaremos (47). Vamos precisar primeiro provar que χm′(β) <∞ se χ(β) < ∞, onde m′ = m₀− δ, m₀ sendo a taxa de decaimento exponencial

na dire¸c˜ao temporal , que ´e positiva se λ ´e pequeno, e δ ´e suficientemente pequeno e positivo. Mas isto vem de (48) e

χm′(β) = X x∈Zk+d Tm′(0, x) ≤ X j≥0 X {x0∈Zk: kx0k=j} em′kx0k X x1∈Zd h~σ0· ~σxi ≤ χX j≥0 2djd−1em′je−m0j _<∞.

Considere x, y _{∈ Z}k+d _{tais que R}

4 <kx1 − y1k < R. A constante R4 ser´a escolhida mais

a frente. Tomamos L_{≡ kx}1− y1k e usando (46) temos

Tm′(x, y) ≤ X u∈CL/4(x) v∈Cc_L/4(x) Tm′(x, u) J_uvR T_m′(v, y) ≤ X u∈CL/4(x) v∈Cc_{L/4(x)∩CL/2(x)} Tm′(x, u) J_uvR T_m′(v, y) + X u∈CL/4(x) v∈Cc_L/4(x)∩Cc_L/2(x) Tm′(x, u) J_uvR T_m′(v, y).

Note que, em cada Tm′(v, y) que aparece no primeiro termo do lado direito da ´ultima

desigualdade, os pontos v e y s˜ao tais que _{kv − yk ≥ L/2. Recordando que} T_m′(L) = sup

u∈Cc L(0)

Tm′(0, u)

e que Tm′(v, y) ´e invariante por transla¸c˜ao temos T_m′(v, y)≤ T_m′(L/2). Usando esta cota

superior para Tm′(v, y), T_m′(x, u)J_uvR ≥ 0 e a defini¸c˜ao de

γL =

X

u∈CL(x) v∈Cc_L(x)

Tm′(x, u) J_uvR

segue que o primeiro termo ´e limitado por Tm′(L/2)γ_L/4. Para o segundo termo, ob-

serve inicialmente que todas constantes de acoplamento JR

uv que aparecem nestes termos

satisfazem u0 = v0 e ku1 − v1k ≥ kx1 − y1k/2. Assim, temos para estas constantes de

acoplamento

J_uvR = K(_ku1− v1k) ≤ K(kx1− y1k/2) ≤ ˜CKx1y1,

onde, para justificar estas informa¸c˜oes usamos as hip´otese H4, H5 and H6. Assim podemos concluir que o segundo termo ´e limitado por ˜Cχ2

m′Kx1y1, que leva a

Tm′(x, y)≤ ˜Cχ2_m′Kx1y1 + Tm′(L/2)γL/4.

Finalmente, partindo de (47), obtemos o decaimento misto exponencial-Kx1y1 (42). Como

kJR_{k < ∞ e χ}

m′(β) <∞ se χ(β) < ∞, conclu´ımos que

X

u,v∈Zk+d

Tm′(x, u) J_uvR <∞.

Por outro lado, segue da defini¸c˜ao de γL que

γL≤

X

u,v∈Zk+d

Tm′(x, u) J_uv 1_CL(x)(u) 1_Cc L(x)(v),

donde conclu´ımos, pelo mesmo argumento dado no cap´ıtulo anterior, que γL→ 0 quando

L→ ∞. Agora usamos este fato para pegar a cota superior (31) a partir da desigualdade (47).

Seja ν > 0 dado por H7 e tome α _{∈ (0, 1/(2}ν_{C)). Ent˜ao, existe R˜}

4 > 0 tal que γL/4 < α

para todo L≥ R4. Tomando L > R4, segue de (47) que,

Tm′(x, y)≤ ˜Cχ2_m′Kx1y1 + αTm′(L/2).

Note que para qualquer z ∈ Zk+d _{com L <kx}

1− z1k ≡ L temos

j´a que, para todo L < L, temos γ_L/4 < α. Ap´os usarmos H5 e a defini¸c˜ao de Tm′(·) obtemos ˜ C2χ2_m′Kx1z1 + αTm′(L/2) ≤ ˜C 2_χ2 m′Kx1y1 + αTm′(L/2),

de onde conclu´ımos que

T_m′(L)≤ ˜C2χ2_m′Kx1y1 + αTm′(L/2).

Iterando a ´ultima desigualdade n vezes, com n sendo o menor inteiro para o qual L2−n_≤

R4, temos para todo L≥ R4

T_m′(L)≤ χ2_m′K_x1y1 n−1 X j=0 ( ˜C2_α)j _{+ α}n_T m′(L/2n). (49)

Desta escolha de n, segue que αn< 1 2νn = 1 Kx1y1 Kx1y1 2νn ≤ Kx1y1 (4L)ν 2νn ≤ Kx1y14 ν_Lν 0,

onde foi usado na segunda desigualdade a hip´otese H7. Levando esta cota superior em (49), e usando junto que Tm′(x, y)≤ T_m′(L) se y ∈ C_Lc(x) e T_m′(L′)≤ χ_m′ para qualquer

L′ _{> 0, conclu´ımos que}

h~σx· ~σyi ≤ CKx1y1e

−(m0−δ)kx0−y0k

6

Apˆendice

Teorema 4.1 (Teorema da Convergˆencia Dominada de Lebesgue). Sejam (E,_{A, µ) um} espa¸co de medida e g : E _{→ R uma fun¸c˜ao integr´avel sobre E. Suponha que f}n seja uma

sequˆencia de fun¸c˜oes mensur´aveis definidas em E tal que |fn(x)| ≤ g(x) e que fn→ g µ-q.t.p., ent˜ao Z E f dµ = lim n→∞ Z E fndµ.

Defini¸c˜ao 4.2 (Conjunto convexo). Um subconjunto C de um espa¸co vetorial ´e dito convexo se para quaisquer x, y _{∈ C, tx + (1 − t)y ∈ C para todo t ∈ [0, 1].}

Defini¸c˜ao 4.1 (Fun¸c˜ao Convexa). Seja C um subconjunto convexo de um espa¸co ve- torial. Uma fun¸c˜ao f : C _{→ R ´e dita convexa, se para quaisquer x, y ∈ C e t ∈ [0, 1],} temos

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No documento Comportamento assintótico das funções de correlação para modelos de spins e percolação de alcance misto (páginas 40-49)