RESUMO: Objetivou-se avaliar o uso de modelos mistos de regressão não linear para descrever o crescimento de codornas de corte. Foram utilizados os modelos empregando as funções de Brody, Gompertz, Logístico, MMF (Morgan-Mercer-Flodin), Richards e von
Bertalanffy, sob o enfoque de modelos fixos e, posteriormente sob o enfoque de modelos
mistos, considerando isoladamente o peso assintótico como aleatório, denominado parâmetro “A”, isoladamente como aleatório o parâmetro K, relacionado ao ponto de inflexão da curva, bem como estes ambos parâmetros como aleatórios. Para comparação entre modelos empregaram-se os critérios de Informação de Akaike (AIC) e Bayesiano de Schwarz (BIC). Ao considerar somente o parâmetro A como aleatório, houve aumento da precisão dos modelos, principalmente em relação à redução do Desvio Padrão dos Resíduos (σ), para machos e fêmeas, independente do modelo, com redução média de 50% no σ. Reduziu-se o resíduo da estimação de todos os modelos, em média de 42,14 para 12,03 com os dados das codornas machos e fêmeas, tendo o modelo Logístico a mais intensa redução, de 128,76, em media, para 13,247. Com os dados das codornas fêmeas, os avanços foram pouco superiores, em geral o desvio padrão do resíduo foi reduzido em 29%. Quando os modelos foram processados tendo “K” como de efeito aleatório; o único modelo que conseguiu estimar os parâmetros foi Richards. Para o modelo MMF houve redução de 58% do desvio padrão residual para as codornas fêmeas. Apesar do modelo de Richards ser apontado pelos critérios de comparação entre modelos como mais indicado para descrição do crescimento de machos e fêmeas, o mesmo promoveu ajuste com parâmetros distorcidos da curva de crescimento, em função de problemas na matriz Hessiana. Assim, os melhores resultados foram obtidos considerando aleatório o parâmetro A no modelo MMF. O uso de modelos não-lineares sob enfoque de modelos mistos, apesar da maior dificuldade de convergência, apresenta redução do viés de predição com a redução dos desvios padrão residuais.
Cutting quails growth by nonlinear regression models with mixed effects abstract
ABSTRACT: Mixed non-linear regression models were evaluated to describe the growth of broiler quails, with Brody, Gompertz, Logistic, Morgan-Mercer-Flodin (MMF), Richards and von Bertalanffy functions, first with fixed models and later with mixed modalities. Asymptotic weight alone was taken as randomized, called parameter A; parameter K alone was also considered randomized and related to the curve´s inflection point; the two parameters were also considered randomized. Aikake (AIC) and Schwarz´s Baynesian Information Criteria (BIC) were used to compare models. When only parameter A was taken as randomized, models´ precision increased, especially with regard to decrease in the Standard Deviation of Residues (σ) for males and females, regardless of the model, with a mean reduction of 50% for σ. Estimation residue for all models decreased from an average of 42.14 to 12.03 for data of male and female quails. Highest reduction occurred with Logistic model, from 128.76 to 13.247. In the case of female quail data, as a rule, the rates were slightly higher and the standard deviation of the residue decreased by 29%. When models were processed with K as the randomized factor, Richards was the sole model to estimate parameters. There was a 58% reduction for residual standard deviation for female quails in the case of MMF model. Although Richards´s model was the best indicated to describe male and female growth, it caused adjustments with distorted parameters of growth curves due to problems with the Hessian matrix. The best results were obtained by randomized parameter A in the MMF model. Albeit with greater convergence difficulties, non-linear models with mixed models reduced prediction bias by decreasing residual standard deviations.
INTRODUÇÃO
O crescimento corporal faz parte do processo normal de desenvolvimento dos animais, sendo de grande importância na produção animal. Este fenômeno, que engloba uma série de fatores e alguns períodos, passou a ser interpretado através de modelos matemáticos, especificamente modelos bioestatísticos desde o meio do século passado, o que possibilitou descrever o processo de crescimento, mais precisamente o ganho de peso em função à idade dos animais. Utilizando dados de medidas do peso corporal ao longo de um período, para promover a relação entre tempo e crescimento, oportunizando, entre outros, estabelecer modelos de regressão que controlem a maior parte da variação do crescimento em uma única equação.
Diversas pesquisas recentes utilizaram modelos não-lineares para descrever o crescimento de animais de diversas espécies de interesse zootécnicos: Bovinos (FREITAS, 2005, CARNEIRO et al., 2014), ovinos (SARMENTO et al., 2006, Ó et al., 2012), caprinos (FREITAS, 2005, RAJI, ASHEIKH e MOHAMMED, 2015), pescados e frutos do mar (FREITAS, 2005), suínos (FREITAS, 2005; CASAS et al., 2009), frango (FREITAS, 2005, FATTEN, 2015) e codornas (AGGREY, 2009, NARINC et al., 2010, RAJI, et al., 2014) entre outros. Empregando principalmente os modelos de Brody, Gompertz, Logístico, Richards e von Bertalanffy (FREITAS, 2005, AGGREY, 2009, BEIKI et al., 2013).
No entanto, espera-se obter melhor precisão na descrição de crescimento de animais por meio da utilização dos modelos não-lineares mistos. Segundo Pereira et al. (2014) a aplicação pratica dos modelos não-lineares mistos no estudos das curvas de crescimento, têm propiciado melhores ajustes da curvas de crescimento médias e individuais, em comparação com os modelos não-lineares.
Os modelos mistos podem ser considerados um aperfeiçoamento, com usuabilidade promissora; que atualmente envolve um volume considerável de discussões. Todavia, não foi identificado periódicos ocidentais que publicaram pesquisas envolvendo modelos mistos para descrever crescimento corporal de animais. O que demonstram a necessidade de pesquisas sob o assunto.
Através do Nlin (não linear) estimou-se com eficiência o ajustamento dos modelos, tendo como limitação empregar todos os parâmetros sob efeito fixos. A partir da otimização da investigação pelo uso da metodologia NLmixed (não linear misto), incrementada sob comandos indicando os parâmetros passiveis de sofre interpretação biológica alcança-se
avanços e eficácia nas estimações e no nível de ajuste de alguns modelos. Segunda Regadas Filho et al. (2014) os MRNLM (Modelos de Regressão Não-Lineares Mistos) são uma ferramenta eficiente para avaliar características da curva de crescimento, e é aconselhável para atribuir parâmetros biologicamente significativos com efeitos aleatórios.
De Pinho et al. (2010) esclarecem que os modelos com efeito mistos, designam um ou mais parâmetro com efeito aleatório no modelo, o que na maioria dos casos repercutem em aumentos de variâncias e correlações, promovendo nível de ajuste superiores, projetando os modelos mistos como potencialmente melhores.
Para melhor descrever o crescimento de codornas, complementando as discussões promovidas por Aggrey (2009) e Karaman et al., (2013), entre outros. Neste estudo objetivou- se a aplicação de modelos não-lineares mistos na descrição do crescimento corporal de codornas de corte, individualizados por sexo: machos e fêmeas, bem como comparar o uso dos modelos não-lineares fixos e mistos.
MATERIAL E MÉTODOS
Os dados de registro de pesos corporal e idades são resultantes dos animais que compõem o Programa de Melhoramento de Codornas da Universidade Federal dos Vales do Jequitinhonha e Mucuri (UFVJM) em Diamantina, MG, e compõe a base de dados desta pesquisa.
Os animais foram majoritariamente mantidos em boxes de piso de concreto, cama de maravalha sob aquecimento via campânulas e posteriormente em gaiolas. Foram alimentados com formulações especificas à cada fase animal: até os 21 dias, dieta apresentando em média 25% de proteína bruta e 2900 kcal de EM kg-1, sequencialmente até o 42º dia dieta mais calórica e menos proteica, 24% PB e 2925 kcal de EM kg-1.
Após análise crítica dos dados de 6.797 codornas de corte; procedeu-se a eliminação de outliers e as informações de animais sem dados em todas as pesagens; culminando em 30.410 registros de peso corporal de codornas de corte (Coturnix coturnix) da linhagem LF1; pesadas a cada sete dias, do nascimento até a idade de abate (1, 7, 14, 21, 28, 35 e 42 dias).
O acompanhamento semanal do ganho de peso das aves através de pesagens culminaram com 15,002 registros de peso corporal de aves do sexo masculino, e 15,408 pesos corporais de codornas de corte fêmeas.
As estimativas ou predições a partir dos seis modelos dispostos na Tabela 1.
Tabela 1. Parametrização dos modelos analisados
Modelo não linear Misto A aleatório Misto K aleatório Brody Yt = A (1 – Be-kt) (A+a ) (1 – Be-kt) A (1 – Be-(k+k1)t) Gompertz Yt = Ae W X(YZ) (A + a )e W X(YZ) A + e W X((Y[Y1)Z) Logístico Yt = A (1 + Be-kt)-1 (A+a ) (1 + Be-kt)-1 A+ (1 + Be-(k+k1)t)-1 MMF Yt = (AB+k td)/(B+ tm) ((A+a )B+ktd)/(B+ tm) (A+B+(k+k1)td)/(B+ tm) Richards Yt = A (1 – Be-kt)m (A+a ) (1 – Be-kt)m A+ (1 – Be-(k+k1)t)m von Bertal. Yt = A (1 – Be-kt)3 (A+a ) (1 – Be-kt)3 A+ (1 – Be-(k+k1)t)3 Yt peso na idade “t”; “A” peso assintótico ou peso médio à maturidade; “B” ou “D” constante de integração; “k” taxa de maturidade e “m” constante que dá forma à curva.
Todos os modelos foram utilizados inicialmente com os parâmetros de efeito fixo. Posteriormente todos os modelos foram individualmente processados tendo o peso corporal
assintótico, parâmetro A, como de efeito aleatório; bem como, sequencialmente em todos os modelos utilizaram-se o parâmetro K como de efeito aleatório.
Oportunamente pode ser identificado o mesmo modelo sendo apresentado de diferentes formas na literatura, no entanto, apresentando as mesmas propriedades matemáticas.
O procedimento NLmixed segundo o guia do usuário do módulo estatístico do SAS (SAS/STAT®, 2014) é capaz de envolver efeitos fixos ou aleatórios nos modelos, propiciando uma ampla variedade de aplicações, graças a possibilidade de especificar a distribuição dos dados, maximizando a aproximação, tendo como padrão o algoritmo de Gauss Newton.
Foram utilizados os critérios de informação de Akaike (AIC) Bayesiano de Schwarz (BIC) para comparação entre modelos (NARINC et al., 2010).
O Sigma que complementou a formula de cada modelo não-linear (em destaque) nos algoritmos perfaz entre os resultados, a estimação do desvio padrão residual.
DATA A; ...
MODEL PESOAJUS~NORMAL ((A)*(EXP(-EXP(-B*(IDADE-(K+K1))))), SIGMA**2) ; …
A primeira derivada da função de Richards (A(1-Be-kt)m) perfaz a equação que define a taxa de crescimento em relação ao tempo.
Equação 1. Taxa de crescimento Absoluto – Modelo MMF
\] \^ =_`^ ` a ^`+ b −`^ ` a(_^`+ cb) (^`+ b)d sendo t o valor de dias
A partir da obtenção da primeira derivada da massa (Equação 1), em relação ao tempo ef
eg ; projetou-se a estimativa de cada modelo para o ganho de peso obtido por unidade de tempo, neste caso por semana de vida dos animais, estimando a taxa média de crescimento da população ao longo da trajetória.
A segunda derivada do Modelo Richards estima em cada idade a taxa de Aceleração do Crescimento - AC (Equação 2), que exprime a variação na taxa de crescimento ao longo do tempo.
Equação 2. Taxa de Aceleração do Crescimento (AC) – Modelo MMF \] \^ =_(` − a)`^ ` d ^`+ b − d_` d^d` d (^`+ b)d − (` − a)`^ ` d(_^`+ cb) (^`+ b)d + d` d^d` d(_^`+ cb) (^`+ b)h sendo t o valor de dias
RESULTADOS E DISCUSSÃO
Os pesos médios observados foram 238,16 e 246,05 g. para machos e fêmeas, conforme disposto na Tabela 2, as codornas de linhagens de corte foram desenvolvidas para máximo ganho de peso, sendo os machos menores que as fêmeas, Albino e Barreto (2003) atribuem parte ao dimorfismo sexual à codornas, principalmente, em razão do aparelho reprodutor das fêmeas e menor concentração de gordura.
Tabela 2. Número de observações (N), médias e desvios padrão (DP) para o peso corporal das codornas de corte, machos e fêmeas, nas diferentes idades.
Idade (dias) Machos (g) Fêmeas (g) N Medias DP N Medias DP 1 2702 9,16 0,99 2782 9,22 1,06 7 2463 28,14 6,41 2486 28,57 6,57 14 2451 66,61 17,05 2504 67,66 18,08 21 2455 113,47 27,85 2526 115,91 30,53 28 2482 164,11 32,25 2569 169,36 35,23 35 2449 211,51 30,35 2541 219,58 33,10 42 1522 238,16 28,46 1555 246,05 32,71
As nítidas diferenças entre machos e fêmeas foram controladas através do uso dos modelos sob os dados de cada grupo. Evidenciando haver variação entre o crescimento de machos e fêmeas.
Codornas de corte machos
O modelo Brody não conseguiu estimar os parâmetros, o tipo de erro é atribuído pelo software indica que o algoritmo não foi capaz de convergir para uma solução adequada (SAS SUPPORT, 2008).
Os parâmetros estimados pelas diferentes funções de crescimento por meio de ajuste de modelos de regressão não-lineares fixos ao conjunto de desempenho ponderal estão expostos na Tabela 3. Os desvios padrão inferior a 0,00 não foram registrados nas tabelas a seguir.
Tabela 3. Estimativa dos parâmetros das curvas de crescimento para codornas de corte machos.
a
tendo o parâmetro A como aleatório, k tendo o parâmetro K como aleatório; +K = peso assintótico ou peso médio à maturidade; BM = constantes de integração sem interpretação biológica; NM= taxa de maturação, OK e PQ = constantes de integração sem interpretação biológica.
Ocorrem problemas de estimabilidade dos parâmetros em alguns modelos. Todos modelos não foram capazes de estimar os parâmetros quando posto A e K como de efeito aleatório nos mesmos. Os modelos Logístico, MMF e von Bertalanffy estimaram com A aleatório, mas não com K. Inversamente Richards não conseguiu estimar parâmetros tendo A como de efeito aleatório, mas conseguiu com K. Gompertz foi o modelo que conseguiu estimar em mais variedade de situações.
Todos os modelos superestimaram o parâmetro A (Tabela 3), estando acima do peso corporal observado aos 42 dias (Tabela 2). No entanto, cabe destacar que os pesos registrados não são exatamente o peso que os animais atingem a maturidade, haja vista que são abatidos antes de alcançarem este ponto. Principalmente em razão de buscar-se na criação comercial a otimização da eficiência animal na síntese de proteína, evitando a manutenção de animais em fase posterior a sexta ou sétima semana de vida, quando ocorre considerável custo energético de manutenção associado a reduzida taxa de crescimento.
Notoriamente o peso assintótico não é passível de sofrer comparações entre pesquisas, quando a discussão envolve avaliação de modelos. Karaman et al. (2013) através
Modelo Estimativas +K BM NM O/SPQ Gompertz 369,25 4,749 3,511 0,01 0,053 - Gompertz a 361,61 2,773 3,548 - 0,054 - Gompertz k 424,48 4,178 0,048 - 26,66 0,2243 Logístico 258,99 1,526 18,622 0,16 0,763 - Logístico a 258,3 1,099 16,465 0,10 0,124 - M.M.F. 676,23 0,001 0,0012 - 12,466 0,366 -1,655 0,009 M.M.F. a 593,68 17,81 0,0011 - 12,555 0,24 -1,717 0,02 Richards 407,05 - 0,351 - 0,045 - 8,473 - Richards k 351,20 3,401 -0,455 0,07 0,060 - -9,165 1,236 von Bertalanffy 535,03 12,33 0,742 - 0,029 - von Bertalanffy a 518,04 6,833 0,746 - 0,030 -
do modelo logístico estimou peso assintótico de 235 g. e Aggrey (2009) de 103,5 g, ou seja, o valor de “A” está intrinsecamente associado a linhagem e o potencial de ganho de peso dos genótipos envolvidos.
Para avaliar o melhor modelo neste estudo, almeja-se o menor valor de BIC, que está disposto na última coluna da Tabela 4. De forma geral, denota-se que o melhor ajuste de Gompertz ocorreu quando A aleatório, o mesmo para Logístico, MMF e von Bertalanffy. Ou seja, quando incluído a influência da aleatoriedade dos parâmetros biológicos todos os modelos se projetaram como mais eficientes.
Os três modelos mais ajustados sequencialmente são: Richards com K aleatório, MMF com A aleatório e Gompertz com A aleatório. No entanto, ao ser processado as estimativas de peso nas diferentes idades, os parâmetros emitidos pelo modelo de Richards projetaram pesos corporais improváveis.
Tabela 4.Estimativas do logaritmo da função de verossimilhança (Log(L)), dos critérios de Informação de Akaike (AIC); Critério de Informação Bayesiana (BIC), para codornas de corte machos em diferentes modelos.
σ- Desvio padrão do resíduo. a tendo o parâmetro A como aleatório, k tendo o parâmetro K como aleatório.
Tendo BIC como principal critério de indicação do nível de ajustamento dos modelos na predição da curva de crescimento dos machos, tem-se o modelo de Richards empregando o parâmetro K como aleatório. No entanto, o modelo nestas situações apresentou instabilidade e
Modelos σ -2LogL AIC BIC
Gompertz 19,7906 132142 132152 132190 Gompertza 11,5583 122655 122665 122695 Gompertzk 12,9037 125276 125286 125316 Logístico 125,72 187617 187627 187665 Logísticoa 11,9002 123395 123405 123435 M.M.F. 19,7873 132137 132149 132195 M.M.F. a 11,5369 122589 122601 122637 Richards 19,7895 132140 132152 132198 Richards k 11,3211 122127 122139 122174 von Bertalanffy 19,8079 132168 132178 132216 von Bertalanffy a 11,6419 122818 122828 122858
problemas na estimabilidade dos parâmetros (matriz Hessiana não positiva definida), provavelmente devido a multicolinearidade entre parâmetros.
Apesar de BIC ser o principal critério, todas demais informações foram utilizadas para avaliar os modelos. Embora de inúmeros trabalhos empregarem AIC e principalmente BIC como critério: NARINC et al.,2010; VITEZICA et al., 2010; BONAFÉ et al.,2011; BEIKI et al.,2013; DE PINHO et al., 2014; Galeano-Vasco et al., 2014; entre outros. Sendo abordado a importância de ser observado outros pontos, a fim de, aferir a razoabilidade ou normalidade dos parâmetros.
Para avaliar modelos de regressão não linear mistos, De Pinho et al. (2014) analisa em cada modelo várias características: se convergiu através dos processos de interações, os valores dos parâmetros estimados, principalmente se estão acima de 0; erro padrão, sub e superestimação do parâmetros, principalmente os relacionados com o ponto de inflexão, além de AIC, ou seja, é imprescindível utilizar todas as informações disponíveis para a tomada de decisão.
O modelo Morgan-Mercer-Flodin (MMF) apresentou o sequencialmente o melhor ajuste, e com estimação de parâmetros uteis, que testificaram a precisão do modelo quando utilizados para predizer os pesos corporais dos animais nas diferentes idades. Tendo sido assim o melhor resultado final para predizer o peso corporal de codornas de corte de ambos os sexos. Sequencialmente o modelo Gompertz apresentou precisão muito próxima, o BIC de MMF é 122637 e Gompertz 122695, o que, o classifica como igualmente empregável.
Segundo Karaman et al. (2013) o uso de modelos não-lineares mistos é algo recente, no entanto, sendo considerado uma metodologia empregável no estudo de crescimento de aves. Wang e Zuidhof (2004) trabalhando com frangos de corte, constataram melhor ajustamento do modelo de Gompertz, quando utilizado efeito mistos. Beiki et al. (2013) e Galeano-Vasco et al. (2014) confirma que de forma geral, o modelo de Gompertz têm se ajustado melhor ao crescimento de aves.
A terceira tabela dos resultados de Narinc et al.(2010) apresentam o MMF com o segundo melhor BIC entre os com valores positivos, pondo-o entre os 4 melhores modelos segundo os valores de AIC e BIC. Assim como neste estudo, MMF superou Logístico, Brody e von Bertalanffy, entre outros.
O Modelo MMF não foi tão intensamente explorado como os demais, tendo o potencial ainda a ser explorado. Ainda não foi identificado a interpretação do crescimento de corte utilizando-o, muito menos sob o viés de modelos mistos. No entanto, os resultados são semelhante demonstram que, conforme a Figura 1, o Ponto de Inflexão (PI) de inflexão das
codornas machos ocorre aos 24 dias, quando os animais apresentam máxima Taxa de Crescimento Absoluto. Com esta idade, em média, os animais machos apresentaram massa corporal correspondente a 54,04% do que vem a atingir quando adultos 139,01 g. Neste período apresentam crescimento máximo de 6,89 g./dia.
Figura 1. Taxa de Crescimento Absoluto (TCA) e peso predito em função da idade, utilizando o modelo de Morgan-Mercer-Flodin (MMF), para codornas de corte machos, tendo o parâmetro “A” como de efeito aleatório no modelo.
Observa-se que os animais atingiram a máxima velocidade de crescimento pouco além do final da terceira semana de vida, ou seja, a TCA foi crescente até atingir o máximo, atingindo o ponto de inflexão, a partir de então passou a apresentar decréscimo na taxa de crescimento, até quando os animais alcançaram o peso corporal cuja foram abatidos.
A Figura 2 demonstra que a Taxa de Crescimento Relativo (TCR), também denominado simplesmente como R (FIALHO, 1999), decai ao longo do tempo, mas sem obviamente ser menor que zero.
0,00 1,00 2,00 3,00 4,00 5,00 6,00 7,00 8,00 0,00 50,00 100,00 150,00 200,00 250,00 300,00 1 6 11 16 21 26 31 36 41 T axa d e C re sc im en to (g/ d ia) G an h o d e p es o ( g) Idade (dias) Ganho de Peso Predito Taxa de Crescimento PI Absoluto Peso Predito TCA 6,8858g/dia-1
Figura 2. Crescimento Relativo da idade, usando a função de
O principio da curva é observá também pode ser denominada de fase
sistema imunológico, entre outros; por vezes limitado ao valor de delta, que corresponde a idade na qual a linha tangente perfaz o ponto de inflexão, quando corta a linha x (horizontal).
No ponto de inflexã
torno de 6,89 g; o que representa um crescimento relativo no ponto de inflexão de 4,9 seu peso diário. Em termo gerais é uma boa taxa de crescimento. Pode
informações para monitor o desenvolvimento e estado geral dos animais. Por exemplo, um lote onde os animais apresentem um ganho de peso de menos de 4% do peso vivo, tende a representar a ocorrência de fatores desfavoráveis, como enfermidades avícolas.
Denota-se que antes
é maior, positiva, ocorrendo desaceleração após o ponto de inflexão, quando da desaceleração transita pelo ponto de inflexão, a linha pontilhada da aceleração do crescimento corta o eixo horizontal. A partir deste ponto o crescimento relativo mantém a redução não linear, até se aproximar de zero.
Animais com pesos corporais maiores produzem crescimento relativo inferior, sob taxas menos abruptas, mas, não se torna zero o crescimento relativo,
-0,15 -0,10 -0,050,00 0,05 0,10 0,15 0,20 0,25 0,30 0,35 0,40 0,45 0,50 0,55 0,60 0,65 0,70 0,75 0,80 0,85 0,90 0,95 1,00 1 4 7 10 A ce le raç ão d o C re sc im en to (g/ d ia) CR 14,66% (3,98 g/dia
elativo (CR) e Taxa de Aceleração do Crescimento de MMF, animais machos.
O principio da curva é observável uma taxa de crescimento próxima do zero, que também pode ser denominada de fase lag; que representa o período de desenvolvimento do sistema imunológico, entre outros; por vezes limitado ao valor de delta, que corresponde a idade na qual a linha tangente perfaz o ponto de inflexão, quando corta a linha x (horizontal).
No ponto de inflexão os animais, em média com 139,01 g., ganhando diariamente em g; o que representa um crescimento relativo no ponto de inflexão de 4,9
seu peso diário. Em termo gerais é uma boa taxa de crescimento. Pode
monitor o desenvolvimento e estado geral dos animais. Por exemplo, um lote onde os animais apresentem um ganho de peso de menos de 4% do peso vivo, tende a representar a ocorrência de fatores desfavoráveis, como enfermidades avícolas.
se que antes do ponto de inflexão, 24 dias, a Aceleração
, ocorrendo desaceleração após o ponto de inflexão, quando da desaceleração transita pelo ponto de inflexão, a linha pontilhada da aceleração do crescimento corta o eixo